Đề thi cuối kì 2 Toán 9 Kết nối tri thức cấu trúc mới có đáp án - Đề 5
20 câu hỏi
Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến trên \(\mathbb{R}?\)
\(y = \frac{{1 - x}}{2}\).
\(y = \frac{x}{3} - 1\).
\(y = 1 - 2x\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Hàm số \(y = \frac{x}{3} - 1\) có hệ số \(a = \frac{1}{3} > 0\) nên hàm số đồng biến.
Cho hàm số \[y = \left( {3m + 2} \right){x^2}\] với \(m = - \frac{2}{3}.\) Giá trị của tham số \[m\] để đồ thì hàm số đã cho đi qua điểm \[\left( { - 1\,;\,\,2} \right)\] là
\(m = - \frac{2}{3}.\)
\(m = 0.\)
\(m = - 1.\)
\(m = 1.\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Hàm số \[y = \left( {3m + 2} \right){x^2}\] có đồ thị đi qua điểm \[\left( { - 1\,;\,\,2} \right)\] nên ta có:
\[2 = 3m + 2\]
\(3m = 0\)
\(m = 0.\)
Vậy để đồ thị hàm số \[y = \left( {3m + 2} \right){x^2}\] đi qua điểm \[\left( { - 1\,;\,\,2} \right)\] thì \(m = 0.\)
Phương trình nào dưới đây là phương trình bậc hai một ẩn?
\({x^4} - 2{x^2} = 0.\)
\({x^3} + 3 = 0.\)
\(2x - 3 = 0.\)
\({x^2} - 2x - 3 = 0.\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Phương trình bậc hai một ẩn là phương trình có dạng \(a{x^2} + bx + c = 0,\) trong đó \(x\) là ẩn; \(a,\,\,b,\,\,c\) là những số cho trước gọi là hệ số và \(a \ne 0\).
Do đó, phương trình \({x^2} - 2x - 3 = 0\) là phương trình bậc hai một ẩn.Hai số có tổng bằng 23 và tích của chúng bằng 120 là nghiệm của phương trình nào?
\({x^2} - 23x + 120 = 0\).
\({x^2} + 23x + 120 = 0\).
\({x^2} - 120x + 23 = 0\).
\[{x^2} + 120x + 23 = 0\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Hai số cần tìm là nghiệm của phương trình \({x^2} - 23x + 120 = 0\).
Biểu đồ tần số dạng cột là
biểu đồ đoạn thẳng với trục ngang biểu diễn tần số.
biểu đồ cột với trục ngang biểu diễn tần số.
biểu đồ đoạn thẳng với trục đứng biểu diễn tần số.
biểu đồ cột với trục đứng biểu diễn tần số.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Biểu đồ tần số dạng cột chính là biểu đồ cột với trục đứng biểu diễn tần số.
Do đó ta chọn phương án D.
Gieo một con xúc xắc 45 lần cho kết quả như sau:
Số chấm xuất hiện | \(1\) | \(2\) | \(3\) | \(4\) | \(5\) | \(6\) |
Tần số | \(5\) | \(?\) | \(8\) | \(7\) | \(6\) | \(10\) |
Tần sốxuất hiện của mặt \(2\) chấm là
7.
8.
9.
10.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Ta có \(n = {m_1} + {m_2} + {m_3} + {m_4} + {m_5} + {m_6}\)
Do đó \(45 = 5 + {m_2} + 8 + 7 + 6 + 10\) nên \({m_2} = 45 - \left( {5 + 8 + 7 + 6 + 10} \right) = 9\).
Vậy tần số xuất hiện của mặt hai chấm là9.
Trong một kỳ thi học sinh giỏi Toán (thang điểm 20) của 50 học sinh, kết quả được cho bởi biểu đồ sau:
Tần số của nhóm thí sinh có điểm thi thấp nhất là
1.
3.
5.
18.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Quan sát biểu đồ, ta thấy nhóm thí sinh có điểm thi thấp nhất là \[\left[ {8;\,\,10} \right),\] có tần số là 3.
Do đó ta chọn phương án B.
Thống kê thời gian của 78 chương trình quảng cáo trên Đài truyền hình tỉnh X có 38 chương trình quảng cáo từ 10 đến 17 giây. Xác suất thực nghiệm của biến cố trên là
\(\frac{1}{{78}}\).
\(\frac{{38}}{{78}}\).
\(\frac{5}{{78}}\).
\(\frac{4}{{78}}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Xác suất thực nghiệm của biến cố trên là \(\frac{{38}}{{78}}\).
Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là
góc vuông.
góc nhọn.
góc bẹt.
góc tù.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông.
Trong các hình dưới đây, đường tròn \[\left( O \right)\] ở hình nào là đường tròn nội tiếp tam giác \[ABC?\]
Hình a.
Hình b.
Hình c.
Hình d.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
⦁ Ở Hình a, đường tròn \[\left( O \right)\] là đường tròn ngoại tiếp tam giác \[ABC,\] vì đường tròn \[\left( O \right)\] đi qua cả ba đỉnh \[A,\,\,B,\,\,C\] của tam giác \[ABC.\] Do đó, đường tròn \[\left( O \right)\] không là đường tròn ngoại tiếp tam giác \[ABC\] vì nó không đi qua đỉnh \[C\] của tam giác \[ABC.\]
⦁ Ở Hình b, đường tròn \[\left( O \right)\] không là đường tròn ngoại tiếp tam giác \[ABC\] vì nó không đi qua đỉnh C của tam giác \[ABC.\]
⦁ Ở Hình c, đường tròn \[\left( O \right)\] không là đường tròn nội tiếp tam giác \[ABC,\] vì nó không tiếp xúc với cạnh \[BC.\]
⦁ Ở Hình d, đường tròn \[\left( O \right)\] là đường tròn nội tiếp tam giác \[ABC,\] vì nó tiếp xúc với ba cạnh \[AB,{\rm{ }}BC,{\rm{ }}CA\] của tam giác \[ABC.\]
Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng?
Mọi tứ giác luôn nội tiếp đường tròn.
Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối nhau bằng \[90^\circ \].
Tổng số đo hai góc đối của một tứ giác nội tiếp luôn bằng \[180^\circ \].
Tất cả các hình thang đều là tứ giác nội tiếp.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Phát biểu “Tổng số đo hai góc đối của một tứ giác nội tiếp luôn bằng đây là dấu hiệu nhận biết của tứ giác nội tiếp.
Cho tam giác \[ABC\] vuông tại \[B\] và góc tại \[A\] bằng \(60^\circ \). Về phía ngoài tam giác vẽ tam giác đều \[ACD\]. Phép quay tâm \[A\] góc \(60^\circ \) biến \[BC\] thành
\[AD\].
\[DK\] với K là trung điểm của \[AC\].
\[CJ\] với \[J\] là trung điểm của \[AD\].
\[AI\]với \[I\] là trung điểm của \[CD\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Từ giả thiết suy ra \[ABC\] là tam giác vuông có góc \(\widehat {ACB} = 30^\circ \) nên \[AC = 2AB\].
Xép phép quay tâm \[A\] góc quay \(60^\circ \) ta có:
Biến \[B\] thành \[K\]; biến \[C\] thành \[D\].
Vậy phép quay tâm \[A\] góc \(60^\circ \) biến \[BC\] thành \[KD\].
Cho phương trình \({x^2} + \left( {m + 2} \right)x + m - 1 = 0\).
Phương trình đã cho là phương trình bậc hai một ẩn.
Phương trình luôn có hai nghiệm \({x_1},\,{x_2}\) với mọi \(m.\)
Tổng và tích hai nghiệm của phương trình lần lượt là \({x_1} + {x_2} = m + 2\,;\,\,{x_1}{x_2} = m - 1.\)
Không có giá trị của \(m\) để phương trình có hai nghiệm \({x_1},\,{x_2}\) thoả mãn \({x^2}_1 - {x_1} + {x^2}_2 - {x_2} = 6.\)
Hướng dẫn giải
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.
Xét phương trình \({x^2} + \left( {m + 2} \right)x + m - 1 = 0\) với \(m\) là tham số.
⦁Phương trình đã cho là phương trình bậc hai ẩn \(x\) có \(a = 1 \ne 0\,;\,\,b = m + 2\,;\,\,c = m - 1.\)Do đó ý a) là đúng.
⦁Phương trình có biệt thức \(\Delta = {\left( {m + 2} \right)^2} - 4 \cdot 1 \cdot \left( {m - 1} \right) = {m^2} + 8 > 0\) nên phương trình luôn có nghiệm \({x_1},\,{x_2}\) với mọi \(m \in \mathbb{R}.\)Do đó ý b) là đúng.
⦁Theo định lí Viète, ta có: \({x_1} + {x_2} = - \left( {m + 2} \right)\,;\,\,{x_1}{x_2} = m - 1.\)Do đó ý c) là sai.
⦁ Ta có \[{x^2}_1 + 2{x_1}{x_2} + {x^2}_2 - 2{x_1}{x_2} - \left( {{x_1} + {x_2}} \right) = 6\]
\[{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} - \left( {{x_1} + {x_2}} \right) = 6\]
\[{\left( {m + 2} \right)^2} - 2\left( {m - 1} \right) + \left( {m + 2} \right) = 6\]
\[{m^2} + 4m + 4 - 2m + 2 + m + 2 = 6\]
\[{m^2} + 3m + 2 = 0\].
Phương trình này có tổng các hệ số \(a - b + c = 1 - 3 + 2 = 0\) nên phương trình này có các nghiệm \({m_1} = - 1\,,\,\,{m_2} = - 2\).
Vậy có hai giá trị cần tìm của \(m\) là \({m_1} = - 1\,,\,\,{m_2} = - 2\). Do đó ý d) là sai.
Một chi tiết xây dựng bằng bê tông có kích thước như hình vẽ bên, gồm:
− Phía trên là một hình trụ có chiều cao \(2\,\,{\rm{m}},\) đường kính đáy \(0,5\,\,{\rm{m}}.\)
− Phía dưới là nửa hình cầu có đường kính \(0,5\,\,{\rm{m}}.\)
Mỗi xe trộn bê tông cung cấp được \(6\,\,{{\rm{m}}^{\rm{3}}}\) bê tông. Một công trình xây dựng cần sử dụng 40 chi tiết như ở câu a thì cần ít nhất bao nhiêu xe để đáp ứng được nhu cầu?
Thể tích hình cầu có bán kính đáy \(R,\) được tính bằng công thức: \(V = \frac{4}{3}\pi {R^3}.\)
Bán kính đường tròn đáy của hình trụ là \(0,5\,\,{\rm{m}}.\)
Thể tích của chi tiết chi tiết xây dựng bằng bê tông là: \(\frac{{13\pi }}{{96}}\,\,{{\rm{m}}^{\rm{3}}}{\rm{.}}\)
Một công trình xây dựng cần sử dụng 40 chi tiết xây dựng bằng bê tông như ở hình trên thì cần ít nhất 2 xe để đáp ứng được nhu cầu.
Hướng dẫn giải
Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Sai. d) Đúng.
⦁ Thể tích hình cầu có bán kính đáy \(R,\) được tính bằng công thức: \(V = \frac{4}{3}\pi {R^3}.\)
Do đó ý a) là đúng.
⦁Bán kính đường tròn đáy của hình trụ là: \({R_{tru}} = \frac{{0,5}}{2} = 0,25\,\,\left( {\rm{m}} \right).\)Do đó ý b) là sai.
⦁Thể tích của hình trụ là: \({V_{tru}} = \pi {R^2}h = \pi \cdot 0,{25^2} \cdot 2 = \frac{\pi }{8}\,\,\left( {{{\rm{m}}^{\rm{3}}}} \right).\)
Vì bán kính của đường tròn đáy hình trụ cũng chính là bán kính của hình cầu nên thể tích của nửa hình cầu là:
\(\frac{1}{2}{V_{cau}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3}\pi {R^3} = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3}\pi {R^3} = \,\frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3}\pi \cdot 0,{25^3} = \frac{\pi }{{96}}\,\,\left( {{{\rm{m}}^{\rm{3}}}} \right).\)
Thể tích của chi tiết chi tiết xây dựng bằng bê tông là: \(V = \frac{\pi }{8} + \frac{\pi }{{96}} = \frac{{13\pi }}{{96}}\,\,\left( {{{\rm{m}}^{\rm{3}}}} \right){\rm{.}}\)
Do đó ý c) là sai.
⦁Thể tích của 40 chi tiết xây dựng bằng bê tông là: \(40 \cdot 0,425 = 17\,\,\left( {{{\rm{m}}^{\rm{3}}}} \right).\)
Số lượng ít nhất để đáp ứng được nhu cầu là: \(\frac{{17}}{6} = 2,833... \approx 3\) (xe).
Vậy cần ít nhất 3 xe để đáp ứng được nhu cầu. Do đó ý d) là đúng.
Một phân xưởng theo kế hoạch cần sản xuất \(1\,505\) sản phẩm trong một số ngày quy định. Do mỗi ngày phân xưởng đó vượt mức \(86\) sản phẩm nên phân xưởng đó đã hoàn thành kế hoạch sớm hơn thời gian quy định là \(2\) ngày. Hỏi theo kế hoạch thì mỗi ngày phân xưởng đó cần sản xuất bao nhiêu sản phẩm?
Hướng dẫn giải
Đáp số: 215.
Gọi số sản phẩm phân xưởng cần sản xuất mỗi ngày theo kế hoạch là \[x\] (sản phẩm) \[\left( {x \in \mathbb{N};\,\,x > 0} \right)\].
Thời gian sản xuất theo kế hoạch là\[\frac{{1505}}{x}\] (ngày)
Thực tế mỗi ngày phân xưởng sản được số sản phẩm là: \[x + 86\] (sản phẩm)
Thời gian sản xuất thực tế là\[\frac{{1505}}{{x + 86}}\] (ngày)
Vì phân xưởng đó đã hoàn thành kế hoạch sớm hơn thời gian quy định là 2 ngày nên ta có phương trình: \[\frac{{1505}}{x} - \frac{{1505}}{{x + 86}} = 2\]
\[\frac{{1505\left( {x + 86} \right)}}{{x\left( {x + 86} \right)}} - \frac{{1505x}}{{x\left( {x + 86} \right)}} = \frac{{2x\left( {x + 86} \right)}}{{x\left( {x + 86} \right)}}\]
\[1505\left( {x + 86} \right) - 1505x = 2x\left( {x + 86} \right)\]
\[2{x^2} + 172x - 129\,\,430 = 0\]
\[{x^2} + 86x - 64\,\,715 = 0\]
\[x = 215\] (TMĐK) và \[x = - 301\] (loại).
Vậy số sản phẩm phân xưởng cần sản xuất mỗi ngày theo kế hoạch là \[215\]sản phẩm.
Tập hợp \[A\] gồm các số có ba chữ số, trong đó có 15 số nguyên tố. Bạn An chọn ngẫu nhiên một số từ tập hợp \[A.\] Biết rằng xác suất của biến cố “Chọn được số là hợp số” là \[0,7.\] Hỏi tập hợp \[A\] có bao nhiêu phần tử?
Hướng dẫn giải
Đáp số: 50.
Vì xác suất của biến cố “Chọn được số là hợp số” là \[0,7\] nên xác suất của biến cố “Chọn được số là số nguyên tố” là: \(1 - 0,7 = 0,3\).
Số phần tử trong tập hợp \(A\) là: \(15:0,3 = 50\) (phần tử).
Vậy tập hợp \[A\] có 50 phần tử.
Hướng dẫn giải
Đáp số: 18.
Ta thấy đường tròn ngoại tiếp hình vuông suy ra độ dài đường chéo hình vuông là đường kính của hình tròn.
Độ dài của đường chéo hình vuông là: \[d = 2R = 2 \cdot 3 = 6\,\,\left( {{\rm{cm}}} \right){\rm{.}}\]
Độ dài cạnh hình vuông là: \[a = \sqrt {\frac{{{d^2}}}{2}} = \sqrt {\frac{{{6^2}}}{2}} = 3\sqrt 2 \,\,\left( {{\rm{cm}}} \right){\rm{.}}\]
Diện tích hình vuông là: \[3\sqrt 2 \cdot 3\sqrt 2 = 18\,\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right){\rm{.}}\]
Vậy diện tích hình vuông là \[18{\rm{ c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}{\rm{.}}\]
Một chiếc nón ông già Noel thường gồm có ba phần: Hình trụ để làm đế nón, phần mũ chính là hình nón, trên đỉnh nón là quả bóng trắng có hình cầu và có các kích thước tương ứng như hình vẽ. Tính tổng diện tích phần vải để may nón, biết rằng chiều cao của đế nón bằng đường kính của quả bóng (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị với đơn vị\[{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}).\]
Hướng dẫn giải
Đáp số: 4678.
Diện tích vải để làm quả bóng trắng có hình cầu là: \[4\pi {R^2} = 4\pi .{\left( {\frac{7}{2}} \right)^2} = 49\pi \]\[{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}\]
Diện tích vải để làm đế nón hình trụ là: \[2\pi Rh = 2\pi .16.7 = 224\pi \]\[{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}\]
Độ dài cạnh \[OH\] là: \[45 - 7 - \frac{7}{2} = 34,5\,\,\left( {{\rm{cm}}} \right).\]
Độ dài cạnh \[OA\] là:\[\sqrt {O{H^2} + H{A^2}} = \sqrt {34,{5^2} + {{16}^2}} \approx 38\]\[{\rm{cm}}\]
Diện tích phần vải để làm phần mũ hình nón là: \[2\pi Rl = 2\pi .16.38 = 1216\pi \]\[{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}\]
Tổng diện tích phần vải để may nón: \[49\pi + 224\pi + 1216\pi = 1489\pi \approx 4678\,\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right)\].
1. Biểu đồ dưới đây biểu diễn tỉ lệ về cân nặng của các bạn học sinh lớp 9A (đơn vị: kg).
Biết rằng có 11 học sinh có cân nặng từ 50 kg đến dưới 55 kg.
a) Lập bảng tần số ghép nhóm tương ứng.
b) Bạn lớp trưởng cho rằng có trên 50% số học sinh của lớp có cân nặng từ 50 kg trở lên. Nhận định đó đúng hay sai? Tại sao?
2. Một hộp có 52 chiếc thẻ cùng loại, mỗi thẻ được ghi một trong các số \[1,{\rm{ }}2,{\rm{ }}3, \ldots ,{\rm{ }}51,{\rm{ }}52;\] hai thẻ khác nhau thì ghi hai số khác nhau. Rút ngẫu nhiên một thẻ trong hộp. Tìm số phần tử của tập hợp C gồm các kết quả có thể xảy ra đối với số xuất hiện trên thẻ được rút ra. Sau đó, hãy tính xác suất của mỗi biến cố “Số xuất hiện trên thẻ được rút ra là số khi chia cho 4 và 5 đều có số dư là 1”.
Hướng dẫn giải
1. a) Từ biểu đồ trên, ta có bảng tần số ghép nhóm tương ứng như sau:
b) Bạn lớp trưởng cho rằng có trên 50% số học sinh của lớp có cân nặng từ 50 kg trở lên. Nhận định đó đúng hay sai? Tại sao?
Vì có có 11 học sinh có cân nặng từ 50 kg đến dưới 55 kg. nên số học sinh của lớp đó là:
(học sinh).
Số học sinh từ là \(40 \cdot 15\% = 6\) (học sinh).
Số học sinh là \(40 \cdot 5\% = 2\) (học sinh).
Tổng số học sinh từ 50 kg trở lên là (học sinh).
Vậy nhận định đó là sai.
2. Không gian mẫu của phép thử là \[\Omega = \left\{ {1;2;3;...;52} \right\}\].
Do đó \[n\left( \Omega \right) = 52\].
Gọi \[B\] là biến cố “Số xuất hiện trên thẻ được rút ra là số khi chia cho 4 và 5 đều có số dư là 1”.
Ta có \[B = \left\{ {1;21;41} \right\}\] nên \[n\left( B \right) = 3\].
Xác suất của biến cố \[B\] là \[P\left( B \right) = \frac{{n\left( B \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{3}{{52}}\].
Cho đường tròn \(\left( {O\,;\,\,R} \right)\) và đường thẳng \(d\) không đi qua \(O\) cắt đường tròn tại hai điểm \(A,\,\,B\). Lấy một điểm \(M\) trên tia đối của tia \(BA\) kẻ hai tiếp tuyến \(MC,\,\,MD\) với đường tròn \(\left( {C,\,\,\,D} \right.\) là hai tiếp điểm). Gọi \(H\) là trung điểm của \(AB.\)
a) Chứng minh rằng \(M,\,\,D,\,\,O,\,\,H\) cùng nằm trên một đường tròn.
b) Đoạn \(OM\) cắt đường tròn tại \(I.\) Chứng minh rằng \(I\) là tâm đường tròn nội tiếp tam giác \(MCD.\)
c) Đường thẳng qua \(O,\) vuông góc với \(OM\) cắt các tia \(MC,\,\,MD\) theo thứ tự tại \(P,\,\,Q.\) Tìm vị trí của điểm \(M\) trên \(d\) sao cho diện tích tam giác \(MPQ\) nhỏ nhất.
Hướng dẫn giải
a)Vì \(MC,\,\,MD\) là tiếp tuyến của \(\left( {O\,;\,\,R} \right)\)\(\left( {C,\,\,\,D} \right.\) là hai tiếp điểm) nên \(MC \bot OC,\,\)\(\,MD \bot OD.\)
Suy ra \(\widehat {OCM} = \widehat {ODM} = 90^\circ \) nên \(C,\,\,D\) thuộc đường tròn đường kính \(OM\).
Vì \(H\) là trung điểm của \(AB\) và \(AB\) là dây của \(\left( {O\,;\,\,R} \right)\) nên \(OH \bot AB\).
Suy ra \(\widehat {OHM} = 90^\circ \) nên \(H\) thuộc đường tròn đường kính \(OM\).
Vậy \(M,\,\,D,\,\,O,\,\,H\) cùng nằm trên đường tròn đường kính \(OM\).
b) Vì \(MC,\,\,MD\) là tiếp tuyến của \(\left( {O\,;\,\,R} \right)\)\(\left( {C,\,\,\,D} \right.\) là hai tiếp điểm) nên \(MO\) là tia phân giác của \(\widehat {CMD}\) và \(OM\) là tia phân giác của \(\widehat {COD}.\)
Mặt khác, \(\widehat {MCI} = \widehat {CDI}\) (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn ).
và \(\widehat {CDI} = \widehat {DCI}\) (tam giác \(CDI\) cân tại \[I\,)\].
Suy ra \[\widehat {MCI} = \widehat {DCI}\] nên \[CI\] là tia phân giác của \(\widehat {MCD}\).
Ta có \(I\) là giao điểm hai đường phân giác trong của tam giác \(MCD\) nên \(I\) là tâm đường tròn nội tiếp tam giác \(MCD.\)
c) Ta có \({S_{MPQ}} = 2{S_{MPO}} = MP \cdot OC = \left( {MC + CP} \right) \cdot R\).
Mà \(MC + CP \ge 2\sqrt {MC.CP} = 2\sqrt {O{C^2}} = 2R\) nên \({S_{MPQ}} \ge 2{R^2}\).
Dấu xảy ra khi \(MC = CP = R\) hay \(OM = R\sqrt 2 \).
Vậy để diện tích tam giác \(MPQ\) nhỏ nhất thì \(M\)là giao điểm của \(\left( {O\,;\,\,R\sqrt 2 } \right)\) và đường thẳng \(d.\)
