Đề thi cuối kì 2 Toán 9 Kết nối tri thức cấu trúc mới có đáp án - Đề 3
20 câu hỏi
Cho hàm số \(y = - \frac{1}{2}{x^2}\). Kết luận nào sau đây là đúng?
Hàm số luôn nghịch biến.
Hàm số luôn đồng biến.
Giá trị của hàm số luôn âm.
Hàm số nghịch biến khi \(x > 0\) và đồng biến khi \(x < 0\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Hàm số \(y = - \frac{1}{2}{x^2}\)nghịch biến khi \(x > 0\) và đồng biến khi \(x < 0\).
Cho parabol \(\left( P \right):\,y\, = \,\frac{1}{2}{x^2}\) và đường thẳng \(\left( d \right):\,y\, = \,x\, - \,\frac{1}{2}\). Tọa độ giao điểm của đường thẳng \(\left( d \right)\) và parabol \(\left( P \right)\) là
\(\left( {1\,;\,\,\frac{1}{2}} \right)\).
\(\left( {1\,;\,\,2} \right)\).
\(\left( {\frac{1}{2}\,;\,\,\,1} \right)\).
\(\left( {2\,;\,\,\,1} \right)\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Hoành giao điểm của đường thẳng \(\left( d \right)\) và Parabol \(\left( P \right)\) là nghiệm của phương trình
\(\,\frac{1}{2}{x^2} = x - \frac{1}{2}\)
\({x^2} - 2x + 1 = 0\)
\({\left( {x - 1} \right)^2} = 0\)
\(x - 1 = 0\)
\(x = 1\)
Thay \(x = 1\) vào \(\left( d \right)\) ta được \(y\, = \,1\, - \,\frac{1}{2} = \frac{1}{2}\).
Tọa độ giao điểm của đường thẳng \(\left( d \right)\) và parabol \(\left( P \right)\) là: \(\left( {1\,;\,\,\frac{1}{2}} \right)\).
Phương trình nào dưới đây là phương trình bậc hai một ẩn?
\[\frac{1}{{{x^2}}} + 2026\,x + 2025 = 0\].
\({x^2} - 2025\,x + 2026 = 0\).
\({x^2} + 2026\,{x^3} + 2025 = 0\).
\({x^4} + 2026\,{x^2} - 2025 = 0\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Phương trình bậc hai một ẩn là phương trình có dạng \(a{x^2} + bx + c = 0,\) trong đó \(x\) là ẩn; \(a,\,\,b,\,\,c\) là những số cho trước gọi là hệ số và \(a \ne 0\).
Do đó, phương trình \({x^2} - 2025\,x + 2026 = 0\) là phương trình bậc hai một ẩn.
Hai số \(u,\,v\) có tổng và tích lần lượt là 32 và 231. Khi đó \(u\) và \(v\) là nghiệm của phương trình nào dưới đây?
\({x^2} - 231x - 32 = 0.\)
\({x^2} + 32x + 231 = 0.\)
\({x^2} - 32x + 231 = 0.\)
\({x^2} + 231x + 32 = 0.\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Vì \(u + v = 32\,;\,\,uv = 231\) nên \(u\) và \(v\) là nghiệm của phương trình \({x^2} - 32x + 231 = 0.\)
Cỡ mẫu là
số giá trị của mẫu dữ liệu.
dãy dữ liệu.
số lần xuất hiện một giá trị trong mẫu dữ liệu.
số lần xuất hiện một số giá trị trong mẫu dữ liệu.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Số giá trị của mẫu dữ liệu được gọi là cỡ mẫu.
Do đó ta chọn phương án A.
Bảng phân bố tần số sau đây ghi lại số vé không bán được trong 62 buổi chiếu phim:
Lớp | \[\left[ {0\,;\,\,5} \right)\] | \[\left[ {5\,;\,\,10} \right)\] | \[\left[ {10\,;\,\,15} \right)\] | \[\left[ {15\,;\,\,20} \right)\] | \[\left[ {20\,;\,\,25} \right)\] | \[\left[ {25\,;\,\,30} \right)\] |
Tần số | 3 | 8 | 15 | 18 | 12 | 6 |
Hỏi có bao nhiêu buổi chiếu phim có nhiều nhất 19 vé không bán được?
42.
43.
44.
45.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Tổng số buổi có nhiều nhất 19 vé không bán được là \(3 + 8 + 15 + 18 = 44\) (buổi).
Vậy có 44 buổi chiếu phim có nhiều nhất 19 vé không bán được.
Biểu đồ hình quạt tròn bên biểu diễn tỉ lệ người thuộc các nhóm máu ở Việt Nam. Hỏi số người thuộc nhóm máu nào ở Việt Nam chiếm tỉ lệ nhiều nhất?
Nhóm máu \(O\).
Nhóm máu \(B\).
Nhóm máu \(A\).
Nhóm máu \(AB.\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Ta có \(42\% > 30\% > 21\% > 7\% \) nên nhóm máu \(O\) có tỉ lệ nhiều nhất ở Việt Nam.
Một túi đựng 4 viên bi có cùng khối lượng và kích thước, được đánh số 1; 2; 3; 4. Lấy ngẫu nhiên hai viên bi từ trong túi. Số khả năng xảy ra của biến cố A là
3.
4.
5.
6.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Không gian mẫu là \(\Omega = \left\{ {\left( {1\,;\,\,2} \right)\,;\,\,\left( {1\,;\,\,3} \right)\,;\,\,\left( {1\,;\,\,4} \right)\,;\,\,\left( {2\,;\,\,3} \right)\,;\,\,\left( {2\,;\,\,4} \right)\,;\,\,\left( {3\,;\,\,4} \right)} \right\}\).
Gọi A là biến cố “tích hai số ghi trên hai viên bi lớn hơn 3”.
Có 4 khả năng xảy ra biến cố A là\(\,\left( {1\,;\,\,4} \right)\,;\,\,\left( {2\,;\,\,3} \right)\,;\,\,\left( {2\,;\,\,4} \right)\,;\,\,\left( {3\,;\,\,4} \right)\).
Góc nội tiếp là
góc có đỉnh thuộc đường tròn và hai cạnh là tiếp tuyến của đường tròn đó.
góc có đỉnh nằm trong đường tròn và hai cạnh chứa hai dây cung của đường tròn đó.
góc có đỉnh nằm ngoài đường tròn và hai cạnh là tiếp tuyến của đường tròn đó.
góc có đỉnh thuộc đường tròn và hai cạnh chứa hai dây cung của đường tròn đó.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Góc nội tiếp là góc có đỉnh thuộc đường tròn và hai cạnh chứa hai dây cung của đường tròn đó.
Đường tròn nội tiếp hình vuông cạnh \[a\] có bán kính là
\(a\sqrt 2 \).
\(\frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).
\(\frac{a}{2}\).
\(\frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Gọi \[O\] là tâm của hình vuông \[ABCD\].
Gọi \[E,\,\,F,\,\,K,\,\,G\] lần lượt là trung điểm của \[AD,{\rm{ }}DC,{\rm{ }}BC,{\rm{ }}AB.\]
Khi đó ta có \[OE = OF = OK = OG = \;\frac{a}{2}\] hay \[O\] là tâm đường tròn nội tiếp hình vuông \[ABCD\].
Vậy bán kính đường tròn nội tiếp hình vuông là \(R = \frac{a}{2}\).
Cho các hình vẽ sau:
Trong các hình trên, hình nào đang nội tiếp đường tròn?
Hình 1.
Hình 2.
Hình 3.
Hình 4.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Ta thấy trên hình 1, các điểm \[A,{\rm{ }}B,{\rm{ }}C,{\rm{ }}D\] đều nằm trên đường tròn \[\left( O \right)\] nên tứ giác \[ABCD\] trên hình 1 là tứ giác nội tiếp.
Một lục giác đều và một ngũ giác đều chung cạnh \[AD\] (như hình vẽ). Số đo góc \(BAC\) là
\(30^\circ \).
\(36^\circ \).
\(60^\circ \).
\(66^\circ \).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Theo công thức tính góc của đa giác đều, ta có:
\(\widehat {ADB} = \frac{{180^\circ \left( {6 - 2} \right)}}{6} = 120^\circ \).
Tam giác \[DBA\] cân tại \[D\] nên \(\widehat {DAB} = \frac{{180^\circ - 120^\circ }}{2} = 30^\circ \).
Tương tự, ta tính được \(\widehat {DAC} = 36^\circ \).
Vậy \(\widehat {BAC} = \widehat {DAB} + \widehat {DAC} = 30^\circ + 36^\circ = 66^\circ \).
Cho phương trình \(2{x^2} - 3x + 1 = 0.\)
Phương trình đã cho có hệ số \(a = 2\,;\,\,b = 3\,;\,\,c = 1.\)
Tổng các hệ số \(a,\,\,b,\,\,c\) là 0.
Phương trình đã cho có hai nghiệm đều dương.
Tích hai nghiệm của phương trình đã cho là 1.
Hướng dẫn giải
Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.
Xét phương trình \({x^2} - 6x + 5 = 0.\)
⦁ Phương trình đã cho có hệ số \(a = 2\,;\,\,b = - 3\,;\,\,c = 1.\) Do đó ý a) là sai.
⦁ Tổng các hệ số \(a,\,\,b,\,\,c\) là \(a + b + c = 2 + \left( { - 3} \right)\, + 1 = 0.\) Do đó ý b) là đúng.
⦁ Ta có \(a + b + c = 0\) nên phương trình có hai nghiệm \({x_1} = 1,\,\,{x_2} = \frac{1}{2}.\)
Khi đó, cả hai nghiệm của phương trình đã cho đều dương. Do đó ý c) là đúng.
⦁ Phương trình có hai nghiệm \({x_1} = 1,\,\,{x_2} = \frac{1}{2}.\)
Do đó, tích hai nghiệm của phương trình đã cho là \({x_1} + {x_2} = 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}\). Do đó ý d) là sai.
Một quầy hàng A đựng bắp rang bơ vào một loại hộp có dạng hình nón với kích thước như hình vẽ.
Quầy hàng B đựng bắp rang bơ vào một loại hộp có dạng hình trụ có đáy và chiều cao bằng với loại hộp hình nón mà quầy A đã dùng. Biết giá 1 hộp bắp rang bơ của quầy A và quầy B bán lần lượt là \[50\,\,000\] đồng và \[100\,\,000\] đồng.
Diện tích xung quanh của hình nón có bán kính đáy \(R\) và đường sinh \(l,\) được tính bằng công thức: \({S_{xq}} = \pi \cdot {R^2} \cdot l.\)
Độ dài đường sinh là \[l = 5\sqrt 3 \,\,{\rm{cm}}\,.\]
Diện tích xung quanh của hộp đựng bắp rang bơ là \[\frac{{1125\sqrt 3 }}{4}\pi \,\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}.\]
Bạn An nên mua bắp rang bơ ở quầy B để có lợi hơn.
Hướng dẫn giải
Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.
⦁Thể tích hình nón có bán kính đáy \(R\) và đường sinh \(l,\) được tính bằng công thức: \({S_{xq}} = \pi \cdot R \cdot l.\)
Do đó ý a) là sai.
⦁Độ dài đường sinh là \[l = \sqrt {{{15}^2} - 7,{5^2}} = 5\sqrt 3 .\] Do đó ý b) là đúng.
⦁Diện tích xung quanh của hộp đựng bắp rang bơ là: \({S_{x{q_1}}} = \pi \cdot 7,5 \cdot \frac{{15\sqrt 3 }}{3} = \frac{{75\sqrt 3 }}{2}\pi \,\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right).\)
Do đó ý c) là sai.
⦁Diện tích xung quanh hình trụ là: \({S_{x{q_2}}} = 2\pi \cdot 7,5 \cdot 15 = 225\pi \,\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right)\)
Ta thấy diện tích xung quanh hình trụ lớn hơn diện tích xung quanh hình nón.
Mặt khác giá 1 hộp bắp rang bơ của quầy A và quầy B bán lần lượt là \[50\,\,000\] đồng và \[100\,\,000\] đồng.
Do đó, bạn An nên mua bắp rang bơ ở quầy B để có lợi hơn.
Một ô tô khách và một ô tô tải chở vật liệu xây dựng khởi hành cùng một lúc từ bến xe khách Lai Châu đến trung tâm thị trấn Mường Tè. Do trọng tải lớn nên xe tải chở vật liệu xây dựng đi với vận tốc chậm hơn xe khách \(10\,\,{\rm{km/h}}.\) Xe khách đến trung tâm thị trấn Mường Tè sớm hơn xe tải 1 giờ 6 phút. Biết quãng đường từ bến xe khách thành phố Lai Châu đến trung tâm thị trấn Mường Tè là \[132\,\,{\rm{km}}.\]Tính vận tốccủa xe tải (theo đơn vị \({\rm{km/h}})\).
Hướng dẫn giải
Đáp số: 30.
Gọi vận tốc của xe tải là \(x\,\,({\rm{km/h}})\,\,\,\left( {x > 0} \right).\)
Khi đó, vận tốc của xe khách là \(x\, + \,10\,\,({\rm{km/h}}).\)
Thời gian đi hết quãng đường của xe tải là \(\frac{{132}}{x}\) (giờ) và của xe khách là \(\frac{{132}}{{x + 10}}\) (giờ).
Đổi 1 giờ 6 phút \( = \,\frac{{11}}{{10}}\) giờ.
Vì xe khách đi nhanh hơn xe tải 1 giờ 6 phút nên ta có phương trình:
\(\frac{{132}}{x} - \frac{{132}}{{x + 10}} = \frac{{11}}{{10}}\)
\(\frac{{12}}{x} - \frac{{12}}{{x + 10}} = \frac{1}{{10}}\)
\(120\left( {x + 10} \right) - 120x = x\left( {x + 10} \right)\)
\(120x + 1200 - 120x = {x^2} + 10x\)
\[{x^2} + 10x - 1200 = 0\]
\(x = 30\) (TMĐK) hoặc \[{\rm{\;}}x = - 40\] (loại).
Vậy vận tốc của xe tải là \(30\,\,{\rm{km/h}}{\rm{.}}\)
Một hộp chứa 4 tấm thẻ cùng loại được đánh số Bạn Khuê và bạn Hương lần lượt mỗi người lấy ra 1 tấm thẻ từ hộp. Tính xác suất của biến cố \(A:\) “Số ghi trên tấm thẻ của bạn Khuê nhỏ hơn số ghi trên tấm thẻ của bạn Hương” (viết kết quả dưới dạng số thập phân).
Hướng dẫn giải
Đáp số: \(0,5\).
Không gian mẫu của phép thử là:
\[\Omega = \left\{ {\left( {1\,;\,\,4} \right)\,;\,\,\left( {1\,;\,\,7} \right)\,;\,\,\left( {1\,;\,\,9} \right)\,;\,\,\left( {4\,;\,\,1} \right)\,;\,\left( {4\,;\,\,7} \right)\,;\,\left( {4\,;\,\,9} \right)\,;\,\left( {7\,;\,\,1} \right)\,;\,\left( {7\,;\,\,4} \right)\,;\,\left( {7\,;\,\,9} \right)\,;\,\left( {9\,;\,\,1} \right)\,;\,\left( {9\,;\,\,4} \right)\,;\,\left( {9\,;\,\,7} \right)} \right\}\].
Tập có 12 phần tử.
Vì bạn Khuê và Hương lần lượt mỗi người lấy ra ngẫu nhiên một tấm thẻ từ hộp nên các kết quả có thể trên là đồng khả năng.
Xét biến cố \(A:\) “Số ghi trên tấm thẻ của bạn Khuê nhỏ hơn số ghi trên tấm thẻ của bạn Hương”.
Có 6 kết quả thuận lợi cho biến cố là \[\Omega = \left\{ {\left( {1\,;\,\,4} \right)\,;\,\,\left( {1\,;\,\,7} \right)\,;\,\,\left( {1\,;\,\,9} \right)\,;\,\left( {4\,;\,\,7} \right)\,;\,\left( {4\,;\,\,9} \right);\,\,\left( {7\,;\,\,9} \right)} \right\}\].
Vậy xác suất của biến cố \(A\) là: \(\frac{6}{{12}} = \frac{1}{2} = 0,5.\)
Một trang trại nuôi gia súc có dạng hình tam giác đều cạnh 150 m (như hình vẽ). Người ta muốn đặt một trụ đèn cao áp tại một điểm cách đều ba đỉnh của tam giác đều. Tính khoảng cách từ điểm đó đến ba đỉnh của tam giác (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).
Hướng dẫn giải
Đáp số: 86,6.
Gọi \[O\] là vị trí cần đặt đèn. Gọi \[A,\,\,B,\,\,C\] là ba đỉnh của tam giác đều (như hình vẽ).
Vì \[O\] cách đều ba đỉnh \[A,\,\,B,\,\,C\] của tam giác đều \[ABC\] nên \[O\] là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \[ABC.\]
Suy ra khoảng cách từ vị trí \[O\] đến mỗi vị trí \[A,\,\,B,\,\,C\] là bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác đều \[ABC.\]
Do đó \[OA = OB = OC = \frac{{\sqrt 3 }}{3} \cdot 150 = 50\sqrt 3 \approx 86,6\,\,\left( {\rm{m}} \right).\]
Vậy khoảng cách từ vị trí đặt đèn \[O\]đến ba đỉnh của tam giác đều \[ABC\] bằng khoảng \[86,6{\rm{ m}}.\]
Hướng dẫn giải
Đáp số: 20.
Thể tích khối \(\left( {{H_1}} \right)\) là \[{V_1} = \pi r_1^2{h_1}\].
Thể tích khối \(\left( {{H_2}} \right)\) là \[{V_2} = \pi r_2^2{h_2} = \pi \frac{1}{4}r_1^22{h_1} = \frac{1}{2}\pi r_1^2{h_1} = \frac{1}{2}{V_1}\].
Mà \[{V_1} + {V_2} = 30\] nên \[{V_1} + \frac{1}{2}{V_1} = 30\].
Do đó \[\frac{3}{2}{V_1} = 30\] hay \[{V_1} = 20\,\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}.\]
Vậy thể tích của khối \(\left( {{H_1}} \right)\) là \(20{\rm{ c}}{{\rm{m}}^3}.\)
1. Bạn Hoa được cô yêu cầu ghi lại thời gian chạy 1000 m của các bạn trong lớp (đơn vị: giây):
\[4:08\] | \[4:00\] | \[4:16\] | \[4:12\] | \[5:11\] | \[4:52\] | \[4:12\] | \[4:30\] | \[4:37\] |
\[5:12\] | \[5:00\] | \[5:17\] | \[5:14\] | \[4:13\] | \[4:22\] | \[4:02\] | \[4:05\] | \[5:42\] |
\[4:39\] | \[5:32\] | \[5:11\] | \[4:40\] | \[4:05\] | \[5:02\] | \[4:27\] | \[4:50\] | \[4:23\] |
\[5:48\] | \[5:22\] | \[4:37\] | \[4:23\] | \[5:00\] | \[5:18\] | \[5:17\] | \[4:49\] | \[5:12\] |
a) Để thu gọn bảng dữ liệu trên thì nên chọn bảng tần số không ghép nhóm hay tần số ghép nhóm để biểu thị dữ liệu? Tại sao?
b) Hãy chia số liệu làm 4 nhóm trong đó nhóm đầu tiên là \[4:00\] đến dưới \[4:30\]; lập bảng tần số và tần số tương đối ghép nhóm (làm tròn đến hàng đơn vị).
2. Viết ngẫu nhiên một số tự nhiên có hai chữ số nhỏ hơn 100.
Tính xác suất của mỗi biến cố \[A:\] “Số tự nhiên được viết ra là số tròn chục”.
Hướng dẫn giải
1. a) Để thu gọn bảng dữ liệu trên thì nên chọn bảng tần số ghép nhóm để biểu thị dữ liệu. Vì vì số liệu đang ở dạng ở số thực và có phân bố không đều nhau.
b) Hãy chia số liệu làm 4 nhóm trong đó nhóm đầu tiên là \[4:00\] đến dưới \[4:30\]; lập bảng tần số và tần số tương đối ghép nhóm (làm tròn đến hàng đơn vị).
Ta có bảng tần số ghép nhóm như sau:
Nhóm | \[{\rm{[}}4:00\,;\,\,4:30)\] | \[\left[ {4:30\,;\,\,5:00} \right)\] | \[\left[ {{\rm{5}}:00\,;\,\,5:30} \right)\] | \[\left[ {{\rm{5}}:30\,;\,\,6:00} \right)\] |
Số học sinh | \[13\] | \[8\] | \[12\] | \[3\] |
Tổng số học sinh trong lớp là \(n = 13 + 8 + 12 + 3 = 36\).
Tỉ lệ thời gian học sinh chạy \[1000{\rm{ m}}\] từ \[4:00\] đến dưới \[4:30\] là \(\frac{{13}}{{36}} \approx 36,1\% \);
từ \[4:30\] đến dưới \[5:00\] là \(\frac{8}{{36}} \approx 22,2\% \);
từ \[5:00\] đến dưới\[5:30\] là \(\frac{{12}}{{36}} \approx 33,3\% \);
từ \[5:30\] đến dưới \[6:00\] là:
\(100\% - 36,1\% - 22,2\% - 33,3\% \approx 8,4\% \).
Ta có bảng tần số tương đối ghép nhóm như sau:
Nhóm | \[{\rm{[}}4:00\,;\,\,4:30)\] | \[\left[ {4:30\,;\,\,5:00} \right)\] | \[\left[ {{\rm{5}}:00\,;\,\,5:30} \right)\] | \[\left[ {{\rm{5}}:30\,;\,\,6:00} \right)\] |
Số học sinh | \(36,1\% \) | \(22,2\% \) | \(33,3\% \) | \(8,4\% \) |
2. Tập hợp \(\Omega = \left\{ {10\,;\,\,11\,;\,\,12\,;\,\,13\,;\,\,14\,;\,\,15\,;\,\,16\,;\,\, \ldots \,;\,\,95\,;\,\,96\,;\,\,97\,;\,\,98\,;\,\,99} \right\}.\)
Số phần tử của tập hợp \(\Omega \)là \(n\left( \Omega \right) = 90\).
Xét biến cố \[A:\] “Số tự nhiên được viết ra là số tròn chục”.
\(A = \left\{ {10\,;\,\,20\,;\,\,30\,;\,\,40\,;\,\,50\,;\,\,60\,;\,\,70\,;\,\,80\,;\,\,90} \right\}\).
Khi đó, số phần tử của tập hợp \(A\)là \(n\left( A \right) = 9\).
Xác suất của biến cố \(A\)là \(p(A) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{9}{{90}} = 0,1\).
Cho đường tròn \[\left( O \right)\] đường kính \[AB.\] Gọi \[H\] là điểm nằm giữa \[O\] và \[B.\] Kẻ dây \[CD\] vuông góc với \[AB\] tại \[H.\] Trên cung nhỏ \[AC\] lấy điểm \[E\] bất kỳ \[\left( E \right.\] khác \[A\] và \[\left. C \right).\] Kẻ \[CK\] vuông góc với \[AE\] tại \[K.\] Đường thẳng \[DE\] cắt \[CK\] tại \[F.\]
a) Chứng minh tứ giác \[AHCK\] là tứ giác nội tiếp.
b) Chứng minh \[KH\] song song với \[ED\] và tam giác \[ACF\] là tam giác cân.
c) Tìm vị trí của điểm \[E\] để diện tích tam giác \[ADF\] lớn nhất.
Hướng dẫn giải
a) Vì \(CK \bot AK\) nên \(\widehat {AKC} = 90^\circ .\)Vì \(CH \bot AB\) tại \[H\] nên \(\widehat {AHC} = 90^\circ .\)
Gọi \(I\)là trung điểm \(AC\).
\(\Delta AKC\)có \(KI\) là trung tuyến ứng với cạnh huyền \(AC\) nên \(KI = OA = OC = \frac{1}{2}AC.\)
\(\Delta AHC\) có \(HI\) là trung tuyến ứng với cạnh huyền\(AC\) nên \(HI = IA = IC = \frac{1}{2}AC.\)
Do đó \(IA = IK = IC = IH.\)
Vậy bốn điểm \(A,\,\,H,\,\,C,\,\,K\) cùng nằm trên cùng một đường tròn tâm \(I\) hay tứ giác \[AHCK\] nội tiếp.
b) Vì \[AHCK\] là tứ giác nội tiếp nên \(\widehat {CHK} = \widehat {CAK} = \widehat {CAE}\) (góc nội tiếp cùng chắn cung \[KC).\]
Lại có \[ADCE\]nội tiếp nên \(\widehat {CAE} = \widehat {CDE}\) (góc nội tiếp cùng chắn cung \[EC).\]
Từ đó suy ra \(\widehat {CHK} = \widehat {CDE}\) nên\(HK\,{\rm{//}}\,DE\) (đpcm).
Do \(HK\,{\rm{//}}\,DE\), mà \[H\] là trung điểm \[CD\] (quan hệ vuông góc của đường kính \[AB\] với dây \[CD\] tại \[H).\]
Suy ra \[HK\] là đường trung bình của tam giác \[CDF\] nên\[K\] là trung điểm \[FC\].
Tam giác \[AFC\] có \[AK\] là đường cao đồng thời cũng là trung tuyến.
Do đó tam giác \[CAF\]là tam giác cân tại \[K\] (đpcm).
c) Tam giác \[FAC\] cân tại \[A\] nên \[AF = AC.\]
Dễ thấy tam giác \[ACD\]cân tại \[A\] nên \[AC = AD\].
Từ đó suy ra \[AF = AD\] hay tam giác \[AFD\] cân tại \[A\], hạ \[DI \bot AF\] .
Ta có \({S_{AFD}} = \frac{1}{2}DI \cdot AF = \frac{1}{2}DI \cdot AC\).
Do \[AC\] không đổi nên \({S_{AFD}}\) lớn nhất khi và chỉ khi \[DI\] lớn nhất.
Trong tam giác vuông \[AID\] ta có:
\(ID \le AD = AC\) hay \({S_{AFD}} = \frac{1}{2}DI \cdot AF = \frac{1}{2}DI \cdot AC \le \frac{{A{C^2}}}{2}\).
Dấu xảy ra khi và chỉ khi \(I \equiv A\), khi đó \[\widehat {DAF} = 90^\circ \] nên tam giác \[ADF\] vuông cân tại \[A\], suy ra \(\widehat {EBA} = \widehat {EDA} = 45^\circ \) hay \[E\] là điểm chính giữa cung \[AB.\]
Vậy để diện tích tam giác \[ADF\] lớn nhất thì \[E\] là điểm chính giữa cung \[AB.\]
