Đề thi cuối kì 1 Toán 12 Kết nối tri thức cấu trúc mới (có tự luận) có đáp án - Đề 5
21 câu hỏi
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau
Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
\(\left( {1; + \infty } \right)\).
\(\left( {0;1} \right)\).
\(\left( { - 1;0} \right)\).
\(\left( {0; + \infty } \right)\).
Dựa vàobảng biến thiên hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( {0;1} \right)\). Chọn B.
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị như hình bên.
Giá trị lớn nhất của hàm số \(y = f\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ { - 1;2} \right]\).
\(1\).
\(2\).
\(5\).
\(0\).
\(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;2} \right]} f\left( x \right) = 5\). Chọn C.
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ
Đồ thị hàm số đã cho có bao nhiêu đường tiệm cận?
\(4\).
\(2\).
\(1\).
\(3\).
Dựa vào đồ thị ta có \(x = 2;x = - 2\) là tiệm cận đứng, \(y = - 1;y = 1\) là tiệm cận ngang.
Có tất cả 4 đường tiệm cận. Chọn A.
Đường cong trong hình là đồ thị của hàm số nào dưới đây?
\(y = \frac{{{x^2} - 2x - 3}}{{x - 2}}\).
\(y = \frac{{{x^2} - 2x}}{{x + 1}}\).
\(y = \frac{{{x^2} + 3x}}{{x - 2}}\).
\(y = \frac{{{x^2} + 2x + 2}}{{x + 1}}\).
Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là \(x = - 1\).
Đồ thị hàm số cắt trục \(Oy\) tại điểm \(\left( {0;2} \right)\). Do đó \(y = \frac{{{x^2} + 2x + 2}}{{x + 1}}\). Chọn D.
Hàm số nào đồng biến trên \(\mathbb{R}\) trong các hàm số dưới đây.
\(y = {x^4}\).
\(y = {x^3} + 2x\).
\(y = {x^2} + x + 1\).
\(y = - 3x + 2\).
Xét hàm số \(y = {x^3} + 2x\).
Có \(y' = 3{x^2} + 2 > 0,\forall x \in \mathbb{R}\). Do đó hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\). Chọn B.
Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = \frac{{2x - 1}}{{2x + 4}}\) là
\(x = - 2\).
\(x = 1\).
\(y = 1\).
\(y = - 2\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{2x - 1}}{{2x + 4}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{2 - \frac{1}{x}}}{{2 + \frac{4}{x}}} = 1\).
Suy ra \(y = 1\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. Chọn C.
Cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\).
Khẳng định nào sau đây sai?
\(\left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \left| {\overrightarrow {D'C'} } \right|\).
\(\left| {\overrightarrow {AB} } \right| + \left| {\overrightarrow {AD} } \right| = \left| {\overrightarrow {A'C'} } \right|\).
\(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} = \overrightarrow {AC'} \).
\(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BB'} = \overrightarrow {AC'} \).
\(\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} } \right| = \left| {\overrightarrow {A'C'} } \right|\). Chọn B.
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), giả sử \(\overrightarrow {OM} = 2\overrightarrow i + 3\overrightarrow j - \overrightarrow k \). Khi đó tọa độ điểm \(M\) là
\(\left( { - 2;3;1} \right)\).
\(\left( {2; - 3; - 1} \right)\).
\(\left( {2;3; - 1} \right)\).
\(\left( {2;3;1} \right)\).
\(\overrightarrow {OM} = 2\overrightarrow i + 3\overrightarrow j - \overrightarrow k \) \( \Rightarrow M\left( {2;3; - 1} \right)\). Chọn C.
Trong không gian \(Oxyz\), cho điểm \(A\left( {1;2; - 3} \right)\). Hình chiếu vuông góc của \(A\) lên mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) có tọa độ là
\(\left( {0;2; - 3} \right)\).
\(\left( {1;0; - 3} \right)\).
\(\left( {1;2;0} \right)\).
\(\left( {1;0;0} \right)\).
Hình chiếu vuông góc của \(A\) lên mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) là \(\left( {1;2;0} \right)\). Chọn C.
Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\), cho hai vectơ \(\overrightarrow a = \left( {2;1;0} \right)\) và \(\overrightarrow b = \left( { - 1;0;2} \right)\). Tính \(\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)\)
\(\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = - \frac{2}{{25}}\).
\(\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = - \frac{2}{5}\).
\(\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \frac{2}{{25}}\).
\(\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \frac{2}{5}\).
\(\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \frac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}}\)\[ = \frac{{2.\left( { - 1} \right) + 1.0 + 0.\left( { - 2} \right)}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {0^2}} .\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {0^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = \frac{{ - 2}}{5}\]. Chọn B.
Cho mẫu số liệu ghép nhóm thời gian sử dụng internet trong 1 tuần (giờ) của 20 học sinh như sau
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm trên bằng
30.
29.
25.
8.
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm trên bằng \(25 - 0 = 25\). Chọn C.
Cân nặng của một số quả mít trong một khu vườn được thống kê ở bảng sau
Hãy tính phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm trên (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
18,04.
6,40.
8,72.
2,53.
Ta có bảng sau
Cân nặng trung bình của quả mít là \(\overline x = \frac{{8.5 + 12.7 + 17.9 + 5.11 + 8.13}}{{8 + 12 + 17 + 5 + 8}} = 8,72\).
Phương sai \({s^2} = \frac{{8.{{\left( {5 - 8,72} \right)}^2} + 12.{{\left( {7 - 8,72} \right)}^2} + 17.{{\left( {9 - 8,72} \right)}^2} + 5.{{\left( {11 - 8,72} \right)}^2} + 8.{{\left( {13 - 8,72} \right)}^2}}}{{8 + 12 + 17 + 5 + 8}} \approx 6,40\). Chọn B.
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho tam giác \(ABC\) có \(A\left( {1; - 1;0} \right),B\left( { - 2;5;3} \right),C\left( {3;4;9} \right)\).
(a) Tọa độ trọng tâm \(G\) của tam giác \(ABC\) là \(G\left( {\frac{2}{3};\frac{4}{3};4} \right)\).
(b) Đoạn \(AB\) cắt mặt phẳng \(\left( {Oxz} \right)\) tại điểm \(M\left( {a;b;c} \right)\). Khi đó \(a + b + c = 6\).
(c) Tọa độ vectơ \(\overrightarrow {AB} = \left( {3; - 6; - 3} \right)\).
(d) Với điểm \(D\left( {6; - 2;6} \right)\) thì tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành.
a) Ta có \(G\left( {\frac{{1 - 2 + 3}}{3};\frac{{ - 1 + 5 + 4}}{3};\frac{{0 + 3 + 9}}{3}} \right)\)\( \Rightarrow G\left( {\frac{2}{3};\frac{8}{3};4} \right)\).
b) \(M \in \left( {Oxz} \right) \Rightarrow M\left( {a;0;c} \right)\).
Có \(\overrightarrow {AM} = \left( {a - 1;1;c} \right),\overrightarrow {AB} = \left( { - 3;6;3} \right)\)
Theo đề ta có \(\overrightarrow {AM} \) và \(\overrightarrow {AB} \) cùng phương \( \Rightarrow \frac{{a - 1}}{{ - 3}} = \frac{1}{6} = \frac{c}{3}\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{1}{2}\\c = \frac{1}{2}\end{array} \right.\).
Do đó \(a + b + c = \frac{1}{2} + 0 + \frac{1}{2} = 1\).
c) \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 3;6;3} \right)\).
d) Giả sử \(D\left( {x;y;z} \right)\). Ta có \(\overrightarrow {DC} = \left( {3 - x;4 - y;9 - z} \right)\).
Để \(ABCD\) là hình bình hành thì \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3 - x = - 3\\4 - y = 6\\9 - z = 3\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 6\\y = - 2\\z = 6\end{array} \right. \Rightarrow D\left( {6; - 2;6} \right)\).
Đáp án: a) Sai; b) Sai; c) Sai; d) Đúng.
Kết quả đo chiều cao (đơn vị: cm) của 25 học sinh nam lớp 12 ở một trường THPT được biểu diễn bởi mẫu số liệu ghép nhóm ở bảng sau:
( a) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là \(R = 5\) cm.
(b) Giá trị đại diện của nhóm \(\left[ {155;160} \right)\) là 158.
(c) Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm trên là \(s = 29,84\).
(d) Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là 167,9.
a) Khoảng biến thiên \(R = 180 - 155 = 25\).
b) Giá trị đại diện của nhóm \(\left[ {155;160} \right)\) là \(\frac{{155 + 160}}{2} = 157,5\).
c) d)
Chiều cao trung bình của mẫu số liệu là \(\overline x = \frac{{2.157,5 + 5.162,5 + 10.167,5 + 5.172,5 + 3.177,5}}{{25}} = 167,9\).
Phương sai: \[{s^2} = \frac{1}{{25}}\left[ \begin{array}{l}2.{\left( {157,5 - 167,9} \right)^2} + 5.{\left( {162,5 - 167,9} \right)^2} + 10.{\left( {167,5 - 167,9} \right)^2}\\ + 5.{\left( {172,5 - 167,9} \right)^2} + 3.{\left( {177,5 - 167,9} \right)^2}\end{array} \right] = 29,84\].
Độ lệch chuẩn: \(s = \sqrt {29,84} \approx 5,46\).
Đáp án: a) Sai; b) Sai; c) Sai; d) Đúng.
Cho hàm số \(y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}\) có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Gọi \(I\left( {m;n} \right)\) là tâm đối xứng của đồ thị hàm số đã cho. Giá trị của \(m + n\) bằng bao nhiêu?
Dựa vào đồ thị hàm số ta có \(I\left( { - 1;2} \right)\) là tâm đối xứng.
Suy ra \(m = - 1;n = 2\). Do đó \(m + n = 1\).
Trả lời: \(1\).
Trong không gian \(Oxyz\), cho hai vectơ \(\overrightarrow a = \left( {1; - 3;1} \right),\overrightarrow b = \left( { - 1;1;2} \right)\). Giá trị của tích vô hướng \(\overrightarrow a .\overrightarrow b \) bằng bao nhiêu?
Ta có \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = 1.\left( { - 1} \right) + \left( { - 3} \right).1 + 1.2 = - 2\).
Trả lời: \( - 2\).
Cho tứ diện đều \(ABCD\) có cạnh bằng 12. Biết độ dài của \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} \) bằng \(a\sqrt 6 \). Tìm \(a\).
Ta có \({\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} } \right)^2} = {\overrightarrow {AB} ^2} + {\overrightarrow {AC} ^2} + {\overrightarrow {AD} ^2} + 2.\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} + 2.\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AD} + 2\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} \)
\( = {\overrightarrow {AB} ^2} + {\overrightarrow {AC} ^2} + {\overrightarrow {AD} ^2} + 2.\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) + 2.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|.\left| {\overrightarrow {AD} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AD} } \right) + 2\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AD} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} } \right)\)
\( = {12^2} + {12^2} + {12^2} + 2.12.12.\cos 60^\circ + 2.12.12.\cos 60^\circ + 2.12.12.\cos 60^\circ \)\( = 864\).
Suy ra \(\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} } \right| = 12\sqrt 6 \). Do đó \(a = 12\).
Trả lời: \(12\).
Điều tra về độ tuổi của 200 cư dân trong một khu phố (đơn vị: độ tuổi) được kết quả cho trong bảng sau:
Tìm khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu trên (kết quả làm tròn đến hàng phần chục).
Cỡ mẫu \(n = 17 + 32 + 40 + 48 + 50 + 10 + 2 + 1 = 200\) .
Gọi \({x_1};{x_2};...;{x_{200}}\) là độ tuổi của 200 cư dân được sắp theo thứ tự không giảm.
Ta có \({Q_1} = \frac{{{x_{50}} + {x_{51}}}}{2}\) mà \({x_{50}};{x_{51}} \in \left[ {30;40} \right)\) nên nhóm này chứa tứ phân vị thứ nhất.
\({Q_1} = 30 + \frac{{\frac{{200}}{4} - 49}}{{40}}.10 = 30,25\) .
Ta có \({Q_3} = \frac{{{x_{150}} + {x_{151}}}}{2}\) mà \({x_{150}};{x_{151}} \in \left[ {50;60} \right)\) nên nhóm này chứa tứ phân vị thứ ba.
\({Q_3} = 50 + \frac{{\frac{{3.200}}{4} - 137}}{{50}}.10 = 52,6\) .
Khoảng tứ phân vị \({\Delta _Q} = 52,6 - 30,25 \approx 22,4\) .
Trả lời: \(22,4\) .
Cho một tấm nhôm hình lục giác đều cạnh 100 cm. Người ta cắt ở mỗi đỉnh của tấm nhôm hai hình tam giác vuông bằng nhau, biết cạnh góc vuông nhỏ bằng \(x\) cm (cắt phần tô đậm của tấm nhôm) rồi gập tấm nhôm như hình vẽ để được một hình lăng trụ lục giác đều không có nắp. Tìm \(x\) để thể tích của khối lăng trụ lục giác đều trên là lớn nhất (đơn vị cm).
Điều kiện \(0 < x < 50\).
Cạnh đáy của lăng trụ lục giác đều \(AB = HK = 100 - 2x\).
Chiều cao của lăng trụ lục giác đều \(HA = MH.\tan 60^\circ = x\sqrt 3 \).
Diện tích đáy của hình lăng trụ lục giác đều \({S_{ABCDEF}} = 6{S_{ABO}} = 6.\frac{{\sqrt 3 }}{4}{\left( {100 - 2x} \right)^2}\).
Thể tích của khối lăng trụ lục giác đều: \(V\left( x \right) = HA.{S_{ABCDEF}} = \frac{9}{2}x{\left( {100 - 2x} \right)^2}\).
Ta có \(V\left( x \right) = 18{x^3} - 1800{x^2} + 45000x\).
Xét hàm số \(V\left( x \right) = 18{x^3} - 1800{x^2} + 45000x\) trên khoảng \(\left( {0;50} \right)\).
Ta có \(V'\left( x \right) = 54{x^2} - 3600x + 45000 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{50}}{3}\\x = 50\end{array} \right.\).
Vì \(x \in \left( {0;50} \right)\) nên \(x = \frac{{50}}{3}\).
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên ta có thể tích của khối lăng trụ lục giác đều lớn nhất khi và chỉ khi \(x = \frac{{50}}{3}\)cm.
Bạn An đang nằm nghe nhạc trong phòng hình hộp chữ nhật, sàn nhà là hình vuông cạnh bằng 4 m, chiều cao của phòng là 3,2 m và phát hiện ra hai con nhện đang chăng tơ trong căn phòng của An, hai con nhện luôn di chuyển trên hai đường thẳng khác nhau. Giả sử căn phòng được mô hình hóa là hình hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\) với \(ABCD\) là nền phòng của An thì con nhện thứ nhất được coi như điểm \(E\)di chuyển trên đường dây tơ nối từ đỉnh \(A\) đến trung điểm \(M\) của \(CC'\), còn con nhện thứ hai được coi như điểm \(F\) di chuyển trên đường dây tơ nối từ \(D'\) đến tâm \(I\) của mặt \(ABB'A'\). Tính khoảng cách giữa hai con nhện khi đường thẳng đi qua hai con nhện vuông góc với trần nhà (đơn vị mét).
Gắn hệ trục \(Oxyz\) như hình vẽ.
Ta có \(A\left( {0;0;0} \right),A'\left( {0;0;3,2} \right),M\left( {4;4;1,6} \right),D'\left( {0;4;3,2} \right),I\left( {2;0;1,6} \right)\) .
Gọi \(E\left( {x;y;z} \right),F\left( {m;n;p} \right)\) .
Giả sử \(\overrightarrow {AE} = a\overrightarrow {AM} \)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 4a\\y = 4a\\z = 1,6a\end{array} \right. \Rightarrow E\left( {4a;4a;1,6a} \right)\) .
\(\overrightarrow {D'F} = b\overrightarrow {D'I} \)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 2b\\n - 4 = - 4b\\p - 3,2 = - 1,6b\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 2b\\n = 4 - 4b\\p = 3,2 - 1,6b\end{array} \right.\)\( \Rightarrow F\left( {2b;4 - 4b;3,2 - 1,6b} \right)\) .
Ta có \(\overrightarrow {EF} = \left( {2b - 4a;4 - 4b - 4a;3,2 - 1,6b - 1,6a} \right)\) , \(\overrightarrow {AA'} = \left( {0;0;3,2} \right)\) .
Đường thẳng đi qua hai con nhện vuông góc với trần nhà thì \(\overrightarrow {EF} \) cùng phương với \(\overrightarrow {AA'} \) nên
\(\left\{ \begin{array}{l}2b - 4a = 0\\4 - 4b - 4a = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{1}{3}\\b = \frac{2}{3}\end{array} \right.\) . Khi đó \(\overrightarrow {EF} = \left( {0;0;1,6} \right) \Rightarrow EF = 1,6\) .
Vậy khoảng cách giữa hai con nhện bằng 1,6 m.
Cho hàm số \(y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\) đạt cực trị tại các điểm \({x_1};{x_2}\) với \({x_1} \in \left( { - 1;0} \right),{x_2} \in \left( {1;2} \right)\). Biết hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {{x_1};{x_2}} \right)\). Đồ thì hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ âm. Xác định dấu của các hệ số \(a,b,c,d\).
Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm \(\left( {0;d} \right)\) có tung độ âm nên \(d < 0\).
Có \(y' = 3a{x^2} + 2bx + c = 0\) có hai nghiệm \({x_1};{x_2}\).
Vì hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {{x_1};{x_2}} \right)\) nên \(a < 0\).
Vì \({x_1} \in \left( { - 1;0} \right),{x_2} \in \left( {1;2} \right)\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} > 0\\{x_1}{x_2} < 0\end{array} \right.\).
Mà \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - \frac{{2b}}{{3a}}\\{x_1}{x_2} = \frac{c}{{3a}}\end{array} \right.\)\[ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} - \frac{{2b}}{{3a}} > 0\\\frac{c}{{3a}} < 0\end{array} \right.\]\[ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}b > 0\\c > 0\end{array} \right.\] (do \(a < 0\)).
Vậy \(a < 0;b > 0;c > 0;d < 0\).
