Đề thi cuối kì 1 Toán 12 Kết nối tri thức cấu trúc mới (có tự luận) có đáp án - Đề 4
21 câu hỏi
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng biến thiên sau
Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào sau đây
\(\left( { - 3; + \infty } \right)\).
\(\left( {1; + \infty } \right)\).
\(\left( { - 3;1} \right)\).
\(\left( { - \infty ;1} \right)\).
Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\). Chọn B.
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau
Trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\) giá trị lớn nhất của hàm số đã cho bằng
\(3\).
\( - 2\).
\( - 1\).
\(2\).
\(\mathop {\max }\limits_{\left( {0; + \infty } \right)} f\left( x \right) = f\left( 2 \right) = 3\). Chọn A.
Hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau
Đồ thị hàm số đã cho có tiệm cận ngang là đường thẳng nào sau đây?
\(y = 1\).
\(y = - 3\).
\(y = 5\).
\(y = 2\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = 2\) \( \Rightarrow y = 2\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. Chọn D.
Đồ thị hàm số nào sau đây có dạng như đường cong trong hình vẽ?
\(y = {x^3} - 3x + 1\).
\(y = \frac{{x - 2}}{{x + 1}}\).
\(y = 2{x^4} + {x^2} + 1\).
\(y = \frac{{x + 2}}{{x + 1}}\).
Đây là đồ thị hàm số dạng phân thức hữu tỉ.
Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm \(\left( {0;2} \right)\). Do đó \(y = \frac{{x + 2}}{{x + 1}}\). Chọn D.
Cho hình chóp \(S.ABCD\), khi đó \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BS} + \overrightarrow {SA} \) bằng
\(\overrightarrow {AB} \).
\(\overrightarrow {BS} \).
\(\overrightarrow {SA} \).
\(\overrightarrow 0 \).
\(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BS} + \overrightarrow {SA} \)\( = \overrightarrow {AS} + \overrightarrow {SA} = \overrightarrow 0 \). Chọn D.
Trong hệ trục tọa độ \(Oxyz\), cho \(\overrightarrow u = \overrightarrow i - 3\overrightarrow k \). Tọa độ của vectơ \(\overrightarrow u \) là
\(\left( {1; - 1;3} \right)\).
\(\left( {1; - 3;0} \right)\).
\(\left( {0;2; - 3} \right)\).
\(\left( {1;0; - 3} \right)\).
\(\overrightarrow u = \overrightarrow i - 3\overrightarrow k \)\( \Rightarrow \overrightarrow u = \left( {1;0; - 3} \right)\). Chọn D.
Trong hệ trục tọa độ \(Oxyz\), xác định vectơ cùng phương với vectơ \(\overrightarrow n = \left( {1;1;0} \right)\).
\(\overrightarrow u = \left( {2;0;2} \right)\).
\(\overrightarrow u = \left( {0;2;2} \right)\).
\(\overrightarrow u = \left( {2;2;2} \right)\).
\(\overrightarrow u = \left( {2;2;0} \right)\).
Ta có \(\overrightarrow u = 2\overrightarrow n \) nên \(\overrightarrow n = \left( {1;1;0} \right)\) cùng phương với \(\overrightarrow u = \left( {2;2;0} \right)\). Chọn D.
Trong hệ trục tọa độ \(Oxyz\), cho \(\overrightarrow a = \left( {2; - 3;3} \right),\overrightarrow b = \left( {0;2; - 1} \right)\). Tìm tọa độ của vectơ \(\overrightarrow a - \overrightarrow b \).
\(\left( {2; - 1;2} \right)\).
\(\left( { - 2;5; - 4} \right)\).
\(\left( {2;1;2} \right)\).
\(\left( {2; - 5;4} \right)\).
\(\overrightarrow a - \overrightarrow b = \left( {2; - 5;4} \right)\). Chọn D.
Trong hệ trục tọa độ \(Oxyz\), tọa độ trung điểm của đoạn \(AB\) với \(A\left( {1;0; - 3} \right)\) và \(B\left( { - 1;2;1} \right)\) là
\(\left( {1; - 1; - 2} \right)\).
\(\left( {2; - 2; - 4} \right)\).
\(\left( {0;2; - 2} \right)\).
\(\left( {0;1; - 1} \right)\).
Tọa độ trung điểm \(I\) của đoạn \(AB\) là \(\left( {0;1; - 1} \right)\). Chọn D.
Trong hệ trục tọa độ \(Oxyz\), xác định tọa độ vectơ \(\overrightarrow {AB} \) với \(A\left( {1; - 1;0} \right)\) và \(B\left( {2; - 2;1} \right)\).
\(\sqrt {19} \).
\(\sqrt 3 \).
\(\left( {3; - 3;1} \right)\).
\(\left( {1; - 1;1} \right)\).
Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( {1; - 1;1} \right)\). Chọn D.
Khi điều tra cân nặng của 50 bé trai 6 tuổi ở một địa phương, người ta thống kê được kết quả như sau:
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm trên bằng
\(8\).
\(18\).
\(26\).
\(2\).
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm trên là \(R = 26 - 18 = 8\). Chọn A.
Một mẫu số liệu ghép nhóm có các tứ phân vị là \({Q_1} = 51;{Q_2} = 58;{Q_3} = 70\). Khoảng tứ phân vị \({\Delta _Q}\) của mẫu số liệu ghép nhóm đó bằng
\(12\).
\(19\).
\(21\).
\(17\).
\({\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1} = 70 - 51 = 19\). Chọn B.
Cho hình hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\) có \(AB = 2a,AD = 3a,A'A = 4a\).
( a) \(\overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC'} \).
( b) Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác \(D'DC\). Khi đó \(\overrightarrow {AG} .\overrightarrow {DB} = - \frac{{23}}{3}{a^2}\).
( c) \(\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {CC'} } \right| = a\sqrt {29} \).
( d) \(\overrightarrow {AA'} .\overrightarrow {AD} = 12{a^2}\).
a) \(\overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC'} \) (theo quy tắc hình hộp).
b)
Gọi \(M\) là trung điểm của \(DC\).
Ta có \(\overrightarrow {AG} = \overrightarrow {AM} + \overrightarrow {MG} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DM} + \frac{1}{3}\overrightarrow {MD'} \)\( = \overrightarrow {AD} + \frac{1}{2}\overrightarrow {DC} + \frac{1}{3}\overrightarrow {MD} + \frac{1}{3}\overrightarrow {DD'} \)\( = \overrightarrow {AD} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} - \frac{1}{3}.\frac{1}{2}\overrightarrow {DC} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AA'} \)
\( = \overrightarrow {AD} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} - \frac{1}{6}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AA'} \)\( = \overrightarrow {AD} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AA'} \).
\(\overrightarrow {DB} = \overrightarrow {DA} + \overrightarrow {DC} \)\( = - \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AB} \).
Khi đó \(\overrightarrow {AG} .\overrightarrow {DB} = \left( {\overrightarrow {AD} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AA'} } \right)\left( { - \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AB} } \right)\)
\( = - {\overrightarrow {AD} ^2} - \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} - \frac{1}{3}\overrightarrow {AA'} .\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}{\overrightarrow {AB} ^2} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AA'} .\overrightarrow {AB} \)
\( = - {\overrightarrow {AD} ^2} + \frac{1}{3}{\overrightarrow {AB} ^2}\) (vì \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AA'} .\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AA'} .\overrightarrow {AB} = 0\))
\( = - 9{a^2} + \frac{1}{3}.4{a^2} = - \frac{{23}}{3}{a^2}\).
c) \(\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {CC'} } \right| = \left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} } \right| = \left| {\overrightarrow {AC'} } \right| = \sqrt {4{a^2} + 9{a^2} + 16{a^2}} = a\sqrt {29} \).
d) Có \(AA' \bot AD\) nên \(\overrightarrow {AA'} .\overrightarrow {AD} = 0\).
Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.
Số giờ sử dụng smartphone trong 1 ngày nghỉ của học sinh lớp 12A được thống kê trong bảng sau
( a) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu trên bằng 6.
(b) Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu trên bằng 5.
(c) Giá trị trung bình của mẫu số liệu trên bằng \(\frac{{226}}{{45}}\).
(d) Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu trên bằng \(\frac{{2\sqrt {730} }}{{45}}\).
a) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu trên là \(R = 6 - 0 = 6\).
b) Cỡ mẫu \(n = 3 + 15 + 12 + 9 + 5 + 1 = 45\).
Gọi \({x_1};{x_2};...;{x_{45}}\) là thời gian sử dụng smartphone trong 1 ngày của 45 học sinh lớp 12A được xếp theo thứ tự không giảm.
Ta có \({Q_1} = \frac{{{x_{11}} + {x_{12}}}}{2}\) mà \({x_{11}};{x_{12}} \in \left[ {1;2} \right)\) nên nhóm này chứa tứ phân vị thứ nhất.
Ta có \({Q_1} = 1 + \frac{{\frac{{45}}{4} - 3}}{{15}}.1 = \frac{{31}}{{20}}\).
Ta có \({Q_3} = \frac{{{x_{34}} + {x_{35}}}}{2}\) mà \({x_{34}},{x_{35}} \in \left[ {3;4} \right)\) nên nhóm này chứa tứ phân vị thứ ba.
Có \({Q_3} = 3 + \frac{{\frac{{3.45}}{4} - 30}}{9}.1 = \frac{{41}}{{12}}\).
Khoảng tứ phân vị là \({\Delta _Q} = \frac{{41}}{{12}} - \frac{{31}}{{20}} = \frac{{28}}{{15}} \approx 1,9\).
c) Ta có bảng sau
Ta có \(\overline x = \frac{{3.0,5 + 15.1,5 + 12.2,5 + 9.3,5 + 5.4,5 + 1.5,5}}{{45}} = \frac{{227}}{{90}}\).
d) Phương sai của mẫu số liệu trên là
\[{s^2} = \frac{1}{{45}}\left( \begin{array}{l}3.{\left( {0,5 - \frac{{227}}{{90}}} \right)^2} + 15.{\left( {1,5 - \frac{{227}}{{90}}} \right)^2} + 12.{\left( {2,5 - \frac{{227}}{{90}}} \right)^2}\\ + 9.{\left( {3,5 - \frac{{227}}{{90}}} \right)^2} + 5.{\left( {4,5 - \frac{{227}}{{90}}} \right)^2} + 1.{\left( {5,5 - \frac{{227}}{{90}}} \right)^2}\end{array} \right) = \frac{{2924}}{{2025}}\].
Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu là \[s = \sqrt {\frac{{2924}}{{2025}}} = \frac{{2\sqrt {731} }}{{45}}\].
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Sai.
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f'\left( x \right) = \left( {x - 1} \right){\left( {x + 2} \right)^2}{\left( {x - 3} \right)^3}\) trên \(\mathbb{R}\). Hàm số đã cho có bao nhiêu điểm cực trị?
Có \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = - 2\\x = 3\end{array} \right.\).
Ta có bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên ta có hàm số có 2 điểm cực trị.
Trả lời: \(2\).
Trong không gian \(Oxyz\)cho ba điểm \(A\left( {3;2; - 1} \right),B\left( { - 1; - x;1} \right),C\left( {7; - 1;y} \right)\). Khi \(A,B,C\) thẳng hàng thì giá trị biểu thức \(x + y\) bằng bao nhiêu?
Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 4; - x - 2;2} \right),\overrightarrow {AC} = \left( {4; - 3;y + 1} \right)\).
Để 3 điểm \(A,B,C\) thẳng hàng thì \(\frac{{ - 4}}{4} = \frac{{ - x - 2}}{{ - 3}} = \frac{2}{{y + 1}}\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 5\\y = - 3\end{array} \right.\).
Do đó \(x + y = - 8\).
Trả lời: \( - 8\).
Giả sử giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = \frac{{\ln x}}{x}\) trên đoạn \(\left[ {2;3} \right]\) bằng \(\frac{{a\ln 2}}{b}\) với \(a,b\) nguyên tố cùng nhau. Tính \(a - 5b\).
Ta có \(y' = \frac{{1 - \ln x}}{{{x^2}}}\); \(y' = 0 \Leftrightarrow 1 - \ln x = 0 \Leftrightarrow \ln x = 1 \Leftrightarrow x = e \in \left[ {2;3} \right]\).
Ta có \(y\left( 2 \right) = \frac{{\ln 2}}{2};y\left( e \right) = \frac{1}{e};y\left( 3 \right) = \frac{{\ln 3}}{3}\).
Suy ra \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {2;3} \right]} y = \frac{{\ln 2}}{2}\). Suy ra \(a = 1;b = 2\). Do đó \(a - 5b = 1 - 5.2 = - 9\).
Trả lời: \( - 9\).
Người ta ghi lại tiền lãi (đơn vị: triệu đồng) của một số nhà đầu tư (với số tiền đầu tư như nhau), khi đầu tư vào hai lĩnh vực A, B cho kết quả như sau:
Tính tổng độ lệch chuẩn cho các mẫu số liệu về tiền lãi của các nhà đầu tư vào hai lĩnh vực A và B (làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng phần mười).
Xét lĩnh vực A.
\(\overline {{x_A}} = \frac{{2.7,5 + 5.12,5 + 8.17,5 + 6.22,5 + 4.27,5}}{{2 + 5 + 8 + 6 + 4}} = 18\).
\(s_A^2 = \frac{{2.{{\left( {7,5 - 18} \right)}^2} + 5.{{\left( {12,5 - 18} \right)}^2} + 8.{{\left( {17,5 - 18} \right)}^2} + 6.{{\left( {22,5 - 18} \right)}^2} + 4.{{\left( {27,5 - 18} \right)}^2}}}{{2 + 5 + 8 + 6 + 4}} = \frac{{137}}{4}\).
Suy ra \({s_A} = \frac{{\sqrt {137} }}{2}\).
Xét lĩnh vực B
\(\overline {{x_B}} = \frac{{8.7,5 + 4.12,5 + 2.17,5 + 5.22,5 + 6.27,5}}{{8 + 4 + 2 + 5 + 6}} = \frac{{169}}{{10}}\).
\(s_B^2 = \frac{{8.{{\left( {7,5 - 16,9} \right)}^2} + 4.{{\left( {12,5 - 16,9} \right)}^2} + 2.{{\left( {17,5 - 16,9} \right)}^2} + 5.{{\left( {22,5 - 16,9} \right)}^2} + 6.{{\left( {27,5 - 16,9} \right)}^2}}}{{8 + 4 + 2 + 5 + 6}} = \frac{{1616}}{{25}}\).
Suy ra \({s_B} = \frac{{4\sqrt {101} }}{5}\).
Do đó \({s_A} + {s_B} = \frac{{\sqrt {137} }}{2} + \frac{{4\sqrt {101} }}{5} \approx 13,9\).
Trả lời: \(13,9\).
Một hộ làm nghề dệt vải lụa tơ tằm sản xuất mỗi ngày được \(x\) mét vải lụa ( \(1 \le x \le 18\)).Tổng chi phí sản xuất \(x\) mét vải lụa (tính bằng nghìn đồng) cho bởi hàm chi phí \(C\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2} - 20x + 500\).
Giả sử hộ làm nghề dệt này bán hết sản phẩm mỗi ngày với giá 220 nghìn đồng/mét. Gọi \(B\left( x \right)\) là số tiền bán được và \(L\left( x \right)\) là lợi nhuận thu được khi bán \(x\) mét vải lụa. Hộ làm nghề dệt này cần sản xuất và bán ra mỗi ngày bao nhiêu mét vải lụa để thu được lợi nhuận tối đa. Hãy tính lợi nhuận tối đa đó.
Số tiền bán hết \(x\) mét vải lụa là \(B\left( x \right) = 220x\) nghìn đồng.
Lợi nhuận thu được khi bán \(x\) mét vải lụa là
\(L\left( x \right) = B\left( x \right) - C\left( x \right) = 220x - \left( {{x^3} - 3{x^2} - 20x + 500} \right)\)\( = - {x^3} + 3{x^2} + 240x - 500\).
Có \(L'\left( x \right) = - 3{x^2} + 6x + 240 = 0\)\( \Leftrightarrow x = 10\) (vì \(1 \le x \le 18\)).
Ta có \(L\left( 1 \right) = - {1^3} + {3.1^2} + 240.1 - 500 = - 258\); \(L\left( {10} \right) = - {10^3} + {3.10^2} + 240.10 - 500 = 1200\);
\(L\left( {18} \right) = - {18^3} + {3.18^2} + 240.18 - 500 = - 1040\).
Vậy mỗi ngày hộ làm nghề dệt này cần sản xuất và bán ra 10 mét vải thì thu được lợi nhuận tối đa là 1200 nghìn đồng.
Trong hệ trục tọa độ \(Oxyz\), cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) thuộc tia \(Ox\), \(B\) thuộc tia \(Oy\) và trọng tâm tam giác \(ABC\) thuộc tia \(Oz\). Tính tỉ số \(\frac{{OA}}{{OB}}\).
Vì \(A \in Ox \Rightarrow A\left( {a;0;0} \right),B \in Oy \Rightarrow B\left( {0;b;0} \right)\).
Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\), \(G \in Oz \Rightarrow G\left( {0;0;c} \right)\).
Do đó \(C\left( { - a; - b;3c} \right)\).
Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( { - a;b;0} \right),\overrightarrow {AC} = \left( { - 2a; - b;3c} \right)\).
Vì \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) nên \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = 0\)\( \Leftrightarrow 2{a^2} - {b^2} = 0 \Leftrightarrow {b^2} = 2{a^2}\).
Khi đó \(\frac{{OA}}{{OB}} = \frac{{\sqrt {{a^2}} }}{{\sqrt {{b^2}} }} = \sqrt {\frac{{{a^2}}}{{2{a^2}}}} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có đồ thị của hàm số \(y = f'\left( x \right)\) như hình vẽ.
Phương trình \(f\left( x \right) = f\left( 3 \right)\) có bao nhiêu nghiệm?
Từ đồ thị của hàm số \(y = f'\left( x \right)\) ta suy ra bảng biến thiên của hàm số \(y = f\left( x \right)\) như hình
Vậy phương trình \(f\left( x \right) = f\left( 3 \right)\) có một nghiệm.
