Đề tham khảo ôn thi tốt nghiệp THPT môn Toán có đáp án (Đề số 25)
34 câu hỏi
PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu thí sinh chỉ chọn một phương án.
Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) có cạnh \(a\). Giá trị của \(\overrightarrow {AC'} \cdot \overrightarrow {B'D'} \) là:
\(0\).
\( - \frac{1}{2}{a^2}\).
\(\sqrt 6 {a^2}\).
\( - \frac{{\sqrt 2 }}{2}{a^2}\).
Ta có \(\overrightarrow {AC'} \cdot \overrightarrow {B'D'} = \left( {\overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {A'C'} } \right) \cdot \overrightarrow {B'D'} = \overrightarrow {AA'} \cdot \overrightarrow {B'D'} + \overrightarrow {A'C'} \cdot \overrightarrow {B'D'} = 0 + 0 = 0\). Chọn A.
PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Cho hàm số \(f\left( x \right) = {\log _5}\left( {4x + 1} \right)\).
a)Tập xác định của hàm số \(f\left( x \right)\) là khoảng \(\left( { - \frac{1}{4}; + \infty } \right)\).
a) Đúng. Hàm số \(f\left( x \right) = {\log _5}\left( {4x + 1} \right)\) xác định khi \(4x + 1 > 0 \Leftrightarrow x > - \frac{1}{4}\).
Tập xác định của hàm số \(f\left( x \right)\) là khoảng \(\left( { - \frac{1}{4}; + \infty } \right)\).
b)Đạo hàm của hàm số \(f\left( x \right)\) là \(f'\left( x \right) = \frac{{4 \cdot \ln 5}}{{4x + 1}}\).
b) Sai. Ta có \(f\left( x \right) = {\log _5}\left( {4x + 1} \right) \Rightarrow f'\left( x \right) = \frac{{{{\left( {4x + 1} \right)}^\prime }}}{{\left( {4x + 1} \right)\ln 5}} = \frac{4}{{\left( {4x + 1} \right)\ln 5}}\).
c) Hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến trên khoảng xác định của nó.
c) Đúng. Ta có \(f'\left( x \right) = \frac{4}{{\left( {4x + 1} \right)\ln 5}} > 0,\,\,\forall x > - \frac{1}{4}\).
Nên hàm số đồng biến trên khoảng xác định của nó.
d) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị \(y = f\left( x \right)\) tại điểm \(x = 1\) là \(y = \frac{4}{{5\ln 5}}x - \frac{4}{{5\ln 5}} + 1\).
d) Đúng. Ta có \(x = 1 \Rightarrow f\left( 1 \right) = {\log _5}5 = 1\) và \(f'\left( 1 \right) = \frac{4}{{5\ln 5}}\).
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị \(y = f\left( x \right)\) tại điểm \(M\left( {1\,;1} \right)\) là
\(y = \frac{4}{{5\ln 5}}\left( {x - 1} \right) + 1 = \frac{4}{{5\ln 5}}x - \frac{4}{{5\ln 5}} + 1\).
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = \sin x;y = \cos x\) và các đường thẳng \(x = 0\), \(x = 7\) được tính bằng công thức:
\(S = \int\limits_0^7 {\left( { - \sin x + \cos x} \right){\rm{d}}x} \).
\(S = \int\limits_0^7 {\left| {\sin x - \cos x} \right|{\rm{d}}x} \).
\(S = \int\limits_0^7 {\left( {\sin x - \cos x} \right){\rm{d}}x} \).
\(S = \int\limits_0^7 {\left( {\sin x + \cos x} \right){\rm{d}}x} \).
Diện tích hình phẳng: \(S = \int\limits_0^7 {\left| {\sin x - \cos x} \right|{\rm{d}}x} \). Chọn B.
Trong không gian \[Oxyz\] cho 3 điểm \[A\left( {3;1; - 1} \right),\;B\left( {4; - 1;2} \right),\;C\left( {1;3; - 2} \right)\] và mặt phẳng \[\left( \alpha \right):4x + 2y - z - 12 = 0\].
a) Đường thẳng \[BC\] nằm trong mặt phẳng \[\left( \alpha \right)\].
a) Đúng. Vì \[B\left( {4; - 1;2} \right) \in \left( \alpha \right);\;C\left( {1;3; - 2} \right) \in \left( \alpha \right)\] nên đường thẳng \[BC\] nằm trong mặt phẳng \[\left( \alpha \right)\].
b) Mặt cầu tâm \[I\left( { - 4;4; - 1} \right)\] tiếp xúc với mặt phẳng \[\left( {ABC} \right)\] có bán kính bằng \[\frac{{26}}{{\sqrt 5 }}\].
b) Sai. Ta có \[\overrightarrow {AB} = \left( {1; - 2;3} \right),\,\,\overrightarrow {AC} = \left( { - 2;2; - 1} \right) \Rightarrow {\vec n_{\left( {ABC} \right)}} = \left[ {\overrightarrow {AC} ,\,\overrightarrow {AB} } \right] = \left( {4;5;2} \right)\].
Mặt phẳng \[\left( {ABC} \right)\]: \[4\left( {x - 3} \right) + 5\left( {y - 1} \right) + 2\left( {z + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 4x + 5y + 2z - 15 = 0\].
Bán kính mặt cầu tâm \[I\left( { - 4;4; - 1} \right)\] tiếp xúc với mặt phẳng \[\left( {ABC} \right)\] bằng \[d\left( {I,\left( {ABC} \right)} \right) = \frac{{13\sqrt 5 }}{{15}}\].
c) Đường thẳng \[AB\] có phương trình tham số là \[\left\{ \begin{array}{l}x = 4 + t\\y = - 1 - 2t\\z = 2 - 3t\end{array} \right.\].
c) Sai. Ta có \[\overrightarrow {AB} = \left( {1; - 2;3} \right)\] nên phương trình đường thẳng \[AB\] là \[\left\{ \begin{array}{l}x = 4 + t\\y = - 1 - 2t\\z = 2 + 3t\end{array} \right.\].
d) Với điểm \[M \in \left( \alpha \right)\] thì giá trị nhỏ nhất của biểu thức \[\left| {\overrightarrow {MA} - 4\overrightarrow {MB} - 3\overrightarrow {MC} } \right|\] bằng \[\frac{3}{{\sqrt {21} }}\].
d) Đúng. Xét điểm \(K\) thỏa mãn\[\overrightarrow {KA} - 4\overrightarrow {KB} - 3\overrightarrow {KC} = \overrightarrow 0 \]. Khi đó \[K\left( {\frac{8}{3};\frac{2}{3};\frac{1}{2}} \right)\].
Ta có \[\left| {\overrightarrow {MA} - 4\overrightarrow {MB} - 3\overrightarrow {MC} } \right| = \left| {\left( {\overrightarrow {MK} + \overrightarrow {KA} } \right) - 4\left( {\overrightarrow {MK} + \overrightarrow {KB} } \right) - 3\left( {\overrightarrow {MK} + \overrightarrow {KC} } \right)} \right| = \left| { - 6\overrightarrow {MK} } \right| = \left| {6\overrightarrow {MK} } \right|\].
Do đó, \[\left| {\overrightarrow {MA} - 4\overrightarrow {MB} - 3\overrightarrow {MC} } \right|\] nhỏ nhất khi \(\left| {6\overrightarrow {MK} } \right|\) nhỏ nhất, mà \[M \in \left( \alpha \right)\] nên \(\left| {6\overrightarrow {MK} } \right|\) nhỏ nhất bằng \[6d\left( {K,\left( \alpha \right)} \right) = 6 \cdot \frac{{\sqrt {21} }}{{42}} = \frac{{\sqrt {21} }}{7} = \frac{3}{{\sqrt {21} }}\].
Khảo sát thời gian tự học của một số học sinh lớp 11 trong một ngày, người ta thu được mẫu số liệu ghép nhóm sau:
Thời gian (phút) | \(\left[ {0;30} \right)\) | \(\left[ {30;60} \right)\) | \(\left[ {60;90} \right)\) | \(\left[ {90;120} \right)\) | \(\left[ {120;150} \right)\) |
Số học sinh | \(8\) | \(14\) | \(11\) | \(9\) | \(3\) |
Nhóm chứa trung vị của mẫu số liệu trên là
\(\left[ {60;90} \right)\).
\(\left[ {0;30} \right)\).
\(\left[ {30;60} \right)\).
\(\left[ {90;120} \right)\).
Ta có \(n = 45\), \(\frac{n}{2} = \frac{{45}}{2} = 22,5\). Nhóm chứa trung vị là: \(\left[ {60;90} \right)\). Chọn A.
Một bệnh truyền nhiễm có xác suất truyền bệnh là 0,7 nếu tiếp xúc với người bệnh mà không đeo khẩu trang và 0,2 nếu tiếp xúc với người bệnh mà đeo khẩu trang.
Gọi \(A\) là biến cố: “nhiễm bệnh nếu tiếp xúc với người bệnh mà không đeo khẩu trang”;
\(B\) là biến cố: “nhiễm bệnh nếu tiếp xúc với người bệnh mà đeo khẩu trang”;
\(C\) là biến cố: “không bị lây bệnh khi tiếp xúc người bệnh 2 lần đều không mang khẩu trang”;
\(D\) là biến cố: “ít nhất một lần bị lây bệnh khi tiếp xúc người bệnh 2 lần, trong đó có 1 lần không mang khẩu trang và có 1 lần mang khẩu trang”.
a) \(P\left( A \right) = 0,7.\)
a) Đúng. Theo đề bài \(P\left( A \right) = 0,7\).
b) \(P\left( B \right) = 0,8.\)
b) Sai. Theo đề bài \(P\left( B \right) = 0,2\).
c) \(P\left( C \right) = 0,04.\)
c) Sai. Cả hai lần tiếp xúc người bệnh mà không đeo khẩu trang đều không lây bệnh nên ta có: \(P\left( C \right) = {\left[ {P\left( {\overline A } \right)} \right]^2} = 0,{3^2} = 0,09.\)
d) \(P\left( D \right) = 0,76.\)
d) Đúng. Xét biến cố \(\overline D \): “Không bị lây bệnh sau hai lần tiếp xúc, 1 lần mang khẩu trang và 1 lần không mang khẩu trang”.
Ta có \(P\left( {\overline D } \right) = P\left( {\overline A } \right) \cdot P\left( {\overline B } \right) = 0,3 \cdot 0,8 = 0,24\); suy ra \(P\left( D \right) = 1 - 0,24 = 0,76.\)
Trong không gian \(\left( {Oxyz} \right)\), mặt phẳng \(\left( {Oyz} \right)\) có một vectơ pháp tuyến là
\(\overrightarrow n = \left( {1;1;1} \right)\).
\(\overrightarrow n = \left( {0;0;0} \right)\).
\(\overrightarrow n = \left( {0;1;1} \right)\).
\(\overrightarrow n = \left( {1;0;0} \right)\).
Mặt phẳng \(\left( {Oyz} \right)\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow i = \left( {1;0;0} \right)\). Chọn D.
Thành phố \[X\]theo dõi tốc độ gia tăng dân số của hai khu vực \[A\]và \[B\]trong thời gian 6 năm (kể từ đầu năm 2019 đến hết năm 2024). Hình vẽ dưới đây mô tả tốc độ gia tăng dân số của hai tỉnh trên trong 6 năm, với đơn vị trên trục \[Ot\] tính bằng năm, \[t = 0\]ứng với mốc từ đầu năm 2019. Đơn vị trên trục\[\;Oy\] biểu diễn ngàn người tăng thêm mỗi năm.
Khu vực \[A\] có tốc độ gia tăng dân số theo thời gian được mô tả bởi hàm \[{P'_A}\left( t \right) = - \frac{1}{2}{t^2} + 2t + 8\].
Khu vực \[B\] có tốc độ gia tăng dân số theo thời gian được mô tả bởi hàm \[{P'_B}\left( t \right) = a - \frac{1}{2}t\].
Biết rằng \[{P_A}\left( t \right)\,,\,{P_B}\left( t \right)\] lần lượt biểu diễn tổng số dân tăng thêm tại khu vực \[A\] và \[B\] sau \[t\] năm.
a) Tốc độ gia tăng dân số của khu vực \[A\] với \[t = 4\] là 8 000.
a) Đúng.Thay \[t = 4\] vào hàm \[{P'_A}\left( t \right) = - \frac{1}{2}{t^2} + 2t + 8\] ta được:
\[{P'_A}\left( 4 \right) = - \frac{1}{2} \cdot 16 + 2 \cdot 4 + 8 = 8\](ngàn người).
Vậy tốc độ gia tăng dân số của khu vực \[A\] với \[t = 4\] là 8 000.
b) Ta có \[{P'_A}\left( 0 \right) = 8\]và \[a = 8\].
b) Đúng.Thay \[t = 0\] vào hàm \[{P'_A}\left( t \right) = - \frac{1}{2}{t^2} + 2t + 8\] ta được \[{P'_A}\left( 0 \right) = - \frac{1}{2} \cdot {0^2} + 2 \cdot 0 + 8 = 8\].
Dựa vào đồ thị ta thấy \[{P'_B}\left( 0 \right) = 0 \Leftrightarrow a - \frac{1}{2} \cdot 0 = 8 \Rightarrow a = 8\].
c) Dân số khu vực \[A\] tăng thêm từ 0 đến 5 năm là 33 000 (người).
c) Sai.Dân số khu vực \(A\) tăng thêm từ 0 đến 5 năm là:
\[\int\limits_0^5 {{{P'}_A}} \left( t \right){\rm{d}}t = \int\limits_0^5 {\left( { - \frac{1}{2}{t^2} + 2t + 8} \right){\rm{d}}t} \approx 44\](ngàn người).
d) Phần diện tích tô đậm trong hình vẽ biểu diễn sự chênh lệch dân số tăng thêm giữa hai khu vực trong giai đoạn từ 0 đến 5 năm là 9 000 người.
d) Sai.Phần hình phẳng tô đậm trên hình vẽ được giới hạn bởi hai đồ thị hàm số \[F\left( t \right) = {P'_A}\left( t \right) = - \frac{1}{2}{t^2} + 2t + 8\],\[G\left( t \right) = {P'_B}\left( t \right) = 8 - \frac{1}{2}t\] và hai đường thẳng \[t = 0,t = 5\].
Diện tích hình phẳng trên biểu diễn sự chênh lệch dân số tăng thêm giữa hai khu vực trong giai đoạn từ 0 đến 5 năm và bằng
\[S = \int\limits_0^5 {\left[ {\left( { - \frac{1}{2}{t^2} + 2t + 8} \right) - \left( {8 - \frac{1}{2}t} \right)} \right]} \,{\rm{d}}t = \int\limits_0^5 {\left( { - \frac{1}{2}{t^2} + \frac{5}{2}t} \right){\rm{d}}t = \frac{{125}}{{12}}} \approx 10,4\] (ngàn người).
Đồ thị hàm số \[y = - x + 2 + \frac{1}{x}\] có đường tiệm cận xiên là:
\[y = - x + 2\].
\[y = - \frac{1}{x}\].
\(y = x - 2\).
\(y = \frac{1}{x}\).
Ta có \[\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left[ {\left( { - x + 2 + \frac{1}{x}} \right) - \left( { - x + 2} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{1}{x} = 0\].
Vậy đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho là \[y = - x + 2\]. Chọn A.
Tập nghiệm của bất phương trình \[{e^x} > 1\] là:
\[\left( {1\,; + \infty } \right)\].
\[\left( { - \infty \,;0} \right)\].
\[\left( { - \infty ; + \infty } \right)\].
\(\left( {0; + \infty } \right)\).
Ta có \[{e^x} > 1 \Leftrightarrow {e^x} > {e^0} \Leftrightarrow x > 0\]. Chọn D.
Tập nghiệm của phương trình \[{\log _4}x = 0\] là:
\[x = - 1\].
\[x = 1\].
\[x = 0\].
\(x = 4\).
Ta có \[{\log _4}x = 0 \Leftrightarrow x = {4^0} \Leftrightarrow x = 1\]. Chọn B.
Trong không gian với hệ tọa độ \[Oxyz\], phương trình của đường thẳng đi qua hai điểm \[E\left( { - 1;4;2} \right)\]và \[F\left( { - 5\,;0\,;3} \right)\]là:
\[\frac{{x + 1}}{{ - 4}} = \frac{{y - 4}}{{ - 4}} = \frac{{z - 2}}{1}\].
\[\frac{{x + 4}}{{ - 1}} = \frac{{y + 4}}{4} = \frac{{z - 1}}{2}\].
\[\frac{{x - 4}}{{ - 1}} = \frac{{y - 4}}{4} = \frac{{z + 1}}{2}\].
\[\frac{{x - 1}}{{ - 4}} = \frac{{y + 4}}{{ - 4}} = \frac{{z + 2}}{1}\].
Ta có \[\overrightarrow {EF} = \left( { - 4; - 4\,;1} \right)\].
Phương trình đường thẳng EF đi qua E và nhận \[\overrightarrow {EF} = \left( { - 4; - 4\,;1} \right)\] làm VTCP là:
\[\frac{{x + 1}}{{ - 4}} = \frac{{y - 4}}{{ - 4}} = \frac{{z - 2}}{1}\]. Chọn A.
Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {\rm{cos}}x + 1\) là:
\({\rm{sin}}x + C\).
\( - {\rm{sin}}x + x + C\).
\({\rm{cos}}x + x + C\).
\({\rm{sin}}x + x + C\).
Ta có \(\int {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \int {\left( {{\rm{cos}}x + 1} \right)} \,{\rm{d}}x = {\rm{sin}}x + x + C.\) ChọnD.
Cho cấp số cộng \[\left( {{u_n}} \right)\]có \[{u_1} = 1\] và \[{u_2} = - 3\]. Số hạng \[{u_4}\] của cấp số cộng đã cho là
\[ - 11\].
\[ - 27\].
\[ - 7\].
\[ - 14\].
Công sai \[d = {u_2} - {u_1} = - 4\]. Khi đó \[{u_4} = {u_1} + 3d = 1 + 3 \cdot \left( { - 4} \right) = - 11\]. Chọn A.
Cho hàm số \[y = {x^3} - 3{x^2} - 2025\]. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng:
\[\left( {0;2} \right)\].
\[\left( { - \infty ;0} \right)\].
\[\left( { - \infty ; + \infty } \right)\].
\[\left( {2; + \infty } \right)\].
Tập xác định \[D = \mathbb{R}\]. Ta có \[y' = 3{x^2} - 6x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array} \right.\].
Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số nghịch biến trên khoảng \[\left( {0;2} \right)\]. Chọn A.
Cho tứ diện \[S.ABC\]có các cạnh \[SA,\,SB,\,SC\]đôi một vuông góc và \[SA = SB = SC = 1\] (minh họa như hình dưới). Gọi \[\alpha \]là góc phẳng nhị diện \[\left[ {S,BC,A} \right]\]. Tính \[\cos \alpha \].
\[\frac{2}{5}\].
\[\frac{{\sqrt 3 }}{3}\].
\[\frac{1}{3}\].
\[\frac{{2\sqrt 5 }}{5}\].
Gọi là trung điểm cạnh \(BC\) suy ra \(SD \bot BC\) (vì tam giác \(SBC\) cân tại \(S\)).
Do \(\left\{ \begin{array}{l}SA \bot SB\\SA \bot SC\end{array} \right. \Rightarrow SA \bot \left( {SBC} \right)\)\( \Rightarrow SA \bot BC\) mà \(SD \bot BC\) \( \Rightarrow BC \bot \left( {SAD} \right) \Rightarrow BC \bot AD\).
Khi đó \[\left\{ \begin{array}{l}\left( {SBC} \right) \cap \left( {ABC} \right) = BC\\SD \bot BC\\AD \bot BC\end{array} \right.\]\( \Rightarrow \left[ {S,BC,A} \right] = \widehat {SDA} = \alpha \).
Xét \[\Delta SBC\] vuông tại \[S\] ta có: \(\frac{1}{{S{D^2}}} = \frac{1}{{S{B^2}}} + \frac{1}{{S{C^2}}} = 2 \Rightarrow SD = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\).
Xét \[\Delta SAD\] vuông tại \[S\] ta có: \(A{D^2} = S{A^2} + S{D^2} = {1^2} + {\left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right)^2} = \frac{3}{2} \Rightarrow AD = \sqrt {\frac{3}{2}} \).
Vậy \(\cos \alpha = \cos \widehat {SDA} = \frac{{SD}}{{AD}} = \frac{1}{{\sqrt 3 }} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\). Chọn B.
PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.
Gọi \[M\left( {a;b} \right)\] là điểm thuộc đồ thị hàm số \[y = \frac{{2x + 1}}{{x + 2}}\] và có khoảng cách từ \[M\] đến đường thẳng \[d:y = 3x + 6\] nhỏ nhất. Tính giá trị của biểu thức \[T = 6{a^2} + 7{b^2}.\]
Đáp số: \(13\).
Gọi \[M\left( {a;\frac{{2a + 1}}{{a + 2}}} \right)\] là điểm thuộc đồ thị hàm số \[y = \frac{{2x + 1}}{{x + 2}}\,\,\,\left( C \right)\], khoảng cách từ \[M\] đến \[d\] nhỏ nhất khi \[M\] là tiếp điểm của tiếp tuyến của \[\left( C \right)\] sao cho tiếp tuyến song song với đường thẳng \[d:y = 3x + 6\].
Ta có \[y'\left( x \right) = \frac{3}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\]. Do đó \[y'\left( a \right) = \frac{3}{{{{\left( {a + 2} \right)}^2}}} = 3 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = - 1}\\{a = - 3}\end{array}} \right.\].
\[ \Rightarrow {M_1}\left( { - 1\,; - 1} \right),\,\,{M_2}\left( { - 3\,;5} \right) \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{d\left( {{M_1},d} \right) = \frac{4}{{\sqrt {10} }}}\\{d\left( {{M_1},d} \right) = \frac{8}{{\sqrt {10} }}}\end{array}} \right.\].
Vậy \[\min d\left( {M,d} \right) = \frac{4}{{\sqrt {10} }}\] khi \[M\left( { - 1; - 1} \right)\]\[ \Rightarrow \]\[a = b = - 1\]\[ \Rightarrow \]\[T = 6{a^2} + 7{b^2} = 13\].
Thống kê thời gian tự học môn Toán của 400 học sinh lớp 12 trong một ngày ta được kết quả trong bảng ghép nhóm sau:
Thời gian (phút) | \[\left[ {0;20} \right)\] | \[\left[ {20;40} \right)\] | \[\left[ {40;60} \right)\] | \[\left[ {60;80} \right)\] | \[\left[ {80;100} \right)\] |
Số học sinh | \[x\] | 120 | \[y\] | 70 | 60 |
Biết rằng \[x,y\] là các số nguyên dương và khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu bằng \[\frac{{845}}{{21}}\]. Khi đó, thời gian tự học trung bình của 400 học sinh (tính theo mẫu số liệu ghép nhóm trên) là bao nhiêu phút?
Đáp án: 48,5.
Ta có \[x + 120 + y + 70 + 60 = 400 \Leftrightarrow x + y = 150\].
Nhận thấy \[{Q_3}\] thuộc nhóm \[\left[ {60;80} \right)\].
\[{Q_3} = 60 + \frac{{\frac{{400 \cdot 3}}{4} - \left( {x + 120 + y} \right)}}{{70}} \cdot 20 = 60 + \frac{{300 - 270}}{{70}} \cdot 20 = \frac{{480}}{7}\,\,\,\left( {{\rm{do}}\,x + y = 150} \right)\]
\[{Q_3} - {Q_1} = \frac{{845}}{{21}} \Leftrightarrow {Q_1} = {Q_3} - \frac{{845}}{{21}} \Leftrightarrow {Q_1} = \frac{{85}}{3}\].
Suy ra \[{Q_1}\] thuộc nhóm \[\left[ {20;40} \right)\].
\[{Q_1} = 20 + \frac{{100 - x}}{{120}} \cdot 20 \Leftrightarrow \frac{{85}}{3} = 20 + \frac{{100 - x}}{6} \Leftrightarrow x = 50 \Rightarrow y = 100\].
Chọn giá trị đại diện cho các nhóm ta có bảng sau
Thời gian (phút) | \[10\] | \[30\] | \[50\] | \[70\] | \[90\] |
Số học sinh | \[50\] | 120 | \[100\] | 70 | 60 |
Vậy thời gian học trung bình của các học sinh trong nhóm là
\[\frac{{50 \cdot 10 + 120 \cdot 30 + 100 \cdot 50 + 70 \cdot 70 + 60 \cdot 90}}{{400}} = 48,5\].
Chạy Marathon là môn thể thao chạy bộ đường dài mà tại đó, người chơi sẽ hoàn thành quãng đường 42,195 km trong khoảng thời gian nhất định. “FM sub 4” là một thuật ngữ phổ biến trong cộng đồng những người tham gia chạy Marathon, nó dùng để chỉ thành tích hoàn thành quãng đường 42,195 km dưới 4 giờ. Trong một câu lạc bộ Marathon, tỉ lệ thành viên nam là 72%, tỉ lệ thành viên nữ là 28%. Đối với nam, tỉ lệ người hoàn thành FM sub 4 là 32%; đối với nữ, tỉ lệ người hoàn thành FM sub 4 là 3%. Chọn ngẫu nhiên một người từ câu lạc bộ đó. Xác suất để người được chọn là nam bằng bao nhiêu (kết quả được làm tròn đến hàng phần trăm), biết rằng người được chọn đã hoàn thành FM sub 4?
Đáp án: 0,96.
Gọi \[A\] là biến cố: “chọn được thành viên nam”.
Gọi \[B\] là biến cố: “chọn được thành viên đã hoàn thành FM sub 4”.
Ta có \[P\left( A \right) = 0,72;\,\,\,P\left( {\overline A } \right) = 0,28;\,\,\,P\left( {B|A} \right) = 0,32;\,\,\,P\left( {B|\overline A } \right) = 0,03\].
Xác suất để chọn được người nam trong câu lạc bộ biết người đó đã hoàn thành FM 4 là:
\[P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( A \right) \cdot P\left( {B|A} \right)}}{{P\left( A \right) \cdot P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right) \cdot P\left( {B|\overline A } \right)}} = \]\[\frac{{0,32 \cdot 0,72}}{{0,32 \cdot 0,72 + 0,28 \cdot 0,03}} = \frac{{192}}{{199}} \approx 0,96\].
Mộtbể bơi ban đầu có dạng hình hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\). Sau đó người ta làm lại mặt đáy như hình vẽ. Biết rằng \(A'B'MN\) và \(MNEF\) là các hình chữ nhật, \(\left( {MNFE} \right){\rm{//}}\left( {A'B'C'D'} \right)\), \(AB = 10\,{\rm{m}}\), \(AD = 30\,{\rm{m}}\), \(AA' = 20\,{\rm{m}}\), \(MF = DE = 17\,{\rm{m}}\).Tính tỉ số thể tích của bể sau khi làm lại mặt đáy với thể tích của bể lúc ban đầu (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
Đáp án: \(0,88\).
Ta có thể tích bể bơi ban đầu là \(V = AB \cdot AD \cdot AA' = 10 \cdot 30 \cdot 20 = 6\,000\,\,\,{\rm{(}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}{\rm{)}}\).
Phần đáy bể làm lại có dạng khối lăng trụ đứng \(A'NED'.B'MFC'\) có đáy là hình thang vuông, chiều cao bằng \(A'B' = 10\,\,{\rm{m}}\),\(FC' = ED' = DD' - DE = 20 - 17 = 3\,\,{\rm{(m)}}\).
Diện tích đáy hình thang vuông là \({S_{B'MFC'}} = \left( {MF + B'C'} \right).FC'.\frac{1}{2}\)\( = \left( {17 + 30} \right) \cdot 3 \cdot \frac{1}{2} = 70,5\,\,\,{\rm{(}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}{\rm{)}}\).
Thể tích khối lăng trụ đứng \(A'NED'.B'MFC'\) bằng \({V_1} = {S_{B'MFC'}} \cdot A'B' = 70,5 \cdot 10 = 705\,\,\,{\rm{(}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}{\rm{)}}\).
Thể tích bể sau khi làm lại bằng \(V' = 6000 - 705 = 5295\,\,({{\rm{m}}^{\rm{3}}})\). Vậy \(\frac{{V'}}{V} = \frac{{5295}}{{6000}} \approx 0,88\).
Trong giờ thể dục học về kỹ thuật chuyền bóng hơi, Bình và An tập chuyền bóng cho nhau. Ở một động tác Bình chuyền bóng cho An, quả bóng bay lên cao nhưng lại lệch sang bên trái của An và rơi xuống vị trí cách chỗ An đứng \[0,5\,{\rm{m}}\] và cách chỗ Bình \[4,5\,{\rm{m}}\]. Chọn hệ trục tọa độ \[Oxyz\] sao cho gốc tọa độ \[O\] tại vị trí của Bình, vị trí của An nằm trên tia \[Ox\] và mặt phẳng \[Oxy\] là mặt đất (tham khảo hình vẽ).
Biết rằng quỹ đạo của quả bóng nằm trong mặt phẳng \[\left( \alpha \right):x + by + cz + d = 0\] và \[\left( \alpha \right)\] vuông góc với mặt đất. Khi đó, giá trị của \[ - 5{b^2} - {c^2} + 3{d^2}\] bằng bao nhiêu?
Đáp án: \( - 400\).
Quả bóng rơi xuống tại điểm \[A\left( {\sqrt {20} ;0,5;0} \right)\].
Mặt phẳng \[\left( \alpha \right):x + by + cz + d = 0\] đi qua \[O\] nên \[d = 0\], điểm \[A\left( {\sqrt {20} ;0,5;0} \right)\] thuộc \[\left( \alpha \right)\] nên có \[\sqrt {20} + 0,5b = 0 \Leftrightarrow b = - 4\sqrt 5 \].
Mặt khác \[\left( \alpha \right)\] vuông góc với mặt đất nên \[{\overrightarrow n _{\left( \alpha \right)}} \bot {\overrightarrow n _{\left( {Oxy} \right)}} \Leftrightarrow {\overrightarrow n _{\left( \alpha \right)}} \cdot \overrightarrow k = 0 \Leftrightarrow c = 0\].
Vậy mặt phẳng \[\left( \alpha \right)\] có phương trình là \[\left( \alpha \right):x - 4\sqrt 5 y = 0\].
Khi đó, \[ - 5{b^2} - {c^2} + 3{d^2} = - 400\].
Nhằm thu hút du khách và khẳng định vị thế dẫn đầu, công viên nước Đầm Sen quyết định đầu tư xây dựng một đường trượt nước độc đáo có mặt cắt được gắn vào hệ trục \(Oxy\) (xem trục \(Ox\) là mặt đất) với đơn vị mỗi trục là \(1\,{\rm{m}}\) như hình vẽ dưới đây. Đường trượt được thiết kế theo hình dạng của một hàm bậc ba \(y = g\left( x \right)\), với mục tiêu tối ưu hóa trải nghiệm của người dùng , một phần đường trượt được đặt dưới mặt đất để tận dụng địa hình và tạo hiệu ứng bất ngờ. Điểm đầu của đường trượt là \(H\left( { - 3;a} \right)\) và điểm cuối là \(K\left( {8;0} \right)\) và ngay dưới điểm \(K\) là một bể bơi. Để tiếp cận đường trượt, một cầu thang cong có dạng parabol \(y = f\left( x \right)\) có đỉnh là điểm \(M\left( { - 8;0} \right)\) được xây dựng, đảm bảo độ dốc vừa phải và an toàn cho người sử dụng.
Các diện tích hình phẳng được tạo bởi các đồ thị \(y = f\left( x \right),y = g\left( x \right),x = - 3\) và trục hoành như hình vẽ. Để đảm bảo an toàn tuyệt đối cho người chơi và tính ổn định của công trình, các kỹ sư cần đặc biệt chú trọng đến phần đường trượt nằm dưới lòng đất. Hãy xác định độ cao lớn nhất mà đường trượt chìm xuống so với mặt đất (đơn vị: mét) biết rằng \({S_1} + {S_3} = {S_2} + {S_4} + \frac{{109}}{{12}}\) (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
Đáp án: \(2,95\).
+ Parabol \(\left( P \right):y = f\left( x \right)\) có đỉnh là điểm \(M\left( { - 8;0} \right)\) nên \(f\left( x \right) = k{\left( {x + 8} \right)^2},\left( {k \ne 0} \right)\).
Ta có \(H\left( { - 3;a} \right) \in \left( P \right)\) nên \(25k = a \Leftrightarrow k = \frac{a}{{25}} \Rightarrow f\left( x \right) = \frac{a}{{25}}{\left( {x + 8} \right)^2}\).
+ Đường cong \(\left( C \right)\):\(y = g\left( x \right)\) là hàm bậc ba có ba nghiệm \(x = - 2\,;\,x = 2\) và \(x = 8\) nên \(g\left( x \right) = h\left( {{x^2} - 4} \right)\left( {x - 8} \right),\left( {h \ne 0} \right)\).
Ta có \(H\left( { - 3;a} \right) \in \left( C \right)\) nên \( - 55h = a \Leftrightarrow h = - \frac{a}{{55}}\).
\( \Rightarrow g\left( x \right) = - \frac{a}{{55}}\left( {{x^2} - 4} \right)\left( {x - 8} \right) = - \frac{a}{{55}}\left( {{x^3} - 8{x^2} - 4x + 32} \right)\).
+ Dựa vào đồ thị, ta có: \({S_1} = \int\limits_{ - 3}^{ - 2} {g\left( x \right)} \,{\rm{d}}x;\,\,{S_3} = \int\limits_2^8 {g\left( x \right)} \,{\rm{d}}x;\,\,{S_2} = - \int\limits_{ - 2}^2 {g\left( x \right)} \,{\rm{d}}x;\,\,{S_4} = \int\limits_{ - 8}^{ - 3} {f\left( x \right)} \,{\rm{d}}x\).
\({S_1} + {S_3} = {S_2} + {S_4} + \frac{{109}}{{12}} \Leftrightarrow \int\limits_{ - 3}^{ - 2} {g\left( x \right)} \,{\rm{d}}x + \int\limits_2^8 {g\left( x \right)} \,{\rm{d}}x = - \int\limits_{ - 2}^2 {g\left( x \right)} \,{\rm{d}}x + \int\limits_{ - 8}^{ - 3} {f\left( x \right)} \,{\rm{d}}x + \frac{{109}}{{12}}\)
\( \Leftrightarrow \int\limits_{ - 3}^{ - 2} {g\left( x \right){\rm{d}}x} + \int\limits_{ - 2}^2 {g\left( x \right){\rm{d}}x} + \int\limits_2^8 {g\left( x \right){\rm{d}}x} = \int\limits_{ - 8}^{ - 3} {f\left( x \right){\rm{d}}x} + \frac{{109}}{{12}}\)
\( \Leftrightarrow \int\limits_{ - 3}^8 {g\left( x \right){\rm{d}}x} = \int\limits_{ - 8}^{ - 3} {f\left( x \right){\rm{d}}x} + \frac{{109}}{{12}}\)
\( \Leftrightarrow \int\limits_{ - 3}^8 { - \frac{a}{{55}}\left( {{x^3} - 8{x^2} - 4x + 32} \right){\rm{d}}x} = \int\limits_{ - 8}^{ - 3} {\frac{a}{{25}}{{\left( {x + 8} \right)}^2}{\rm{d}}x} + \frac{{109}}{{12}}\)
\( \Leftrightarrow \frac{{209}}{{60}} \cdot a = \frac{5}{3} \cdot a + \frac{{109}}{{12}} \Leftrightarrow a = 5\).
Suy ra \(g\left( x \right) = - \frac{1}{{11}}\left( {{x^3} - 8{x^2} - 4x + 32} \right)\); \(g'\left( x \right) = - \frac{1}{{11}}\left( {3{x^2} - 16x - 4} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{8 + 2\sqrt {19} }}{3}\\x = \frac{{8 - 2\sqrt {19} }}{3}\end{array} \right.\).
Bảng biến thiên
Vậy độ cao lớn nhất mà đường trượt chìm xuống so với mặt đất là xấp xỉ \(2,95\,{\rm{m}}\).
