Đề tham khảo ôn thi tốt nghiệp THPT môn Toán có đáp án (Đề số 22)
34 câu hỏi
PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu thí sinh chỉ chọn một phương án.
Trọng lượng của 20 củ sâm trong một lô củ sâm được thu hoạch sau sáu năm trồng tại một cơ sở trồng sâm có bảng tần số ghép nhóm sau (đơn vị: gam):
Nhóm | \(\left[ {40;45} \right)\) | \(\left[ {45;50} \right)\) | \(\left[ {50;55} \right)\) | \(\left[ {55;60} \right)\) |
Tần số | \(3\) | \(7\) | \(8\) | \(2\) |
Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên (làm tròn kết quả đến hàng phần mười) là:
\(3,3\).
\(9,5\).
\(6,7\).
\(8,6\).
Ta có \({Q_1} = 45 + \frac{{\frac{1}{4} \cdot 20 - 3}}{7} \cdot 5 \approx 46,43\); \({Q_3} = 50 + \frac{{\frac{3}{4} \cdot 20 - \left( {3 + 7} \right)}}{8} \cdot 5 \approx 53,13.\)
Vậy \(\Delta Q = {Q_3} - {Q_1} = 53,13 - 46,43 = 6,7\). Chọn C.
PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Cho hàm số \(y = \frac{{{x^2} + 3x + 3}}{{x + 2}}\) có đồ thị là \(\left( C \right)\) và hai điểm \(A,B\) là hai điểm cực trị của \(\left( C \right)\).
a) Đạo hàm của hàm số đã cho là \(y' = \frac{{{x^2} + 4x + 3}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\).
a) Đúng. Điều kiện: \(x + 2 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne - 2\) nên tập xác định của hàm số là \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 2} \right\}\).
Ta có \(y' = \frac{{\left( {2x + 3} \right)\left( {x + 2} \right) - \left( {{x^2} + 3x + 3} \right)}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = \frac{{{x^2} + 4x + 3}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\).
b) Đường thẳng \(AB\) có phương trình là \(y = 2x + 1\).
b) Sai. Cho \(y' = 0 \Leftrightarrow {x^2} + 4x + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1 \Rightarrow y = 1\\x = - 3 \Rightarrow y = - 3\end{array} \right.\).
Do đó \(A\left( { - 1\,;1} \right),\,B\left( { - 3\,; - 3} \right)\) là hai điểm cực trị của hàm số.
Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 2; - 4} \right)\), khi đó đường thẳng \(AB\) có phương trình là:
\(2\left( {x + 1} \right) - \left( {y - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow y = 2x + 3\).
c) Hai điểm \(A\) và \(B\) nằm ở hai phía trục tung.
c) Sai. Vì \(A\left( { - 1\,;1} \right),\,B\left( { - 3\,; - 3} \right)\) nên \({x_A}\) và \({x_B}\) cùng dấu, đồng thời có hoành độ âm.
Do đó hai điểm \(A\left( { - 1\,;1} \right),\,B\left( { - 3\,; - 3} \right)\) nằm về một phía trục tung.
d) Hai điểm \(A,B\) đối xứng nhau qua đường thẳng \(\Delta \) có phương trình \(x + 2y + 4 = 0\).
d) Đúng.Gọi \(I\) là trung điểm \(AB\) nên \(I\left( { - 2; - 1} \right)\).
Thay toạ độ \(I\left( { - 2; - 1} \right)\) vào đường thẳng \(\Delta :x + 2y + 4 = 0\) ta thấy thoả mãn nên \(I \in \Delta \).
Lại có \({\vec u_\Delta } \cdot \overrightarrow {AB} = 2 \cdot \left( { - 2} \right) + \left( { - 4} \right) \cdot \left( { - 1} \right) = 0\) nên \[\Delta \bot AB\].
Vậy hai điểm điểm \(A,B\) đối xứng nhau qua đường thẳng \(\Delta \).
Tập nghiệm của bất phương trình \({3^{x - 2}} > 9\) là:
\(\left( { - \infty ;2} \right)\).
\(\left( {4; + \infty } \right)\).
\(\left( {2; + \infty } \right)\).
\(\left( {5; + \infty } \right)\).
Ta có \({3^{x - 2}} > 9 \Leftrightarrow {3^{x - 2}} > {3^2} \Leftrightarrow x - 2 > 2 \Leftrightarrow x > 4.\)
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(S = \left( {4; + \infty } \right).\) Chọn B.
Giả sử lợi nhuận biên (tính bằng triệu đồng) của một sản phẩm được mô hình hóa bằng công thức \(P'\left( x \right) = - 0,0008x + 10,4\). Ở đây \(P\left( x \right)\) là lợi nhuận (tính bằng triệu đồng) khi bán được \(x\) đơn vị sản phẩm.
a) Lợi nhuận khi bán được \(50\) sản phẩm đầu tiên là \(519\) triệu đồng.
a) Đúng. Ta có lợi nhuận khi bán được \(50\) sản phẩm đầu tiên là:
\(\int\limits_0^{50} {P'\left( x \right){\rm{d}}x = } \int\limits_0^{50} {\left( { - 0,0008x + 10,4} \right){\rm{d}}x = 519} \) (triệu đồng).
b) Biết sự thay đổi của lợi nhuận khi doanh số tăng từ \(50\) lên \(a\) đơn vị sản phẩm lớn hơn \(517\) triệu đồng, khi đó giá trị nhỏ nhất của \(a\) là \(100\).
b) Sai. Ta gọi lợi nhuận khi doanh số tăng từ \(50\) lên \(a\) đơn vị sản phẩm là \(P\left( a \right)\).
Ta có \(P\left( a \right) = \int\limits_{50}^a {P'\left( x \right){\rm{d}}x = } \int\limits_{50}^a {\left( { - 0,0008x + 10,4} \right){\rm{d}}x} \)\( = \left. {\left( { - \frac{{0,0008}}{2}{x^2} + 10,4x} \right)} \right|_{50}^a\)
\( = - \frac{1}{{2500}}{a^2} + 10,4a - 519\).
Ta có \(P\left( a \right) > 517\)\( \Leftrightarrow - \frac{1}{{2500}}{a^2} + 10,4a - 1036 > 0\)\( \Leftrightarrow 100 < a < 25900\).
c) Lợi nhuận khi bán được \(x\) đơn vị sản phẩm được tính bằng công thức
\(P\left( x \right) = - 0,0008{x^2} + 10,4x\).
c) Sai. Lợi nhuận khi bán được \(x\) đơn vị sản phẩm được tính
\(P\left( x \right) = \int {P'\left( x \right){\rm{d}}x = - \frac{{0,0008}}{2}{x^2} + 10,4x + C} \).
Chọn \(x = 0\) thì \(P\left( 0 \right) = 0\) nên ta có \(C = 0\).
Vậy lợi nhuận khi bán được \(x\) đơn vị sản phẩm được tính bằng công thức
\(P\left( x \right) = - \frac{{0,0008}}{2}{x^2} + 10,4x\).
d) Sự thay đổi của lợi nhuận khi doanh số tăng từ \(50\) lên \(55\) đơn vị sản phẩm là \(51,79\) triệu đồng.
d) Đúng. Ta có \(\int\limits_{50}^{55} {P'\left( x \right){\rm{d}}x} = \int\limits_{50}^{55} {\left( { - 0,0008x + 10,4} \right){\rm{d}}x = 51,79} \) nên sự thay đổi của lợi nhuận khi doanh số tăng từ \(50\) lên \(55\) đơn vị sản phẩm là \(51,79\) triệu đồng.
Trong không gian \(Oxyz\), cho đường thẳng \(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 - 2t}\\{y = 3 + t}\\{z = - 1 + 4t}\end{array}} \right.\). Điểm nào dưới đây thuộc đường thẳng \(d\)?
\(P\left( { - 1; - 3;1} \right)\).
\(M\left( {1;3; - 1} \right)\).
\(N\left( { - 2;2;4} \right)\).
\(Q\left( { - 1;1;2} \right)\).
Ta có \(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 - 2t}\\{y = 3 + t}\\{z = - 1 + 4t}\end{array}} \right.\). Ứng với \(t = 0\) ta có điểm \(M\left( {1;3; - 1} \right)\). Chọn B.
Một nghiên cứu tại một trường đại học cho biết tỉ lệ sinh viên dùng cà phê để duy trì tỉnh táo khi học vào ban đêm là 70%. Giả sử chọn ngẫu nhiên 3 sinh viên từ nhóm khảo sát trên để phỏng vấn.
a) Xác suất để cả 3 sinh viên đều dùng cà phê để duy trì tỉnh táo là 0,343.
a) Đúng.Xác suất để cả 3 sinh viên đều dùng cà phê để duy trì tỉnh táo là \(0,{7^3} = 0,343\).
b) Xác suất trong 3 sinh viên có ít nhất 1 sinh viên không dùng cà phê là 0,657.
b) Đúng.Xác suất trong 3 sinh viên không có sinh viên nào không dùng cà phê là 0,343.
Nên xác suất trong 3 sinh viên có ít nhất 1 sinh viên không dùng cà phê là \[1 - 0,343 = 0,657.\]
c) Xác suất trong 3 sinh viên có đúng 1 sinh viên dùng cà phê là 0,189.
c) Đúng.Xác suất trong 3 sinh viên có đúng 1 sinh viên dùng cà phê là: \(0,7 \cdot 0,{3^2} \cdot C_3^1 = 0,189\).
d) Xác suất trong 3 sinh viên có đúng 2 sinh viên dùng cà phê và 1 sinh viên không dùng cà phê lớn hơn 0,45.
d) Sai. Xác suất trong 3 sinh viên có đúng 2 sinh viên dùng cà phê và 1 sinh viên không dùng cà phê là \(0,{7^2} \cdot 0,3 \cdot C_3^2 = 0,441\).
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\). Biết hàm số \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của \(f\left( x \right)\) trên \(\mathbb{R}\) và \(F\left( 3 \right) = 5,F\left( 1 \right) = 1\). Tích phân \(\int\limits_1^3 {f\left( x \right){\rm{d}}x} \) bằng:
\( - 4\).
\(5\).
\(6\).
\(4\).
Ta có \(\int\limits_1^3 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = F\left( 3 \right) - F\left( 1 \right) = 5 - 1 = 4\). Chọn D.
Hai chiếc flycam được điều khiển cùng bay lên tại một địa điểm.
Sau một thời gian bay, chiếc flycam thứ nhất bay đến vị trí điểm \(A\) cách mặt đất \(10\,{\rm{m}}\), cách điểm xuất phát \(8\,{\rm{m}}\) về phía nam và \(3\,{\rm{m}}\) về phía đông. Chiếc flycam thứ hai bay đến điểm \(B\) cách mặt đất \(12\,{\rm{m}}\), cách điểm xuất phát \(4\,{\rm{m}}\) về phía bắc và \(5\,{\rm{m}}\)về phía tây. Chọn hệ trục tọa độ \(Oxyz\) với gốc \(O\) đặt tại điểm xuất phát của hai chiếc flycam, mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) trùng với mặt đất (coi như phẳng) có trục \(Ox\) hướng về phía nam, trục \(Oy\) hướng về phía đông và trục \(Oz\) hướng thẳng đứng lên trời (đơn vị đo trên mỗi trục là mét).
a) Tọa độ của điểm \(A\left( {8;\,3;\,10} \right)\).
a) Đúng.Tọa độ của điểm \(A\left( {8;\,3;\,10} \right)\).
b) Phương trình đường thẳng đi qua vị trí của hai chiếc flycam tại \(A\) và \(B\) là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 8 + 12t\\y = 3 + 8t\\z = 10 - 2t\end{array} \right.\).
b) Đúng.Tọa độ điểm \(B\left( { - 4;\, - 5;\,12} \right)\), \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 12;\, - 8;\,2} \right)\).
Phương trình đường thẳng đi qua vị trí của hai chiếc flycam tại \(A\) và \(B\) là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 8 + 12t\\y = 3 + 8t\\z = 10 - 2t\end{array} \right.\).
c) Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng \(AB\) đi qua \(M\left( {1;\,2;\, - 1} \right)\).
c) Sai.Gọi \(I\) là trung điểm của\(AB\)\( \Rightarrow I\left( {2;\, - 1;\,11} \right)\).
Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng \(AB\) đi qua \(I\) và nhận \(\overrightarrow {AB} \) làm vectơ pháp tuyến có dạng:
\( - 12\left( {x - 2} \right) - 8\left( {y + 1} \right) + 2\left( {z - 11} \right) = 0 \Leftrightarrow 6x + 4y - z + 3 = 0\).
Thay tọa độ điểm \(M\) vào phương trình: \(6 \cdot 1 + 4 \cdot 2 - \left( { - 1} \right) + 3 = 18 \ne 0\).
Do đó điểm \(M\) không thuộc mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng \(AB\).
d) Trên mặt đất người ta đặt một thiết bị phá sóng flycam sao cho có thể phá sóng hai chiếc flycam tại hai vị trí \(A,\,\,B\) cùng một lúc. Tổng khoảng cách ngắn nhất từ thiết bị đó đến hai chiếc flycam tại hai vị trí \(A\) và \(B\) (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm) bằng \(25,46\,\,{\rm{(m)}}\).
d) Sai.Gọi \(N\) là vị trí đặt thiết bị phá sóng flycam. Vì thiết bị có thể phá sóng cùng lúc hai chiếc flycam nên \(NA = NB\).
Suy ra \(N\) thuộc mặt phẳng trung trực \(\left( P \right)\) của \(AB\).
\(N \in \left( {Oxy} \right) \Rightarrow N\) thuộc giao tuyến \(\Delta \) của \(\left( P \right)\) và \(\left( {Oxy} \right)\).
\(\Delta \) có một VTCP \(\overrightarrow {{u_\Delta }} = \left[ {\overrightarrow k ,\,\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} } \right] = \left( { - 4;\,6;\,0} \right)\). Lấy \(I \in \Delta \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}I \in \left( {Oxy} \right)\\I \in \left( P \right)\end{array} \right. \Rightarrow I\left( { - \frac{1}{2};\,0;\,0} \right)\).
\( \Rightarrow \overrightarrow {IA} = \left( {\frac{{17}}{2};\,3;\,10} \right)\).
Ta có \(T = NA + NB = 2NA\).
\({T_{\min }} \Leftrightarrow N{A_{\min }} \Leftrightarrow N\) là hình chiếu của \(A\) xuống \(\Delta \), tức là \(NA = d\left( {A,\Delta } \right) = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {IA} ,\overrightarrow {{u_\Delta }} } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{u_\Delta }} } \right|}} \approx 13,2788\).
Vậy \({T_{\min }} = 2NA \approx 26,56\).
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị là đường cong như hình vẽ dưới đây.
Hàm số nghịch biến trên khoảng (các khoảng) nào sau đây?
\(\left( { - 2;0} \right)\).
\(\left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( { - 1; + \infty } \right)\).
\(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( { - 1; + \infty } \right)\).
\(\mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}\).
Dựa vào đồ thị, ta thấy hàm số nghịch biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( { - 1; + \infty } \right)\).
Chọn C.
Nghiệm của phương trình\({\log _2}x = 3\) là
\(x = \frac{3}{2}\).
\(x = 8\).
\(x = 6\).
\(x = 5\).
Ta có \[{\log _2}x = 3 \Leftrightarrow x = {2^3}\]\[ \Leftrightarrow x = 8\]. Chọn B.
Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\)có \({u_1} = - 3,{u_6} = 27\). Công sai \(d\) của cấp số cộng đã cho là:
\[d = 8\].
\[d = 5\].
\[d = 7\].
\[d = 6\].
Ta có \({u_6} = {u_1} + 5d \Leftrightarrow 27 = - 3 + 5d \Leftrightarrow d = 6\). Chọn D.
Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(SA\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\), \(SA = a\sqrt 2 \). Tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(B\) và \(AB = a\). Góc giữa đường thẳng \(SC\) và mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) bằng
\(60^\circ \).
\(30^\circ \).
\(45^\circ \).
\(90^\circ \).
Do \(SA \bot \left( {ABC} \right)\) nên hình chiếu của \(SC\) lên mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) là \(AC\).
Khi đó, \(\left( {SC,\left( {ABC} \right)} \right) = \left( {SC,AC} \right) = \widehat {SCA}\).
Xét tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(B\) và \(AB = a\) nên \(AC = a\sqrt 2 \).
Xét tam giác \(SAC\) vuông tại \(A\) có \[SA = a\sqrt 2 ,AC = a\sqrt 2 \] nên tam giác \(SAC\) vuông cân tại \(A\).
Suy ra \(\widehat {SCA} = 45^\circ \). Vậy góc giữa đường thẳng \(SC\) và mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) bằng \(45^\circ \). Chọn C.
Cho đồ thị hàm số như hình dưới đây.
Hàm số đó là hàm số nào?
\(y = \frac{{x + 1}}{{x + 2}}\).
\(y = - {x^3} - 6x + 2\).
\(y = - {x^3} + 3{x^2} + 2\).
\(y = {x^3} - 3{x^2} + 2\).
Dựa vào đồ thị ta thấy đây là đồ thị hàm số bậc ba với hệ số \(a > 0\) nên đồ thị trên là hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} + 2\). Chọn D.
Trong không gian \(Oxyz\), mặt cầu \(\left( S \right)\) có phương trình \({\left( {x - 5} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 4\) có bán kính bằng
\(16\).
\(8\).
\(2\).
\(4\).
Bán kính mặt cầu \(\left( S \right)\) là \(\sqrt 4 = 2\). Chọn C.
Khẳng định nào dưới đây đúng?
\(\int {{{2025}^x}{\rm{d}}x} = \frac{{{{2025}^{x + 1}}}}{{x + 1}} + C\).
\(\int {{{2025}^x}{\rm{d}}x} = \frac{{{{2025}^{x + 1}}}}{{\ln 2025}} + C\).
\(\int {{{2025}^x}{\rm{d}}x} = {2025^x} \cdot \ln 2025 + C\).
\(\int {{{2025}^x}{\rm{d}}x} = \frac{{{{2025}^x}}}{{\ln 2025}} + C\).
Ta có \(\int {{{2025}^x}{\rm{d}}x} = \frac{{{{2025}^x}}}{{\ln 2025}} + C\). Chọn D.
Cho hình chóp có diện tích mặt đáy là \(3{a^2}\) và chiều cao bằng \(6a\). Thể tích của khối chóp bằng:
\(18{a^3}\).
\(6{a^3}\).
\(9{a^3}\).
\(3{a^3}\).
Ta có \(V = \frac{1}{3}Bh = \frac{1}{3} \cdot 3{a^2} \cdot 6a = 6{a^3}\). Chọn B.
PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.
Trong Vật lý, một dao động điều hòa là dao động có phương trình chuyển động \(x\left( t \right) = A\cos \left( {\omega t + \varphi } \right)\) trong đó \(A\) là biên độ của dao động, \(\omega \,\,\left( {{\rm{rad/s}}} \right)\) là tần số góc, \(\varphi \,\left( {{\rm{rad}}} \right)\) là pha ban đầu. Động năng (Tiếng Anh: Kinetic energy) của một vật là năng lượng nó có được từ chuyển động của nó, được xác định bởi công thức \(W = \frac{1}{2}m \cdot {v^2}\left( t \right)\) (đơn vị Jun (J)). Trong đó \(m\,\,\left( {{\rm{kg}}} \right)\) là khối lượng của vật, \(v\left( t \right)\,\,\left( {{\rm{m/s}}} \right)\) là vận tốc của vật tại thời điểm \(t\,\left( {\rm{s}} \right)\). Giả sử một vật có khối lượng \(m = 100\,\,{\rm{g}}\)dao động điều hòa với phương trình chuyển động \(x\left( t \right) = 40\cos \left( {200\pi t - \frac{\pi }{3}} \right)\,\,\left( {{\rm{cm}}} \right)\). Khi đó, động năng vật đó đạt giá trị lớn nhất bằng bao nhiêu Jun (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?
Đáp án: 3158.
Ta có \(x\left( t \right) = 40\cos \left( {200\pi t - \frac{\pi }{3}} \right)\,\,\left( {{\rm{cm}}} \right) = 0,4\cos \left( {200\pi t - \frac{\pi }{3}} \right)\,\,\left( {\rm{m}} \right)\).
\(v\left( t \right) = x'\left( t \right) = - 80\pi \sin \left( {200\pi t - \frac{\pi }{3}} \right)\,\,\left( {\rm{m}} \right)\).
\(m = 100\,\,{\rm{g}} = 0,1\,\,{\rm{kg}}\).
Suy ra \(W = \frac{1}{2} \cdot 0,1 \cdot {\left[ { - 80\pi \sin \left( {200\pi t - \frac{\pi }{3}} \right)} \right]^2} = 320{\pi ^2}{\sin ^2}\left( {200\pi t - \frac{\pi }{3}} \right)\).
Ta có \(0 \le {\sin ^2}\left( {200\pi t - \frac{\pi }{3}} \right) \le 1 \Rightarrow 0 \le W \le 320{\pi ^2}\).
\({W_{\max }} = 320{\pi ^2} \approx 3158\,\,\left( {\rm{J}} \right) \Leftrightarrow {\sin ^2}\left( {200\pi t - \frac{\pi }{3}} \right) = 1 \Leftrightarrow \cos \left( {200\pi t - \frac{\pi }{3}} \right) = 0\).
Vậy động năng đạt giá trị lớn nhất bằng \(3158\,\,\left( {\rm{J}} \right)\).
Cho khối chóp \[S.ABCD\] có đáy \[ABCD\] là hình thang vuông tại \[A\] và \[B,AB = BC = 1,\]\[AD = 2.\] Hình chiếu vuông góc của \[S\] lên mặt phẳng đáy trùng với trung điểm \[H\] của \[AD\] và \[SH = \frac{{\sqrt 6 }}{2}.\] Tính khoảng cách từ \[B\] đến mặt phẳng \[\left( {SCD} \right)\] (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
Đáp án: 0,61.
Ta có \(HD{\rm{//}}BC,HD = BC = \frac{1}{2}AD = 1 \Rightarrow BH{\rm{//}}CD \subset \left( {SCD} \right) \Rightarrow BH{\rm{//}}\left( {SCD} \right)\).
Suy ra \(d\left( {B,\left( {SCD} \right)} \right) = d\left( {H,\left( {SCD} \right)} \right)\).
Gọi \(M\) là trung điểm của \(CD,HK\) là đường cao của tam giác \(SHM.\)
Ta có \(HC = AB \Rightarrow HC = HD = 1,\widehat {CHD} = 90^\circ \Rightarrow MH = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).
Vậy \(d\left( {B,\left( {SCD} \right)} \right) = HK = \sqrt {\frac{{H{M^2} \cdot H{S^2}}}{{H{M^2} + H{S^2}}}} = \sqrt {\frac{{\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2}}}{{\frac{1}{2} + \frac{3}{2}}}} = \sqrt {\frac{3}{8}} \approx 0,61\).
Hai nhà máy sản xuất đặt tại các vị trí \(A\) và \(B\)cách nhau \(4\,\,{\rm{km}}\). Một nhà máy cung cấp nước được đặt ở vị trí \(C\) nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng \(AB\), cách trung điểm \(M\)của đoạn thẳng \(AB\) một khoảng \(4\,\,{\rm{km}}\). Người ta muốn làm một đường ống dẫn nước từ nhà máy nước \(C\)đến một vị trí \(I\)nằm giữa đoạn thẳng \(MC\)sau đó chia ra hai nhánh dẫn tới hai nhà máy \(A\) và \(B\)(hình vẽ).
Tổng độ dài đường ống dẫn nước nhỏ nhất bằng bao nhiêu kilômét? (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
Đáp án:\(7,46\).
+ Gọi \(CI = x\,\,\left( {{\rm{km}}} \right),\left( {0 \le x \le 4} \right) \Rightarrow IM = 4 - x\).
+ Khi đó, \(IA = IB = \sqrt {4 + {{\left( {4 - x} \right)}^2}} = \sqrt {20 - 8x + {x^2}} \) (Định lý Pi-ta-go).
Tổng độ dài đường ống dẫn nước là \(T = CI + IA + IB = x + 2\sqrt {{x^2} - 8x + 20} \).
Xét \(T\left( x \right) = x + 2\sqrt {{x^2} - 8x + 20} ,\,0 \le x \le 4\); \(T'\left( x \right) = 1 + \frac{{2x - 8}}{{\sqrt {{x^2} - 8x + 20} }}\).
Xét \[T'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 1 + \frac{{2x - 8}}{{\sqrt {{x^2} - 8x + 20} }} = 0\]\[ \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} - 8x + 20} = - \left( {2x - 8} \right)\]
\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 4\\{x^2} - 8x + 20 = {\left( {2x - 8} \right)^2}\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 4\\3{x^2} - 24x + 44 = 0\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow x = \frac{{12 - 2\sqrt 3 }}{3}\] (thỏa mãn điều kiện).
Bảng biến thiên
Tổng độ dài đường ống dẫn nước nhỏ nhất xấp xỉ bằng \(7,46\,\,{\rm{km}}\).
Nam và ba người bạn lên kế hoạch cho một chuyến đi phượt xuyên Việt, ghé thăm 4 thành phố: A, B, C và D. Họ xuất phát từ A, đi qua tất cả các thành phố còn lại đúng một lần rồi quay về A. Bảng chi phí nhiên liệu (tính bằng lít xăng) giữa các thành phố như sau:
| A | B | C | D |
A | 0 | 40 | 90 | 110 |
B | 40 | 0 | 50 | 70 |
C | 90 | 50 | 0 | 30 |
D | 110 | 70 | 30 | 0 |
Xe của nhóm hiện đã có sẵn \(150\)lít xăng. Để hoàn thành hành trình, họ cần đổ thêm ít nhất bao nhiêu lít xăng?
Đáp án: \(7,46\).
+ Gọi \(CI = x\,\,\left( {{\rm{km}}} \right),\left( {0 \le x \le 4} \right) \Rightarrow IM = 4 - x\).
+ Khi đó, \(IA = IB = \sqrt {4 + {{\left( {4 - x} \right)}^2}} = \sqrt {20 - 8x + {x^2}} \) (Định lý Pi-ta-go).
Tổng độ dài đường ống dẫn nước là \(T = CI + IA + IB = x + 2\sqrt {{x^2} - 8x + 20} \).
Xét \(T\left( x \right) = x + 2\sqrt {{x^2} - 8x + 20} ,\,0 \le x \le 4\); \(T'\left( x \right) = 1 + \frac{{2x - 8}}{{\sqrt {{x^2} - 8x + 20} }}\).
Xét \[T'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 1 + \frac{{2x - 8}}{{\sqrt {{x^2} - 8x + 20} }} = 0\]\[ \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} - 8x + 20} = - \left( {2x - 8} \right)\]
\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 4\\{x^2} - 8x + 20 = {\left( {2x - 8} \right)^2}\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 4\\3{x^2} - 24x + 44 = 0\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow x = \frac{{12 - 2\sqrt 3 }}{3}\] (thỏa mãn điều kiện).
Bảng biến thiên
Tổng độ dài đường ống dẫn nước nhỏ nhất xấp xỉ bằng \(7,46\,\,{\rm{km}}\).
Một căn bệnh có 1% dân số mắc phải. Một phương pháp chẩn đoán căn bệnh nói trên có tỉ lệ chính xác là 98% (với cả người bị bệnh và người không bị bệnh). Biết rằng nếu một người được sử dụng phương pháp trên để kiểm tra và cho kết quả dương tính (bị bệnh) thì xác suất người đó thực sự bị bệnh là \(\frac{y}{{148}},\)\(y\) là số tự nhiên. Hỏi \(y\) bằng bao nhiêu?
Đáp án: 49.
Gọi \(H\) là biến cố: “Người được sử dụng phương pháp chẩn đoán trên là người bị mắc bệnh”.
Hệ \(\left\{ {H;\,\,\bar H} \right\}\) là hệ đầy đủ biến cố với \(P\left( H \right) = 0,01\) và \(P\left( {\bar H} \right) = 0,99\).
Gọi \(A\) là biến cố: “Chẩn đoán cho kết quả dương tính”.
Ta có \(P\left( {A|H} \right) = 0,98;\,\,P\left( {A|\bar H} \right) = 0,02\).
Ta cần tìm xác suất \(P\left( {H|A} \right)\).
Áp dụng công thức xác suất Bayes, ta có
\(P\left( {H|A} \right) = \frac{{P\left( H \right) \cdot P\left( {A|H} \right)}}{{P\left( H \right) \cdot P\left( {A|H} \right) + P\left( {\bar H} \right) \cdot P\left( {A|\bar H} \right)}} = \frac{{0,01 \cdot 0,98}}{{0,01 \cdot 0,98 + 0,99 \cdot 0,02}} = \frac{{49}}{{148}}.\)
Vậy giá trị của \(y\) là \(49.\)
Trạm tàu cứu hộ được đặt tại vị trí \(A\left( {5;0;0} \right)\) trên một hòn đảo nhỏ trong không gian \(Oxyz\)(đơn vị trên mỗi trục được tính bằng km), được sử dụng làm trạm cứu hộ, cứu nạn trên biển. Tàu du lịch B đang di chuyển (vận tốc không đổi) trên tuyến đường được mô tả bởi đường thẳng \({d_1}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 + t{\rm{ }}}\\{y = 3 - 2t}\\{z = 0{\rm{ }}}\end{array}} \right.\). Tàu chở hàng C đang di chuyển (vận tốc không đổi) trên tuyến đường vận tải được mô tả bởi đường thẳng \({d_2}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2 - s}\\{y = 9 + s}\\{z = 0{\rm{ }}}\end{array}} \right.\). Do thời tiết xấu, nên tàu B và C gặp sự cố và cần được tiếp cận khẩn cấp. Trạm cứu hộ điều một tàu cứu hộ xuất phát từ A để lần lượt tiếp cận tàu du lịch B trước, sau đó đến tàu chở hàng C. Xét vị trí tối ưu của tàu du lịch B dừng lại và tàu chở hàng C dừng lại sao cho tổng quãng đường tàu cứu hộ cần đi \(P = AB + BC + CA\) là nhỏ nhất. Khi đó \({P_{\min }} = \sqrt a \) (km), hãy tính \(a + 2025?\)
Đáp án: 2189.
Do \({d_1} \cap {d_2} = G\left( { - 6;17;0} \right)\)\( \Rightarrow \left( {{d_1};{d_2}} \right) = \left( P \right):{\rm{ }}z = 0\).
+ \(M\)đối xứng với \(A\) qua \({d_1}\)
mp\(\left( Q \right)\) qua điểm \(A\) và vuông góc với \({d_1}\) có phương trình: \(x - 2y - 5 = 0\)
\(F = \left( Q \right) \cap {d_1} \Rightarrow F\left( {3; - 1;0} \right)\)
\(M\)đối xứng với \(A\) qua \({d_1}\)\( \Rightarrow F\)là trung điểm \(AM \Rightarrow M\left( {1; - 2;0} \right)\).
+ \(N\)đối xứng với \(A\) qua \({d_1}\)
mp\(\left( R \right)\) qua điểm \(A\) và vuông góc với \({d_2}\) có phương trình: \(x - y - 5 = 0\)
\(E = \left( R \right) \cap {d_2} \Rightarrow E\left( {8;3;0} \right)\)
\(N\)đối xứng với \(A\) qua \({d_2}\)\( \Rightarrow E\)là trung điểm \(AN \Rightarrow N\left( {11;6;0} \right)\)
+ Ta có \(P = AB + BC + CA = BM + BC + CN \ge MN\).
Suy ra \({P_{\min }} = MN = \sqrt {{{\left( {11 - 1} \right)}^2} + {{\left( {6 + 2} \right)}^2}} = \sqrt {164} \).
Vậy \(a + 2025 = 164 + 2025 = 2189\).
