Đề tham khảo ôn thi tốt nghiệp THPT môn Toán có đáp án (Đề số 21)
34 câu hỏi
PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu thí sinh chỉ chọn một phương án.
Cho cấp số nhân \[\left( {{u_n}} \right)\]với \[{u_1} = 3\] và công bội \[q = - 2\]. Giá trị của \[{u_4}\] bằng
\(24\).
\( - 12\).
\( - 24\).
\(12\).
Ta có \({u_4} = {u_1} \cdot {q^3} = 3 \cdot {\left( { - 2} \right)^3} = - 24\). Chọn C.
PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Cho hàm số \[y = \frac{{{x^2} + 2x - 1}}{{x - 1}}\] có đồ thị \[\left( C \right)\].
a) Hàm số có 2 điểm cực trị.
a)Đúng. Hàm số\[y = \frac{{{x^2} + 2x - 1}}{{x - 1}} = x + 3 + \frac{2}{{x - 1}}\].
Tập xác định \[D = \left( { - \infty \,;1} \right) \cup \left( {1\,; + \infty } \right)\], đạo hàm \[y' = 1 - \frac{2}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1 + \sqrt 2 \\x = 1 - \sqrt 2 \end{array} \right.\].
b) Hàm số nghịch biến trên khoảng \[\left( {0\,;2} \right)\].
b) Sai. Vì hàm số không xác định tại \(x = 1 \in \left( {0\,;2} \right)\).
c) Đồ thị \[\left( C \right)\] có tiệm cận đứng là đường thẳng có phương trình \(x = 1\).
c) Đúng. Vì \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {x + 3 + \frac{2}{{x - 1}}} \right) = + \infty \] nên đường thẳng \(x = 1\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
d) \[M\]là điểm bất kì thuộc đồ thị \[\left( C \right)\]. Tích khoảng cách từ \[M\]đến tiệm cận đứng và tiệm cận xiên của đồ thị \[\left( C \right)\] bằng \[\sqrt 2 \].
d) Đúng. Giả sử \[M\left( {{x_0};{x_0} + 3 + \frac{2}{{{x_0} - 1}}} \right)\] với \[{x_0} \ne 1\] là điểm bất kỳ thuộc \[\left( C \right)\].
+) Khoảng cách từ \[M\] tới tiệm cận đứng \[x = 1\] là \[\left| {{x_0} - 1} \right|\].
+) Khoảng cách từ \[M\] tới tiệm cận xiên \[y = x + 3 \Leftrightarrow x - y + 3 = 0\] là
\[\frac{{\left| {{x_0} - \left( {{x_0} + 3 + \frac{2}{{{x_0} - 1}}} \right) + 3} \right|}}{{\sqrt 2 }} = \frac{{\left| {\frac{2}{{{x_0} - 1}}} \right|}}{{\sqrt 2 }} = \frac{{\sqrt 2 }}{{\left| {{x_0} - 1} \right|}}\].
Tích khoảng cách từ \[M\] tới tiệm cận đứng và tiệm cận xiên là \[\left| {{x_0} - 1} \right| \cdot \frac{{\sqrt 2 }}{{\left| {{x_0} - 1} \right|}} = \sqrt 2 \].
Cho hàm số\[y = f\left( x \right)\] xác định trên \[\mathbb{R}\]và có bảng biến thiên như sau:
Điểm cực đại của hàm số \[y = f\left( x \right)\] là
\[x = - 7\].
\[x = - 6\].
\[x = - 3\].
\[x = - 4\].
Từ bảng biến thiên ta thấy điểm cực đại của hàm số \[y = f\left( x \right)\] là \[x = - 4\]. Chọn D.
Một chất điểm chuyển động theo quy luật với tốc độ \[v\left( t \right)\,\,{\rm{(m/s)}}\], biết rằng \[v\left( t \right)\] có dạng đường parabol \[\left( P \right)\] đỉnh \[I\left( {2;3} \right)\] khi \[0 \le t \le 5\,\,{\rm{(s)}}\] và \[v\left( t \right)\] có dạng đường thẳng khi \[5 \le t \le 10\,\,{\rm{(s)}}\] như hình vẽ dưới đây.
a) Phương trình parabol \[\left( P \right)\] là \[v\left( t \right) = 2{t^2} - 8t + 10\].
a) Sai.
+) Parabol \(\left( P \right)\) có đỉnh \(I\left( {2;3} \right)\) nên phương trình \(\left( P \right)\) có dạng: \(v = a{\left( {t - 2} \right)^2} + 3\).
+) \(\left( P \right)\) đi qua điểm có tọa độ \(\left( {0;11} \right)\) nên \(11 = 4a + 3 \Leftrightarrow a = 2\).
Vậy phương trình \(\left( P \right)\) là \(v = 2{\left( {t - 2} \right)^2} + 3\) hay \[v\left( t \right) = 2{t^2} - 8t + 11\].
Theo đồ thị, khi \(t = 5 \Rightarrow v\left( 5 \right) = 21\).
+) Đường thẳng \(d\) có dạng: \(v = mt + n\).
+) Đường thẳng \(d\) đi qua hai điểm \(\left( {5;21} \right)\) và \(\left( {10;0} \right)\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}5m + n = 21\\10m + n = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = - \frac{{21}}{5}\\n = 42\end{array} \right.\).
Vậy phương trình \(d:v = - \frac{{21}}{5}t + 42\).
Do đó vt=2t2−8t+11, 0≤t≤5−215t+42, 5≤t≤10
b) Quãng đường vật di chuyển được trong khoảng thời gian từ \(0\)giây đến \(5\) giây là \[\frac{{115}}{3}\,\,{\rm{(m)}}\].
b) Đúng. Quãng đường vật di chuyển được trong khoảng thời gian từ \(0\)giây đến \(5\) giây là \({S_1} = \int\limits_0^5 {\left( {2{t^2} - 8t + 11} \right){\rm{d}}t} = \frac{{115}}{3}\,\,{\rm{(m)}}\).
c) Quãng đường vật di chuyển được trong khoảng thời gian từ giây thứ 5 đến giây thứ 10 là \[\frac{{385}}{2}\,\,{\rm{(m)}}\].
c) Sai. Quãng đường vật di chuyển được trong khoảng thời gian từ giây thứ 5 đến giây thứ 10 là \({S_2} = \int\limits_5^{10} {\left( { - \frac{{21}}{5}t + 42} \right){\rm{d}}t} = 52,5\,\,{\rm{(m)}}\).
d) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \[v\left( t \right),\]trục \[Ot\], và hai đường thẳng \[t = 0,t = 10\] là \[\frac{{395}}{6}\] (đvdt).
d) Sai. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \[v\left( t \right),\] trục \[Ot\], và hai đường thẳng \[t = 0,t = 10\] là \(S = \int\limits_0^5 {\left( {2{t^2} - 8t + 11} \right){\rm{d}}t} + \int\limits_5^{10} {\left( { - \frac{{21}}{5}t + 42} \right){\rm{d}}t} = \frac{{545}}{6}\)(đvdt).
Nguyên hàm \[F\left( x \right)\] của hàm số \[f\left( x \right) = \frac{1}{x} + e\] là
\[F\left( x \right) = - \frac{1}{{{x^2}}} + {e^x} + C\].
\[F\left( x \right) = \ln \left| x \right| + ex + C\].
\[F\left( x \right) = \ln \left| x \right| + {e^x} + C\].
\[F\left( x \right) = \ln x + e + C\].
Nguyên hàm \[F\left( x \right)\] của hàm số \[f\left( x \right) = \frac{1}{x} + e\] là \[F\left( x \right) = \ln \left| x \right| + ex + C\]. Chọn B.
Trong một cuộc khảo sát tình trạng công việc trên \(900\)người chỉ có bằng tốt nghiệp THPT tại một địa phương, người ta thu được số liệu như bảng dưới đây.
Tình trạng Giới tính | Có việc làm | Thất nghiệp |
Nam | 460 | 40 |
Nữ | 140 | 260 |
Chọn ngẫu nhiên một người trong nhóm này.
a) Xác suất để chọn được một nam là \(\frac{5}{9}\).
a) Đúng.Gọi \(A\) là biến cố: “Chọn được một người là nam”.
Ta có \(n\left( A \right) = 500\); \(n\left( \Omega \right) = 900\)\( \Rightarrow P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{500}}{{900}} = \frac{5}{9}\).
b) Xác suất để chọn được một người có việc làm là \(\frac{2}{3}\).
b) Đúng.Gọi \(B\) là biến cố: “Chọn được một người có việc làm”.
Ta có \(n\left( B \right) = 600\); \(n\left( \Omega \right) = 900\)\( \Rightarrow P\left( B \right) = \frac{{n\left( B \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{600}}{{900}} = \frac{2}{3}\).
c) Tại địa phương này, nếu chỉ có bằng tốt nghiệp THPT thì tỉ lệ nữ thất nghiệp sẽ cao hơn nam. Khảo sát cho thấy xác suất để một người thất nghiệp khi người đó là nữ cao gấp 7 lần xác suất để một người thất nghiệp khi người đó là nam.
c) Sai. Xác suất để một người thất nghiệp khi người đó là nữ cao gấp \(\frac{{260}}{{40}} = 6,5\) lần xác suất để một người thất nghiệp khi người đó là nam.
d) Biết rằng đã chọn được một người có việc làm, xác suất để người này là nữ là \(\frac{7}{{30}}\).
d) Đúng.Gọi \(C\) là biến cố: “Chọn được một người là nữ”.Ta tính \(P\left( {C|B} \right)\).
Ta có \(P\left( {C|B} \right) = \frac{{P\left( {CB} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{n\left( {BC} \right)}}{{n\left( B \right)}} = \frac{{140}}{{600}} = \frac{7}{{30}}\).
Trong không gian \(Oxyz\), mặt phẳng \(\left( P \right):2x + y - 1 = 0\) có một vectơ pháp tuyến là
\({\vec n_1} = \left( { - 2; - 1;1} \right)\).
\({\vec n_2} = \left( {2;1; - 1} \right)\).
\({\vec n_3} = \left( {1;2;0} \right)\).
\({\vec n_4} = \left( {2;1;0} \right)\).
Mặt phẳng \(\left( P \right):2x + y - 1 = 0\) có một vectơ pháp tuyến là \({\vec n_4} = \left( {2;1;0} \right)\). Chọn D.
Một radar phòng không được đặt tại vị trí gốc tọa độ \(O\left( {0;0;0} \right)\) trong không gian \(Oxyz\), mỗi đơn vị trên trục tọa độ ứng với \(1\,\,{\rm{km}}\). Radar này có khả năng phát hiện các mục tiêu bay trong bán kính \(250\,\,{\rm{km}}\). Một máy bay không người lái (UAV) đang bay thẳng đều từ vị trí điểm \(A\left( {300; - 400;100} \right)\) đến điểm \(B\left( { - 300;400;100} \right)\). UAV bay với vận tốc không đổi \(900\,\,{\rm{km/h}}\) và mang theo thiết bị gây nhiễu chủ động có tầm hiệu quả \(50\,\,{\rm{km}}\) tính từ UAV.
(Tham khảo từ Stimson’s Introduction to Airborne Radar; 3rd Edition, George W. Stimson, Hugh D. Griffiths, Christophes Baker; Dave Adamy.)
a) Radar không thể phát hiện UAV khi UAV ở vị trí \(A\).
a) Đúng. Ta có \(OA = \sqrt {{{300}^2} + {{\left( { - 400} \right)}^2} + {{100}^2}} = \sqrt {260000} = 100\sqrt {26} \approx 509,9\, > 250\) nên radar không thể phát hiện UAV khi UAV ở vị trí \(A\).
b) Phương trình tham số của đường bay của \(UAV\) là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 300 - 3t\\y = - 400 + 4t\\z = 0\end{array} \right.,\,\,t \in \mathbb{R}\).
b) Sai. Đường bay của UAV là đường thẳng đi qua hai điểm \(A\) và \(B\).
Ta có \({z_A} = {z_B} = 100 \ne 0\) không thỏa mãn phương trình đã cho.
c) Trong suốt quá trình bay, sẽ có thời điểm UAV gây nhiễu được radar.
c)Sai. Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {OA} = \left( {300; - 400;100} \right)\\\overrightarrow {BA} = \left( {600; - 800;0} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {BA} } \right] = \left( {80000;60000;0} \right)\).
Khoảng cách từ vị trí đặt radar đến đường bay của UAV bằng khoảng cách từ gốc tọa độ \(O\) đến đường thẳng \(AB\) và bằng \(d\left( {O,AB} \right) = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {BA} } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow {BA} } \right|}} = \frac{{\sqrt {{{80000}^2} + {{60000}^2}} }}{{\sqrt {{{600}^2} + {{\left( { - 800} \right)}^2}} }} = 100\).
Khoảng cách đó lớn hơn tầm hiệu quả gây nhiễu của UAV nên UAV không thể gây nhiễu radar.
d) Radar có thể theo dõi UAV trong khoảng thời gian \(30\) phút.
d) Đúng.
Ta có \(OA = \sqrt {{{300}^2} + {{\left( { - 400} \right)}^2} + {{100}^2}} = \sqrt {260000} = 100\sqrt {26} \approx 509,9\, > 250\);
\(OB = \sqrt {{{\left( { - 300} \right)}^2} + {{400}^2} + {{100}^2}} = \sqrt {260000} = 100\sqrt {26} \approx 509,9\, > 250\).
Suy ra hai điểm \(A\) và \(B\) nằm ngoài vùng kiểm soát của radar.
Gọi \(M\), \(N\) lần lượt là điểm bắt đầu và điểm kết thúc mà radar phát hiện được UAV.
Ta có \(MN = 2MH = 2\sqrt {{{250}^2} - {{100}^2}} = 100\sqrt {21} \) \({\rm{(km)}}\) (với \[H\] là trung điểm của \(MN\)).
Vậy thời gian radar có thể theo dõi UAV là \(t = \frac{{100\sqrt {21} }}{{900}} \approx 0,51\) giờ \( \approx 30\) phút.
Một công ty cung cấp nước sạch thống kê lượng nước các hộ gia đình trong một khu vực tiêu thụ trong một tháng ở bảng sau:
Lượng nước tiêu thụ (m3) | \(\left[ {3\,;\,6} \right)\) | \(\left[ {6\,;\,9} \right)\) | \(\left[ {9\,;\,12} \right)\) | \(\left[ {12\,;\,15} \right)\) | \(\left[ {15\,;\,18} \right)\) |
Số hộ gia đình | \(20\) | \(60\) | \(40\) | \(32\) | \(7\) |
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm trên là
\[20\,\,{{\rm{m}}^{\rm{3}}}\].
\[18\,\,{{\rm{m}}^{\rm{3}}}\].
\[3\,\,{{\rm{m}}^{\rm{3}}}\].
\[15\,\,{{\rm{m}}^{\rm{3}}}\].
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm trên là \[18 - 3 = 15\]. Chọn D.
Cho hàm số \[F\left( x \right)\] là một nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right)\]. Biết \[F\left( 1 \right) = - 3,F\left( { - 2} \right) = 12\]. Tính \[I = \int\limits_{ - 2}^1 {f\left( x \right)} \,{\rm{d}}x\].
\[I = 9\].
\[I = 15\].
\[I = - 36\].
\[I = - 15\].
Ta có I=∫−21fx dx=F1−F−2=−3−12=−15. Chọn D.
Cho hai biến cố độc lập \[A\] và \[B\]với \[P\left( A \right) = 0,7;\,P\left( B \right) = 0,2\]. Khi đó, \[P\left( {A|B} \right)\]bằng:
\(0,3\).
\[0,7\].
\(0,8\).
\(0,2\).
Ta có hai biến cố độc lập \[A\] và \[B\], suy ra \[P\left( {A|B} \right) = P\left( A \right) = 0,7\]. Chọn B.
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ {1;5} \right]\) và có đồ thị như hình vẽ sau:
Trên đoạn \(\left[ {1;5} \right]\), hàm số đã cho đạt giá trị lớn nhất tại điểm
\(x = 4\).
\(x = 1\).
\(x = 2\).
\(x = 5\).
Dựa vào đồ thị của hàm số \(y = f\left( x \right)\) ta có trên đoạn \(\left[ {1;5} \right]\), hàm số đã cho đạt giá trị lớn nhất tại điểm \(x = 2\). Chọn C.
Tập nghiệm của bất phương trình \({\rm{lo}}{{\rm{g}}_{\frac{1}{2}}}\left( {x + 1} \right) > - 1\) là
\(\left( { - 1;1} \right)\).
\(\left( {1; + \infty } \right)\).
\(\left( { - \infty ;1} \right)\).
\(\left( {0;3} \right)\).
Ta có \({\rm{lo}}{{\rm{g}}_{\frac{1}{2}}}\left( {x + 1} \right) > - 1 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > - 1\\x + 1 < {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{ - 1}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > - 1\\x + 1 < 2\end{array} \right. \Leftrightarrow - 1 < x < 1\).
Vậy tập nghiệm của bất phương trình \({\rm{lo}}{{\rm{g}}_{\frac{1}{2}}}\left( {x + 1} \right) > - 1\) là \(\left( { - 1;1} \right)\). Chọn A.
Phương trình đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = \frac{{ - 2x - 1}}{{x - 2}}\) là
\(y = - 2\).
\(y = 2\).
\(x = 2\).
\(x = - 2\).
Đồ thị hàm số \(y = \frac{{ - 2x - 1}}{{x - 2}}\) có đường tiệm cận ngang là \(y = - 2\). Chọn A.
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\). Cạnh \(SA\) vuông góc với mặt phẳng đáy và có độ dài là \(2a\). Thể tích khối chóp \(S.BCD\) bằng
\(\frac{{{a^3}}}{8}\).
\(\frac{{{a^3}}}{3}\).
\(\frac{{{a^3}}}{4}\).
\(\frac{{2{a^3}}}{3}\).
Ta có \({V_{S.BCD}} = \frac{1}{2} \cdot {V_{S.ABCD}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} \cdot SA \cdot {S_{ABCD}} = \frac{1}{6} \cdot 2a \cdot {a^2} = \frac{{{a^3}}}{3}\). Chọn B.
Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right)\) có phương trình \({x^2} + {y^2} + {z^2} = \frac{1}{4}\). Bán kính \(R\) của mặt cầu \(\left( S \right)\) bằng
\(R = \frac{1}{2}\).
\(R = \frac{1}{4}\).
\(R = 2\).
\(R = 4\).
Bán kính mặt cầu: \(R = \sqrt {\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}\). Chọn A.
PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.
Lát cắt của một vùng đất được mô hình hóa bởi hàm bậc ba \[y = f\left( x \right)\]có đồ thị như hình vẽ dưới (đơn vị trên các trục là km). Biết khoảng cách \[OM = 2\,{\rm{km}}\]; độ rộng của núi \[MN = 3,5\,{\rm{km}}{\rm{.}}\] Độ sâu của hồ nước là 450 m. Chiều cao của ngọn núi là bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?
Đáp án: 1191.
Hàm số bậc ba \[y = f\left( x \right)\] có dạng \[y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\], \[\left( {a \ne 0} \right)\].
Ta có \[ON = OM + MN = 2 + 3,5 = 5,5\,\,\left( {{\rm{km}}} \right)\].
Dựa vào hình vẽ đã cho, ta thấy đồ thị hàm số cắt trục hoành tại các điểm \[O\left( {0;0} \right)\], \[M\left( {2;0} \right)\] và \[N\left( {5,5;0} \right)\].
Khi đó, phương trình \[f\left( x \right) = 0\] có ba nghiệm phân biệt là \[x = 0;x = 2;x = 5,5\].
\[ \Rightarrow f\left( x \right) = kx\left( {x - 2} \right)\left( {x - 5,5} \right)\]\[ = k\left( {{x^3} - 7,5{x^2} + 11x} \right)\] và từ đồ thị, ta thấy \[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } = - \infty \] nên \[k < 0\].
Ta có \[f'\left( x \right) = k\left( {3{x^2} - 15x + 11} \right)\].
Xét \[f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow k\left( {3{x^2} - 15x + 11} \right) = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} - 15x + 11 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{15 \pm \sqrt {93} }}{6}\].
Độ sâu của hồ nước là \[450\,\,{\rm{m}} = 0,45\,\,{\rm{km}}\] nên ta có giá trị cực tiểu của đồ thị hàm số trên là\[{y_{CT}} = - 0,45\].
Suy ra, \[f\left( {\frac{{15 - \sqrt {93} }}{6}} \right) = - 0,45 \Leftrightarrow k \cdot \frac{{ - 135 + 31\sqrt {93} }}{{36}} = - 0,45 \Leftrightarrow k = \frac{{ - 16,2}}{{ - 135 + 31\sqrt {93} }}\].
Chiều cao của ngọn núi tương ứng với .
Vậy ngọn núi cao khoảng \[1191\,\,{\rm{m}}\].
Cho hình chóp \[S.ABC\] có đáy \[ABC\] là tam giác đều cạnh \[a,\] cạnh bên \[SA\] vuông góc với mặt đáy, \(SA = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}.\) Biết khoảng cách từ điểm \[A\] đến mặt phẳng \[\left( {SBC} \right)\] là \[ma\] (với \[m\] là số thực dương). Khi đó giá trị của \[m\] bằng bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?
Đáp án: 0,71.
Gọi \(I\) là trung điểm của \(BC.\) Kẻ đường cao \(AH\) của tam giác \(SAC.\)
Ta có \(\Delta ABC\) đều nên \(BC \bot AI\). Mà \(SA \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow BC \bot SA\).
Suy ra \(BC \bot \left( {SAI} \right) \Rightarrow BC \bot AI.\)
Mặt khác \(AH \bot SI \subset \left( {SBC} \right) \Rightarrow AH \bot \left( {SBC} \right) \Rightarrow d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right) = AH\).
Xét tam giác vuông \(SAI\) có:
\(AI = \frac{{a\sqrt 3 }}{2},SA = \frac{{a\sqrt 6 }}{2} \Rightarrow A{H^2} = \frac{{A{I^2} \cdot S{A^2}}}{{A{I^2} + S{A^2}}} = \frac{{{a^2}}}{2} \Rightarrow AH = \frac{{\sqrt 2 }}{2}a \Rightarrow m \approx 0,71\).
Sân vận động Sport Hub (Singapore) là sân có mái vòng kì vĩ nhất thế giới. Đây là nơi diễn ra lễ khai mạc Đại hội thể thao Đông Nam Á được tổ chức tại Singapore năm 2015. Nền sân là một elip \[\left( E \right)\] có trục lớn dài 150 m, trục bé dài 90 m. Nếu cắt sân vận động theo một mặt phẳng vuông góc với trục lớp của \[\left( E \right)\] và cắt elip tại M, N thì ta được thiết diện luôn là một phần của hình tròn có tâm I (phần tô đậm) với MN là một dây cung và góc \[\widehat {MIN} = 90^\circ \]. Để lắp máy điều hòa không khí thì các kĩ sư cần tính thể tích phần không gian bên dưới mái che và bên trên mặt sân, coi như mặt sân là một mặt phẳng và thể tích vật liệu là mái không đáng kể. Biết rằng cách tính công suất cần đủ là 200 BTU/\[{{\rm{m}}^{\rm{3}}}\]. Hỏi cần ít nhất bao nhiêu chiếc điều hòa công suất 50 000 BTU?
Đáp án: 463.
Gọi bán kính của đường tròn tâm I là R, khi đó:
Diện tích hình quạt NIM là \[\frac{{\pi {R^2}}}{4}\].
Diện tích tam giác vuông NIM là \[\frac{1}{2}{R^2}\].
Diện tích hình viên phân giới hạn bởi cung nhỏ và đường tròn là \[{R^2}\left( {\frac{\pi }{4} - \frac{1}{2}} \right)\].
Mà tam giác NIM vuông nên \[ \Rightarrow R = \frac{{NM}}{{\sqrt 2 }}\].
Suy ra diện tích hình viên phân là \[\frac{{N{M^2}}}{2}\left( {\frac{\pi }{4} - \frac{1}{2}} \right)\] (1).
Phương trình elip có dạng \[\frac{{{x^2}}}{{{{75}^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{{45}^2}}} = 1\]\[ \Rightarrow y = 45\sqrt {1 - \frac{{{x^2}}}{{{{75}^2}}}} \], mà \[M \in \left( E \right)\].
\[ \Rightarrow MN = 2y = 90\sqrt {1 - \frac{{{x^2}}}{{{{75}^2}}}} \] thay vào (1), ta được \[S = \frac{1}{2} \cdot {90^2}\left( {1 - \frac{{{x^2}}}{{{{75}^2}}}} \right)\left( {\frac{\pi }{4} - \frac{1}{2}} \right)\].
\[ \Rightarrow V = \int\limits_{ - 75}^{75} {\left[ {\frac{1}{2} \cdot {{90}^2}\left( {1 - \frac{{{x^2}}}{{{{75}^2}}}} \right)\left( {\frac{\pi }{4} - \frac{1}{2}} \right)} \right]{\rm{d}}x} \]\[ \approx 115\,\,586\].
Số BTU cần dùng là \[ \approx 200 \cdot 115\,\,586 \approx 23\,\,117\,\,251\].
Số máy điều hòa cần dùng là \[ \approx \frac{{23\,\,117\,\,251}}{{50\,\,000}} \approx 463\].
Vào ngày 01/02/2023, ông An vay ngân hàng 200 triệu đồng với lãi suất 8%/năm. Ông dùng toàn bộ số tiền vay mua cổ phiếu mã SP với giá 50 nghìn đồng/1 cổ phiếu. Đúng sau một năm, để trả nợ ngân hàng ông An bán toàn bộ cổ phiếu đó với giá mỗi cổ phiếu là 55,6 nghìn đồng. Số tiền còn lại của ông An sau khi đã trả nợ cho ngân hàng là bao nhiêu triệu đồng?
Đáp án: \(6,4\).
Số tiền cả vốn và lãi ông An phải trả cho ngân hàng sau 1 năm là \(200\left( {1 + 8\% } \right) = 216\) (triệu đồng).
Số cổ phiếu ông An mua là: \(200\,000\,000:50\,000 = 4\,000\) (cổ phiếu).
Số tiền ông An bán cổ phiếu là \(4\,000 \cdot 55\,600 = 222\,400\,000\) (đồng) \( = 222,4\) (triệu đồng).
Số tiền còn lại của ông An là \(222,4 - 216 = 6,4\) (triệu đồng).
Một công ty logistics đang thử nghiệm hệ thống giao hàng tự động bằng máy bay không người lái (drone). Trong không gian \(Oxyz\), mỗi đơn vị trên các trục tương ứng với 1 mét trên thực tế. Mặt ngoài của một tòa nhà cao tầng được xem là một phần của mặt phẳng \(\left( P \right)\) thẳng đứng, đi qua hai điểm \(C\left( {10;50;0} \right)\) và \(D\left( {30;10;0} \right)\). Vị trí giao hàng là điểm \(B\) nằm trên mặt phẳng \(\left( P \right)\). Drone bắt đầu bay từ kho hàng tại gốc tọa độ \(O\left( {0;0;0} \right)\). Ban đầu, nó bay theo một đường thẳng đến vị trí \(A\left( {30;40;120} \right)\). Từ vị trí \(A\), drone thay đổi đường bay, di chuyển theo phương vuông góc với mặt phẳng \(\left( P \right)\) đến vị trí giao hàng \(B\). Tính khoảng cách từ \(O\) đến \(B\) (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).
Đáp án: 126.
Mặt phẳng \(\left( P \right)\) có cặp VTCP là \(\overrightarrow k = \left( {0;0;1} \right)\) và \(\overrightarrow {CD} = \left( {20; - 40;0} \right)\).
Ta có \(\left[ {\overrightarrow k ,\overrightarrow {CD} } \right] = \left( {{\rm{40;20;0}}} \right){\rm{//}}\left( {{\rm{2;1;0}}} \right) \Rightarrow \left( P \right):2\left( {x - 10} \right) + y - 50 = 0 \Leftrightarrow 2x + y - 70 = 0\).
Phương trình đường thẳng đi qua \(A\), vuông góc với \(\left( P \right)\) là \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = 30 + 2t\\y = 40 + t\\z = 120\end{array} \right.\).
Ta có \(B \in \Delta \Rightarrow B\left( {30 + 2t;40 + t;120} \right)\).
Mặt khác \(B \in \left( P \right) \Rightarrow 2\left( {30 + 2t} \right) + 40 + t - 70 = 0 \Leftrightarrow t = - 6\).
Suy ra \(B\left( {18;34;120} \right)\). Khi đó \(OB = \sqrt {{{18}^2} + {{34}^2} + {{120}^2}} \approx 126\).
Trong một đợt kiểm tra sức khỏe tại trường, có 200 học sinh được xét nghiệm một loại virus. Trong đó, biết rằng có 80 bạn thật sự bị nhiễm virus. Nếu một bạn bị nhiễm, thì xét nghiệm cho kết quả dương tính (tức là phát hiện đúng bệnh) với xác suất \(90\% \). Nếu một bạn không bị nhiễm, thì xét nghiệm vẫn có thể báo nhầm là dương tính (gọi là dương tính giả), với xác suất \(5\% \). Giả sử một bạn có kết quả xét nghiệm dương tính. Hỏi xác suất để bạn đó thật sự bị nhiễm virus là bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?
Đáp án: 0,92.
Xét các biến cố A: “Chọn được học sinh thật sự bị nhiễm virus”;
B: “Có kết quả xét nghiệm dương tính”.
Ta có \(P\left( A \right) = \frac{{80}}{{200}} = 0,4\); \(P\left( {\overline A } \right) = 0,6\); \(P\left( {B|A} \right) = 0,9\,;\,\,P\left( {B|\overline A } \right) = 0,05\).
Xác suất chọn được học sinh có xét nghiệm dương tính:
\(P\left( B \right) = P\left( A \right) \cdot P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right) \cdot \left( {B|\overline A } \right) = 0,39\).
Xác suất để bạn đó thật sự bị nhiễm virus \(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( A \right) \cdot P\left( {B|A} \right)}}{{P\left( B \right)}} \approx 0,92\).
