Đề tham khảo ôn thi tốt nghiệp THPT môn Toán có đáp án (Đề số 24)
34 câu hỏi
PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu thí sinh chỉ chọn một phương án.
Trong không gian \[Oxyz\], cho mặt cầu \[\left( S \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = 9\]. Tọa độ tâm của mặt cầu \[\left( S \right)\] là
\[\left( {1; - 2; - 3} \right)\].
\[\left( {1;2; - 3} \right)\].
\[\left( {1; - 2;3} \right)\].
\[\left( {1;2;3} \right)\].
Mặt cầu \[\left( S \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = 9\] có tâm \[I\left( {1;2; - 3} \right)\]. Chọn B.
PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Cho hàm số bậc ba \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ.
a) Hàm số \(f\left( x \right)\) nghịch biến trên khoảng \(\left( { - 1;1} \right)\).
a) Đúng.Hàm số \(f\left( x \right)\) nghịch biến trên khoảng \(\left( { - 1;1} \right)\).
b) Hàm số \(f\left( x \right)\) có hai điểm cực trị.
b) Đúng.Dựa vào đồ thị, hàm số \(f\left( x \right)\) có hai điểm cực trị.
c) Trên đoạn \(\left[ { - 2;2} \right]\), hàm số \(f\left( x \right)\) đạt giá trị lớn nhất bảng 2.
c) Sai.Trên đoạn \(\left[ { - 2;2} \right]\), hàm số \(f\left( x \right)\) đạt giá trị lớn nhất bảng 3.
d) \(f\left( x \right) = {x^3} - 3x + 1\).
d) Đúng.Giả sử hàm số có dạng \(f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d,\,\,\left( {a \ne 0} \right)\).
Dựa vào đồ thị, ta có \(\left\{ \begin{array}{l}f\left( 0 \right) = 1\\f\left( 1 \right) = - 1\\f\left( 2 \right) = 3\\f\left( { - 2} \right) = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}d = 1\\a + b + c = - 2\\8a + 4b + 2c = 2\\ - 8a + 4b - 2c = - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}d = 1\\a = 1\\b = 0\\c = - 3\end{array} \right.\).
Vậy \(f\left( x \right) = {x^3} - 3x + 1\).
Cho hình phẳng \(\left( H \right)\) giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = {x^2} - 4x\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 1\) và \(x = 3\). Khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng \(\left( H \right)\) quanh trục \(Ox\) có thể tích là
\(V = \frac{{406}}{{15}}\).
\(V = \frac{{406}}{{15}}\pi \).
\(V = \frac{{22}}{3}\pi \).
\(V = \frac{{512}}{{15}}\pi \).
Thể tích khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng \(\left( H \right)\) quanh trục \(Ox\) được tính theo công thức:
\(V = \pi \int\limits_1^3 {{{\left( {{x^2} - 4x} \right)}^2}{\rm{d}}x} = \pi \int\limits_1^3 {\left( {{x^4} - 8{x^3} + 16{x^2}} \right){\rm{d}}x} = \pi \left. {\left( {\frac{{{x^5}}}{5} - 2{x^4} + \frac{{16}}{3}{x^3}} \right)} \right|_1^3 = \pi \left( {\frac{{153}}{5} - \frac{{53}}{{15}}} \right) = \frac{{406\pi }}{{15}}\).
Chọn B.
Ba người bạn An, Bảo và Châu đều muốn đi xem một trận bóng đá. Khả năng mỗi người đi được phụ thuộc vào các yếu tố sau:
An: Nếu trời không mưa, An có \(70\% \) khả năng đi xem bóng đá. Nếu trời mưa, khả năng này giảm xuống còn \(40\% \). Theo dự báo thời tiết, khả năng trời mưa trong ngày diễn ra trận đấu là \(30\% \). Việc An đi xem bóng đá hoàn toàn phụ thuộc vào thời tiết.
Bảo: Việc Bảo đi xem bóng đá hoàn toàn phụ thuộc vào việc An có đi hay không. Nếu An đi, Bảo có \(80\% \) khả năng đi. Nếu An không đi, Bảo chắc chắn sẽ không đi.
Châu: Châu là một người rất độc lập. Khả năng Châu đi xem bóng đá không phụ thuộc vào việc An và Bảo có đi hay không. Châu có \(60\% \) khả năng đi xem bóng đá.
a) Nếu trời không mưa, khả năng An không đi xem đá bóng là \(30\% \).
Theo bài ra, ta có sơ đồ cây biểu diễn khả năng đi xem bóng đá của An như sau:
a) Đúng. Nếu trời không mưa khả năng An không đi xem bóng đá là \(30\% \).
b) Xác suất An đi xem đá bóng là 0,61.
b) Đúng. Xác suất An đi xem bóng đá là: PAđ=0,3⋅0,4+0,7⋅0,7=0,61.
c) Xác suất Bảo không đi xem đá bóng là 0,51.
c) Sai. Bảo không đi xem đá bóng, có hai trường hợp:
TH1: An đi, Bảo không đi.
TH2: An không đi, Bảo chắc chắn không đi.
Vậy xác suất Bảo không đi xem đá bóng là \({P_{Bk}} = 0,61 \cdot \left( {1 - 0,8} \right) + \left( {1 - 0,61} \right) = 0,512\).
d) Xác suất để ít nhất hai trong ba người bạn cùng đi xem trận bóng đá là 0,5612.
d) Đúng. Có ít nhất hai người bạn đi xem bóng đá, có ba trường hợp.
TH1: An, Bảo đi, Châu không đi: \({p_1} = 0,61 \cdot 0,8 \cdot 0,4 = 0,1952\).
TH2: An, Châu đi, Bảo không đi: \({p_2} = 0,61 \cdot 0,6 \cdot 0,2 = 0,0732\).
TH3: An, Bảo, Châu đi: \({p_3} = 0,61 \cdot 0,8 \cdot 0,6 = 0,2928\).
Vậy xác suất cần tìm là \(P = {p_1} + {p_2} + {p_3} = 0,5612\).
Cho cấp số nhân \[\left( {{u_n}} \right)\] có \[{u_1} = 1\] và \[{u_2} = 2\]. Số hạng \[{u_3}\] của cấp số nhân đó là
\[8\].
\[4\].
\[2\].
\[3\].
Cấp số nhân \[\left( {{u_n}} \right)\] có công bội \[q = \frac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = 2\].
Vậy số hạng \[{u_3}\] của cấp số nhân đó là \[{u_3} = {u_2} \cdot q = 2 \cdot 2 = 4\]. Chọn B.
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và thoả mãn \(\int\limits_1^3 {f\left( x \right)} \,{\rm{d}}x = 2\).
a) \(\int\limits_1^3 {3f\left( x \right)} \,{\rm{d}}x = 6\).
a) Đúng.Ta có \(\int\limits_1^3 {3f\left( x \right)} \,{\rm{d}}x = 3\int\limits_1^3 {\left( x \right)} \,{\rm{d}}x = 3 \cdot 2 = 6\).
b) Nếu \(\int\limits_2^3 {f\left( x \right)} \,{\rm{d}}x = - 1\) thì \(\int\limits_1^2 {f\left( x \right)} \,{\rm{d}}x = 1\).
b) Sai.Nếu \(\int\limits_2^3 {f\left( x \right)} \,{\rm{d}}x = - 1\) thì \(\int\limits_1^2 {f\left( x \right)} \,{\rm{d}}x = \int\limits_1^3 {f\left( x \right)} \,{\rm{d}}x - \int\limits_2^3 {f\left( x \right)} \,{\rm{d}}x = 2 - \left( { - 1} \right) = 3\).
c) Nếu \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của \(f\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ {1;3} \right]\) thoả mãn \(F\left( 1 \right) = 3\) thì \(F\left( 3 \right) = 1\).
c) Sai.Nếu \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của \(f\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ {1;3} \right]\) thoả mãn \(F\left( 1 \right) = 3\) thì
\(2 = \int\limits_1^3 {f\left( x \right)} \,{\rm{d}}x = F\left( 3 \right) - F\left( 1 \right) \Rightarrow F\left( 3 \right) = 2 + F\left( 1 \right) = 2 + 3 = 5\).
d) \(\int\limits_1^3 {\frac{{xf\left( x \right) + {x^2} - 1}}{x}} \,{\rm{d}}x = a + b\ln 3\;\,\left( {a \in \mathbb{R},b \in \mathbb{R}} \right)\). Ta có \(a + b = 5\).
d) Đúng.Ta có \(\int\limits_1^3 {\frac{{xf\left( x \right) + {x^2} - 1}}{x}} \,{\rm{d}}x = \int\limits_1^3 {\left[ {f\left( x \right) + x - \frac{1}{x}} \right]} \,{\rm{d}}x = \int\limits_1^3 {f\left( x \right)} \,{\rm{d}}x + \int\limits_1^3 x {\rm{d}}x - \int\limits_1^3 {\frac{1}{x}} \,{\rm{d}}x\)
\( = 2 + \left. {\frac{{{x^2}}}{2}} \right|_1^3 - \left. {\ln \left| x \right|} \right|_1^3 = 2 + \frac{9}{2} - \frac{1}{2} - \ln 3 + \ln 1 = 6 - \ln 3 = a + b\ln 3\).
Suy ra \(a = 6;b = - 1 \Rightarrow a + b = 5\).
Mẫu số liệu ghép nhóm thống kê mức lương của một công ty (đơn vị: triệu đồng) được cho trong bảng dưới đây.
Nhóm (đơn vị: triệu đồng) | \[\left[ {6;8} \right)\] | \[\left[ {8;10} \right)\] | \[\left[ {10;12} \right)\] | \[\left[ {12;14} \right)\] | \[\left[ {14;16} \right)\] |
|
Tần số | 6 | 14 | 18 | 10 | 2 | \[n = 50\] |
Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu đã cho (làm tròn đến hàng phần trăm) là
\[8,81\].
\[9,12\].
\[8,96\].
\[8,93\].
Ta có \[\frac{n}{4} = \frac{{50}}{4} = 12,5 \Rightarrow {Q_1} \in \left[ {8;10} \right)\]. Khi đó \[{Q_1} = 8 + \frac{{12,5 - 6}}{{14}}.\left( {10 - 8} \right) \approx 8,93\]. Chọn D.
Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\) cho mặt phẳng \(\left( P \right):x - 2y - 2z - 3 = 0\) và đường thẳng \(d:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{z}{{ - 1}}\).
a) \(\overrightarrow n = \left( {1; - 2; - 2} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( P \right)\).
a) Đúng. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( P \right)\): \(\overrightarrow n = \left( {1; - 2; - 2} \right)\).
b)\(A\left( {1; - 1;0} \right)\)là một điểm thuộc đường thẳng \(d\).
b) Đúng. Ta có \(A\left( {1; - 1;0} \right) \in d\).
c) \(\cos \left( {d,\left( P \right)} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{3}\).
c) Sai.Ta có \(\overrightarrow {{u_d}} = \left( {2;1; - 1} \right)\), \(\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} = \left( {1; - 2; - 2} \right)\).
\(\sin \left( {d,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {2 \cdot 1 + 1 \cdot \left( { - 2} \right) + \left( { - 1} \right) \cdot \left( { - 2} \right)} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} \cdot \sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = \frac{{\sqrt 6 }}{9}\).
\( \Rightarrow \)\({\cos ^2}\left( {d,\left( P \right)} \right) = 1 - {\sin ^2}\left( {d,\left( P \right)} \right) = 1 - {\left( {\frac{{\sqrt 6 }}{9}} \right)^2} = \frac{{25}}{{27}}\).
Suy ra \(\cos \left( {d,\left( P \right)} \right) = \frac{{5\sqrt 3 }}{9}\).
d)Phương trình mặt phẳng \(\left( Q \right)\) chứa đường thẳng \(d\) và vuông góc với \(\left( P \right)\) là
\(4x - 3y + 5z - 7 = 0\).
d) Đúng.Ta có \(\overrightarrow {{u_d}} = \left( {2;1; - 1} \right)\), \({\overrightarrow n _{(P)}} = \left( {1; - 2; - 2} \right)\). Khi đó, \({\overrightarrow n _{(Q)}} = \left[ {\overrightarrow {{u_d}} ,\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} } \right] = \left( { - 4;3; - 5} \right)\).
Có \(A\left( {1; - 1;0} \right) \in d \subset \left( Q \right) \Rightarrow A\left( {1; - 1;0} \right) \in \left( Q \right)\).
Phương trình mặt phẳng \(\left( Q \right)\): \( - 4\left( {x - 1} \right) + 3\left( {y + 1} \right) - 5z = 0\)\( \Leftrightarrow 4x - 3y + 5z - 7 = 0\).
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ dưới đây:
Đồ thị hàm số đã cho có đường tiệm cận đứng là đường thẳng
\(x = 1\).
\(x = 0\).
\(x = - 1\).
\(y = - 1\).
Từ hình vẽ ta có: Đồ thị hàm số đã cho có đường tiệm cận đứng là đường thẳng \(x = 1\).
Chọn A.
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có \[SA \bot \left( {ABCD} \right)\], \(ABCD\) là hình chữ nhật. Khoảng cách từ điểm \(B\) đến mặt phẳng \(\left( {SAD} \right)\) là độ dài đoạn thẳng nào dưới đây?
\(BD\).
\(AB\).
\(SA\).
\(AC\).
Ta có \(AB \bot AD\) do \(ABCD\) là hình chữ nhật.
\[SA \bot \left( {ABCD} \right)\] nên \[SA \bot AB\]. Suy ra \(AB \bot \left( {SAD} \right)\). Do đó \(d\left( {B,\left( {SAD} \right)} \right) = AB\). Chọn B.
Cho hai biến cố \(A\) và \(B\) độc lập, \(P\left( A \right) = 0,4;\,P\left( B \right) = 0,3\). Khi đó \(P\left( {A \cap B} \right)\) bằng
\(0,3\).
\(0,7\).
\(0,12\).
\(0,4\).
Theo công thức nhân cho hai biến cố độc lập ta có:
\(P\left( {A \cap B} \right) = P\left( A \right) \cdot P\left( B \right) = 0,4 \cdot 0,3 = 0,12\). Chọn C.
Phương trình \({\log _2}\left( {x - 1} \right) = 2\) có nghiệm là
\(x = 4\).
\(x = 5\).
\(x = 2\).
\(x = 3\).
Điều kiện \(x - 1 > 0 \Leftrightarrow x > 1\).
Phương trình \({\log _2}\left( {x - 1} \right) = 2\)\( \Leftrightarrow x - 1 = {2^2} \Leftrightarrow x = 5\). Chọn B.
Trong không gian với hệ trục toạ độ \[Oxyz\], cho mặt phẳng \[\left( P \right):x + 2y - 3z + 1 = 0\]. Vectơ nào sau đây là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \[\left( P \right)\]?
\[\overrightarrow {{n_1}} = \left( {1;2; - 3} \right)\].
\[\overrightarrow {{n_2}} = \left( {1;2;3} \right)\].
\[\overrightarrow {{n_3}} = \left( {1; - 2; - 3} \right)\].
\[\overrightarrow {{n_4}} = \left( {1; - 2;3} \right)\].
Mặt phẳng \[\left( P \right):x + 2y - 3z + 1 = 0\] có một vectơ pháp tuyến là \[\overrightarrow {{n_1}} = \left( {1;2; - 3} \right)\]. Chọn A.
Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] có bảng biến thiên như sau:
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
\[\left( {0;1} \right)\].
\[\left( { - 1;0} \right)\].
\[\left( { - \infty ; - 1} \right)\].
\[\left( { - 1;1} \right)\].
Từ bảng biến thiên, ta thấy hàm số \[y = f\left( x \right)\] đồng biến trên các khoảng \[\left( { - 1;0} \right)\] và \[\left( {1; + \infty } \right)\]. Chọn B.
Nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = \sin x\] là
\[\tan x + C\].
\[\cot x + C\].
\[\cos x + C\].
\[ - \cos x + C\].
Ta có \[\int {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \int {\sin x} {\rm{d}}x = - \cos x + C\]. Chọn D.
Bất phương trình \[{3^{x + 1}} > 3\] có tập nghiệm là
\[\left( { - 1; + \infty } \right)\].
\[\left( {0; + \infty } \right)\].
\[\left( { - \infty ;0} \right)\].
\[\left( { - \infty ;1} \right)\].
Ta có \[{3^{x + 1}} > 3 \Leftrightarrow {3^{x + 1}} > {3^1} \Leftrightarrow x > 0\].
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \[S = \left( {0; + \infty } \right)\]. Chọn B.
PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.
Một hộ làm nghề dệt vải lụa tơ tằm sản xuất mỗi ngày được \(x\) mét vải lụa \(\left( {1 \le x \le 20} \right)\). Tổng chi phí sản xuất \(x\) mét vải lụa cho bởi hàm chi phí \(C\left( x \right) = \frac{{23}}{{36}}{x^3} + {x^2} + 200\) (tính bằng nghìn đồng). Giá của vải lụa tơ tằm là 300 nghìn đồng/mét và giả sử hộ luôn bán hết số sản phẩm làm ra trong một ngày. Để đạt lợi nhuận tối đa thì mỗi ngày hộ cần sản xuất bao nhiêu mét vải lụa?
Đáp án: 12.
Lợi nhận hộ thu được trong một ngày là
\(L\left( x \right) = 300x - \left( {\frac{{23}}{{36}}{x^3} + {x^2} + 200} \right) = - \frac{{23}}{{36}}{x^3} - {x^2} + 300x - 200\).
\(L'\left( x \right) = - \frac{{23}}{{36}} \cdot 3{x^2} - 2x + 300 = 0 \Leftrightarrow - \frac{{23}}{{12}}{x^2} - 2x + 300 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 12\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {{\rm{tm}}} \right)\\x = - \frac{{300}}{{23}}\,\,\,\left( {\rm{L}} \right)\end{array} \right.\).
Ta có \(L\left( 1 \right) = \frac{{3541}}{{36}};\,\,L\left( {12} \right) = 2152;\,\,L\left( {20} \right) = \frac{{2600}}{9}\). Suy ra \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {1\,;\,20} \right]} L\left( x \right) = L\left( {12} \right) = 2152\).
Vậy để lợi nhuận đạt tối đa thì mỗi ngày hộ cần sản xuất 12 mét vải lụa.
Cho hình lăng trụ \[ABC.A'B'C'\] có đáy là tam giác đều cạnh \[2\,\,{\rm{dm}}\]. Hình chiếu vuông góc của điểm \[A'\] lên mặt phẳng \[\left( {ABC} \right)\] trùng với trọng tâm của tam giác \[ABC\]. Biết khoảng cách giữa hai đường \[AA'\] và \[BC\] bằng \[\frac{{\sqrt 3 }}{2}\,\,{\rm{dm}}\]. Tính thể tích \[V\left( {{\rm{d}}{{\rm{m}}^3}} \right)\] của khối lăng trụ \[ABC.A'B'C'\] (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
Đáp số: 1,15.
Gọi \[M\] là trung điểm của \[AC\], \[H\] là trọng tâm của tam giác \[ABC\]. Ta có \[A'H \bot \left( {ABC} \right)\].
Dựng \[Ax{\rm{//}}BC\] suy ra \[BM \cap Ax = \left\{ E \right\} \Rightarrow BC{\rm{//}}\left( {A'AE} \right)\]
\[ \Leftrightarrow d\left( {AA',BC} \right) = d\left( {BC,\left( {A'Ax} \right)} \right) = d\left( {B,\left( {A'AE} \right)} \right)\].
Mà \[\frac{{d\left( {B,\left( {A'AE} \right)} \right)}}{{d\left( {H,\left( {A'AE} \right)} \right)}} = \frac{{BE}}{{HE}} = \frac{3}{2} \Rightarrow d\left( {H,\left( {A'AE} \right)} \right) = \frac{2}{3}\left( {B,\left( {A'AE} \right)} \right) = \frac{2}{3} \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\,\,\left( {{\rm{dm}}} \right)\].
Dựng \[HK \bot A'A\], dễ dàng chứng minh được \[HK \bot \left( {A'AE} \right)\] suy ra \[d\left( {H,\left( {A'AE} \right)} \right) = HK = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\].
Ta có \[AH = \frac{2}{3}.\frac{{2\sqrt 3 }}{2} = \frac{{2\sqrt 3 }}{3}\].
\[\frac{1}{{H{K^2}}} = \frac{1}{{H{{A'}^2}}} + \frac{1}{{H{A^2}}} \Rightarrow \frac{1}{{H{{A'}^2}}} = \frac{1}{{H{K^2}}} - \frac{1}{{H{A^2}}} \Rightarrow \frac{1}{{H{{A'}^2}}} = \frac{9}{4}\]\[ \Rightarrow HA' = \frac{2}{3}\].
Vậy thể tích khối lăng trụ \[ABC.A'B'C'\] là:
\[V = HA' \cdot {S_{ABC}} = \frac{2}{3} \cdot \frac{{{2^2} \cdot \sqrt 3 }}{4} = \frac{{2\sqrt 3 }}{3}\,\,\left( {{\rm{d}}{{\rm{m}}^3}} \right) \approx 1,15\,\,\left( {{\rm{d}}{{\rm{m}}^3}} \right)\].
Trong năm tới, một cửa hàng điện lạnh dự định kinh doanh hai loại máy điều hòa: điều hòa hai chiều và điều hòa một chiều với số vốn ban đầu không vượt quá \(1,2\)tỉ đồng.
Biết rằng, giá mua vào và lợi nhuận dự kiến được cho bởi bảng sau:
| Điều hòa hai chiều | Điều hòa một chiều |
Giá mua vào | 20 triệu đồng/1 máy | 10 triệu đồng/1 máy |
Lợi nhuận dự kiến | 3,5 triệu đồng/1 máy | 2 triệu đồng/1 máy |
Cửa hàng ước tính rằng nhu cầu của thị trường sẽ không vượt quá 100 máy cả hai loại. Cửa hàng cần đầu tư kinh doanh \(x\) loại máy hai chiều và \(y\) loại máy một chiều thì lợi nhuận thu được là lớn nhất. Tổng \({x^2} + {y^2}\) bằng bao nhiêu?
Đáp án: 6800.
Giả sử cửa hàng dự định kinh doanh \(x\) máy điều hòa hai chiều và \(y\) máy điều hòa một chiều (điều kiện: \(x,y \in \mathbb{N}\)).
Khi đó, số vốn bỏ ra là \(20x + 10y\) (triệu đồng) và lợi nhuận thu được \(T = 3,5x + 2y\) (triệu đồng).
Theo giả thiết, \(x\) và \(y\) thỏa mãn các điều kiện: \(x \ge 0,\,y \ge 0,\,x + y \le 100,\,20x + 10y \le 1200\).
Bài toán đưa về: Tìm \(\left( {x\,;\,y} \right)\) là nghiệm của hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\y \ge 0\\x + y \le 100\\2x + y \le 120\end{array} \right.\,\,\,\left( I \right)\) sao cho \(T = 3,5x + 2y\) có giá trị lớn nhất.
Miền nghiệm của hệ bất phương trình \(\left( I \right)\) là miền tứ giác \(OABC\) với \(O\left( {0;\,0} \right)\), \(A\left( {0;\,100} \right)\), \(B\left( {20;\,80} \right)\), \(C\left( {60;\,0} \right)\).
Thay tọa độ các đỉnh của tứ giác \(OABC\) vào biểu thức \(T = 3,5x + 2y\) ta được giá trị lớn nhất bằng 230 khi \(x = 20,\,y = 80\).
Vậy để thu được lợi nhuận lớn nhất cần đầu tư kinh doanh 20 máy điều hòa hai chiều và 80 máy điều hòa một chiều. Khi đó, ta có \({x^2} + {y^2} = {20^2} + {80^2} = 6800\).
Một lều cắm trại có dạng như hình vẽ dưới, khung lều được tạo thành từ hai parabol giống nhau có chung đỉnh \[O\] và thuộc hai mặt phẳng vuông góc nhau (một parabol đi qua \[A,O,C\] và một parabol đi qua \[B,D,O\]), bốn chân tạo thành hình vuông \[ABCD\] có cạnh là \(2\sqrt 2 {\rm{ (m),}}\) chiều cao tính từ đỉnh lều là \(2{\rm{ (m)}}{\rm{.}}\) Biết mặt cắt của lều khi cắt bởi một mặt phẳng song song với mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) luôn là một hình vuông. Tính thể tích của lều (đơn vị là \({{\rm{m}}^3}\)).
Đáp án: 8.
Ta có \(AB = 2\sqrt 2 \Rightarrow AC = 4.\) Chọn hệ trục \(Oxy\) như hình vẽ.
Khi đó, mặt cắt tại \(x = t\)là hình vuông có diện tích \(S\left( t \right) = \frac{1}{2}{\left( {2\sqrt {2t} } \right)^2} = 4t\).
Vậy thể tích của lều là \(V = \int\limits_0^2 {S\left( t \right){\rm{d}}t} = \int\limits_0^2 {4t{\rm{d}}t} = \left. {2{t^2}} \right|_0^2 = 8{\rm{ }}\left( {{{\rm{m}}^3}} \right).\)
Trạm kiểm soát không quân đang theo dõi hai máy bay chiến đấu Su-30 và MiG-31. Giả sử trong không gian với hệ trục tọa độ \[Oxyz,\] đơn vị đo mỗi trục là \[1\,\,{\rm{km}}\] và xem mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) là mặt đất, tại cùng một thời điểm theo dõi ban đầu: máy bay chiến đấu Su-30 ở tọa độ \(A\left( {0\,;35\,;10} \right)\) bay theo hướng vectơ \({\vec v_1} = \left( {3\,;4\,;0} \right)\) với tốc độ không đổi \[900{\rm{ (km/h)}}\] và máy bay chiến đấu MiG-31 ở tọa độ \[B\left( {31;10;11} \right),\] bay theo hướng \[{\vec v_2} = \left( {5\,;12\,;0} \right)\] với tốc độ không đổi \[910{\rm{ (km/h)}}\]. Khu vực này có gió mạnh thổi với vận tốc \(80{\rm{ (km/h)}}\) theo hướng vectơ \(\vec u = \left( { - 3\,;0\,;4} \right),\) gió ảnh hưởng đến cả hai máy bay trong quá trình bay. Một khu vực không phận bị hạn chế bay đã được một quốc gia khác thiết lập, có dạng hình trụ với tâm đáy tại \(C\left( {178\,;430\,;0} \right)\), bán kính đáy \[7\,{\rm{km,}}\] trục vuông góc với mặt đất và chiều cao \[43\,{\rm{km,}}\] máy bay MiG-31 có nhiệm vụ bay vào khu vực không phận bị hạn chế để thăm dò. Tại thời điểm máy bay chiến đấu MiG-31 bay ra khỏi khu vực không phận bị hạn chế thì khoảng cách của 2 máy bay chiến đấu là bao nhiêu kilômét? (làm tròn kết quả đến hàng phần chục).
Đáp án: 73,0.
Xác định các vectơ vận tốc:
Gọi \(\vec a:\) vectơ vận tốc của máy bay Su-30
\(\vec b:\) vectơ vận tốc của máy bay MiG-31
\(\vec c:\) vectơ vận tốc của gió
\({\vec u_1}:\) vectơ chỉ phương của đường thẳng quỹ đạo bay của máy bay Su-30
\({d_1}:\) đường thẳng quỹ đạo bay của máy bay Su-30
\({\vec u_2}:\) vectơ chỉ phương của đường thẳng quỹ đạo bay của máy bay MiG-31
\({d_2}:\) đường thẳng quỹ đạo bay của máy bay MiG-31
\(\left( T \right):\) mặt trụ có tâm \(C\left( {178\,;430\,;0} \right)\) bán kính \(r = 7.\)
\[\begin{array}{l}\left| {{{\vec v}_1}} \right| = \sqrt {{3^2} + {4^2} + {0^2}} = 5 \Rightarrow \vec a = \frac{{900}}{5}{{\vec v}_1} = \left( {540\,;720\,;0} \right)\\\left| {{{\vec v}_2}} \right| = 13 \Rightarrow \vec b = \frac{{910}}{{13}}{{\vec v}_2} = \left( {350\,;840\,;0} \right)\\\left| {\vec u} \right| = 5 \Rightarrow \vec c = \frac{{80}}{5}\vec u = \left( { - 48\,;0\,;64} \right)\\{{\vec u}_1} = \vec a + \vec c = \left( {492\,;720\,;64} \right) \Rightarrow {d_1}:\left\{ \begin{array}{l}x = 492t\\y = 35 + 720t\\z = 10 + 64t\end{array} \right.\\{{\vec u}_2} = \vec b + \vec c = \left( {302\,;840\,;64} \right) \Rightarrow {d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 31 + 302t\\y = 10 + 840t\\z = 11 + 64t\end{array} \right.\\\left( T \right):{\left( {x - 178} \right)^2} + {\left( {y - 430} \right)^2} = {7^2}.\end{array}\]
Vì không phận cấm bay có độ cao \(43{\rm{ km}}\) nên MiG-31 vào trong không phận thì độ cao tối đa của máy bay là \(z \le 43 \Rightarrow 11 + 64t \le 43 \Leftrightarrow t \le 0,5.\)
Tìm giao điểm của \({d_2}\) và \(\left( T \right)\).
Xét phương trình: \({\left( {31 + 302t - 178} \right)^2} + {\left( {10 + 840t - 430} \right)^2} = 49\)
\( \Leftrightarrow 796804{t^2} - 794388t + 197960 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 0,51 > 5\\t = 0,49 < 5\end{array} \right.\).
Dễ dàng nhận thấy MiG-31 đi vào không phận từ một điểm trên mặt trụ và đi ra tại một điểm trên đáy trên của khối trụ. Đáy trên của khối trụ nằm trong mặt phẳng có phương trình là \(z = 43\) hay \(t = 0,5.\)
Suy ra, sau \(0,5\) giờ MiG-31 nằm ở vị trí \(\left\{ \begin{array}{l}x = 31 + 302 \cdot 0,5 = 182\\y = 10 + 840 \cdot 0,5 = 430\\z = 43\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {182\,;430\,;43} \right)\).
Su-30 nằm ở vị trí \(\left\{ \begin{array}{l}x = 492 \cdot 0,5 = 246\\y = 35 + 720 \cdot 0,5 = 395\\z = 42\end{array} \right. \Rightarrow N\left( {246\,;395\,;42} \right)\).
Khoảng cách giữa hai máy bay cần tìm là
\(MN = \sqrt {{{\left( {246 - 182} \right)}^2} + {{\left( {395 - 430} \right)}^2} + {{\left( {42 - 43} \right)}^2}} \approx 72,95 \approx 73,0\).
Một thành phố có ba loại phương tiện giao thông công cộng: xe buýt, tàu điện ngầm và taxi. Tỉ lệ sử dụng mỗi loại phương tiện đối với xe buýt \(40\% \), tàu điện ngầm \(35\% \), taxi \(25\% \). Tỉ lệ trễ giờ của xe buýt, tàu điện ngầm và taxi trong một tháng lần lượt là: \(20\% \), \(10\% \), \(5\% \). Anh Lộc là một người dân trong thành phố. Trong tháng đầu tiên, anh Lộc chọn một trong ba loại phương tiện trên để đi làm, sao cho xác suất chọn mỗi loại phương tiện đúng bằng tỉ lệ sử dụng phương tiện đó của người dân trong thành phố. Từ tháng thứ hai trở đi, cách anh Lộc chọn phương tiện đi làm phụ thuộc vào việc anh có bị trễ giờ trong tháng trước hay không: Nếu tháng trước anh Lộc không bị trễ giờ: Anh ấy tiếp tục sử dụng loại phương tiện mà anh đã đi trong tháng đó. Nếu tháng trước anh Lộc bị trễ giờ: Anh ấy sẽ chọn ngẫu nhiên một trong hai loại phương tiện còn lại để đi làm trong tháng tiếp theo, với xác suất chọn mỗi loại là \(50\% \). Xác suất để anh Lộc sử dụng taxi trong tháng thứ ba có dạng \(\frac{a}{b}\) (là phân số tối giản). Tính \(b - 2a\)?
Đáp án: 5354.
Gọi \({A_i}\), \({B_i}\), \({C_i}\) lần lượt là các biến cố anh Lộc chọn xe buýt, tàu điện ngầm và taxi ở tháng thứ \(i\) với \(i = 1,2,3\). \(T\) là biến cố anh Lộc bị trễ.
Ta có \(P\left( {T|{A_i}} \right) = 0,2\), \(P\left( {T|{B_i}} \right) = 0,1\), \(P\left( {T|{C_i}} \right) = 0,05\).
Đặt \(P\left( {{A_i}} \right) = {x_i}\), \(P\left( {{B_i}} \right) = {y_i}\), \(P\left( {{C_i}} \right) = {z_i}\). Ta có sơ đồ cây như hình vẽ
Từ sơ đồ cây ta có
\({x_{i + 1}} = P\left( {{A_{i + 1}}} \right) = 1 \cdot 0,8 \cdot {x_i} + 0,5 \cdot 0,1 \cdot {y_i} + 0,5 \cdot 0,05 \cdot {z_i}\)
\({y_{i + 1}} = P\left( {{B_{i + 1}}} \right) = 0,5 \cdot 0,2 \cdot {x_i} + 1 \cdot 0,9 \cdot {y_i} + 0,5 \cdot 0,05 \cdot {z_i}\)
\({z_{i + 1}} = P\left( {{C_{i + 1}}} \right) = 0,5 \cdot 0,2 \cdot {x_i} + 0,5 \cdot 0,1 \cdot {y_i} + 1 \cdot 0,95 \cdot {z_i}\)
Mà \({x_1} = 0,4\), \({y_1} = 0,35\) và \({z_1} = 0,25\).
Suy ra \({x_2} = 0,34375\), \({y_2} = 0,36125\), \({z_2} = 0,295\).
Vậy \({z_3} = \frac{{5323}}{{16000}} \Rightarrow a = 5323,b = 16000 \Rightarrow b - 2a = 5354\).
