Đề kiểm tra Phương trình đường thẳng lớp 10 (có lời giải) - Đề 3

Đường thẳng \(d\) có phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 3 - t\end{array} \right.,\;t \in \mathbb{R}\) nên một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\) là \(\overrightarrow u  = \left( {2; - 1} \right)\) do đó một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n  = \left( {1;2} \right)\).

Ta có \(d \bot \Delta \) nên \(d\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n  = \left( {2;3} \right).\)

Mà đường thẳng \(d\) đi qua \(A\left( {1; - 2} \right)\) nên phương trình tổng quát của đường thẳng \(d\) là:

\(2\left( {x - 1} \right) + 3\left( {y + 2} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x + 3y + 4 = 0.\)

Vậy phương trình tổng quát của đường thẳng \(d:2x + 3y + 4 = 0.\)

Đường thẳng \[d\] có phương trình tham số \[\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + 2t\\y = 5 - t\end{array} \right.\].

Vectơ chỉ phương của đường thẳng \[d\] là \[\overrightarrow u \, = \left( {2; - 1} \right)\].

Đường thẳng \[d\] có phương trình tổng quát \[2x + 3y + 3 = 0\] nên có vectơ pháp tuyến \[\overrightarrow n \, = \left( {2;3} \right)\]

\[ \Rightarrow \]một vectơ chỉ phương của đường thẳng \[d\] là \[\overrightarrow u \, = \left( {3; - 2} \right)\].

Ta có \(\overrightarrow {AB}  = \left( { - 3\,;\, - 2} \right)\), véctơ \(\overrightarrow u  =  - \overrightarrow {AB}  = \left( {3\,;\,2} \right)\).

Đường thẳng \(AB\) đi qua \(A\) nhận véc tơ \(\overrightarrow u  = \left( {3\,;\,2} \right)\)là một véc tơ chỉ phương.

Phương trình đường thẳng \(AB\) ở dạng tham số là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 3t\\y = 3 + 2t\end{array} \right.\).

Chọn C

Đường thẳng d có 1 VTPT là \(\overrightarrow n  = \left( {7;3} \right)\)nên d có 1 VTCP là \(\overrightarrow u  = \left( { - 3;7} \right)\).

\(\left\{ \begin{array}{l}M\left( {1;2} \right) \in d\\d||\Delta :2x + 3y - 12 = 0\end{array} \right. \to \left\{ \begin{array}{l}M\left( {1;2} \right) \in d\\d:2x + 3y + c = 0\,\left( {c\not  =  - 12} \right)\end{array} \right.\) \( \to 2.1 + 3.2 + c = 0 \Leftrightarrow c =  - 8.\) Vậy \(d:2x + 3y - 8 = 0.\)

Vậy \(d:6x - 4y = 0 \Leftrightarrow d:3x - 2y = 0.\)

Phương trình đường thẳng \[d\] đi qua điểm \[A\left( {3;1} \right)\] nhận \[\overrightarrow {AB}  = \left( {1;2} \right)\] làm vectơ chỉ phương nên có phương trình tham số là \[\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + t\\y = 1 + 2t\end{array} \right.\].

Chọn D

\[\left( d \right):y + 2x - 1 = 0\]\[ \Leftrightarrow 2x + y - 1 = 0\];\[\left( d \right)\] có VTPT là \[\vec n = \left( {2;1} \right)\] hay \[{\vec n^/} = \left( { - 2; - 1} \right)\]

Chọn C

Đường thẳng d có VTPT:  VTCP \(\vec u\left( {2;4} \right)\) hoặc \(\frac{1}{2}\vec u = \left( {1;2} \right).\)

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}B\left( {0;3} \right) \in d\\{{\vec u}_{AC}} = \overrightarrow {AC}  = \left( { - 5;1} \right)\\d||AC\end{array} \right. \to \left\{ \begin{array}{l}B\left( {0;3} \right) \in d\\{{\vec n}_d} = \left( {1;5} \right)\end{array} \right.\\ \to d:1\left( {x - 0} \right) + 5\left( {y - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow d:x + 5y - 15 = 0.\,\,\,\end{array}\)

Toạ độ của điểm \(M\) là nghiệm của hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x + y + 1 = 0}\\{x + y - 1 = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x =  - 2}\\{y = 3.{\rm{ }}}\end{array}} \right.} \right.\)

Suy ra điểm \(M\) có toạ độ là \(( - 2;3)\).

Toạ độ của điểm \(N\) là nghiệm của hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x + y + 1 = 0}\\{3x - y + 4 = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x =  - 1}\\{y = 1.{\rm{ }}}\end{array}} \right.} \right.\)

Suy ra điểm \(N\) có toạ độ là \(( - 1;1)\).

Các đường cao \(MK\) và \(NQ\) có vectơ pháp tuyến lần lượt là \(\overrightarrow {{n_1}} (1;1),\overrightarrow {{n_2}} (3; - 1)\).

Do đó các đường thẳng \(NP,MP\) lần lượt nhận \(\overrightarrow {{n_3}} (1; - 1),\overrightarrow {{n_4}} (1;3)\) là vectơ pháp tuyến.

Phương trình đường thẳng chứa cạnh \(NP\) đi qua điểm \(N( - 1;1)\) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_3}} (1; - 1)\) là: \((x + 1) - (y - 1) = 0 \Leftrightarrow x - y + 2 = 0\).

Phương trình đường thẳng chứa cạnh \(MP\) đi qua điểm \(M( - 2;3)\) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_4}} (1;3)\) là: \((x + 2) + 3(y - 3) = 0 \Leftrightarrow x + 3y - 7 = 0\).

Gọi \(M\)là trung điểm cạnh \(BC\). Vì \(M\)nằm trên đường trung trực cạnh \(BC\)nên giả sử \(M(t;3t + 1)\).

Gọi \(G\)là trọng tâm tam giác \(ABC\). Vì \(G\)nằm trên đường trung tuyến kẻ từ \(C\)nên giả sử \(G(s;2s + 5)\).

Ta có: \(\overrightarrow {AM}  = (t - 3;3t - 3),\overrightarrow {AG}  = (s - 3;2s + 1).\)Khi đó \(\overrightarrow {AM}  = \frac{3}{2}\overrightarrow {AG}  \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{t - 3 = \frac{3}{2}(s - 3)}\\{3t - 3 = \frac{3}{2}(2s + 1)}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2t - 3s =  - 3}\\{6t - 6s = 9}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = \frac{{15}}{2}}\\{s = 6.}\end{array}} \right.} \right.} \right.\)

Suy ra \(M\left( {\frac{9}{2};\frac{{39}}{2}} \right)\)

Đường thẳng \(BC\)đi qua \(M\left( {\frac{9}{2};\frac{{39}}{2}} \right)\)và vuông góc với đường thẳng \(3x - y + 1 = 0\)nên ta có phương trình đường thẳng \(BC\)là: \(1 \cdot \left( {x - \frac{9}{2}} \right) + 3 \cdot \left( {y - \frac{{39}}{2}} \right) = 0 \Leftrightarrow x + 3y - 63 = 0\)

Toạ độ đỉnh \(C\)là nghiệm của hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + 3y - 63 = 0}\\{2x - y + 5 = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \frac{{48}}{7}}\\{y = \frac{{131}}{7}.}\end{array}} \right.} \right.\)

Suy ra \(C\left( {\frac{{48}}{7};\frac{{131}}{7}} \right)\). Vì \(M\)là trung điểm \(BC\)nên \(B\left( {\frac{{15}}{7};\frac{{142}}{7}} \right)\)

a) Vectơ pháp tuyến của \(\Delta \) là \(\vec n = (7;2)\), vì vậy phương trình tổng quát của \(\Delta \) là: \(7(x + 3) + 2(y - 4) = 0\) hay \(7x + 2y + 13 = 0\).

b) \(\Delta \) có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {AB}  = (2;3)\) nên có vectơ pháp tuyến \(\vec n = (3; - 2)\). Phương trình tổng quát của \(\Delta \) là \(3(x - 1) - 2(y + 4) = 0\) hay \(3x - 2y - 11 = 0\).

c) Cách giải 1: Tìm một điểm và một vectơ chỉ phương đường thẳng.

Từ phương trình tham số của \(\Delta \), ta biết được \(\Delta \) qua điểm \(M(1;2)\), vectơ chỉ phương \(\vec u = (1; - 3)\), suy ra vectơ pháp tuyến \(\vec n = (3;1)\). Vậy phương trình tổng quát của \(\Delta :3(x - 1) + 1(y - 2) = 0\) hay \(3x + y - 5 = 0\).

Cách giải 2: Khử tham số t từ phương trình tham số đường thẳng.

Với \(x = 1 + t \Rightarrow t = x - 1\), thay vào phương trình \(y = 2 - 3t\), ta được phương trình tổng quát của đường thẳng \(\Delta :y = 2 - 3(x - 1)\) hay \(3x + y - 5 = 0\).

d) Phương trình tổng quát của đường thẳng \(\Delta \): \(2(x + 1) + 1(y - 5) = 0{\rm{ hay }}2x + y - 3 = 0.\)

Giả sử \(A\left( {1; - 2} \right) \in \left( d \right):x - 2y + 5 = 0\) \( \Rightarrow 1 - 2.\left( { - 2} \right) + 5 = 0\left( {vl} \right)\).

Ta có \(\left( d \right):x - 2y + 5 = 0 \Rightarrow VTPT\,\overrightarrow n  = \left( {1; - 2} \right) \Rightarrow VTCP\,\overrightarrow u  = \left( {2;1} \right)\)

Ta có \(\left( d \right):x - 2y + 5 = 0 \Rightarrow y = \frac{1}{2} + \frac{5}{2}\) \( \Rightarrow \) hệ số góc \(k = \frac{1}{2}\)

Cho tam giác \(ABC\) có \(A(2; - 1),B(4;5),C( - 3;2)\). Viết phương trình tổng quát đường cao \(AH\) của tam giác \(ABC\). \(AH\) đi qua \(A(2; - 1)\) và nhận \(\overrightarrow {CB}  = (7;3)\) làm vectơ pháp tuyến, vì vậy phương trình tổng quát của \(AH:7(x - 2) + 3(y + 1) = 0\) hay \(7x + 3y - 11 = 0\).

Đường cao \(AH\) vuông góc với \(BC\) nên nhận \(\vec u = (1; - 1)\) làm vectơ chỉ phương, suy ra \(AH\) có một vectơ pháp tuyến là \(\vec n = (1;1)\).

Phương trình tổng quát \(AH:1(x + 1) + 1(y + 2) = 0\) hay \(x + y + 3 = 0\).

Đỉnh \(C\) nằm trên đường thẳng \(y - 4 = 0\) nên giả sử \(C(c;4)\). Giả sử \(G(a;b)\). Vì \(G\) là trọng tâm tam giác nên \(a = \frac{{6 + c}}{3},b = 1\).

Do \(G\) nằm trên đường thẳng \(3x - 2y + 6 = 0\) nên \(3\left( {\frac{{6 + c}}{3}} \right) - 2 + 6 = 0 \Leftrightarrow c =  - 10\). Suy ra \(G\left( { - \frac{4}{3};1} \right)\).

Gọi \({\vec n_{AB}} = (a;b)\left( {{a^2} + {b^2} > 0} \right)\) là vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(AB\). Đường thẳng \(AB\) đi qua \(M(0;2)\)nên có phương trình dạng: \(a(x - 0) + b(y - 2) = 0 \Leftrightarrow ax + by - 2b = 0.\)

Đường thẳng \(BC\) vuông góc với \(AB\) nên ta có thể chọn \({\vec n_{BC}} = (b; - a)\) làm vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(BC\). Đường thẳng \(BC\) đi qua \(N(5; - 3)\) nên có phương trình dạng:

\(b(x - 5) - a(y + 3) = 0 \Leftrightarrow bx - ay - 5b - 3a = 0.\)

Tứ giác \(ABCD\) là hình vuông nên \(d(P,AB) = d(Q,BC)\). Do đó, ta có: \(\frac{{| - 2a - 2b - 2b|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = \frac{{|2b + 4a - 5b - 3a|}}{{\sqrt {{b^2} + {a^2}} }} \Leftrightarrow |2a + 4b| = |a - 3b|{\rm{. }}\)

Suy ra \(a =  - 7b\) hoặc \(3a =  - b\)

Với \(a =  - 7b\)ta chọn \(b = 1,a =  - 7\). Suy ra phương trình đường thẳng \(AB\)là: \( - 7x + y - 2 = 0,d(P,AB) = \sqrt 2 \)

Vậy diện tích hình vuông \(ABCD\)bằng: \({(\sqrt 2 )^2} = 2\)

Với \(3a =  - b\)ta chọn \(a = 1,b =  - 3\). Suy ra phương trình đường thẳng \(AB\) là: \(x - 3y + 6 = 0\)

và \(d(P,AB) = \sqrt {10} \)

Vậy diện tích hình vuông \(ABCD\)bằng \({(\sqrt {10} )^2} = 10\)

Tọa độ \(A\)là nghiệm của hệ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y = 0}\\{x - y - 2 = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2}\\{y = 0.}\end{array}} \right.} \right.\)

Suy ra \(A(2;0)\). Gọi \(E\) là điểm đối xứng với \(B\) qua \(AD\) thì ta có \(E \in AC\) và \(E(1; - 3)\)

Đường thẳng \(AC\)đi qua hai điểm \(A\) và \(E\) nên phương trình đường thẳng \(AC\) là: \(\frac{{x - 2}}{{1 - 2}} = \frac{{y - 0}}{{ - 3 - 0}} \Leftrightarrow 3x - y - 6 = 0\)

Điểm \(C\) thuộc đường thẳng \(AC,M\)là trung điểm \(BC\)nên giả sử \(C(c;3c - 6)\) và \(M\left( {\frac{{c + 1}}{2};\frac{{3c - 3}}{2}} \right)\)

Điểm \(M\)thuộc đường thẳng \(AM\)nên \(\frac{{c + 1}}{2} - \frac{{3c - 3}}{2} - 2 = 0 \Leftrightarrow c = 0\). Vậy \(C(0; - 6)\).

Phương trình đường thẳng \(AB\)là: \(\frac{{x - 2}}{{ - 1}} = \frac{{y - 2}}{3} \Leftrightarrow 3x + y - 8 = 0\). \(C\)nằm trên đường thẳng \(d\)nên giả sử \(C(t;2t - 8)\).

Ta có: \(AB = \sqrt {{{(1 - 2)}^2} + {{(5 - 2)}^2}}  = \sqrt {10} \). Do \({S_{\Delta ABC}} = 2\)suy ra \(d(C,AB) = \frac{4}{{\sqrt {10} }}\). Khi đó \(\frac{{|3t + (2t - 8) - 8|}}{{\sqrt {{3^2} + {1^2}} }} = \frac{4}{{\sqrt {10} }} \Leftrightarrow |5t - 16| = 4\). Suy ra \(t = 4\)hoặc \(t = \frac{{12}}{5}\). Với \(t = 4\)thì \(2t - 8 = 0\)(loại vì \(C\)có tung độ âm). Với \(t = \frac{{12}}{5}\)thì \(2t - 8 = \frac{{ - 16}}{5}\). Vậy \(C\left( {\frac{{12}}{5};\frac{{ - 16}}{5}} \right)\).