Đề kiểm tra Phương trình đường thẳng lớp 10 (có lời giải) - Đề 2

Đường thẳng \(d\) có phương trình \(3x + 2y - 1 = 0\) nên một vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(d\) là \(\overrightarrow n  = \left( {3;2} \right)\).

Ta có \(d \bot \Delta \) nên d có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n  = \left( {1; - 2} \right).\)

Mà đường thẳng \(d\) đi qua \(A\left( {1; - 1} \right)\) nên phương trình tổng quát của đường thẳng \(d\) là:

\(x - 1 - 2\left( {y + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow x - 2y - 3 = 0.\)

Vậy phương trình tổng quát cuả đường thẳng \(d:x - 2y - 3 = 0.\)

Chọn A

Đường thẳng \[d\]: \[\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - 4t\\y =  - 2 + 3t\end{array} \right.\]có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u  = \left( { - 4;3} \right)\).

Chọn B

Véctơ pháp tuyến của đường thẳng \(d\): \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left( { - 4\,;\, - 6} \right)\).

Đường thẳng \[d\] có phương trình tham số \[\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + 3t\\y = 5 - 2t\end{array} \right.\].

Vectơ chỉ phương của đường thẳng \[d\] là \[\overrightarrow u \, = \left( {3; - 2} \right)\].

\[d:3x - 2y + 6 = 0 \to \left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow y = 3\\{{\vec n}_d} = \left( {3; - 2} \right)\end{array} \right.\]

Chọn C

Ta có: \(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}A\left( {4; - 3} \right) \in d\\{{\vec u}_d} = \left( { - 2;3} \right)\\\Delta ||d\end{array} \right. \to \left\{ \begin{array}{l}A\left( {4; - 3} \right) \in d\\{{\vec u}_\Delta } = \left( { - 2;3} \right) \to {{\vec n}_\Delta } = \left( {3;2} \right)\end{array} \right.\\ \to \Delta :3\left( {x - 4} \right) + 2\left( {y + 3} \right) = 0 \Leftrightarrow \Delta :3x + 2y - 6 = 0.\,\,\,\end{array}\)

Tọa độ trung điểm \(M\) của đoạn thẳng \(BC\) là \(M\left( {2\,;\,2} \right)\).

Véctơ \(\overrightarrow {AM}  = \left( {0\,;\, - 1} \right)\).

Đường trung tuyến \(AM\) qua \(A\) nhận véc tơ \(\overrightarrow {AM} \) là một véc tơ chỉ phương có dạng tham số là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 3 - t\end{array} \right.\).

Chọn B

Gọi I là trung điểm của AB và \(d\) là trung trực đoạn AB. Ta có

A4;−1, B1;−4→I52;−52∈dd⊥AB→n→d=AB→=−3;−3=−31;1→d:x+y=0.

Phương trình đường thẳng \[d\] đi qua điểm \[A\left( {2;5} \right)\] nhận \[\overrightarrow {AB}  = \left( {2; - 3} \right)\] làm vectơ chỉ phương nên có phương trình tham số là \[\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 2t\\y = 5 - 3t\end{array} \right.\].

Đường thẳng \(\Delta \) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n  = \left( {2\,;\, - 3} \right)\).

Đường thẳng cần tìm đi qua \(A\) nhận vectơ \(\overrightarrow n  = \left( {2\,;\, - 3} \right)\)là một vectơ chỉ phương có dạng tham số là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 2t\\y = 3 - 3t\end{array} \right.\).

Toạ độ của điểm \(B\) là nghiệm của hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{7x + 5y - 8 = 0}\\{9x - 3y - 4 = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \frac{2}{3}}\\{y = \frac{2}{3}{\rm{. }}}\end{array}} \right.} \right.\)

Suy ra điểm \(B\) có toạ độ là \(\left( {\frac{2}{3};\frac{2}{3}} \right)\).

Toạ độ của điểm \(C\) là nghiệm của hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{7x + 5y - 8 = 0}\\{x + y - 2 = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x =  - 1}\\{y = 3.{\rm{ }}}\end{array}} \right.} \right.\)

Suy ra điểm \(C\) có toạ độ là \(( - 1;3)\).

Đường thẳng \(AB\) đi qua điểm \(B\left( {\frac{2}{3};\frac{2}{3}} \right)\) và nhận vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}} (1; - 1)\) của

đường cao kẻ̉ từ \(C\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là: \((x + 1) + 3(y - 3) = 0 \Leftrightarrow x + 3y - 8 = 0\)

Toạ độ của điểm \(A\) là nghiệm của hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x - y = 0}\\{x + 3y - 8 = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2}\\{y = 2.}\end{array}} \right.} \right.\)

Suy ra điểm \(A\) có toạ độ là \((2;2)\).

Phương trình đường cao kẻ từ \(A(2;2)\) và nhận vectơ chỉ phương \(\vec u(5; - 7)\) của đường thẳng \(BC\) làm vectơ pháp tuyến là: \(5(x - 2) - 7(y - 2) = 0 \Leftrightarrow 5x - 7y + 4 = 0\).

Gọi \(I\) là trung điểm của \(BC\), ta có toạ độ của điểm \(I\) là \(\left( {\frac{{ - 1}}{6};\frac{{11}}{6}} \right)\).

Do đó, ta có \(\overrightarrow {IA} \left( {\frac{{13}}{6};\frac{1}{6}} \right)\).

Đường trung tuyến kẻ từ \(A\) nhận \(\vec n(1; - 13)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là: \((x - 2) - 13(y - 2) = 0 \Leftrightarrow x - 13y + 24 = 0\).

Dễ thấy đỉnh \(A\) không thuộc hai trung tuyến đã cho, vì toạ độ của nó không thoả mãn phương trình của hai trung tuyến. Gọi \({B^\prime },{C^\prime }\) lần luợt là trung điểm của \(AC\), \(AB\).

Giả sử phương trình của đường thẳng \(B{B^\prime }\) là \(2x - y + 1 = 0\), phương trình của đường thẳng \(C{C^\prime }\) là \(x + 3y - 3 = 0\).

Đặt \(C\left( {{x_0};{y_0}} \right)\). Điểm \(C\) thuộc đường thẳng \(C{C^\prime }\) nên \({x_0} + 3{y_0} - 3 = 0\). (1)

Điểm \({B^\prime }\) là trung điểm của \(AC\) nên \({B^\prime }\left( {\frac{{1 + {x_0}}}{2};\frac{{2 + {y_0}}}{2}} \right)\). Lại có, điểm \({B^\prime }\) thuộc

đường thẳng \(B{B^\prime }\) nên \(2 \cdot \frac{{1 + {x_0}}}{2} - \frac{{2 + {y_0}}}{2} + 1 = 0 \Leftrightarrow 2{x_0} - {y_0} + 2 = 0\).(2)

Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_0} + 3{y_0} - 3 = 0}\\{2{x_0} - {y_0} + 2 = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_0} = \frac{{ - 3}}{7}}\\{{y_0} = \frac{8}{7}}\end{array}} \right.} \right.\)

Suy ra điểm \(C\) có toạ độ là \(\left( {\frac{{ - 3}}{7};\frac{8}{7}} \right)\).

Tương tự, ta tìm được điểm \(B\left( {\frac{{ - 4}}{7};\frac{{ - 1}}{7}} \right)\).

Từ đó lập các phương trình đường thẳng đi qua hai điểm, ta viết được phương trình các cạnh của tam giác \(ABC\) như sau:

\(BC:9x - y + 5 = 0;AB:15x - 11y + 7 = 0;AC:3x - 5y + 7 = 0.\)

Vectơ chỉ phương của đường thẳng biểu diễn chuyển động của vật thể là \(\vec v(1;2)\),

do đó đường thẳng này có vectơ pháp tuyến là \(\vec n(2; - 1)\). Mặt khác, đường thẳng

này đi qua điểm \(A(5;3)\) nên có phương trình là: \(2(x - 5) - (y - 3) = 0 \Leftrightarrow 2x - y - 7 = 0\).

Vật thể khởi hành từ điểm \(A(5;3)\) và chuyển động thẳng đều với vectơ vận tốc

là \(\vec v(1;2)\) nên vị trí của vật thể tại thời điểm \(t(t > 0)\) có toạ độ là: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 5 + t}\\{y = 3 + 2t}\end{array}} \right.\)

Gọi \(B\) là vị trí của vật thể tại thời điểm \(t = 5\). Do đó, toạ độ của điểm \(B\) là: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}{x_B} = 5 + 5 = 10\\{y_B} = 3 + 2 \cdot 5 = 13\end{array}\end{array}} \right.\)

Khi đó quãng đường vật thể đi được là \(AB = \sqrt {25 + 100}  = 5\sqrt 5 \)

a) Phương trình tổng quát của \(\Delta \) là: \(3(x - 1) - 2(y - 0) = 0\) hay \(3x - 2y - 3 = 0\).

b) \(\Delta \) vuông góc với \(AB\) nên có vectơ pháp tuyến: \(\vec n = \overrightarrow {AB}  = (2;4)\)

Phương trình tổng quát của \(\Delta \) là: \(2(x + 1) + 4(y - 0) = 0\) hay \(x + 2y + 1 = 0\).

c) \(\Delta \) đi qua trung điểm \(I(1;1)\) của đoạn \(MN\) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {MN}  = (2;8)\) nên có phương trình tổng quát: \(2(x - 1) + 8(y - 1) = 0\) hay \(x + 4y - 5 = 0\).

d) \(\Delta \) qua \(A(1; - 1)\) và có vectơ pháp tuyến \(\vec n = \overrightarrow {BC}  = (2; - 5)\) nên phương trình tổng quát là: \(2(x - 1) - 5(y + 1) = 0\) hay \(2x - 5y - 7 = 0\).

Xét đường thẳng \({d_2}:x + y + 3 = 0\); thay \(x = {t^\prime } \Rightarrow y =  - 3 - {t^\prime }\), ta có phương trình tham số \({d_2}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = {t^\prime }}\\{y =  - 3 - {t^\prime }}\end{array}} \right.\).

Gọi \(A = d \cap {d_1} \Rightarrow A(t; - 2 + 2t)\); gọi \(B = d \cap {d_2} \Rightarrow B\left( {{t^\prime }; - 3 - {t^\prime }} \right)\).

Vì \(M(3;0)\) là trung điểm của đoạn \(AB\) nên \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3 = \frac{{t + {t^\prime }}}{2}}\\{0 = \frac{{ - 2 + 2t - 3 - {t^\prime }}}{2}}\end{array}} \right.\) \( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{t + {t^\prime } = 6}\\{2t - {t^\prime } = 5}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{t = \frac{{11}}{3}}\\{{t^\prime } = \frac{7}{3}}\end{array}} \right.} \right.\). Ta có \(A\left( {\frac{{11}}{3};\frac{{16}}{3}} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AM}  = \left( { - \frac{2}{3}; - \frac{{16}}{3}} \right) =  - \frac{2}{3}\vec u\) với \(\vec u = (1;8)\) là một vectơ chỉ phương của \(d\). Phương trình tham số của \(d\) là \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 3 + t}\\{y = 8t}\end{array}} \right.\)

a) \(\Delta \) có phương trình theo đoạn chắn là \(\frac{x}{{ - 4}} + \frac{y}{{ - 2}} = 1\) hay \(x + 2y + 4 = 0\).

b) Gọi \(M(m;0) = \Delta  \cap Ox,N(0;n) = \Delta  \cap Oy\) với \(m,n > 0\). Suy ra \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{OM = m}\\{ON = n}\end{array}} \right.\).

Phương trình \(\Delta \) được viết theo đoạn chắn \(\frac{x}{m} + \frac{y}{n} = 1\). Vì \(E(2;3) \in \Delta \) nên \(\frac{2}{m} + \frac{3}{n} = 1 \Rightarrow \frac{2}{m} = \frac{{n - 3}}{n} \Rightarrow m = \frac{{2n}}{{n - 3}}\). Vì \(m,n > 0\) nên \(n - 3 > 0 \Rightarrow n > 3\).

Ta có: \(OM + ON = m + n = \frac{{2n}}{{n - 3}} + n = 2 + \frac{6}{{n - 3}} + n = 5 + \frac{6}{{n - 3}} + (n - 3)\).

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM: \(\frac{6}{{n - 3}} + (n - 3) \ge 2\sqrt {\frac{6}{{n - 3}} \cdot (n - 3)}  = 2\sqrt 6 \).

Suy ra: \(OM + ON = 5 + \frac{6}{{n - 3}} + (n - 3) \ge 5 + 2\sqrt 6 \).

Khi tổng \(OM + ON\) đạt giá trị nhỏ nhất (bằng \(5 + 2\sqrt 6 \)) thì dấu bằng của bất đẳng thức trên xảy ra: \(\frac{6}{{n - 3}} = n - 3 \Rightarrow {(n - 3)^2} = 6 \Rightarrow n = \sqrt 6  + 3(n > 3)\). Suy ra \(m = \frac{{2(\sqrt 6  + 3)}}{{(\sqrt 6  + 3) - 3}} = \frac{{2\sqrt 6  + 6}}{{\sqrt 6 }} = 2 + \sqrt 6 \).

Phương trình tổng quát \(\Delta :\frac{x}{{2 + \sqrt 6 }} + \frac{y}{{3 + \sqrt 6 }} = 1\) hay \(\frac{x}{{2 + \sqrt 6 }} + \frac{y}{{3 + \sqrt 6 }} - 1 = 0\).

Tọa độ điểm \(A = AB \cap AC\) là nghiệm của

hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{4x + y + 15 = 0}\\{2x + 5y + 3 = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x =  - 4}\\{y = 1}\end{array} \Rightarrow A( - 4;1)} \right.} \right.\)

\(B \in AB:y =  - 4x - 15 \Rightarrow B\left( {{x_B}; - 4{x_B} - 15} \right)\)

\(C \in AC:y = \frac{{ - 2x - 3}}{5} \Rightarrow C\left( {{x_C};\frac{{ - 2{x_C} - 3}}{5}} \right).\)

\(G\) là trọng tâm \(\Delta ABC \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_A} + {x_B} + {x_C} = 3{x_G}}\\{{y_A} + {y_B} + {y_C} = 3{y_G}}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - 4 + {x_B} + {x_C} = 3( - 2)}\\{ - 1 - 4{x_B} - 15 + \frac{{ - 2{x_C} - 3}}{5} =  - 3}\end{array}} \right.} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}{x_B} =  - 3\\{x_C} = 1\end{array}\end{array} \Rightarrow B( - 3; - 3),C(1; - 1).} \right.\)

Tọa độ điểm \(A = AB \cap AC\) là nghiệm của hệ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y - 2 = 0}\\{2x + 6y + 3 = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \frac{{15}}{4}}\\{y = \frac{{ - 7}}{4}}\end{array} \Rightarrow A\left( {\frac{{15}}{4};\frac{{ - 7}}{4}} \right)} \right.} \right.\) \(B \in AB:y =  - x + 2 \Rightarrow B\left( {{x_B}; - {x_B} + 2} \right);\) \(C \in AC:y = \frac{{ - 2x - 3}}{6} \Rightarrow C\left( {{x_c};\frac{{ - 2{x_c} - 3}}{6}} \right)\)

M là trung điểm của \(BC \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_B} + {x_C} = 2{x_M}}\\{{y_B} + {y_C} = 2{y_M}}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_B} + {x_C} =  - 2}\\{ - {x_B} + 2 + \frac{{ - 2{x_C} - 3}}{6} =  - 2}\end{array}} \right.} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}{x_B} + {x_C} =  - 26\\{x_B} - 2{x_C} =  - 21\end{array}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}{x_B} = \frac{{25}}{4}\\{x_C} = \frac{{ - 33}}{4}\end{array}\end{array} \Rightarrow B\left( {\frac{{25}}{4};\frac{{ - 17}}{4}} \right),C\left( {\frac{{ - 33}}{4};\frac{9}{4}} \right).} \right.} \right.\)

Gọi \(\Delta \) là đường thẳng cần tìm; \(\vec n = (A,B)\) là VTPT của \(\Delta \left( {{A^2} + {B^2} \ne 0} \right)\)

Để \(\Delta \) tạo với \((d)\) một góc 45o thì

cos45°=|A−2B|A2+B2⋅5=12⇔2(A−2B)2=5A2+B2⇔A=−3BB=3A

+ Với \(A =  - 3B\), chọn \(B =  - 1 \Rightarrow A = 3\):

Khi đó \(\Delta \) qua \(M(2;1)\) và vectơ pháp tuyến \(\vec n = (3; - 1)\)

\( \Rightarrow \Delta :3(x - 2) - 1(y - 1) = 0 \Leftrightarrow \Delta :3x - y - 5 = 0.{\rm{ }}\)

+ Với \(B = 3A\), chọn \(A = 1 \Rightarrow B = 3\):

Khi đó \(\Delta \) qua \(M(2;1)\) và vectơ pháp tuyến \(\vec n = (1;3)\)

\( \Rightarrow \Delta :1(x - 2) + 3(y - 1) = 0 \Leftrightarrow \Delta :x + 3y - 5 = 0.{\rm{ }}\)

\(N \in \Delta \) để \(ON\) nhỏ nhất thì \(ON \bot \Delta \)

\(N \in \Delta  \Rightarrow N(1 + t;1 + 2t),t \in \mathbb{R}\)

\(\overrightarrow {ON}  = (1 + t;1 + 2t)\)

Vectơ chỉ phương của \(\Delta \) là. \(\overrightarrow {{u_\Delta }}  = (1;2)\)

Vì \(ON \bot \Delta  \Rightarrow \overrightarrow {ON}  \bot \overrightarrow {{u_\Delta }} \)

\( \Leftrightarrow \overrightarrow {ON}  \cdot \overrightarrow {{u_\Delta }}  = 0 \Leftrightarrow 1(1 + t) + 2(1 + 2t) = 0 \Leftrightarrow t = \frac{{ - 3}}{5} \Rightarrow N\left( {\frac{2}{5};\frac{{ - 1}}{5}} \right)\)