Đề kiểm tra Phương trình đường thẳng lớp 10 (có lời giải) - Đề 1

Đường thẳng \(d\) có phương trình \(2x - 3y + 1 = 0\) nên một vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(d\) là \(\overrightarrow n  = \left( {2; - 3} \right)\).

Đường thẳng \[d\] có phương trình tổng quát \[3x - 2y + 4 = 0\]. Vectơ pháp tuyến của đường thẳng \[d\] là \[\overrightarrow n \, = \left( {3; - 2} \right)\]. Vậy vectơ chỉ phương chủa đường thẳng \[d\] là \[\overrightarrow u \, = \left( {2;3} \right)\].

Đường thẳng đi qua hai điểm \[M\left( {2;1} \right);\,N\left( {1;3} \right)\]có vectơ chỉ phương là \[\overrightarrow {MN} \, = \left( { - 1;2} \right)\]

Vì \(d\,{\rm{//}}\,d'\)nên \[d\] có ve tơ chỉ phương là \[\overrightarrow u \, = \left( { - 2;3} \right)\].

Phương trình đường thẳng \[d\] đi qua điểm \[A\left( {2;5} \right)\] nhận \[\overrightarrow u \, = \left( { - 2;3} \right)\] làm vectơ chỉ phương nên có phương trình tham số là \[\left\{ \begin{array}{l}x = 2 - 2t\\y = 5 + 3t\end{array} \right.\].

Ta có tọa độ trọng tâm \(G\) của tam giác \(ABC\) là \(G\left( {2\,;\,1} \right)\), véctơ \(\overrightarrow {OG}  = \left( {2\,;\,1} \right)\).

Đường thẳng \(OG\) đi qua \(O\left( {0\,;\,0} \right)\)nhận véctơ \(\overrightarrow u  = \left( {2\,;\,1} \right)\)làm véctơ chỉ phương có dạng tham số là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2t\\y = t\end{array} \right.\).

Ta có \(d \bot \Delta \) nên d có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n  = \left( {1;2} \right)\).

Mà đường thẳng \(d\) đi qua \(A\left( { - 1;2} \right)\) nên phương trình tổng quát của đường thẳng \(d\) là:

\(x + 1 + 2\left( {y - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow x + 2y - 3 = 0.\)

Vậy phương trình tổng quát cuả đường thẳng \(d:x + 2y - 3 = 0.\)

Đường thẳng \(\Delta \) có một véc tơ chỉ phương là \(\overrightarrow u  = \left( {2\,;\,1} \right)\).

Đường thẳng cần tìm đi qua \(A\) nhận \(\overrightarrow u  = \left( {2\,;\,1} \right)\) là véctơ chỉ phương có dạng tham số: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 2t\\y = 3 + t\end{array} \right.\).

Chọn A

Vector \(\overrightarrow i  = (1;0)\) là một vector chỉ phương của trục \(Ox\)

Các đường thẳng song song với trục \(Ox\)có 1 vector chỉ phương là \(\overrightarrow u  = \overrightarrow i  = (1;0)\)

Chọn D

Ta có \(\overrightarrow {AB}  = \left( {4;\,2} \right) = 2\left( {2;\,1} \right)\) suy ra vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(AB\) là \(\overrightarrow {{n_{AB}}}  = \left( { - 1;\,2} \right)\)

Đường thẳng \[d\] đi qua \[A\left( {0;1} \right)\] và có hệ số góc \[k\] nguyên dương. Phương trình dạng \[d:y = kx + 1\] hay \[d:kx - y + 1 = 0\].

\[d \cap Ox = B\left( {\frac{1}{k};0} \right);d \cap Oy = C\left( {0;1} \right)\].

\[{S_{\Delta OBC}} = \frac{1}{2}.OB.OC = \frac{1}{2}.\left| {\frac{1}{k}} \right|.1 = \frac{1}{{2\left| k \right|}}\]

Mà \[{S_{\Delta OBC}} = 0,5\] nên \[\frac{1}{{2\left| k \right|}} = 0,5 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}k =  - 1\left( {\rm{L}} \right)\\k = 1\end{array} \right.\].

Vậy phương trình đường thẳng là \[d:x - y + 1 = 0\].

Chọn A

Gọi I là trung điểm của AB và \(d\) là trung trực đoạn AB. Ta cóA1;−4, B1;2→I1;−1∈dd⊥AB→n→d=AB→=0;6=60;1→d:y+1=0.

Chọn B

Ta có đường thẳng vuông góc với \(2x - y + 4 = 0\) có phương trình \(x + 2y + m = 0\), mà đường thẳng này đi qua điểm \(I\left( { - 1;2} \right)\), suy ra \( - 1 + 2.2 + m = 0 \Leftrightarrow m =  - 3\).

Vậy đường thẳng cần tìm có phương trình \(x + 2y - 3 = 0\).

a) Đường thẳng \({d_1}\) có phương trình tổng quát là: \(2(x - 1) - (y - 2) = 0 \Leftrightarrow 2x - y = 0\).

b) Đường thẳng \({d_2}\) có phương trình tham số là: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 3 + t}\\{y =  - 1 + t}\end{array}} \right.\)

c) \(2(x - 3) - (y + 1) = 0 \Leftrightarrow 2x - y - 7 = 0\)

d) Phương trình tham số của đường thẳng \({d_4}\) đi qua \(M\) và có vectơ chỉ phương \(\vec u\) là \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + t}\\{y = 2 + t}\end{array}} \right.\)

Đường thẳng \({\Delta _1}:x - y + 2 = 0\) có vectơ pháp tuyến \(\vec n(1; - 1)\) nên nhận \(\vec u(1;1)\)

là một vectơ chỉ phương, lại có \({\Delta _1}\) đi qua điểm \(A(0;2)\) nên phương trình tham số

của \({\Delta _1}\) là: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = t}\\{y = 2 + t.}\end{array}} \right.\)

Đường thẳng \({\Delta _2}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + 3t}\\{y =  - 2 + t}\end{array}} \right.\) có vectơ chỉ phương là \(\vec u(3;1)\) nên nhận \(\vec n(1; - 3)\)

là một vectơ pháp tuyến, lại có \({\Delta _2}\) đi qua điểm \(M(1; - 2)\) nên phương trình tổng quát của \({\Delta _2}\) là: \((x - 1) - 3(y + 2) = 0 \Leftrightarrow x - 3y - 7 = 0\).

Đường thẳng \(AB\)có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {AB} (5;2)\) nên nhận \(\vec n(2; - 5)\) là một vectơ pháp tuyến

Phương trình tổng quát của đường thẳng \(AB\) đi qua \(A( - 2;2)\) và có vectơ pháp

tuyến \(\vec n(2; - 5)\) là: \(2(x + 2) - 5(y - 2) = 0 \Leftrightarrow 2x - 5y + 14 = 0\).

Đường thẳng này song song với đường thẳng \(AB\) nên nhận \(\overrightarrow {AB} \left( {5;2} \right)\)là một vectơ chỉ phương.

Phương trình tham số của đường thẳng đi qua \(M( - 1;1)\) và có vectơ chỉ phương

\(\overrightarrow {AB} (5;2)\) là: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x =  - 1 + 5t}\\{y = 1 + 2t}\end{array}} \right.\)

Đường cao kẻ từ \(D\) là đường thẳng vuông góc với đường thẳng EF nên nhận

\(\overrightarrow {EF} (1;4)\) là một vectơ pháp tuyến. Do đó, đường cao kẻ từ \(D\) có phương trình là: \((x - 1) + 4(y + 1) = 0 \Leftrightarrow x + 4y + 3 = 0.\)

Gọi \(I\) là trung điểm của \(DF\). Toạ độ của điểm \(I\) là \((2;2)\). Đường trung tuyến kẻ

từ \(E\) có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {EI} (0;1)\) nên nhận \(n(1;0)\) là một vectơ pháp tuyến. Do đó, đường trung tuyến kẻ từ \(E\) có phương trình là: \(x - 2 = 0\).

Tọa độ của điểm \(A\) là nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}7x - 2y - 3 = 0\\6x - y - 4 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 2\end{array} \right.\).

Do đó, điểm \(A\) có tọa độ \((1;2)\). Đường thẳng \(AB\) có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {AM} (1; - 2)\) nên nhận \(\vec n(2;1)\) là một vectơ pháp tuyến. Phương trình đường thẳng \(AB\) là: \(2(x - 1) + (y - 2) = 0 \Leftrightarrow 2x + y - 4 = 0.\)

Gọi \(\Delta \)là đường thẳng đi qua \(A\) và có vectơ pháp tuyến \({\vec n_\Delta } = (a;b)\left( {{a^2} + {b^2} > 0} \right)\). Ta có: 

(Δ,d)=45°⇔cosn→Δ,n→d=cos45°⇔n→Δ,n→dn→Δ⋅n→d=22

Nếu \(b = 0\)thì \(a = 0\)(loại).

Nếu \(b \ne 0\)thì chia cả hai vế phương trình trên cho \({b^2}\)ta có: \(3{\left( {\frac{a}{b}} \right)^2} + 8 \cdot \frac{a}{b} - 3 = 0\)

Giải phương trình ta được \(\frac{a}{b} = \frac{1}{3}\)hoặc \(\frac{a}{b} =  - 3\). Với \(\frac{a}{b} = \frac{1}{3},\)ta chọn \(a = 1,b = 3\). Suy ra phương trình đường thẳng \(d\)là: \(1(x - 2) + 3(y - 3) = 0 \Leftrightarrow x + 3y - 11 = 0\)

Với \(\frac{a}{b} =  - 3\) ta chọn \(a =  - 3,b = 1\). Suy ra phương trình đường thẳng \(d\)là: \( - 3(x - 2) + 1(y - 3) = 0 \Leftrightarrow  - 3x + y + 3 = 0.\)

Gọi \(I\) là giao điểm của hai đường chéo. Vì \(I\) thuộc \(\Delta \) nên giả sử \(I(3t;t)\).

Khi đó \(\overrightarrow {IA}  = ( - 3t;2 - t),\overrightarrow {IB}  = (4 - 3t;3 - t)\).

Vì tứ giác \(ABCD\) là hình thoi nên \(\overrightarrow {IA}  \cdot \overrightarrow {IB}  = 0 \Leftrightarrow ( - 3t)(4 - 3t) + (2 - t)(3 - t) = 0 \Leftrightarrow 10{t^2} - 17t + 6 = 0\)

Suy ra \(t = \frac{1}{2}\) hoặc \(t = \frac{6}{5}\).

Với \(t = \frac{1}{2}\)ta có: \(I\left( {\frac{3}{2};\frac{1}{2}} \right) \Rightarrow C(3; - 1),D( - 1; - 2)\)

Với \(t = \frac{6}{5}\)ta có: \(I\left( {\frac{{18}}{5};\frac{6}{5}} \right) \Rightarrow C\left( {\frac{{36}}{5};\frac{2}{5}} \right),D\left( {\frac{{16}}{5}; - \frac{3}{5}} \right)\)

a) Vì \({d_1}\) song song với \(d\) nên phương trình của \({d_1}\) có dạng: \(4x - y + c = 0(c \ne 11)\).

Vì \(M\) thuộc \({d_1}\) nên \(4.( - 2) - 1 + c = 0 \Leftrightarrow c = 9\).

Vậy phương trình đường thẳng \({d_1}\) là: \(4x - y + 9 = 0\).

b) Vì \({d_2}\) vuông góc với \(d\) nên phương trình của \({d_2}\) có dạng: \(x + 4y + m = 0\).

Vì \({d_2}\) cách đều hai điểm \(P,Q\) nên

\(d\left( {P,{d_2}} \right) = d\left( {Q,{d_2}} \right) \Leftrightarrow \frac{{| - 3 + 4 \cdot 3 + m|}}{{\sqrt {{1^2} + {4^2}} }} = \frac{{|5 + 4 \cdot ( - 1) + m|}}{{\sqrt {{1^2} + {4^2}} }} \Leftrightarrow |m + 9| = |m + 1|.\)

Suy ra \(m =  - 5\). Vậy phương trình đường thẳng \({d_2}\) là: \(x + 4y - 5 = 0\).

Phương trình đường thẳng \(AB\) là: \(\frac{x}{3} + \frac{y}{2} = 1 \Leftrightarrow 2x + 3y - 6 = 0\).

Điểm \(I\) nằm trên đường thẳng \(y =  - x\) nên giả sử \(I(t; - t)\).

Vì \(I\) là trung điểm của \(AC\) nên \(C(2t; - 2t - 2),I\) là trung điểm của \(BD\) nên \(D(2t - 3; - 2t)\)

Ta có: \(AB = \sqrt {{{(3 - 0)}^2} + {{(0 - 2)}^2}}  = \sqrt {13} \). Suy ra \(d(C,AB) = \frac{2}{{\sqrt {13} }}\). Khi đó \(\frac{{|2 \cdot 2t + 3( - 2t - 2) - 6|}}{{\sqrt {{2^2} + {3^2}} }} = \frac{2}{{\sqrt {13} }} \Leftrightarrow | - 2t - 12| = 2\). Suy ra \(t =  - 5\) hoặc \(t =  - 7\). Với \(t =  - 5\), ta có: \(C( - 10;8),D( - 13;10)\).

Với \(t =  - 7\), ta có: \(C( - 14;12),D( - 17;14)\).

a) Vì \(A \in {d_1},B \in {d_2}\) nên giả sử \(A( - 2t - 3;t),B(s;3s + 5)\).

Ta có: \(P( - 2;1)\) là trung điểm \(AB\) nên \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{ - 2t - 3 + s}}{2} =  - 2}\\{\frac{{t + 3s + 5}}{2} = 1}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 2t + s =  - 1}\\{t + 3s =  - 3}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = 0}\\{s =  - 1}\end{array}} \right.} \right.} \right.\)

Suy ra \(A( - 3;0),B( - 1;2)\).

b) Phương trình đường thẳng \(\Delta \) đi qua hai điểm \(A,B\)là: \(\frac{{x + 3}}{2} = \frac{y}{2} \Leftrightarrow x - y + 3 = 0.\)Vậy khoảng cách từ \(M\)đến đường thẳng \(\Delta \)là: \(d(M,d) = \frac{{|3 - ( - 2) + 3|}}{{\sqrt {{1^2} + {{( - 1)}^2}} }} = \frac{8}{{\sqrt 2 }} = 4\sqrt 2 {\rm{. }}\)