Đề kiểm tra Hệ trục tọa độ trong không gian lớp 12 (có lời giải) - Đề 5

Ta có \[\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \frac{{1 + 5 + 0}}{3} = 2\\{y_G} = \frac{{ - 1 + 0 + 4}}{3} = 1\\{z_G} = \frac{{1 + 2 + 3}}{3} = 2\end{array} \right.\]

Vậy \[G\left( {2;1;2} \right)\].

Ta có: \[\overrightarrow u .\overrightarrow v  = 2.\left( { - 1} \right) + \left( { - 1} \right).\left( { - 2} \right) + 0.7 = 0\].

Suy ra góc giữa \(2\) vectơ đã cho bằng \(90^\circ \).

Chọn B

Ta có: \(\overrightarrow {AO}  = 3\left( {\overrightarrow i  + 4\overrightarrow j } \right) - 2\overrightarrow k  + 5\overrightarrow j  = 3\overrightarrow i  + 12\overrightarrow j  - 2\overrightarrow k  + 5\overrightarrow j  = 3\overrightarrow i  + 17\overrightarrow j  - 2\overrightarrow k \).

Suy ra \(\overrightarrow {OA}  =  - 3\overrightarrow i  - 17\overrightarrow j  + 2\overrightarrow k \) nên \(A\left( { - 3\,;\, - 17\,;\,2} \right)\).

Chọn C

Gọi \(H\) là hình chiếu của \(M\) lên mặt phẳng \(\left( {Oyz} \right) \Rightarrow H\left( {0;2;3} \right)\).

Gọi \(M'\) là điểm đối xứng với \(M\left( {1;2;3} \right)\) qua mặt phẳng \(\left( {Oyz} \right)\).

\( \Rightarrow H\) là trung điểm của \(MM' \Rightarrow \overrightarrow {HM'}  = \overrightarrow {MH}  \Rightarrow M'\left( { - 1;2;3} \right)\).

a) Ta có \(\overrightarrow u  = \left( {3;1; - 2} \right)\). Suy ra a) đúng.

b) Ta có \(\overrightarrow v  = \left( {2;0; - 1} \right)\). Suy ra b) sai.

c) Ta có \(2\overrightarrow u  = \left( {6;2; - 4} \right)\). Suy ra c) sai.

d) Ta có\(2\overrightarrow u  = \left( {6;2; - 4} \right)\), \(3\overrightarrow v  = \left( {6;0; - 3} \right)\)

Do đó \(\overrightarrow m  = 2\overrightarrow u  - 3\overrightarrow v  = \left( {0;2; - 1} \right)\). Suy ra d) đúng.

a) Ta có \(A\left( {1; - 2;3} \right),\,\,B\left( { - 2;1;2} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AB}  = \left( { - 3;3; - 1} \right)\). Suy ra a) đúng.

b) Ta có \(A\left( {1; - 2;3} \right),\,\,C\left( {3; - 1;2} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AC}  = \left( {2;1; - 1} \right)\). Suy ra b) sai.

c) Do \(3\overrightarrow {AC}  = \left( {6;3; - 3} \right);\,\overrightarrow {AB}  = \left( { - 3;3; - 1} \right)\). Suy ra c) sai.

d) Ta có\(\overrightarrow {AB}  = \left( { - 3;3; - 1} \right);\,\overrightarrow {AC}  = \left( {2;1; - 1} \right) \Rightarrow \frac{{ - 3}}{2} \ne \frac{3}{1} \Rightarrow \overrightarrow {AB} \), \(\overrightarrow {AC} \) không cùng phương. Suy ra ba điểm \(A,\,B,\,C\) không thẳng hàng. Suy ra d) đúng.

a) Ta có \(A\left( {2; - 1; - 2} \right),\,\,B\left( {3;1;2} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AB}  = \left( {1;2;4} \right)\). Suy ra a) đúng.

b) Ta có \(C\left( {1; - 1;1} \right);D\left( {{x_D};{y_D};{z_D}} \right) \Rightarrow \overrightarrow {DC}  = \left( {1 - {x_D}; - 1 - {y_D};1 - {z_D}} \right)\). Suy ra b) đúng.

c) Do hình bình hành \(ABCD\) có \(\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {DC} \). Suy ra c) đúng.

d) Do hình bình hành \(ABCD\) có \(\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {DC} \).

Mà \(\overrightarrow {AB}  = \left( {1;2;4} \right);\,\,\overrightarrow {DC}  = \left( {1 - {x_D}; - 1 - {y_D};1 - {z_D}} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 = 1 - {x_D}\\2 =  - 1 - {y_D}\\4 = 1 - {z_D}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_D} = 0\\{y_D} =  - 3\\{z_D} =  - 3\end{array} \right.\).

Vậy \(D\left( {0; - 3; - 3} \right)\). Suy ra d) sai.

a) Ta có \(\overrightarrow {A'A}  = \left( {0; - 1;2} \right)\). Suy ra a) đúng.

b) Ta có \(\overrightarrow {B'B}  = \left( {2 - {b_1};1 - {b_2};2 - {b_3}} \right)\). Suy ra b) đúng.

c) Do hình bình hành \(ABB'A'\) nên \(\overrightarrow {A'A}  = \overrightarrow {B'B} \). Suy ra c) đúng.

d) Do hình bình hành \(ABB'A'\) nên \(\overrightarrow {A'A}  = \overrightarrow {B'B} \) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}0 = 2 - {b_1}\\ - 1 = 1 - {b_2}\\2 = 2 - {b_3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{b_1} = 2\\{b_2} = 2\\{b_3} = 0\end{array} \right.\).

Vậy \[B'\left( {2;2;\,0} \right)\]. Suy ra d) sai.

Ta có: \(\overrightarrow {AB} \left( {1; - 3; - 4} \right)\),\(\overrightarrow {AD} \left( { - 4;4; - 1} \right)\).

Gọi \(C\left( {x;y;z} \right)\) là điểm cần tìm. \(\overrightarrow {DC} \left( {x + 3;y - 7;z - 1} \right)\)

Vì \(ABCD\)là hình bình hành nên \(\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {DC} \)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 3 = 1\\y - 7 =  - 3\\z - 1 =  - 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 2\\y = 4\\z =  - 3\end{array} \right.\).

Vậy \(C\left( { - 2;4; - 3} \right) \Rightarrow a + 3b + 4c =  - 2\).

\(H\left( {m\,;\,n\,;\,p} \right)\) là hình chiếu của \[M\]trên \[\left( {Oyz} \right)\]\[ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_H} = 0\\{y_H} = {y_M} = 3\\{z_H} = {z_M} =  - 4\end{array} \right. \Leftrightarrow H\left( {0;3; - 4} \right)\].

Suy ra \(T = m - 2n - 3p = 6\).

Ta có: Hình chiếu của điểm \(M\left( {3\,;\, - 7\,;4} \right)\) trên trục \(Oy\) là điểm \(H\left( {0\,;\, - 7;0} \right)\)

\( \Rightarrow \)\(a = 0\); \(b =  - 7\); \(c = 0\)

Vậy \(a - b + c = 7\).

Ta có: \(OC = MH = OM.\sin \left( {\overrightarrow {OH} \,\,,\,\,\overrightarrow {OM} } \right) = 50.\sin 48^\circ  \approx 37,16\)

\(OH = OM.\cos \left( {\overrightarrow {OH} \,,\,\overrightarrow {OM} } \right) = 50.\cos 48^\circ  = 50.\cos 48^\circ  \approx 33,46\)

\(OA = OH.\cos \left( {\vec i\,\,,\,\,\overrightarrow {OH} } \right) = 33,46.\cos 64^\circ  = 33,46.\cos 64^\circ  \approx 14,67\)

\(OB = OH.\cos \left( {90^\circ  - \left( {\vec i\,,\,\,\overrightarrow {OH} } \right)} \right) = 33,46.\cos \left( {90^\circ  - 64^\circ } \right) = 33,46.\cos 26^\circ  \approx 30,07\)

Suy ra \(M\left( {14,67\,;\,30,07\,;\,37,16} \right)\)\( \Rightarrow S = a + b + c = 14,67 + 30,07 + 37,16 = 81,9\)

Tam giác \(OCM\) vuông tại \(C\) có

\(OC = OM.\cos 65^\circ  = 14.\cos 65^\circ  \approx 5,9\) và \(CM = OM.\sin 65^\circ  = 14.\sin 65^\circ  \approx 12,7\).

\(ON = CM,\,\,AN = OB\).

Có \(\widehat {AON} = 90^\circ  - \widehat {BON} = 58^\circ \)

Tam giác \(OAN\) vuông tại \(A\) có

\(OA = ON.\cos 58^\circ  = 12,7.\cos 58^\circ  \approx 6,7\) và \(AN = ON.\sin 58^\circ  = 12,7.\sin 58^\circ  \approx 10,8\).

\(\overrightarrow {OM}  = OA.\overrightarrow i  + OB.\overrightarrow j  + OC.\overrightarrow k  = 6,7.\overrightarrow i  + 10,8.\overrightarrow j  + 5,9.\overrightarrow k \).

Vậy \(M\left( {6,7;10,8;5,9} \right)\).