Đề kiểm tra Hệ trục tọa độ trong không gian lớp 12 (có lời giải) - Đề 5
22 câu hỏi
PHẦN I. CÂU TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN
Học sinh trả lời từ câu 1 đến câu 10. Mỗi câu hỏi học sinh chỉ chọn một phương án.
Trong không gian \(Oxyz\), cho điểm \[M\] thỏa mãn hệ thức \[\overrightarrow {OM} = \overrightarrow i - 5\overrightarrow j + 2\overrightarrow k \]. Tọa độ điểm \[M\] là
\(M\left( {1;5;2} \right)\).
\(M\left( {2;5;1} \right)\).
\(M\left( {2; - 5;1} \right)\).
\(M\left( {1; - 5;2} \right)\).
Ta có: \[\overrightarrow {OM} = \overrightarrow i - 5\overrightarrow j + 2\overrightarrow k \Leftrightarrow M\left( {1; - 5;2} \right)\].
Trong không gian \(Oxyz\), cho \[A\left( {1; - 1;3} \right)\] và \[B\left( {1;3; - 2} \right)\]. Tọa độ của vectơ \[\overrightarrow {AB} \] là
\[\overrightarrow {AB} = \left( {0;4; - 5} \right)\].
\[\overrightarrow {AB} = \left( {0; - 4;5} \right)\].
\[\overrightarrow {AB} = \left( {2;2;1} \right)\].
\[\overrightarrow {AB} = \left( {2;4;5} \right)\].
\[\overrightarrow {AB} = \left( {{x_B} - {x_A};{y_B} - {y_A};{z_B} - {z_A}} \right) = \left( {0;4; - 5} \right)\].
Trong không gian \(Oxyz\), cho \[\overrightarrow u = \left( {1;0;2} \right)\] và \[\overrightarrow v = \left( {3;2; - 1} \right)\]. Tọa độ của vectơ \[\overrightarrow u + \overrightarrow v \] là
\[\left( {1;2;4} \right)\].
\[\left( { - 2; - 2;3} \right)\].
\[\left( {4;2;1} \right)\].
\[\left( {2;2; - 3} \right)\].
\[\overrightarrow u + \overrightarrow v = \left( {1 + 3;0 + 2;2 - 1} \right) = \left( {4;2;1} \right)\].
Trong không gian \(Oxyz\), cho \[\overrightarrow u = \left( {5; - 1;2} \right)\] và \[\overrightarrow v = \left( { - 1;2;1} \right)\]. Tọa độ của vectơ \[\overrightarrow u - \overrightarrow v \] là
\[\left( {4; - 1;1} \right)\].
\[\left( {6; - 3;1} \right)\].
\[\left( { - 6;3; - 1} \right)\].
\[\left( { - 4;1; - 1} \right)\].
\[\overrightarrow u + \overrightarrow v = \left( {5 + 1; - 1 - 2;2 - 1} \right) = \left( {6; - 3;1} \right)\].
Trong không gian \[Oxyz\] cho tam giác \[ABC\] có \[A\left( {1; - 1;1} \right),\,B\left( {5;0;2} \right),\,C\left( {0;4;3} \right)\]. Toạ độ trọng tâm \(G\)của tam giác \[ABC\] là
\(G\left( {3;\frac{5}{2};3} \right)\).
\(G\left( {2; - 1;2} \right)\).
\(G\left( {3; - \frac{5}{2};3} \right)\).
\(G\left( {2;1;2} \right)\).
Ta có \[\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \frac{{1 + 5 + 0}}{3} = 2\\{y_G} = \frac{{ - 1 + 0 + 4}}{3} = 1\\{z_G} = \frac{{1 + 2 + 3}}{3} = 2\end{array} \right.\]
Vậy \[G\left( {2;1;2} \right)\].
Trong không gian \(Oxyz\), cho vectơ \(\vec a = \left( {2\,; - 1\,;5} \right)\). Tọa độ vectơ \( - 5\vec a\) là
\[\left( { - 10;5; - 25} \right)\]
\[\left( {10; - 5;25} \right)\]
\[\left( {7;4;10} \right)\]
\[\left( { - 3;6;0} \right)\]
Ta có \[ - 5\overrightarrow a = \left( { - 5.2; - 5.\left( { - 1} \right); - 5.5} \right) = \left( { - 10;5; - 25} \right)\].
Trong không gian \(Oxyz\), khoảng cách giữa \(2\)điểm \[M\left( {1; - 3;7} \right)\] và \[N\left( {2;3; - 1} \right)\]là
\(101\).
\(10\).
\(\sqrt {101} \).
\(11\).
Ta có: \[MN = \sqrt {{{\left( {{x_N} - {x_M}} \right)}^2} + {{\left( {{y_N} - {y_M}} \right)}^2} + {{\left( {{z_N} - {z_M}} \right)}^2}} = \sqrt {1 + 36 + 64} = \sqrt {101} \].
Trong không gian \(Oxyz\), cho \[\overrightarrow u = \left( {1; - 1;4} \right)\] và \[\overrightarrow v = \left( {3; - 2;1} \right)\]. Khi đó \[\overrightarrow u .\overrightarrow v \] bằng
\[ - 9\].
\[9\].
\[7\].
\[ - 3\].
Ta có: \[\overrightarrow u .\overrightarrow v = 1.3 + \left( { - 1} \right).\left( { - 2} \right) + 4.1 = 3 + 2 + 4 = 9\].
Trong không gian \(Oxyz\), cho \[\overrightarrow u = \left( {2; - 1;0} \right)\] và \[\overrightarrow v = \left( { - 1; - 2;7} \right)\]. Góc hợp bởi \(2\) vectơ đã cho bằng
\[30^\circ \].
\[90^\circ \].
\[60^\circ \].
\[45^\circ \].
Ta có: \[\overrightarrow u .\overrightarrow v = 2.\left( { - 1} \right) + \left( { - 1} \right).\left( { - 2} \right) + 0.7 = 0\].
Suy ra góc giữa \(2\) vectơ đã cho bằng \(90^\circ \).
Trong không gian \(Oxyz\), cho \[\overrightarrow u = \left( {1; - 1;5} \right)\] và \[\overrightarrow v = \left( {2; - 4;7} \right)\]. Tính \(\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right]\) ?
\[\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right] = \left( { - 13; - 3;2} \right)\].
\[\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right] = 41\].
\[\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right] = - 41\].
\[\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right] = \left( {13;3; - 2} \right)\].
Ta có: \[\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1}&5\\{ - 4}&7\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}5&1\\7&2\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&{ - 1}\\2&{ - 4}\end{array}} \right|} \right) = \left( {13;3; - 2} \right)\].
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho véc-tơ \(\overrightarrow {AO} = 3\left( {\overrightarrow i + 4\overrightarrow j } \right) - 2\overrightarrow k + 5\overrightarrow j \). Tọa độ của điểm \(A\) là
\(\left( {3\,;\,17\,;\, - 2} \right)\).
\(\left( { - 3\,;\, - 17\,;\,2} \right)\).
\(\left( {3\,;\, - 2\,;\,5} \right)\).
\(\left( {3\,;\,5\,;\, - 2} \right)\).
Chọn B
Ta có: \(\overrightarrow {AO} = 3\left( {\overrightarrow i + 4\overrightarrow j } \right) - 2\overrightarrow k + 5\overrightarrow j = 3\overrightarrow i + 12\overrightarrow j - 2\overrightarrow k + 5\overrightarrow j = 3\overrightarrow i + 17\overrightarrow j - 2\overrightarrow k \).
Suy ra \(\overrightarrow {OA} = - 3\overrightarrow i - 17\overrightarrow j + 2\overrightarrow k \) nên \(A\left( { - 3\,;\, - 17\,;\,2} \right)\).
Trong không gian với hệ tọa độ \[Oxyz\], tọa độ điểm đối xứng của \(M\left( {1;2;3} \right)\) qua mặt phẳng \(\left( {Oyz} \right)\) là
\(\left( {0;2;3} \right)\).
\(\left( { - 1; - 2; - 3} \right)\).
\(\left( { - 1;2;3} \right)\).
\(\left( {1;2; - 3} \right)\).
Chọn C
Gọi \(H\) là hình chiếu của \(M\) lên mặt phẳng \(\left( {Oyz} \right) \Rightarrow H\left( {0;2;3} \right)\).
Gọi \(M'\) là điểm đối xứng với \(M\left( {1;2;3} \right)\) qua mặt phẳng \(\left( {Oyz} \right)\).
\( \Rightarrow H\) là trung điểm của \(MM' \Rightarrow \overrightarrow {HM'} = \overrightarrow {MH} \Rightarrow M'\left( { - 1;2;3} \right)\).
PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Học sinh trả lời từ câu 11 đến câu 14. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, học sinh chọn đúng hoặc sai.
Trong không gian \(Oxyz\), cho các vectơ \(\overrightarrow u = 3\overrightarrow i + \overrightarrow j \, - 2\overrightarrow k ,\,\,\,\overrightarrow v = 2\overrightarrow i - \overrightarrow k ,\,\,\,\overrightarrow m = 2\overrightarrow u - 3\overrightarrow v \,\).
Mệnh đề | Đúng | Sai |
a) \(\overrightarrow u = \left( {3;1; - 2} \right)\). |
|
|
b) \(\overrightarrow v = \left( {2; - 1;0} \right)\). |
|
|
c) \(2\overrightarrow u = \left( {6;1; - 2} \right)\). |
|
|
d) \(\overrightarrow m = \left( {0;2; - 1} \right)\). |
|
|
a) Đúng | b) Sai | c) Sai | d) Đúng |
a) Ta có \(\overrightarrow u = \left( {3;1; - 2} \right)\). Suy ra a) đúng.
b) Ta có \(\overrightarrow v = \left( {2;0; - 1} \right)\). Suy ra b) sai.
c) Ta có \(2\overrightarrow u = \left( {6;2; - 4} \right)\). Suy ra c) sai.
d) Ta có\(2\overrightarrow u = \left( {6;2; - 4} \right)\), \(3\overrightarrow v = \left( {6;0; - 3} \right)\)
Do đó \(\overrightarrow m = 2\overrightarrow u - 3\overrightarrow v = \left( {0;2; - 1} \right)\). Suy ra d) đúng.
Trong không gian \(Oxyz\), cho các điểm \(A\left( {1; - 2;3} \right),\,\,B\left( { - 2;1;2} \right),\,\,C\left( {3; - 1;2} \right)\). Xét tính đúng sai của các phát biểu sau:
Mệnh đề | Đúng | Sai |
a) \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 3;3 - 1} \right)\). |
|
|
b) \(\overrightarrow {AC} = \left( { - 2; - 1;1} \right)\). |
|
|
c) \(\overrightarrow {AB} = 3\overrightarrow {AC} \). |
|
|
d) Ba điểm \(A,\,B,\,C\)không thẳng hàng. |
|
|
a) Đúng | b) Sai | c) Sai | d) Đúng |
a) Ta có \(A\left( {1; - 2;3} \right),\,\,B\left( { - 2;1;2} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AB} = \left( { - 3;3; - 1} \right)\). Suy ra a) đúng.
b) Ta có \(A\left( {1; - 2;3} \right),\,\,C\left( {3; - 1;2} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AC} = \left( {2;1; - 1} \right)\). Suy ra b) sai.
c) Do \(3\overrightarrow {AC} = \left( {6;3; - 3} \right);\,\overrightarrow {AB} = \left( { - 3;3; - 1} \right)\). Suy ra c) sai.
d) Ta có\(\overrightarrow {AB} = \left( { - 3;3; - 1} \right);\,\overrightarrow {AC} = \left( {2;1; - 1} \right) \Rightarrow \frac{{ - 3}}{2} \ne \frac{3}{1} \Rightarrow \overrightarrow {AB} \), \(\overrightarrow {AC} \) không cùng phương. Suy ra ba điểm \(A,\,B,\,C\) không thẳng hàng. Suy ra d) đúng.
Trong không gian \(Oxyz\), cho hình bình hành \(ABCD\) có \(A\left( {2; - 1; - 2} \right),\,\,B\left( {3;1;2} \right),\,\,C\left( {1; - 1;1} \right)\) và \(D\left( {{x_D};{y_D};{z_D}} \right)\). Xét tính đúng sai của các phát biểu sau:
Mệnh đề | Đúng | Sai |
a) \(\overrightarrow {AB} = \left( {1;2;4} \right)\). |
|
|
b) \(\overrightarrow {DC} = \left( {1 - {x_D}; - 1 - {y_D};1 - {z_D}} \right)\). |
|
|
c) \(\overrightarrow {DC} = \overrightarrow {AB} \). |
|
|
d) \({x_D} + {y_D} + {z_D} = 2\) |
|
|
a) Đúng | b) Đúng | c) Đúng | d) Sai |
a) Ta có \(A\left( {2; - 1; - 2} \right),\,\,B\left( {3;1;2} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AB} = \left( {1;2;4} \right)\). Suy ra a) đúng.
b) Ta có \(C\left( {1; - 1;1} \right);D\left( {{x_D};{y_D};{z_D}} \right) \Rightarrow \overrightarrow {DC} = \left( {1 - {x_D}; - 1 - {y_D};1 - {z_D}} \right)\). Suy ra b) đúng.
c) Do hình bình hành \(ABCD\) có \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \). Suy ra c) đúng.
d) Do hình bình hành \(ABCD\) có \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \).
Mà \(\overrightarrow {AB} = \left( {1;2;4} \right);\,\,\overrightarrow {DC} = \left( {1 - {x_D}; - 1 - {y_D};1 - {z_D}} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 = 1 - {x_D}\\2 = - 1 - {y_D}\\4 = 1 - {z_D}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_D} = 0\\{y_D} = - 3\\{z_D} = - 3\end{array} \right.\).
Vậy \(D\left( {0; - 3; - 3} \right)\). Suy ra d) sai.
Trong không gian \[Oxyz,\]cho hình hộp \[ABCD.A'B'C'D'\] có \[A\left( {1;0;1} \right),B\left( {2;1;2} \right),D\left( {1; - 1;1} \right)\], \[A'\left( {1;1; - 1} \right)\] và \[B'\left( {{b_1};{b_2};{b_3}} \right)\]. Xét tính đúng sai của các phát biểu sau:
Mệnh đề | Đúng | Sai |
a) \(\overrightarrow {A'A} = \left( {0; - 1;2} \right)\). |
|
|
b) \(\overrightarrow {B'B} = \left( {2 - {b_1};1 - {b_2};2 - {b_3}} \right)\). |
|
|
c) \(\overrightarrow {A'A} = \overrightarrow {B'B} \). |
|
|
d) \[B'\left( {2;0;\,0} \right)\] |
|
|
a) Đúng | b) Đúng | c) Đúng | d) Sai |
a) Ta có \(\overrightarrow {A'A} = \left( {0; - 1;2} \right)\). Suy ra a) đúng.
b) Ta có \(\overrightarrow {B'B} = \left( {2 - {b_1};1 - {b_2};2 - {b_3}} \right)\). Suy ra b) đúng.
c) Do hình bình hành \(ABB'A'\) nên \(\overrightarrow {A'A} = \overrightarrow {B'B} \). Suy ra c) đúng.
d) Do hình bình hành \(ABB'A'\) nên \(\overrightarrow {A'A} = \overrightarrow {B'B} \) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}0 = 2 - {b_1}\\ - 1 = 1 - {b_2}\\2 = 2 - {b_3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{b_1} = 2\\{b_2} = 2\\{b_3} = 0\end{array} \right.\).
Vậy \[B'\left( {2;2;\,0} \right)\]. Suy ra d) sai.
PHẦN III. CÂU HỎI TRẢ LỜI NGẮN
Trong không gian \(Oxyz\), cho hình bình hành \(ABCD\). Biết \(A\left( {1;3;2} \right)\),\(B\left( {2;0; - 2} \right)\),\(D\left( { - 3;7;1} \right)\), và\(C\left( {a\,;\,b\,;\,c} \right)\). Tìm \(a + 3b + 4c\).
Ta có: \(\overrightarrow {AB} \left( {1; - 3; - 4} \right)\),\(\overrightarrow {AD} \left( { - 4;4; - 1} \right)\).
Gọi \(C\left( {x;y;z} \right)\) là điểm cần tìm. \(\overrightarrow {DC} \left( {x + 3;y - 7;z - 1} \right)\)
Vì \(ABCD\)là hình bình hành nên \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 3 = 1\\y - 7 = - 3\\z - 1 = - 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 2\\y = 4\\z = - 3\end{array} \right.\).
Vậy \(C\left( { - 2;4; - 3} \right) \Rightarrow a + 3b + 4c = - 2\).
Trong không gian \[Oxyz\], hình chiếu vuông góc của điểm \[M\left( {2;3; - 4} \right)\] trên mặt phẳng \[\left( {Oyz} \right)\] là điểm \(H\left( {m\,;\,n\,;\,p} \right)\). Tìm \(T = m - 2n - 3p\).
\(H\left( {m\,;\,n\,;\,p} \right)\) là hình chiếu của \[M\]trên \[\left( {Oyz} \right)\]\[ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_H} = 0\\{y_H} = {y_M} = 3\\{z_H} = {z_M} = - 4\end{array} \right. \Leftrightarrow H\left( {0;3; - 4} \right)\].
Suy ra \(T = m - 2n - 3p = 6\).
Trong không gian tọa độ \(Oxyz\), hình chiếu của điểm \(M\left( {3\,;\, - 7\,;4} \right)\) trên trục \(Oy\) là điểm \(H\left( {a\,;\,b\,;\,c} \right)\). Khi đó giá trị của \(a - b + c\) bằng bao nhiêu?
Ta có: Hình chiếu của điểm \(M\left( {3\,;\, - 7\,;4} \right)\) trên trục \(Oy\) là điểm \(H\left( {0\,;\, - 7;0} \right)\)
\( \Rightarrow \)\(a = 0\); \(b = - 7\); \(c = 0\)
Vậy \(a - b + c = 7\).
Ở một sân bay, ví trí của máy bay được xác định bởi điểm \(M\) trong không gian \(Oxyz\) (như hình vẽ ).
Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(M\left( {a\,;\,b\,;\,c} \right)\) xuống mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\). Cho biết \(OM = 50,\)\(\left( {\vec i\,,\,\overrightarrow {OH} } \right) = 64^\circ \,,\,\,\,\left( {\overrightarrow {OH\,} \,,\,\,\overrightarrow {OM\,} } \right) = 48^\circ \). Tìm \(S = a + b + c\)(kết quả làm tròn đến 1 chữ số sau dấu phẩy).
Ta có: \(OC = MH = OM.\sin \left( {\overrightarrow {OH} \,\,,\,\,\overrightarrow {OM} } \right) = 50.\sin 48^\circ \approx 37,16\)
\(OH = OM.\cos \left( {\overrightarrow {OH} \,,\,\overrightarrow {OM} } \right) = 50.\cos 48^\circ = 50.\cos 48^\circ \approx 33,46\)
\(OA = OH.\cos \left( {\vec i\,\,,\,\,\overrightarrow {OH} } \right) = 33,46.\cos 64^\circ = 33,46.\cos 64^\circ \approx 14,67\)
\(OB = OH.\cos \left( {90^\circ - \left( {\vec i\,,\,\,\overrightarrow {OH} } \right)} \right) = 33,46.\cos \left( {90^\circ - 64^\circ } \right) = 33,46.\cos 26^\circ \approx 30,07\)
Suy ra \(M\left( {14,67\,;\,30,07\,;\,37,16} \right)\)\( \Rightarrow S = a + b + c = 14,67 + 30,07 + 37,16 = 81,9\)
Tìm toạ độ của các vectơ ở Hình 30.
Một máy bay đang cất cánh từ phi trường. Với hệ toạ độ \(Oxyz\) được thiết lập như hình bên dưới, cho biết \(M\) là vị trí của máy bay, \(OM = 14,\,\,\widehat {NOB} = 32^\circ ,\,\,\widehat {MOC} = 65^\circ \). Tìm tọa độ điểm \(M\).
Tam giác \(OCM\) vuông tại \(C\) có
\(OC = OM.\cos 65^\circ = 14.\cos 65^\circ \approx 5,9\) và \(CM = OM.\sin 65^\circ = 14.\sin 65^\circ \approx 12,7\).
\(ON = CM,\,\,AN = OB\).
Có \(\widehat {AON} = 90^\circ - \widehat {BON} = 58^\circ \)
Tam giác \(OAN\) vuông tại \(A\) có
\(OA = ON.\cos 58^\circ = 12,7.\cos 58^\circ \approx 6,7\) và \(AN = ON.\sin 58^\circ = 12,7.\sin 58^\circ \approx 10,8\).
\(\overrightarrow {OM} = OA.\overrightarrow i + OB.\overrightarrow j + OC.\overrightarrow k = 6,7.\overrightarrow i + 10,8.\overrightarrow j + 5,9.\overrightarrow k \).
Vậy \(M\left( {6,7;10,8;5,9} \right)\).
