Đề kiểm tra Hệ trục tọa độ trong không gian lớp 12 (có lời giải) - Đề 2
22 câu hỏi
PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Trong không gian \(Oxyz\), cho hai điểm \(A\left( {1;\,1;\, - 2} \right)\) và \(B\left( {2;\,2;\,1} \right)\). Vectơ \(\overrightarrow {AB} \) có tọa độ là
\(\left( { - 1;\, - 1;\, - 3} \right)\).
\(\left( {3;\,1;\,1} \right)\).
\(\left( {1;\,1;\,3} \right)\).
\(\left( {3;\,3;\, - 1} \right)\).
\(\overrightarrow {AB} = \left( {2 - 1;\,2 - 1;\,1 - \left( { - 2} \right)} \right)\) hay \(\overrightarrow {AB} = \left( {1;\,1;\,3} \right)\).
Trong không gian \(Oxyz\), cho tam giác \(ABC\)có các điểm \(A\left( {1;0;3} \right)\), \(B\left( {2;3; - 4} \right)\), \(C\left( { - 3;1;2} \right)\). Tìm toạ độ điểm \(D\) sao cho tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành.
\(\left( { - 4; - 2;9} \right)\).
\(\left( {4;2;9} \right)\).
\(\left( { - 2;4; - 5} \right)\).
\(\left( {6;2; - 3} \right)\).
Gọi \(D\left( {x;y;z} \right)\)\( \Rightarrow \overrightarrow {CD} = \left( {x + 3;y - 1;z - 2} \right)\) và \(\overrightarrow {BA} = \left( { - 1; - 3;7} \right)\).
Tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành khi và chỉ khi: \(\overrightarrow {BA} = \overrightarrow {CD} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 3 = - 1\\y - 1 = - 3\\z - 2 = 7\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 4\\y = - 2\\z = 9\end{array} \right.\)\( \Rightarrow C\left( { - 4; - 2;9} \right)\)
Trong không gian \[Oxyz\], cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\) có \(A\left( {1;\,0;\,1} \right)\), \(B\left( {2;\,1;\,2} \right)\), \(D\left( {1;\, - 1;\,1} \right)\). Tính tọa độ đỉnh \(C\) của hình hộp.
\(C\left( {4;\,6;\, - 5} \right)\).
\(C\left( {2;\,0;\,2} \right)\).
\(C\left( {3;5; - 6} \right)\).
\(C\left( {3;\,4;\, - 6} \right)\).
![Trong không gian \[Oxyz\], cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\) có \(A\left( {1;\,0;\,1} \right)\), \(B\left( {2;\,1;\,2} \right)\), \(D\left( {1;\, - 1;\,1} \right)\). Tính tọa độ đỉnh \(C\) của hình hộp. (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/10/12-1759301074.png)
Vì \(ABCD\) là hình bình hành nên
\(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_B} - {x_A} = {x_C} - {x_D}\\{y_B} - {y_A} = {y_C} - {y_D}\\{z_B} - {z_A} = {z_C} - {z_D}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_C} = 2\\{y_C} = 0\\{z_C} = 2\end{array} \right. \Rightarrow C(2;0;2)\)
Trong không gian với hệ tọa độ \[Oxyz\], cho \[\overrightarrow {OM} = \left( {1;5;2} \right)\], \[\overrightarrow {ON} = \left( {3;7; - 4} \right)\], \(K\left( { - 1;3;1} \right)\). Gọi \[P\] là điểm đối xứng với \[M\] qua \[N\]. Tìm tọa độ vectơ \[\overrightarrow {KP} \].
\(\overrightarrow {KP} = \left( {6;6; - 11} \right)\).
\[\overrightarrow {KP} = \left( {8;6; - 11} \right)\].
\[\overrightarrow {KP} = \left( {6;6; - 4} \right)\].
\[\overrightarrow {KP} = \left( {3;3; - 2} \right)\].
Ta có: \[\overrightarrow {OM} = \left( {1;5;2} \right) \Rightarrow M\left( {1;5;2} \right)\], \[\overrightarrow {ON} = \left( {3;7; - 4} \right) \Rightarrow N\left( {3;7; - 4} \right)\].
Vì \[P\] là điểm đối xứng với \[M\]qua \[N\] nên \[N\] là trung điểm của \(MP\), ta suy ra được
\(\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {NP} \)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_N} - {x_M} = {x_P} - {x_N}\\{y_N} - {y_M} = {y_P} - {y_N}\\{z_N} - {z_M} = {z_P} - {z_N}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_P} = 5\\{y_P} = 9\\{z_P} = - 10\end{array} \right. \Rightarrow P\left( {5;9; - 10} \right)\).
Khi đó \[\overrightarrow {KP} = \left( {6;6; - 11} \right)\].
Trong hệ trục tọa độ \[Oxyz\], cho hai điểm là \[A\left( {1;3; - 1} \right)\], \[\overrightarrow {AB} = \left( {3; - 1;5} \right)\]. Tọa độ của \[\overrightarrow {OB} \] là
\[\overrightarrow {OB} = \left( { - 2;4; - 6} \right)\].
\[\overrightarrow {OB} = \left( {2; - 4;6} \right)\].
\[\overrightarrow {OB} = \left( { - 4; - 2; - 4} \right)\].
\[\overrightarrow {OB} = \left( {4;2;4} \right)\].
Ta có \[\overrightarrow {AB} = \left( {3; - 1;5} \right)\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_B} - {x_A} = 3\\{y_B} - {y_A} = - 1\\{z_B} - {z_A} = 5\end{array} \right.\].\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_B} - 1 = 3\\{y_B} - 3 = - 1\\{z_B} + 1 = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_B} = 4\\{y_B} = 2\\{z_B} = 4\end{array} \right.\].
Vậy \[B\left( {4;2;4} \right)\] hay \[\overrightarrow {OB} = \left( {4\,;\,2\,;\,4} \right)\].
Trong không gian \[Oxyz\], cho điểm \[A\left( {1;2;3} \right)\]. Tìm tọa độ \[A'\] là điểm đối xứng với \[A\] qua trục \[Oy\].
\(A'\left( {1\,;\, - 2\,;\,3} \right)\).
\(A'\left( {1\,;\,2\,;\, - 3} \right)\).
\(A'\left( { - 1\,;\,2\,;\,3} \right)\).
\(A'\left( { - 1\,;\,2\,;\, - 3} \right)\)
Gọi \[H\] là hình chiếu vuông góc của \[A\left( {1;2;3} \right)\] lên \[Oy\]. Suy ra \[H\left( {0;2;0} \right)\]
Khi đó \[H\] là trung điểm đoạn \[AA'\].
\(\left\{ \begin{array}{l}{x_{A'}} = 2{x_H} - {x_A} = - 1\\{y_{A'}} = 2{y_H} - {y_A} = 2\\{z_{A'}} = 2{z_H} - {z_A} = - 3\end{array} \right.\)\( \Rightarrow A'\left( { - 1;2; - 3} \right)\).
Trong không gian \[Oxyz\], cho hình bình hành \[ABCD\] tâm \[I\] có tọa độ các đỉnh \[B\left( {3;\,1;\,0} \right)\], \[D\left( {0;\,4;\, - 6} \right)\]. Tìm tọa độ điểm \[I\].
\[I\left( {\frac{3}{2};\,\frac{5}{2};\, - 3} \right)\].
\[I\left( {3;\,5;\, - 6} \right)\].
\[I\left( { - \frac{3}{2};\,\frac{3}{2};\, - 3} \right)\].
\[I\left( { - 3;\,5;\, - 6} \right)\].
Gọi \[I\left( {a;\,b;\,c} \right)\] suy ra \[\overrightarrow {BI} = \left( {a - 3;\,b - 1;\,c} \right)\], \[\overrightarrow {ID} = \left( { - a;\,4 - b;\, - 6 - c} \right)\].
Vì\[ABCD\] là hình bình hành tâm \[I\] nên \[\overrightarrow {BI} = \overrightarrow {ID} \]\[ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a - 3 = - a\\b - 1 = 4 - b\\c = - 6 - c\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{3}{2}\\b = \frac{5}{2}\\c = - 3\end{array} \right.\].
Vậy \[I\left( {\frac{3}{2};\,\frac{5}{2};\, - 3} \right)\].
Trong không gian \[Oxyz\], cho điểm \[M\] thoả \[\overrightarrow {OM} = 3\,\overrightarrow i + 5\overrightarrow j - 7\overrightarrow k \]. Tìm tọa độ điểm đối xứng \[M'\]của \[M\]qua mặt phẳng \[\left( {Oxz} \right)\].
\[M'\left( { - 3;\, - 5;\,7} \right)\].
\[M'\left( {3;\,5;\, - 7} \right)\].
\[M'\left( { - 3;\,5;\,7} \right)\].
\[M'\left( {3;\, - 5;\, - 7} \right)\].
\[\overrightarrow {OM} = 3\,\overrightarrow i + 5\overrightarrow j - 7\overrightarrow k \] \[ \Rightarrow M\left( {3;\,5;\, - 7} \right)\].
Tọa độ hình chiếu của \[M\]lên mặt phẳng \[\left( {Oxz} \right)\] là \[H\left( {3;\,0;\, - 7} \right)\].
Gọi \[M'\left( {a;\,b;\,c} \right)\] là điểm đối xứng với \[M\]qua mặt phẳng \[\left( {Oxz} \right)\], suy ra \[\overrightarrow {MH} = \overrightarrow {HM'} \] mà \[\overrightarrow {MH} = \left( {0;\, - 5;\,0} \right)\], \[\overrightarrow {HM'} = \left( {a - 3;\,b;\,c + 7} \right)\] nên \[\left\{ \begin{array}{l}a - 3 = 0\\b = - 5\\c + 7 = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b = - 5\\c = - 7\end{array} \right.\]. Vậy \[M'\left( {3;\, - 5;\, - 7} \right)\].
Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\), cho hình hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\)có điểm \(A\) trùng với gốc tọa độ \(O\), điểm \(B\) nằm trên tia \(Ox\), điểm \(D\)nằm trên tia \(Oy\), điểm \(A'\)nằm trên tia \(Oz\).Biết \(AB = 2,\,AD = 4,\,AA' = 3\). Gọi tọa độ của \(C'\) là \(\left( {a;\,b;\,c} \right)\) khi đó biểu thức \(a + b - c\) có giá trị là.
\( - 4\).
\(9\).
\(3\).
\(6\).
Theo giả thiết có \(\overrightarrow {AB} = 2\,\overrightarrow i \,;\,\,\overrightarrow {AD} = 4\,\overrightarrow j \,;\,\overrightarrow {AA'} = 3\,\overrightarrow k \,;\,\)
Áp dụng quy tắc hình hộp ta có: \(\overrightarrow {AC'} \, = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} = 2\,\overrightarrow i \, + 4\overrightarrow j \, + 3\overrightarrow k \).
Do đó điểm \(C'\) có tọa độ là \(\left( {2;4;3} \right)\). Vậy \(a + b - c = 2 + 4 - 3 = 3\)
Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\), cho hình hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\) có điểm \(B\) trùng với gốc tọa độ \(O\)và tọa độ các điểm \(A\left( {3;0;0} \right)\), \(D\left( {3;1;0} \right)\), \(B'\left( {0;0;5} \right)\). Gọi tọa độ \(C'\left( {m;n;p} \right)\). Tính \({m^2} + {n^2} + {p^2}\)
\(26\).
\(9\).
\(16\).
\(37\).
Vì tọa độ điểm \(A\left( {3;0;0} \right)\) \( \Rightarrow \overrightarrow {BA} = 3\,\overrightarrow i \,\)
Vì tọa độ điểm \(D\left( {3;1;0} \right)\) \( \Rightarrow \,\,\overrightarrow {BD} = 3\overrightarrow i \,\, + \overrightarrow j \)
Mà \(\overrightarrow {BD} = \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} \Rightarrow \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {BD} - \overrightarrow {BA} = 3\overrightarrow i + \overrightarrow j - 3\overrightarrow i = \overrightarrow j \)
Vì tọa độ điểm \(B'\left( {0;0;5} \right) \Rightarrow \overrightarrow {BB'} = 5\overrightarrow k \)
Ta có \(\overrightarrow {BC'} = \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {BB'} = \overrightarrow j + 5\overrightarrow k \Rightarrow C'\left( {0;1;5} \right)\). Vậy \({m^2} + {n^2} + {p^2} = 26\)
Trong không gian với hệ trục toạ độ \(Oxyz\), cho \(\overrightarrow {\,a\,} = \left( {2;\,3;\,1} \right)\), \(\overrightarrow {\,b\,} = \left( { - 1;\,5;\,2} \right)\), \(\overrightarrow {\,c\,} = \left( {4;\, - 1;\,3} \right)\) và \(\overrightarrow {\,x\,} = \left( { - 3;\,22;\,5} \right)\). Đẳng thức nào đúng trong các đẳng thức sau?
\(\overrightarrow {\,x\,} = 2\overrightarrow {\,a\,} - 3\overrightarrow {\,b\,} - \overrightarrow {\,c\,} \)
\(\overrightarrow {\,x\,} = - 2\overrightarrow {\,a\,} + 3\overrightarrow {\,b\,} + \overrightarrow {\,c\,} \)
\(\overrightarrow {\,x\,} = 2\overrightarrow {\,a\,} + 3\overrightarrow {\,b\,} - \overrightarrow {\,c\,} \)
\(\overrightarrow {\,x\,} = 2\overrightarrow {\,a\,} - 3\overrightarrow {\,b\,} + \overrightarrow {\,c\,} \)
Đặt: \(\overrightarrow {\,x\,} = m.\overrightarrow {\,a\,} + n.\overrightarrow {\,b\,} + p.\overrightarrow {\,c\,} \), \(m,n,p \in \mathbb{R}\).
\( \Rightarrow \left( { - 3;\,22;\,5} \right) = m.\left( {2;\,3;\,1} \right) + n.\left( { - 1;\,5;\,2} \right) + p.\left( {4;\, - 1;\,3} \right)\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}2m - n + 4p = - 3\\3m + 5n - p = 22\\m + 2n + 3p = 5\end{array} \right.\) \(\left( I \right)\).
Giải hệ phương trình \(\left( I \right)\) ta được: \(\left\{ \begin{array}{l}m = 2\\n = 3\\p = - 1\end{array} \right.\).
Vậy \(\overrightarrow {\,x\,} = 2\overrightarrow {\,a\,} + 3\overrightarrow {\,b\,} - \overrightarrow {\,c\,} \).
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\)cho hình hộp \[ABCD.A'B'C'D'\]. Biết \[A\left( {2;\,4;\,0} \right)\], \[B\left( {4;\,0;\,0} \right)\], \[C\left( { - 1;\,4;\, - 7} \right)\]và \[D'\left( {6;\,8;\,10} \right)\]. Tọa độ điểm \[B'\] là
\[B'\left( {8;\,4;\,10} \right)\]
\[B'\left( {6;\,12;\,0} \right)\]
\[B'\left( {10;\,8;\,6} \right)\]
\[B'\left( {13;\,0;\,17} \right)\]
![Vậy \[\overrightarrow {DD'} = \left( {9;\,0;\,17} \right)\], \[\overrightarrow {BB'} = \left( {a' - 4;\,b';\,c'} \right)\]. Do \[ABCD.A'B'C'D'\] là hình (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/10/15-1759301423.png)
Giả sử \[D\left( {a;b;c} \right)\], \[B'\left( {a';b';c'} \right)\]
Gọi \[O = AC \cap BD\]\[ \Rightarrow O\left( {\frac{1}{2};\,4;\,\frac{{ - 7}}{2}} \right)\]\[ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 3\\b = 8\\c = - 7\end{array} \right.\].
Vậy \[\overrightarrow {DD'} = \left( {9;\,0;\,17} \right)\], \[\overrightarrow {BB'} = \left( {a' - 4;\,b';\,c'} \right)\]. Do \[ABCD.A'B'C'D'\] là hình hộp nên \[\overrightarrow {DD'} = \overrightarrow {BB'} \]\[ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a' = 13\\b' = 0\\c' = 17\end{array} \right.\]. Vậy \[B'\left( {13;\,0;\,17} \right)\].
PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 13 đến câu 16. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Trong không gian \(Oxyz\), cho ba vectơ \(\overrightarrow u = \left( {3;1; - 2} \right),{\rm{ }}\overrightarrow v = \left( {1; - 1;1} \right),{\rm{ }}\)\(\overrightarrow w = \left( { - 1; - 3;4} \right)\).
a) \(\overrightarrow u + \overrightarrow v = \left( {4;0; - 2} \right)\).
b) \(\overrightarrow u \bot \overrightarrow v \).
c) Hai vectơ \(\overrightarrow u - 2\overrightarrow v \) và \(\overrightarrow w \) cùng hướng.
d) \(\left| {\overrightarrow u - \overrightarrow v + 2\overrightarrow w } \right| = \sqrt {41} \).
a) Sai.
Do \(\overrightarrow u + \overrightarrow v = \left( {4;0; - 1} \right)\).
b) Đúng.
Do \(\overrightarrow u .\overrightarrow v = 0\) nên \(\overrightarrow u \bot \overrightarrow v \).
c) Sai.
Do \(\overrightarrow u - 2\overrightarrow v = \left( {1;3; - 4} \right) = - \overrightarrow w \) nên hai vectơ ngược hướng.
d) Đúng.
Do \(\overrightarrow u - \overrightarrow v + 2\overrightarrow w = \left( {0; - 4;5} \right) \Rightarrow \left| {\overrightarrow u - \overrightarrow v + 2\overrightarrow w } \right| = \sqrt {0 + 16 + 25} = \sqrt {41} \).
Trong không gian \(Oxyz\), cho tam giác \(ABC\) với \(A\left( {1;0; - 2} \right),\;B\left( { - 2;3;4} \right),\,C\left( {4; - 6;1} \right)\).
a) Tọa độ trọng tâm G của tam giác là \(\left( {1; - 1;1} \right)\).
b) \(\overrightarrow {AB} = \left( {3; - 3;6} \right),\,{\rm{ }}\overrightarrow {AC} = \left( { - 3;6; - 3} \right).\)
c) Tam giác \(ABC\)là tam giác cân .
d) Nếu \(ABDC\) là hình bình hành thì tọa độ điểm D là \(\left( {7; - 9; - 5} \right)\).
a) Đúng.
b) Sai .
Do \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 3;3;6} \right),\,{\rm{ }}\overrightarrow {AC} = \left( {3; - 6;3} \right).\)
c) Đúng.
Do \(AB = AC = 3\sqrt 6 \) nên tam giác \(ABC\) cân tại A.
d) Sai.
Gọi \(D\left( {x;y;z} \right)\), vì \(ABDC\) là hình bình hành nên
\(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {CD} \Leftrightarrow \left( { - 3;3;6} \right) = \left( {x - 4;y + 6;z - 1} \right) \Leftrightarrow \left( {x;y;z} \right) = \left( {1; - 3;7} \right)\) .
Trong không gian \(Oxyz\), cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) có \(A\left( {0;0;0} \right)\), \(B\left( {4;0;0} \right)\), \(D\left( {0;4;0} \right)\). Gọi \(E\) là trung điểm của \(AB\) và \(F\) là điểm nằm trên tia đối của tia \(AD\) sao cho \[AF = 1\].
a) Tọa độ của điểm \(C\)là \(C\left( {0;4;4} \right)\).
b) Tọa độ của điểm \(B'\) là \(B'\left( {4;0;4} \right)\).
c) Tọa độ của điểm \(E\) là \(\left( {2;2;0} \right)\).
d) Tọa độ của điểm \(F\) là \(\left( {0;1;0} \right)\).
a) Sai.
Tọa độ của điểm \(C\)là \(C\left( {4;4;0} \right)\)
b) Đúng.
c) Sai.
\(E\) nằm trên tia \(Ox\) và \(OE = \frac{{AB}}{2} = 2\) nên \(E\left( {2;0;0} \right)\).
d) Sai.
\(F\) nằm trên tia đối của tia \(Oy\) và \(OF = 1\) nên \(F\left( {0; - 1;0} \right)\).
Trong không gian \(Oxyz\), cho vecto và .
a) Tọa độ của vecto \(\overrightarrow {i\,} \) là \(\left( {0;1;0} \right)\).
b) Tọa độ của vecto \(\overrightarrow {OA\,} \) là \(\left( {x\,;y\,;z} \right)\).
c) Tọa độ của điểm \(B\) là \(\left( {x';y';z'} \right)\).
d) Nếu \(\overrightarrow {OA\,} = \overrightarrow {OB\,} \) thì \(x = x',\,y = y',\,z = z'\).
a) Sai.
Tọa độ của vecto \(\overrightarrow {i\,} \) là \(\left( {1;0;0} \right)\).
b) Đúng.
Vì nên .
c) Đúng.
Vì thì \(B\left( {x';y';z'} \right)\).
d) Đúng.
Ta có .
\(\overrightarrow {OA\,} = \overrightarrow {OB\,} \Leftrightarrow x = x',\,y = y',\,z = z'\).
PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 17 đến câu 22.
Trong không gian\(Oxyz\), cho hai điểm \(A\left( {2;0; - 1} \right)\), \(B\left( {1;1;3} \right)\). Xác định tọa độ vectơ \(\overrightarrow {DC} \) sao cho tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành.
Đáp số: \(\left( { - 1;1;4} \right)\).
Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 1;1;4} \right)\). Vì tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành nên \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \). Vậy \(\overrightarrow {DC} = \left( { - 1;1;4} \right)\).
Trong không gian\(Oxyz\), cho \(\overrightarrow {OC} = 2\overrightarrow i - \overrightarrow k \). Xác định tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm \(C\) trên trục \[Ox\].
Đáp số: \(\left( {2;0;0} \right)\).
Ta có \(\overrightarrow {OC} = 2\overrightarrow i - \overrightarrow k \Rightarrow C\left( {2;0; - 1} \right)\). Vậy hình chiếu vuông góc của điểm \(C\) trên trục \[Ox\] là điểm \(C'\left( {2;0;0} \right)\).
Trong không gian \(Oxyz\) , cho mặt phẳng hình hộp \(OABC.O'A'B'C'\) có \(A\left( {2\,;\,1\,;\, - 1} \right)\), \(B\left( {0\,;\,3\,;1} \right)\) và \(C'\left( {2\,;\, - 3\,;\,5} \right)\). Xác định toạ độ điểm \(O'\).
Đáp số: \[O'\left( {4\,;\, - 5\,;\,3} \right)\]
Ta có \[\overrightarrow {O'C'} = \overrightarrow {AB} = \left( { - 2\,;\,2\,;\,2} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{C'}} - {x_{O'}} = - 2\\{y_{C'}} - {y_{O'}} = 2\\{z_{C'}} - {z_{O'}} = 2\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{O'}} = 4\\{y_{O'}} = - 5\\{z_{O'}} = 3\end{array} \right. \Rightarrow O'\left( {4\,;\, - 5\,;\,3} \right)\].
Trong không gian với hệ trục toạ độ cho trước (đơn vị đo lấy theo kilômét), ra đa phát hiện một chiếc máy bay di chuyển với vận tốc và hướng không đổi từ điểm \(A\left( {600\,;\,400\,;\,8} \right)\) đến điểm \(B\left( {800\,;\,500\,;\,10} \right)\) trong 10 phút. Nếu máy bay tiếp tục giữ nguyên vận tốc và hướng bay thì toạ độ của máy bay sau 10 phút tiếp theo là gì?
Đáp số: \(C\left( {1000\,;\,600\,;\,12} \right)\).
Vì máy bay tiếp tục giữ nguyên vận tốc và hướng bay trong 10 phút tiếp theo nên dễ thấy máy bay sẽ đến vị trí \(C\) sao cho \(B\) là trung điểm \(AC\). Khi đó \(C\left( {1000\,;\,600\,;\,12} \right)\).
Trong không gian \(Oxyz\), cho điểm \(A\left( { - 3;0;0} \right)\), \(B\left( {0; - 4;0} \right)\). Gọi \(I\), \(J\) lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp của tam giác \(OAB\). Tính độ dài đoạn thẳng \(IJ\).
Đáp số: \(\frac{{\sqrt 5 }}{2}\).
Ta có: \(\overrightarrow {OA} = \left( { - 3;0;0} \right) \Rightarrow OA = 3\); \(\overrightarrow {OB} = \left( {0; - 4;0} \right) \Rightarrow OB = 4\); \(\overrightarrow {AB} = \left( {3; - 4;0} \right) \Rightarrow AB = 5\).
\(\Delta OAB\) vuông tại \(O\), nằm trong mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\).
\({S_{OAB}} = \frac{1}{2}.OA.OB = \frac{1}{2}.3.4 = 6\); \(p = \frac{{OA + OB + AB}}{2} = 6\)\( \Rightarrow r = \frac{{{S_{ABC}}}}{p} = 1\).
\( \Rightarrow I\left( { - 1; - 1;0} \right)\) là tâm đường tròn nội tiếp \(\Delta OAB\).
Do \(\Delta OAB\) vuông tại \(O\) nên \(J\) là trung điểm của \(AB\)\( \Rightarrow J\left( { - \frac{3}{2}; - 2;0} \right)\).
\(\overrightarrow {IJ} = \left( { - \frac{1}{2}; - 1;0} \right) \Rightarrow IJ = \sqrt {{{\left( { - \frac{1}{2}} \right)}^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {0^2}} = \frac{{\sqrt 5 }}{2}\).
Một công ty viễn thông đang lên kế hoạch xây dựng một tháp viễn thông tại một thành phố để cung cấp dịch dụ tốt hơn. Công ty cần xác định vị trí của tháp sao cho có thể phủ sóng hiệu quả đến ba toà nhà quan trọng trong thành phố. Giả sử các toà nhà này được đặt tại các vị trí có toạ độ như sau:
Toà nhà \(A\left( {0;0;0} \right)\)
Toà nhà \(B\left( {6;0;0} \right)\)
Toà nhà \(C\left( {3;\sqrt 3 ;2\sqrt 6 } \right)\)
Tháp viễn thông phải đặt ở vị trí sao cho tổng khoảng cách từ tháp đến 3 toà nhà là nhỏ nhất. Khi đó tổng khoảng cách từ vị trí của tháp đến ba toà nhà bằng bao nhiêu?
Đáp số: \(\frac{{3\sqrt {47} }}{2}\).
Gọi vị trí tháp là \(T\left( {x;y;z} \right)\). Vì\(AB = AC = BC = 6\)nên tam giác \(ABC\) đều. Khi đó vị trí của tháp là trọng tâm của tam giác \(ABC\).
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{0 + 6 + 3}}{3} = \frac{9}{2}\\y = \frac{{0 + 0 + \frac{{\sqrt 3 }}{2}}}{3} = \frac{{\sqrt 3 }}{6}\\z = \frac{{0 + 0 + 2\sqrt 6 }}{3} = \frac{{2\sqrt 6 }}{3}\end{array} \right.\)\( \Rightarrow T\left( {\frac{9}{2};\frac{{\sqrt 3 }}{6};\frac{{2\sqrt 6 }}{3}} \right)\)
Khi đó khoảng cách từ tháp đến các toà nhà là:
\(TA = TB = TC = \frac{{\sqrt {47} }}{2}\).
Vậy tổng khoảng cách cần tìm là: \(S = TA + TB + TC = \frac{{3\sqrt {47} }}{2} \approx 10,28\)
