Đề kiểm tra Hai đường thẳng vuông góc (có lời giải) - Đề 1
22 câu hỏi
\(0\).
\(1\).
\(2\).
Vô số.
Trong không gian, nếu đường thẳng \(a\) vuông góc với đường thẳng \(b\) và đường thẳng\(b\) vuông góc với đường thẳng \(c\) thì đường thẳng \(a\)vuông góc với đường thẳng \(c\).
Trong không gian, nếu đường thẳng \(a\) vuông góc với đường thẳng \(b\) và đường thẳng \(b\) song song với đường thẳng \(c\) thì đường thẳng \(a\) vuông góc với đường thẳng \(c\).
Trong không gian, nếu đường thẳng \(a\) song song với đường thẳng \(b\) và đường thẳng \(b\)vuông góc với đường thẳng \(c\) thì đường thẳng \(a\) cắt đường thẳng \(c\) tại một điểm.
Trong không gian, cho ba đường thẳng \(a,b,c\) vuông góc với nhau từng đôi một. Nếu có đường thẳng \(d\) vuông góc với đường thẳng \(a\) thì đường thẳng \(d\) song song với \(b\) hoặc \(c\).
Theo cách xác định góc giữa hai đường thẳng trong không gian, vì \(b//\;\;c\) nên ta có:
Góc giữa hai đường thẳng\(a\)và \(b\) bằng góc giữa hai đường thẳng\(a\)và \(c\). Suy ra chọn B
Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.
Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì song song với nhau.
Một đường thẳng vuông góc với hai cạnh của tam giác thì sẽ vuông góc với cạnh thứ ba của tam giác đó.
Hai đường thẳng vuông góc nếu góc giữa hai véc tơ chỉ phương của chúng bằng \({90^\bigcirc }\).
Cho hai đường thẳng song song. Nếu một đường thẳng vuông góc với đường thẳng này thì cũng vuông góc với đường thẳng kia.
Hai đường thẳng vuông góc với nhau thì luôn cắt nhau.
Góc giữa hai đường thẳng bằng góc giữa hai vectơ chỉ phương của chúng.
Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau.
Mệnh đề A đúng.
Mệnh đề B sai vì hai đường thẳng vuông góc có thể chéo nhau.
Mệnh đề C sai vì góc giữa hai đường thẳng luôn nhỏ hơn hoặc bằng \({90^0}\)còn góc giữa hai vectơ có thể là góc tù.
Mệnh đề D sai vì hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì có thể cắt nhau.Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \[ABCD\] là hình bình hành (hình vẽ minh hoạ). Góc giữa hai đường thẳng \[SD\] và \[BC\] bằng
![Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \[ABCD\] là hình bình hành (hình vẽ minh hoạ). (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2026/02/blobid0-1771773366.png)
Góc giữa hai đường thẳng \[SD\] và \[DC\].
Góc giữa hai đường thẳng \[SD\] và.\[AD\]
Góc giữa hai đường thẳng \[SD\] và \[BD\].
Góc giữa hai đường thẳng \[SD\] và \[SC\].
Chọn B
Do \(BC\,{\rm{//}}\,AD\) nên góc giữa hai đường thẳng \[SD\] và \[BC\] bằng góc giữa hai đường thẳng \[SD\] và \[AD\].Trong không gian, hai đường thẳng vuông góc với nhau có thể cắt nhau hoặc chéo nhau.
Trong không gian, hai đường thẳng vuông góc với nhau thì phải cắt nhau.
Trong không gian, hai đường thẳng không có điểm chung thì song song với nhau.
Trong không gian, hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau.
Chọn A
Ví dụ: Cho lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) ta có \(AA' \bot DC\). Nhưng\(AA'\) và \(DC\)ở vị trí chéo nhau.B sai.
Đáp án C sai do hai đường thẳng không có điểm chung thì song song hoặc chéo nhau.
Đáp án D, chẳng hạn: \(AD\) và \(CC'\) cùng vuông góc với \(CD\) nhưng \(AD\) không song song với \(CC'\).
Vậy ta chọn đáp án A.
\[1\].
\[2\].
\[3\].
\[4\].
Chọn D
![Cho lập phương \[ABCD.A'B'C'D'\]. Trong số \(5\) đường thẳng \(AC',AB',BD,C'D,BC'\) (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2026/02/blobid2-1771773510.png)
Cho hình lập phương\(ABCD.A'B'C'D'\)(hình vẽ minh hoạ). Góc giữa hai đường thẳng \(BD\) và \(A'C'\) bằng
Góc giữa hai đường thẳng \(BD\) và \(AC\).
Góc giữa hai đường thẳng \(BD\) và \(B'D'\).
Góc giữa hai đường thẳng \(BD\) và \(A'B'\).
Góc giữa hai đường thẳng \(BD\) và \(AC'\).
Chọn A
Do \(A'C'\,{\rm{//}}\,AC\) nên góc giữa hai đường thẳng \(BD\) và \(A'C'\) bằng góc giữa hai đường thẳng \(BD\)
và \(AC\).\(\frac{{\sqrt 3 }}{2}\).
\(\frac{1}{2}\).
\(\frac{{\sqrt 2 }}{2}\).
\(\frac{{\sqrt 3 }}{6}\).
Ta có hình chop tất cả các cạnh đều bằng \(a\) suy ra \(\Delta SAD\) đều và \(\widehat {\left( {SA,AD} \right)} = 60^\circ \).
Mặt khác có: \(SA{\rm{//}}MN\,,\,AD{\rm{//}}MO\) suy ra \(\alpha = \widehat {\left( {MN,MO} \right)} = \widehat {\left( {SA,AD} \right)} = 60^\circ \Rightarrow {\mathop{\rm Cos}\nolimits} \alpha = \frac{1}{2}\)
Học thông minh hơn mỗi ngày
Xem toàn bộ 22 câu hỏi và nhiều hơn nữa với tài khoản miễn phí
Cho hình lập phương\(ABCD.{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}\)(hình vẽ minh hoạ). Góc giữa hai đường thẳng \(A{A_1}\) và \(D{C_1}\) bằng
Góc giữa hai đường thẳng \(A{A_1}\) và \[D{D_1}\].
Góc giữa hai đường thẳng \(A{A_1}\) và \({D_1}{C_1}\).
Góc giữa hai đường thẳng \[D{D_1}\] và \(B{B_1}\).
Góc giữa hai đường thẳng \(D{C_1}\) và \[D{D_1}\].
Chọn D
Do \(A{A_1}{\rm{//}}\)\[D{D_1}\] nên góc giữa hai đường thẳng \(A{A_1}\) và \(D{C_1}\) bằng góc giữa hai đường thẳng \[D{D_1}\] và \(D{C_1}\).
\[45^\circ \].
\[120^\circ \].
\[90^\circ \].
\[60^\circ \].
Chọn C
![Cho tứ diện \[ABCD\] có \[AB = AC = AD\] và góc BAC = góc BAD= 60 độ (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2026/02/blobid6-1771773746.png)
Ta có \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AB} .\left( {\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AC} } \right) = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \)
\(\begin{array}{l} = \left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AD} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} } \right) - \left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right)\\ = \left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AD} } \right|.\cos 60^\circ - \left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|.\cos 60^\circ .\end{array}\)
Mà \[AC = AD \Rightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} = 0\]\( \Rightarrow \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} } \right) = 90^\circ \).\[\frac{{\sqrt 3 }}{6}\].
\[\frac{1}{2}\].
\[\frac{{\sqrt 3 }}{2}\].
\[\frac{{\sqrt 2 }}{2}\]
Chọn A
![Cho tứ diện đều \[ABCD\], \[M\] là trung điểm của cạnh \[BC\]. (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2026/02/blobid7-1771773795.png)
Giả sử cạnh của tứ diện là \(a\).
Ta có \[\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {DM} } \right) = \frac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {DM} }}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {DM} } \right|}} = \frac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {DM} }}{{a.\frac{{a\sqrt 3 }}{2}}}\]
Mặt khác
\[\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {DM} = \overrightarrow {AB} \left( {\overrightarrow {AM} - \overrightarrow {AD} } \right) = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AM} - \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} = AB.AM.\cos {30^0} - AB.AD.\cos {60^0}\]
\[ = a.\frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\frac{{\sqrt 3 }}{2} - a.a.\frac{1}{2} = \frac{{3{a^2}}}{4} - \frac{{{a^2}}}{2} = \frac{{{a^2}}}{4}.\]
Do có \[\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {DM} } \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{6}\]. Suy ra \[\cos \left( {AB,DM} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{6}\].
\(SA \bot CD\)
\((SD,BC) = (SD,CD)\)
\[\widehat {SDA} = 60^\circ \]
|
a) Đúng |
b) Đúng |
c) Sai |
d) Đúng |
Vì \(CD//AB\) (hai cạnh đối trong hình thoi) nên \((CD,SA) = (AB,SA) = {90^^\circ }\).
Vậy \(SA \bot CD\).
Vì \(BC//AD\) (hai cạnh đối trong hình thoi) nên \((SD,BC) = (SD,AD)\).
Tam giác \(SAD\) vuông tại \(A\) có:
\(NA = NB = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\)
\(MN = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\)
\(\overrightarrow {MN} \cdot \overrightarrow {BC} = \frac{{{a^2}}}{3}\)
Góc giữa đường thẳng \(MN\) và \(BC\) bằng \(45^\circ \)
|
a) Sai |
b) Đúng |
c) Sai |
d) Đúng |
\(AN,BN\) lần lượt là các đường trung tuyến của hai tam giác đều \(\Delta ACD\) và \(\Delta BCD\) nên \(NA = NB = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).
Do đó \(\Delta NAB\) cân tại \(N\) và \(MN \bot AB\).
Xét \(\Delta AMN\) vuông tại \(M\). Ta có:
\(MN = \sqrt {A{N^2} - A{M^2}} = \sqrt {{{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2} - {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).
Đặt \(\overrightarrow {AB} = a,\overrightarrow {AC} = b,\overrightarrow {AD} = c\).
\(\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {AN} - \overrightarrow {AM} = \frac{1}{2}(\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} ) - \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} = - \frac{1}{2}\vec a + \frac{1}{2}\vec b + \frac{1}{2}\vec c\)
\(\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} = - \vec a + \vec b\)
\(\overrightarrow {MN} \cdot \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AM} = ( - \vec a + \vec b)\left( { - \frac{1}{2}\vec a + \frac{1}{2}\vec b + \frac{1}{2}\vec c} \right) = \frac{1}{2}\left( {{{\vec a}^2} - \vec a \cdot \vec b - \vec a \cdot \vec c - \vec a \cdot \vec b + {{\vec b}^2} + \vec b \cdot \vec c} \right)\)
Do
Suy ra \(\overrightarrow {MN} \cdot \overrightarrow {BC} = \frac{1}{2}\left( {{{\vec a}^2} - \frac{1}{2}{{\vec a}^2} - \frac{1}{2}{{\vec a}^2} - \frac{1}{2}{{\vec a}^2} + {{\vec a}^2} + \frac{1}{2}{{\vec a}^2}} \right) = \frac{{{a^2}}}{2}\)
Gọi \(\varphi \) là góc giữa \(MN\) và \(BC\).
Góc giữa hai đường thẳng \(B'D'\)và \(AA'\)bằng \(60^\circ \).
Góc giữa hai đường thẳng \(AC\)và \(B'D'\)bằng \(90^\circ \).
Góc giữa hai đường thẳng \(AB\)và \(D'C\)bằng \(45^\circ \).
Góc giữa hai đường thẳng \(D'C\)và \(A'C'\)bằng \(60^\circ \).
|
a) Sai |
b) Đúng |
c) Đúng |
d) Đúng |
Vì \(ABCDA'B'C'D'\)là hình lập phương nên góc giữa hai đường thẳng \(B'D'\)và \(AA'\)bằng \(90^\circ \).
Cho hình chóp tứ giác \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông tâm \(O\), cạnh \(AB = a\). Cạnh bên \(SA = \sqrt 2 .SC\) và \(SB = SD = a\) ( hình vẽ tham khảo). Các mệnh đề sau đúng hay sai?
\(SB \bot SD\).
\(BD \bot SA\).
\(BD \bot SO\).
\(SO \bot AC\).
|
a) Đúng |
b) Đúng |
c) Đúng |
d) Sai |
Theo giả thiết ta có \(\Delta SBD\) cân tại \(S\) nên \(SO \bot BD\;\left( 1 \right)\).
Mặt khác tứ giác \(ABCD\) là hình vuông nên \(AC \bot BD{\kern 1pt} \,\left( 2 \right)\).
Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) ta có \(BD \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow BD \bot SC\) và \(BD \bot SA\).
Xét \(\Delta SBD\) có \(SB = SD = a\) và \(BD = a\sqrt 2 \) suy ra \(\Delta SBD\) vuông tại \(S\) nên \(SB \bot SD\).
\(\Delta SAC\) có \(SA = \sqrt 2 .SC\) nên đường trung tuyến \(SO\) không vuông góc với \(AC\).
Vậy khẳng định \(SO \bot AC\) sai.
Ta có: \(\overrightarrow {AS} \cdot \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AS} \cdot (\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} ) = \overrightarrow {AS} \cdot \overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AS} \cdot \overrightarrow {AB} \)
\( = AS \cdot AC \cdot \cos \widehat {SAC} - AS \cdot AB \cdot \cos \widehat {SAB} = 0\)
Do đó số đo của góc giữa hai đường thẳng \(SA\) và \(BC\) bằng 90.
\(AC//{A^\prime }{C^\prime }{\rm{ n\^e n }}\left( {{A^\prime }{C^\prime };BD} \right) = (AC;BD) = 90.{\rm{ }}\)
Ta có:
Vì \({A^\prime }D = {A^\prime }{C^\prime } = {C^\prime }D\).
Vì \(MN\) là đường trung bình của tam giác \(SAD\) nên \(MN//SA \Rightarrow (MN,SC) = (SA,SC)\).
Tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\) có:
\(\begin{array}{*{20}{l}}{AC}&{ = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} }\\{}&{ = \sqrt {{{(a\sqrt 2 )}^2} + {{(a\sqrt 2 )}^2}} = 2a.}\end{array}\)
Xét tam giác \(SAC\), ta có:
\(S{A^2} + S{C^2} = A{C^2}\left( {{\rm{do }}{a^2} + {{(a\sqrt 3 )}^2} = {{(2a)}^2}} \right)\)
Suy ra tam giác \(SAC\) vuông tại \(S\).
Vậy
Theo định lí Pythagore, ta tính được \(BC = CD = BD = \sqrt 2 \).
Gọi \(M,N,P\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(BC,AC,AD\).
Tam giác \(ABC\) có \(MN\) là đường trung bình
nên \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{MN//AB}\\{MN = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}}\end{array}} \right.\)
Tam giác \(ACD\) có \(NP\) là đường trung bình
nên \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{NP//CD}\\{NP = \frac{1}{2}CD = \frac{{\sqrt 2 }}{2}}\end{array}} \right.\)
Tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có đường trung tuyến \(AM = \frac{{BC}}{2} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).
Tam giác \(AMP\) vuông tại \(A\) có:
\(MP = \sqrt {A{M^2} + A{P^2}} = \sqrt {{{\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2}} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\).
Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{MN//AB}\\{NP//CD}\end{array} \Rightarrow (AB,CD) = (MN,NP)} \right.\).
Tam giác \(MNP\) có: \(M{N^2} = \frac{1}{4},N{P^2} = \frac{1}{2},M{P^2} = \frac{3}{4}\) hay \(M{N^2} + N{P^2} = M{P^2}\).
Suy ra tam giác \(MNP\) vuông tại \(N\).
Vậy hay \(AB \bot CD\).
Vì \(B{B^\prime }//C{C^\prime }\) nên (do \(\Delta C{C^\prime }{D^\prime }\) vuông cân tại \({C^\prime }\)).
Vì \(BC//{A^\prime }{D^\prime },BC = {A^\prime }{D^\prime } \Rightarrow BC{D^\prime }{A^\prime }\) là hình bình hành.
Suy ra \(C{D^\prime }//{A^\prime }B\).
Ta có: \(\left( {C{D^\prime },{A^\prime }D} \right) = \left( {{A^\prime }B,{A^\prime }D} \right)\).
Giả sử cạnh của hình lập phương là \(a\), tam giác \({A^\prime }BD\) có ba cạnh cùng bằng \(a\sqrt 2 \) (đường chéo trong các hình vuông cạnh \(a\) ). Suy ra tam giác \({A^\prime }BD\) đều.
Do vậy
Bạn có thích hoạt động này không?
Hãy lưu hoặc chia sẻ nội dung này đến mọi người.
Gợi ý cho bạn
Ý tưởng của bạn, bài học của bạn
Tự thiết kế đề thi, bài giảng hoặc flashcard theo cách riêng.
