Đề kiểm tra Biến cố hợp biến cố giao và quy tắc cộng xác suất (có lời giải) - Đề 3

Chọn B

Vì \[A\] và \[B\] là các biến cố xung khắc nên \[P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right)\].

Suy ra \[P\left( B \right) = P\left( {A \cup B} \right) - P\left( A \right) = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4}\].

Gọi biến cố\(A\): “Bạn học sinh được chọn thích chơi đá bóng”.

=> \(\overline A \): “Bạn học sinh được chọn không thích chơi đá bóng”.

Gọi biến cố \(B\): “Bạn học sinh được chọn thích chơi cầu lông”.

=> \(\bar B\): “Bạn học sinh được chọn không thích chơi cầu lông”.

=> \[\overline A  \cap \bar B\]: “Bạn học sinh được chọn không thích chơi cả 2 môn thể thao”

=> \[\overline A  \cap \bar B = \overline {A \cup B} \]

Ta có: \[n\left( \Omega  \right) = C_{30}^1.\]

\[n\left( A \right) = C_{18}^1\] => \[P\left( A \right) = \frac{{18}}{{30}} = \frac{3}{5}\]; \[n\left( B \right) = C_{16}^1\] => \[P\left( B \right) = \frac{{16}}{{30}} = \frac{8}{{15}}\].

\[n\left( {A \cap B} \right) = C_7^1\] => \[P\left( {A \cap B} \right) = \frac{7}{{30}}\].

=> \[P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right) - P\left( {A \cap B} \right) = \frac{9}{{10}}\] => \[P\left( {\overline {A \cup B} } \right) = 1 - P\left( {A \cup B} \right) = \frac{1}{{10}}.\]

Gọi biến cố\(A\): “Tấm thẻ lần thứ nhất là số chẵn” \( \Rightarrow \) biến cố\(\overline A \): “Tấm thẻ lần thứ nhất là số lẻ”;

\[P\left( A \right) = \frac{1}{2} =  > P\left( {\overline A } \right) = \frac{1}{2}\]

Biến cố\(B\): “Tấm thẻ lần thứ hai là số chẵn” \( \Rightarrow \) biến cố\(\overline B \): “Tấm thẻ lần thứ hai là số lẻ”;

\[P\left( B \right) = \frac{1}{2} =  > P\left( {\overline B } \right) = \frac{1}{2}\]

Biến cố \(C\): “Tấm thẻ lần thứ ba là số chẵn” \( \Rightarrow \) biến cố\(\overline C \): “Tấm thẻ lần thứ ba là số lẻ”;

\[P\left( C \right) = \frac{1}{2} =  > P\left( {\overline C } \right) = \frac{1}{2}\]

Biến cố\(D\): “Tổng ba số của ba tấm thẻ sau ba lần rút là số lẻ”.

Vì \(A,B,C\)là các biến cố độc lập suy ra ta có:

\[\begin{array}{l}P\left( D \right) = P\left( {\overline A  \cap B \cap C} \right) + P\left( {A \cap \overline B  \cap C} \right) + P\left( {A \cap B \cap \overline C } \right) + P\left( {\overline A  \cap \overline B  \cap \overline C } \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \,P\left( {\overline A } \right)P\left( B \right)P\left( C \right) + P\left( A \right)P\left( {\overline B } \right)P\left( C \right) + P\left( A \right)P\left( B \right)P\left( {\overline C } \right) + P\left( {\overline A } \right)P\left( {\overline B } \right)P\left( {\overline C } \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \frac{1}{2}.\frac{1}{2}.\frac{1}{2} + \frac{1}{2}.\frac{1}{2}.\frac{1}{2} + \frac{1}{2}.\frac{1}{2}.\frac{1}{2} + \frac{1}{2}.\frac{1}{2}.\frac{1}{2} = \frac{1}{2}.\end{array}\]

a) Gọi \(A\) là biến cố: “Lấy được thẻ đánh số chia hết cho 3". Suy ra \(n(A) = 10\) và \(P(A) = \frac{{10}}{{30}} = \frac{1}{3}\)

b) Gọi \(B\) là biến cố "Lấy được thẻ đánh số chia hết cho 4 ". Suy ra \(n(B) = 7\) và \(P(B) = \frac{7}{{30}}\).

c) Ta có \(AB\) là biến cố: "Lấy được thẻ đánh số chia hết cho 3 và chia hết cho 4". Suy ra \(AB = \{ 12;24\} ,n(AB) = 2\) và \(P(AB) = \frac{2}{{30}} = \frac{1}{{15}}\).

d) Xác suất để lấy được thẻ đánh số chia hết cho 3 hoặc 4 là:

\(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(AB) = \frac{1}{3} + \frac{7}{{30}} - \frac{1}{{15}} = \frac{1}{2}\)

Gọi \(X\) là biến cố "có đúng 2 người bắn trúng đích".

Gọi \(A\) là biến cố "người thứ nhất bắn trúng đích" \( \Rightarrow P(A) = 0,7;P(\bar A) = 0,3\).

Gọi \(B\) là biến cố "người thứ hai bắn trúng đích" \( \Rightarrow P(B) = 0,6;P(\bar B) = 0,4\).

Gọi \(C\) là biến cố "người thứ ba bắn trúng đích" \( \Rightarrow P(C) = 0,8;P(\bar C) = 0,2\).

\(A,B,C\) là ba biến cố độc lập nên ta có:

\(\begin{array}{*{20}{l}}{P(X)}&{ = P(AB\bar C) + P(A\bar BC) + (\bar ABC)}\\{}&{ = 0,7 \times 0,6 \times 0,2 + 0,7 \times 0,4 \times 0,8 + 0,3 \times 0,6 \times 0,8 = 0,452.}\end{array}\)

Gọi \(A\) là biến cố "Người thứ nhất bắn trúng bia". Ta có: \(P(A) = 0,8\).

Gọi \(B\) là biến cố "Người thứ hai bắn trúng bia". Ta có: \(P(B) = 0,7\).

Gọi \(C\) là biến cố "Có ít nhất một người bắn trúng bia".

Để có ít nhất một người bắn trúng ta có các trường hợp sau đây:

- Biến cố người thứ nhất bắn trúng và người thứ hai bắng không trúng bia là \(A\bar B\) và \(P(A\bar B) = P(A) \cdot P(\bar B) = 0,8 \cdot 0,3 = 0,24\).

- Biến cố người thứ nhất bắn không trúng và người thứ hai bắn trúng bia là \(\bar AB\) và \(P(\bar AB) = P(\bar A) \cdot P(B) = 0,2 \cdot 0,7 = 0,14\).

- Biến cố cả hai người đều bắn trúng bia là \(AB\) và \(P(AB) = P(A) \cdot P(B) = 0,8 \cdot 0,7 = 0,56\).

Biến cố để có ít nhất một người bắn trúng là \(C = A\bar B \cup \bar AB \cup AB\).

Xác suất để có ít nhất một người bắn trúng là:

\(P(C) = P(\overline {AB} ) + P(\bar AB) + P(AB) = 0,24 + 0,14 + 0,56 = 0,94.\)

Gọi \(A\) là biến cố "Lấy được viên bi màu trắng từ túi \(X\)"; \(B\) là biến cố "Lấy được viên bi màu trắng từ túi \(Y\)";

\({X_1}\) là biến cố "Lấy được hai viên bi cùng màu trắng".

Ta có: \(P(A) = \frac{3}{5},P(B) = \frac{1}{3}\).

Vì \(A\) và \(B\) là hai biến cố độc lập và \({X_1} = A \cap B\) nên \(P\left( {{X_1}} \right) = P(A) \cdot P(B) = \frac{3}{5} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{5}\).

\({X_2}\) là biến cố "Lấy được hai viên bi cùng màu đỏ".

Vì \(\bar A\) và \(\bar B\) là hai biến cố độc lập và \({X_2} = \bar A \cap \bar B\) nên \(P\left( {{X_2}} \right) = P(\bar A) \cdot P(\bar B) = \frac{2}{5} \cdot \frac{2}{3} = \frac{4}{{15}}\).

Biến cố để hai viên bi lấy ra cùng màu là \(X = {X_1} \cup {X_2}\)

Vì \({X_1}\) và \({X_2}\) là hai biến cố xung khắc, xác suất để hai viên bi lấy ra cùng màu là:

\(P(X) = P\left( {{X_1}} \right) + P\left( {{X_2}} \right) = \frac{1}{5} + \frac{4}{{15}} = \frac{7}{{15}}.\)

Quy ước gene \(A\) : ruồi giấm cánh dài và gene a: ruồi giấm cánh ngắn. Ở thế hệ \(F2\), ba kiểu gene, AA:Aa:aa xuất hiện với tỉ lệ \(1:2:1\) nên tỉ lệ ruồi giấm cánh dài so với ruồi giấm cánh ngắn là \(3:1\)

Gọi \({X_1},{X_2}\) lần lượt là biến cố "ruồi giấm lấy ra lần thứ nhất là ruồi giấm cánh dài" và biến cố "ruồi giấm lấy ra lần thứ hai là ruồi giấm cánh dài".

Ta có \({X_1},{X_2}\) là hai biến cố độc lập và \(P\left( {{X_1}} \right) = P\left( {{X_2}} \right) = \frac{3}{4}\).

Xác suất của biến cố "Có đúng một con ruồi giấm cánh dài trong hai con được lấy ra” là:

\(\begin{array}{*{20}{l}}{P\left( {{X_1}\overline {{X_2}}  \cup \overline {{X_1}} {X_2}} \right)}&{ = P\left( {{X_1}\overline {{X_2}} } \right) + P\left( {\overline {{X_1}} {X_2}} \right) = P\left( {{X_1}} \right)P\left( {\overline {{X_2}} } \right) + P\left( {\overline {{X_1}} } \right)P\left( {{X_2}} \right)}\\{}&{ = 2 \times \frac{3}{4} \times \frac{1}{4} = \frac{3}{8}}\end{array}\)

Gọi \(A\) là biến cố "Lá bài được chọn có màu đen" và \(B\) biến cố "lá bài được chọn có số chia hết cho 3". Ta có \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(AB) = \frac{1}{2} + \frac{{12}}{{52}} - \frac{1}{2} \cdot \frac{{12}}{{52}} = \frac{8}{{13}}\).

a) Gọi \(A\) là biến cố "Hai bi lấy ra có cùng màu". Xác suất của biến cố \(A\) :

\(P(A) = \frac{{C_4^2 + C_5^2 + C_3^2}}{{C_{12}^2}} = \frac{{19}}{{66}}{\rm{. }}\)

b) Gọi \(B\) là biến cố "Hai bi lấy ra khác màu". Biến cố "Hai bi lấy ra khác màu" là biến cố đối của biến cố "Hai bi lấy ra có cùng màu". Xác suất của biến cố \(B\):

\(P(B) = 1 - \frac{{19}}{{66}} = \frac{{47}}{{66}}{\rm{. }}\)

\(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(AB) = 0,4 + 0,45 - 0,4 \times 0,45 = 0,67\).

\(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(AB)\)

\( \Leftrightarrow 0,65 = 0,45 + P(B) - 0,6P(B) \Rightarrow P(B) = 0,5.{\rm{ }}\)

Gọi \(B\) là biến cố "Tích các số ghi trên 2 thẻ lấy ra là số chia hết cho 3". Tích các số ghi trên 2 thẻ lấy ra là số chia hết cho 3 khi lấy được 1 trong 2 thẻ có ghi số chia hết cho 3. Xác suất của biến cố \(B:P(B) = \frac{{C_6^1 \times C_{19}^1}}{{C_{20}^2}} = \frac{3}{5}\).