Đề kiểm tra Biến cố hợp biến cố giao và quy tắc cộng xác suất (có lời giải) - Đề 2

Xét biến cố \[A\] “trong 3 em ấy không có cặp anh em sinh đôi”, biến cố đối \[\overline A \]“trong 3 em ấy có cặp anh em sinh đôi” suy ra có 1 cặp anh em sinh đôi.

Xác suất của biến cố \[\overline A \]là: \[P\left( {\overline A } \right) = \frac{{C_5^1.C_{48}^1}}{{C_{50}^3}} = \frac{3}{{245}}\].

Vậy \[P = 1 - P\left( {\overline A } \right) = \frac{{242}}{{245}}\].

Gọi \[A\] là biến cố "Chọn được \[2\] viên bi xanh"; \[B\] là biến cố "Chọn được \[2\] viên bi đỏ", \[C\] là biến cố "Chọn được \[2\] viên bi vàng" và \[X\] là biến cố "Chọn được \[2\] viên bi cùng màu".

Ta có \[X = A \cup B \cup C\] và các biến cố \[A,B,C\] đôi một xung khắc.

Do đó, ta có: \[P\left( X \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right) + P\left( C \right)\].

Mà \[P\left( A \right) = \frac{{C_4^2}}{{C_9^2}} = \frac{1}{6};P\left( B \right) = \frac{{C_3^2}}{{C_9^2}} = \frac{1}{{12}};P\left( C \right) = \frac{{C_2^2}}{{C_9^2}} = \frac{1}{{36}}\]

Vậy \[P\left( X \right) = \frac{1}{6} + \frac{1}{{12}} + \frac{1}{{36}} = \frac{5}{{18}}\].

Biến cố "Chọn được \[2\] viên bi khác màu" chính là biến cố \[\overline X \].

Vậy \[P\left( {\overline X } \right) = 1 - P\left( X \right) = \frac{{13}}{{18}}\].

Gọi \(A\): "Sinh viên được chọn học tiếng Anh";

\(B\): "Sinh viên được chọn chỉ học tiếng Pháp";

\(D\): "Sinh viên được chọn không học tiếng Anh và tiếng Pháp ".

Ta có \(P(A) = \frac{{40}}{{60}} = \frac{2}{3},P(B) = \frac{{30}}{{60}} = \frac{1}{2}\) và \(P(A \cap B) = \frac{{20}}{{60}} = \frac{1}{3}\).

Từ đó \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = \frac{2}{3} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{5}{6}\).

và \(P(D) = P(\bar A \cap \bar B) = P(\overline {A \cup B} ) = 1 - P(A \cup B) = 1 - \frac{5}{6} = \frac{1}{6}\).

Xác suất để lấy ngẫu nhiên 3 quyển trong đó có 1 cuốn văn nghệ là: \(\frac{{C_5^1 \cdot C_{10}^2}}{{C_{15}^3}} = \frac{{45}}{{91}}\).

Xác suất để lấy ngẫu nhiên 3 quyển trong đó có 2 cuốn văn nghệ là: \(\frac{{C_5^2 \cdot C_{10}^1}}{{C_{15}^3}} = \frac{{20}}{{91}}\).

Xác suất để lấy ngẫu nhiên 3 quyển trong đó có 3 cuốn văn nghệ là: \(\frac{{C_5^3}}{{C_{15}^3}} = \frac{2}{{91}}\).

Vậy xác suất để lấy ngẫu nhiên 3 quyển trong đó có ít nhất 1 cuốn văn nghệ là:

\(P = \frac{2}{{91}} + \frac{{45}}{{91}} + \frac{{20}}{{91}} = \frac{{67}}{{91}}\)

Gọi \(A\) là biến cố: "Rút được thẻ đánh số chia hết cho 2", suy ra \(A = \{ 2;4;6;8;10\} \) và \(P(A) = \frac{5}{{10}} = \frac{1}{2}\)Gọi \(B\) là biến cố: "Rút được thẻ đánh số chia hết cho 7", suy ra \(B = \{ 7\} \) và \(P(B) = \frac{1}{{10}}\).

Ta có \(A \cup B\) là biến cố: "Rút được thẻ đánh số chia hết cho 2 hoặc 7".

Vì \(A\) và \(B\) là hai biến cố xung khắc nên \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) = \frac{1}{2} + \frac{1}{{10}} = \frac{3}{5}\).

Gọi \(A\) là biến cố: "Rút được thẻ đánh số chia hết cho 2", ta có:

\(A = \{ 2;4;6;8;10;12;14;16;18;20\} {\rm{, suy ra }}P(A) = \frac{{10}}{{20}} = \frac{1}{2}{\rm{. }}\)

Gọi \(B\) là biến cố rút được thẻ đánh số chia hết cho 3, ta có:

\(B = \{ 3;6;9;12;15;18\} {\rm{, suy ra }}P(B) = \frac{6}{{20}} = \frac{3}{{10}}{\rm{. }}\)

Ta có biến cố giao \(AB = \{ 6;12;18\} \), suy ra \(P(AB) = \frac{3}{{20}}\).

Xác suất để rút được thẻ đánh số chia hết cho 2 hoặc 3 là:

\(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(AB) = \frac{1}{2} + \frac{3}{{10}} - \frac{3}{{20}} = \frac{{13}}{{20}}\)

Gọi \(A\) là biến cố: "Lấy được vé không có chữ số 2 " và \(B\) : "Lấy được vé số không có chữ số 7".

Số các dãy gồm 5 chữ số lập được mà không có chữ số \(2:{9^5}\). Suy ra \(P(A) = \frac{{{9^5}}}{{{{10}^5}}} = {(0,9)^5}\).

Số các dãy gồm 5 chữ số lập được mà không có chữ số 7 : \({9^5}\) (số). Suy ra \(P(B) = \frac{{{9^5}}}{{{{10}^5}}} = {(0,9)^5}\).

Số các dãy gồm 5 chữ số lập được mà không có chữ số 2 và 7 là \({8^5}\).

Suy ra \(P(AB) = \frac{{{8^5}}}{{{{10}^5}}} = {(0,8)^5}\).

Vậy xác suất của \(X\) là:

\(P(X) = P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(AB) = {(0,9)^5} + {(0,9)^5} - {(0,8)^5} = 0,8533.\)

Vì mỗi câu trả lời đúng được 0,2 điểm nên để đạt được 6 điểm thì học sinh cần trả lời đúng 30 câu.

Do mỗi câu có 4 phương án trả lời trong đó chỉ có 1 phương án đúng nên xác suất trả lời đúng một câu hỏi là \(\frac{1}{4}\) và xác suất trả lời sai một câu hỏi là \(\frac{3}{4}\).

Vậy xác suất thí sinh đạt được 6 điểm là \(C_{50}^{30} \cdot 0,{25^{30}} \cdot 0,{75^{20}}\).

Mỗi lần lấy thì ta chỉ lấy có một quả cầu, nên nếu lấy được quả cầu màu xanh thì không có quả cầu màu đỏ (và ngược lại), nói cách khác \(P(AB) = 0\).

Vì vậy \(A,B\) là hai biến cố xung khắc.

Xác suất để lấy được một quả cầu màu xanh hoặc một quả cầu màu đỏ là:

\(P(A \cup B) = P(A) + P(B) = \frac{1}{5} + \frac{1}{6} = \frac{{11}}{{30}}{\rm{. }}\)

Dễ  thấy \(A,B\) là hai biến cố xung khắc và \(P(A) = \frac{{C_4^2}}{{C_9^2}} = \frac{1}{6},P(B) = \frac{{C_4^1C_5^1}}{{C_9^{22}}} = \frac{5}{9}\).

Ta có: \(P(C) = P(A \cup B) = P(A) + P(B) = \frac{1}{6} + \frac{5}{9} = \frac{{13}}{{18}}\).

Gọi biến cố \(A\) : "Có đúng 4 động cơ hỏng”, \(B\) là biến cố: "2 động cơ cánh phải hỏng và 2 động cơ cánh trái hỏng”, \(C\) là biến cố: "3 động cơ cánh phải hỏng và 1 động cơ cánh trái hỏng".

Ta có hai biến cố \(B,C\) xung khắc và \(A = B \cup C\).

Theo quy tắc cộng, ta có:

\(\begin{array}{*{20}{l}}{P(A)}&{ = P(B) + P(C)}\\{}&{ = C_3^2 \times {{(0,1)}^2} \times 0,9 \times C_2^2 \times {{(0,05)}^2} + C_3^3 \times {{(0,1)}^3} \times C_2^1 \times 0,05 \times 0,95}\\{}&{ = 0,0001625}\end{array}\)

Số kết quả thuận lợi cho biến cố \(A\) là: \(C_4^3 = 4\).

Số kết quả thuận lợi cho biến cố \(B\) là: \(C_5^3 = 10\).

\(A \cup B\) là biến cố "hai viên bi lấy ra có cùng màu". Số kết quả thuận lợi cho biến cố \(A \cup B\) là: \(C_4^3 + C_5^3 = 14\).

Gọi \(A\) là biến cố: "Cả hai học sinh được chọn đều thuộc khối 11 ". Gọi \(B\) là biến cố: "Cả hai học sinh được chọn đều thuộc khối 12 ". Khi đó \(A \cup B\) là biến cố "Cả hai người được chọn học cùng một khối”.

Do đó \(A\) và \(B\) là hai biến cố xung khắc nên \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) = \frac{{C_6^2}}{{C_{14}^2}} + \frac{{C_8^2}}{{C_{14}^2}} = \frac{{43}}{{91}}\).