Đề kiểm tra Bài tập cuối chương V lớp 11 (có lời giải) - Đề 2
22 câu hỏi
Phần 1. Câu hỏi trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi, thí sinh chỉ chọn 1 phương án.
Biết \[\lim \frac{{2{n^3} + {n^2} - 4}}{{a{n^3} + 2}} = \frac{1}{2}\] với \[a\] là tham số. Khi đó \[a - {a^2}\] bằng
\[ - 12\].
\[ - 2\].
\[0\].
\[ - 6\].
Chọn A
Ta có \[\lim \frac{{2{n^3} + {n^2} - 4}}{{a{n^3} + 2}} = \lim \frac{{{n^3}\left( {2 + \frac{1}{n} - \frac{4}{{{n^3}}}} \right)}}{{{n^3}\left( {a + \frac{2}{{{n^3}}}} \right)}} = \frac{2}{a} = \frac{1}{2}\].
Suy ra \[a = 4\]. Khi đó \[a - {a^2} = 4 - {4^2} = - 12\].
Tìm \(L = \lim \left( {\frac{1}{1} + \frac{1}{{1 + 2}} + ... + \frac{1}{{1 + 2 + ... + n}}} \right)\)
\[L = \frac{5}{2}\].
\[L = + \infty \].
\[L = 2\].
\[L = \frac{3}{2}\].
Chọn C
Ta có \(1 + 2 + 3 + ... + k\) là tổng của cấp số cộng có \({u_1} = 1\), \(d = 1\) nên \(1 + 2 + 3 + ... + k = \frac{{\left( {1 + k} \right)k}}{2}\)
\( \Rightarrow \frac{1}{{1 + 2 + ... + k}} = \frac{2}{{k\left( {k + 1} \right)}}\)\( = \frac{2}{k} - \frac{2}{{k + 1}}\), \(\forall k \in {\mathbb{N}^*}\).
\(L = \lim \left( {\frac{2}{1} - \frac{2}{2} + \frac{2}{2} - \frac{2}{3} + \frac{2}{3} - \frac{2}{4} + ... + \frac{2}{n} - \frac{2}{{n + 1}}} \right)\)\( = \lim \left( {\frac{2}{1} - \frac{2}{{n + 1}}} \right)\)\( = 2\).
Tính \(I = \lim \,\left[ {n\left( {\sqrt {{n^2} + 2} - \sqrt {{n^2} - 1} } \right)} \right]\).
\(I = + \infty \)
\(I = \frac{3}{2}\)
\(I = 1,499\)
\(I = 0\)
Chọn B
Ta có: \(I = \lim \,\left[ {n\left( {\sqrt {{n^2} + 2} - \sqrt {{n^2} - 1} } \right)} \right]\)\( = \lim \,\frac{{3n}}{{\sqrt {{n^2} + 2} + \sqrt {{n^2} - 1} }}\)\( = \lim \,\frac{3}{{\sqrt {1 + \frac{2}{{{n^2}}}} + \sqrt {1 - \frac{1}{{{n^2}}}} }} = \frac{3}{2}\)
Trong các giới hạn hữu hạn sau, giới hạn nào có giá trị khác với các giới hạn còn lại?
\(\lim \frac{{3n - 1}}{{3n + 1}}\)
\(\lim \frac{{2n + 1}}{{2n - 1}}\)
\(\lim \frac{{4n + 1}}{{3n - 1}}\)
\(\lim \frac{{n + 1}}{{n - 1}}\)
Chọn C
Ta có
\(\lim \frac{{3n - 1}}{{3n + 1}} = \lim \frac{{3 - \frac{1}{n}}}{{3 + \frac{1}{n}}} = \frac{3}{3} = 1\,\,\)vì \(\lim \frac{1}{n} = 0\); \(\lim \frac{{2n + 1}}{{2n - 1}} = \lim \frac{{2 + \frac{1}{n}}}{{2 - \frac{1}{n}}} = \frac{2}{2} = 1\) vì \(\lim \frac{1}{n} = 0\)
\(\lim \frac{{4n + 1}}{{3n - 1}} = \lim \frac{{4 + \frac{1}{n}}}{{3 - \frac{1}{n}}} = \frac{4}{3}\) vì \(\lim \frac{1}{n} = 0\); \(\lim \frac{{n + 1}}{{n - 1}} = \lim \frac{{1 + \frac{1}{n}}}{{1 - \frac{1}{n}}} = 1\) vì \(\lim \frac{1}{n} = 0\).
Tính \[\lim n\left( {\sqrt {4{n^2} + 3} - \sqrt[3]{{8{n^3} + n}}} \right)\].
\[ + \infty \].
\[1\].
\[ - \infty \].
\[\frac{2}{3}\].
Chọn D
Ta có: \[\lim n\left( {\sqrt {4{n^2} + 3} - \sqrt[3]{{8{n^3} + n}}} \right)\]\[ = \lim n\left[ {\left( {\sqrt {4{n^2} + 3} - 2n} \right) + \left( {2n - \sqrt[3]{{8{n^3} + n}}} \right)} \right]\]
\[ = \lim \left[ {n\left( {\sqrt {4{n^2} + 3} - 2n} \right) + n\left( {2n - \sqrt[3]{{8{n^3} + n}}} \right)} \right]\].
Ta có: \[\lim n\left( {\sqrt {4{n^2} + 3} - 2n} \right)\]\[ = \lim \frac{{3n}}{{\left( {\sqrt {4{n^2} + 3} + 2n} \right)}}\]\[ = \lim \frac{3}{{\left( {\sqrt {4 + \frac{3}{{{n^2}}}} + 2} \right)}} = \frac{3}{4}\].
Ta có: \[\lim n\left( {2n - \sqrt[3]{{8{n^3} + n}}} \right)\]\[ = \lim \frac{{ - {n^2}}}{{\left( {4{n^2} + 2n\sqrt[3]{{8{n^3} + n}} + \sqrt[3]{{{{\left( {8{n^3} + n} \right)}^2}}}} \right)}}\]
\[ = \lim \frac{{ - 1}}{{\left( {4 + 2\sqrt[3]{{8 + \frac{1}{{{n^2}}}}} + \sqrt[3]{{{{\left( {8 + \frac{1}{{{n^2}}}} \right)}^2}}}} \right)}} = - \frac{1}{{12}}\].
Vậy \[\lim n\left( {\sqrt {4{n^2} + 3} - \sqrt[3]{{8{n^3} + n}}} \right) = \frac{3}{4} - \frac{1}{{12}}\]\[ = \frac{2}{3}\].
Giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{x - 2}}{{{x^2} - 4}}\) bằng
\(2\).
\(4\).
\(\frac{1}{4}\).
\(0\).
Chọn C
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{x - 2}}{{{x^2} - 4}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{x - 2}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{1}{{x + 2}} = \frac{1}{4}\).
Tính giới hạn \(L = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{x - 3}}{{x + 3}}\)
\(L = - \infty \)
\(L = 0\)
\(L = + \infty \)
\(L = 1\)
Chọn B
Ta có \(L = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{x - 3}}{{x + 3}}\)\( = \frac{{3 - 3}}{{3 + 3}} = 0\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{4x + 1}}{{ - x + 1}}\) bằng
\(2\)
\(4\)
\( - 1\)
\( - 4\)
Chọn D
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{4x + 1}}{{ - x + 1}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{4 + \frac{1}{x}}}{{ - 1 + \frac{1}{x}}}\)\( = - 4\).
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{3x + 2}}{{2x - 4}}\]bằng
\( - \frac{1}{2}\).
\( - \frac{3}{4}\).
\(1\).
\(\frac{3}{2}\).
Chọn D
Ta có: \[\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{3x + 2}}{{2x - 4}}\]\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{3 + \frac{2}{x}}}{{2 - \frac{4}{x}}}\]\[ = \frac{3}{2}\].
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{1}{x} = + \infty \).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{1}{x} = - \infty \).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{1}{{{x^5}}} = + \infty \).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{1}{{\sqrt x }} = + \infty \).
Chọn B
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{1}{x} = + \infty \) do \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} x = 0\)và \(x > 0\). Vậy đáp án A đúng.
Suy ra đáp án B sai.
Các đáp án C và D đúng. Giải thích tương tự đáp án \[A\].
Tính giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{2x + 1}}{{x + 1}}\).
\(\frac{1}{2}\).
\(1\).
\(2\).
\( - 1\).
Chọn C
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{2x + 1}}{{x + 1}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{2 + \frac{1}{x}}}{{1 + \frac{1}{x}}} = 2\).
Xác định \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\left| x \right|}}{{{x^2}}}\).
\(0\).
\( - \infty \).
Không tồn tại.
\( + \infty \).
Chọn C
Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{\left| x \right|}}{{{x^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{x}{{{x^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{1}{x} = + \infty \).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{\left| x \right|}}{{{x^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{ - x}}{{{x^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{ - 1}}{x} = + \infty \).
Vậy không tồn tại \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\left| x \right|}}{{{x^2}}}\).
Phần 2. Trắc nghiệm lựa chọn đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \[{u_n} = \frac{{an + 4}}{{5n + 3}}\] trong đó \(a\) là tham số thực. Khi đó:
a) Để dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) có giới hạn bằng \(2\), thì giá trị \(a = 10.\)
b) Để dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) có giới hạn bằng \(3\), thì giá trị \(a = 10.\)
c) Để dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) có giới hạn bằng \(4\), thì giá trị \(a = 20.\)
d) Để dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) có giới hạn bằng \(5\), thì giá trị \(a = 30.\)
a) Đúng | b) Sai | c) Đúng | d) Sai |
Ta có \(\lim {u_n} = \lim \frac{{an + 4}}{{5n + 3}} = \lim \frac{{a + \frac{4}{n}}}{{5 + \frac{3}{n}}} = \frac{a}{5}.\)
Cho hàm số \[f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{{x - \sqrt {x + 2} }}{{{x^2} - 4}}}&{{\rm{khi}}}&{x > 2}\\{{x^2} + ax + 3b}&{{\rm{khi}}}&{x < 2}\\{2a + b - 6}&{{\rm{khi}}}&{x = 2}\end{array}} \right.\] liên tục tại \[x = 2\]. Khi đó:
a) \(a > 0\)
b) \(b > 0\)
c) \(a > b\)
d)\[I = a + b = \frac{{19}}{{32}}\]
a) Đúng | b) Sai | c) Đúng | d) Đúng |
Để hàm \[f\left( x \right)\] liên tục tại \[x = 2\] cần có \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = f\left( 2 \right)\]
Ta có: \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( {\frac{{x - \sqrt {x + 2} }}{{{x^2} - 4}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{{x^2} - x - 2}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x - 2} \right)\left( {x + \sqrt {x + 2} } \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{x + 1}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x + \sqrt {x + 2} } \right)}} = \frac{3}{{16}}\].
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( {{x^2} + ax + 3b} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( {{x^2} + ax + 3b} \right) = 2a + 3b + 4\]
\[f\left( 2 \right) = 2a + b - 6\]
Suy ra ta được hệ phương trình: \[\left\{ \begin{array}{l}2a + b - 6 = \frac{3}{{16}}\\2a + 3b + 4 = \frac{3}{{16}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{{179}}{{32}}\\b = - 5\end{array} \right. \Rightarrow a + b = \frac{{19}}{{32}}\].
Các mệnh đề sau đúng hay sai?
a)\[\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\sqrt {{x^2} + x} - x} \right) = 0\].
b)\[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {{x^2} + x} - 2x} \right) = + \infty \].
c)\[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {{x^2} + x} - x} \right) = \frac{1}{2}\].
d)\[\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\sqrt {{x^2} + x} - 2x} \right) = - \infty \].
a) Sai | b) Sai | c) Đúng | d) Sai |
Ta có: \[\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\sqrt {{x^2} + x} - x} \right) = + \infty \] nên phương án a sai.
Ta có: \[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {{x^2} + x} - 2x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } x\left( {\sqrt {1 + \frac{1}{x}} - 2} \right) = - \infty \] nên phương án b sai.
Ta có: \[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {{x^2} + x} - x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\frac{x}{{\sqrt {{x^2} + x} + x}}} \right)\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\frac{1}{{\sqrt {1 + \frac{1}{x}} + 1}}} \right) = \frac{1}{2}\] nên đáp án c đúng.
Ta có: \[\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\sqrt {{x^2} + x} - 2x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( { - x} \right)\left( {\sqrt {1 + \frac{1}{x}} + 2} \right) = + \infty \] nên đáp án d sai.
iiCho\(L = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\sqrt {{x^2} + ax + 5} + x} \right)\). Khi đó:
a) \(L = 5\) khi \(a = - 10\)
b) \(L > 0\) khi \(a > 0\)
c) \(L < 0\) khi \(a > 0\)
d) \(L = - 1\) thì \(a\) là một nghiệm của phương trình \({x^2} - 3x + 2 = 0\)
a) Đúng | b) Sai | c) Đúng | d) Đúng |
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\sqrt {{x^2} + ax + 5} + x} \right)\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{ax + 5}}{{\sqrt {{x^2} + ax + 5} - x}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{x\left( {a + \frac{5}{x}} \right)}}{{\left| x \right|\sqrt {1 + \frac{a}{x} + \frac{5}{{{x^2}}}} - x}}\)
\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{a + \frac{5}{x}}}{{ - \sqrt {1 + \frac{a}{x} + \frac{5}{{{x^2}}}} - 1}} = - \frac{a}{2}\).
Phần 3. Câu hỏi trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.
Cho dãy số \(\left( {{v_n}} \right)\)với \({v_n} = \frac{1}{{{n^3}}} + 2\). Bằng định nghĩa hãy chứng minh rằng \(\lim {v_n} = 2\).
Ta có: \(\lim \left( {{v_n} - 2} \right) = \lim \left( {\frac{1}{{{n^3}}} + 2 - 2} \right) = \lim \frac{1}{{{n^3}}} = 0\)
Vậy \(\lim {v_n} = 2\)
Tìm các giá trị của \(m\) để hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{{\sqrt {1 - x} - \sqrt {1 + x} }}{x}}&{{\rm{khi}}}&{x < 0}\\{m + \frac{{1 - x}}{{1 + x}}}&{{\rm{khi}}}&{x \ge 0}\end{array}} \right.\) liên tục tại \[x = 0\]?
Tập xác định: \[D = \mathbb{R}\] và \[x = 0 \in D\].
\[f\left( 0 \right) = m + 1\].
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left( {m + \frac{{1 - x}}{{1 + x}}} \right) = m + 1\].
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left( {\frac{{\sqrt {1 - x} - \sqrt {1 + x} }}{x}} \right) = \]\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{ - 2x}}{{x\left( {\sqrt {1 - x} + \sqrt {1 + x} } \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{ - 2}}{{\left( {\sqrt {1 - x} + \sqrt {1 + x} } \right)}} = - 1\].
Để hàm liên tục tại \[x = 0\] thì \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = f\left( 0 \right)\]\( \Leftrightarrow m + 1 = - 1 \Leftrightarrow m = - 2\).
Vậy \[m = - 2\] thỏa mãn đề bài.
(*) Chứng minh rằng dãy số sau có giới hạn là \(0\) : \({u_n} = \frac{{{{15}^n}}}{{{2^n}\left( {{9^n} + {{25}^n}} \right)}}\)
\({u_n} = \frac{{{{15}^n}}}{{{2^n}\left( {{9^n} + {{25}^n}} \right)}} = \frac{{{3^n}{{.5}^n}}}{{{2^n}\left( {{3^{2n}} + {5^{2n}}} \right)}} \le \frac{{\frac{{{3^{2n}} + 5}}{2}}}{{{2^n}\left( {{3^{2n}} + {5^{2n}}} \right)}} = \frac{1}{{{2^{n + 1}}}} \le {\left( {\frac{1}{2}} \right)^n}\)
Mà \(\lim {\left( {\frac{1}{2}} \right)^n} = 0 \Rightarrow \) đ.p.c.m
Tìm giá trị của \[a;b;c\]để \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt {ax + b} + cx}}{{{x^3} - 2{x^2} + x}} = - \frac{1}{2}\].
Ta có
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt {ax + b} + cx}}{{{x^3} - 2{x^2} + x}} = - \frac{1}{2} \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{ - (c{x^2} - ax - b)}}{{x{{\left( {x - 1} \right)}^2}\left( {\sqrt {ax + b} - cx} \right)}} = - \frac{1}{2}\,\,\,\,(*)\]
Để xảy ra (*) thì điều kiện cần là
\[\left\{ \begin{array}{l} - ({c^2}{x^2} - ax - b) = k{(x - 1)^2}\,\,\,(k \ne 0)\\\sqrt {a.1 + b} - c \ne 0\\\frac{k}{{\sqrt {a.1 + b} - c}} = - \frac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}k < 0\\\,a = - 2k,\,\,b = k\,\\\sqrt {a + b} - c \ne 0\,\\\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}c = \sqrt { - k} \\\frac{k}{{\sqrt { - 2k + k} - \sqrt { - k} }} = - \frac{1}{2}\,\,\,(PTVN)\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}c = - \sqrt { - k} \\\frac{k}{{\sqrt { - 2k + k} + \sqrt { - k} }} = - \frac{1}{2} \Rightarrow k = - 1\end{array} \right.\end{array} \right.\,\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 2k = 2\\b = k = - 1\\c = \sqrt { - k} = 1\end{array} \right.\]
Thử lại: với \(a = 2,b = - 1,\,c = 1\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Cho hàm số \(f(x) = 2x - \sin x,g(x) = \sqrt {x - 1} \).
Xét tính liên tục hàm số \(y = f(x) \cdot g(x)\) và \(y = \frac{{f(x)}}{{g(x)}}\).
Hàm số \(f(x) = 2x - \sin x\) liên tục với mọi \(x \in \mathbb{R}\)
Hàm số \(g(x) = \sqrt {x - 1} \) liên tục trên khoảng \([1; + \infty )\)
Suy ra: hàm số \(y = f(x).g(x)\) liên tục trên khoảng \([1; + \infty )\)
\(g(x) \ne 0\) khi \(x \ne 1\)
Suy ra hàm số \(y = \frac{{f(x)}}{{g(x)}}\) liên tục trên khoảng \((1; + \infty )\)
Một bãi đậu xe ô tô đưa ra giá \(C(x)\) (đồng) khi thời gian đậu xe là \(x\) (giờ) như sau:
\(C(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{60000{\rm{ khi }}0 < x \le 2}\\{100000{\rm{ khi }}2 < x \le 4}\\{200000{\rm{ khi }}4 < x \le 24}\end{array}} \right.\)
Xét tính liên tục của hàm số \(C(x)\).
\(C(x) = 60000\) khi \(x \in (0;2)\) nên hàm số \(C(x)\) liên tục trên \((0;2)\)
\(C(x) = 100000\) khi \(x \in (2;4)\) nên hàm số \(C(x)\) liên tục trên \((2;4)\)
\(C(x) = 200000\) khi \(x \in (4;24)\) nên hàm số \(C(x)\) liên tục trên \[\left( {4;24} \right)\]
Ta có:
\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} C(x) = 60000\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} C(x) = 100000\end{array}\)
Vậy không tồn tại \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \) hay hàm số \(C(x)\) không liên tục tại \[2\]
\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} C(x) = 100000\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} C(x) = 200000\end{array}\)
Vậy không tồn tại \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 4} \) hay hàm số \(C(x)\) không liên tục tại \[4\]
