Đề kiểm tra Bài tập cuối chương V lớp 11 (có lời giải) - Đề 1
22 câu hỏi
Phần 1. Câu hỏi trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi, thí sinh chỉ chọn 1 phương án.
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = \sqrt {{n^2} + 1} - \sqrt n \). Mệnh đề đúng là
limn→+∞un=−∞ .
limn→+∞un=1 .
limn→+∞un=+∞.
limn→+∞un=0 .
Chọn C
Cho \({u_n} = \frac{{2 + {2^2} + \ldots + {2^n}}}{{{2^n}}}\). Giới hạn của dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) bằng
1.
2.
-1.
0.
Chọn D
Cho cấp số nhân lùi vô hạn \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = \frac{2}{{{3^n}}}\). Tổng của cấp số nhân này bằng
3.
2.
1.
6.
Chọn C\(\begin{array}{l}{u_n} = \frac{2}{{{3^n}}}{\rm{\;c\'o \;}}{u_1} = \frac{2}{3},q = \frac{1}{3}\\S = \frac{{{u_1}}}{{1 - q}} = \frac{{\frac{2}{3}}}{{1 - \frac{1}{3}}} = 1\end{array}\)
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \sqrt {x + 1} - \sqrt {x + 2} \). Mệnh đề đúng là
limx→+∞fx=−∞ .
limx→+∞fx=0.
limx→+∞fx=−1.
limx→+∞fx=−12 .
Chọn B
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{x - {x^2}}}{{\left| x \right|}}\). Khi đó limx→0+fx bằng
0.
1.
\( + \infty \).
-1.
Chọn B
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{x + 1}}{{\left| {x + 1} \right|}}\). Hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên
\(\left( { - \infty ; + \infty } \right)\)
\(\left( { - \infty ; - 1} \right]\).
\(\left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( { - 1; + \infty } \right)\).
\(\left[ { - 1; + \infty } \right)\).
Chọn C
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{{{x^2} + x - 2}}{{x - 1}}}&{{\rm{\;khi \;}}x \ne 1}\\a&{{\rm{\;khi \;}}x = 1}\end{array}} \right.\). Hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục tại \(x = 1\) khi
\(a = 0\).
\(a = 3\).
\(a = - 1\).
\(a = 1\).
Chọn Blimx→1x2+x−2x−1=limx→1x+2=3
Để \(f\left( x \right)\) liên tục tại \(x = 1\) thì suy ra \({\rm{a}} = 3\).
Kết quả của \(\lim \frac{{{3^n} - {{4.2}^{n - 1}} - 3}}{{{{3.2}^n} + {4^n}}}\) bằng:
\( + \infty \).
\( - \infty \).
\(0\).
\(1\).
Chọn C
\[\lim \frac{{{3^n} - {{4.2}^{n - 1}} - 3}}{{{{3.2}^n} + {4^n}}} = \lim \frac{{{3^n} - {{2.2}^n} - 3}}{{{{3.2}^n} + {4^n}}} = \lim \frac{{{{\left( {\frac{3}{4}} \right)}^n} - 2.{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^n} - 3.{{\left( {\frac{1}{4}} \right)}^n}}}{{3.{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^n} + 1}} = 0\]
Giá trị đúng của \(\lim \left( {\sqrt {{n^2} - 1} - \sqrt {3{n^2} + 2} } \right)\) là:
\( + \infty \).
\( - \infty \).
\(0\).
\(1\).
Chọn B
\(\lim \left( {\sqrt {{n^2} - 1} - \sqrt {3{n^2} + 2} } \right) = \lim n\left( {\sqrt {1 - \frac{1}{{{n^2}}}} - \sqrt {3 + \frac{2}{{{n^2}}}} } \right) = - \infty \).
Vì \(\lim n = + \infty ;\,\,\lim \left( {\sqrt {1 - \frac{1}{{{n^2}}}} - \sqrt {3 + \frac{2}{{{n^2}}}} } \right) = 1 - \sqrt 3 < 0\).
Giá trị đúng của \(\lim \left( {{3^n} - {5^n}} \right)\) là:
\( - \infty \).
\( + \infty \).
\(2\).
\( - 2\).
Chọn B
\(\lim \left( {{3^n} - {5^n}} \right) = \lim {5^n}\left( {{{\left( {\frac{3}{5}} \right)}^n} - 1} \right) = - \infty \).
Vì \(\lim {5^n} = + \infty ;\,\,\lim \left( {{{\left( {\frac{3}{5}} \right)}^n} - 1} \right) = - 1\).
Tính giới hạn \(T = \lim \left( {\sqrt {{{16}^{n + 1}} + {4^n}} - \sqrt {{{16}^{n + 1}} + {3^n}} } \right)\)
\(T = 0\)
\(T = \frac{1}{4}\)
\(T = \frac{1}{8}\)
\(T = \frac{1}{{16}}\)
Chọn C
Ta có \(T = \lim \left( {\sqrt {{{16}^{n + 1}} + {4^n}} - \sqrt {{{16}^{n + 1}} + 3} } \right)\)\( = \lim \frac{{{4^n} - {3^n}}}{{\sqrt {{{16}^{n + 1}} + {4^n}} + \sqrt {{{16}^{n + 1}} + {3^n}} }}\)
\( = \lim \frac{{{4^n} - {3^n}}}{{\sqrt {{{16.16}^n} + {4^n}} + \sqrt {{{16.16}^n} + {3^n}} }}\)\( = \lim \frac{{1 - {{\left( {\frac{3}{4}} \right)}^n}}}{{\sqrt {16 + {{\left( {\frac{1}{4}} \right)}^n}} + \sqrt {16 + {{\left( {\frac{3}{4}} \right)}^n}} }}\)\( = \frac{1}{{4 + 4}}\)\( = \frac{1}{8}\).
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) có \(\lim {u_n} = 2\). Tính giới hạn \(\lim \frac{{3{u_n} - 1}}{{2{u_n} + 5}}\).
\[\frac{{ - 1}}{5}\]
\[\frac{3}{2}\]
\[\frac{5}{9}\]
\[ + \infty \]
Chọn C
Từ \(\lim {u_n} = 2\) ta có \(\lim \frac{{3{u_n} - 1}}{{2{u_n} + 5}}\)\( = \frac{{3.2 - 1}}{{2.2 + 5}}\)\( = \frac{5}{9}\).
Phần 2. Trắc nghiệm lựa chọn đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Cho \(a\), \(b\) là hai số thực sao cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{{{x^2} + ax + b}}{{x - 1}}}&{khi}&{x \ne 1}\\{2ax - 1}&{khi}&{x = 1}\end{array}} \right.\) liên tục trên \(\mathbb{R}\). Khi đó:
a) \(f\left( 1 \right) = 2a - 1\)
b) \(a > 0\)
c) \(b > 0\)
d) \(a - b = 6\).
a) Đúng | b) Đúng | c) Sai | d) Sai |
Ta có \(f\left( 1 \right) = 2a - 1\).
Để hàm số liên tục trên \(\mathbb{R}\) thì phải tồn tại \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^2} + ax + b}}{{x - 1}}\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = f\left( 1 \right)\).
Để tồn tại \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^2} + ax + b}}{{x - 1}}\) thì \(\left( {{x^2} + ax + b} \right) \vdots \left( {x - 1} \right) \Rightarrow 1 + a + b = 0 \Rightarrow b = - a - 1\).
Khi đó \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^2} + ax + b}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + a + 1} \right)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {x + a + 1} \right) = a + 2\).
Do đó để hàm số liên tục trên \(\mathbb{R}\) thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = f\left( 1 \right)\)
\( \Leftrightarrow 2a - 1 = a + 2 \Leftrightarrow a = 3\). Suy ra \(b = - 4\).
Vậy \(a - b = 7\).
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \[{u_n} = \frac{{4{n^2} + n + 2}}{{a{n^2} + 5}}.\]
a) Để dãy số đã cho có giới hạn bằng \(2\), giá trị của \(a = 2.\)
b) Để dãy số đã cho có giới hạn bằng \(1\), giá trị của \(a = 3.\)
c) Để dãy số đã cho có giới hạn bằng \(3\), giá trị của \(a = 4\)
d) Để dãy số đã cho có giới hạn bằng \( - 2\), giá trị của \(a = - 2\)
a) Đúng | b) Sai | c) Sai | d) Đúng |
\(2 = \lim {u_n} = \lim \frac{{4{n^2} + n + 2}}{{a{n^2} + 5}} = \lim \frac{{4 + \frac{1}{n} + \frac{2}{{{n^2}}}}}{{a + \frac{5}{{{n^2}}}}} = \frac{4}{a}\,\,\left( {a\not = 0} \right)\)
Cho \(L = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\sqrt {{x^2} + ax + 5} + x} \right)\) . Khi đó:
a) Khi \(L = 3\) thì \(a = - 6\)
b) Khi \(L > 0\) thì \(a > 0\)
c) Khi \(L = 2\) thì \(a = 4\)
d) \(L = - 6\)thì giá trị của \(a\) là một nghiệm của phương trình \({x^2} + 11x - 12 = 0\)
a) Đúng | b) Sai | c) Sai | d) Đúng |
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\sqrt {{x^2} + ax + 5} + x} \right) = - 6\)\( \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\frac{{{x^2} + ax + 5 - {x^2}}}{{\sqrt {{x^2} + ax + 5} - x}}} \right) = - 6\)\( \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\frac{{ax + 5}}{{\sqrt {{x^2} + ax + 5} - x}}} \right) = - 6\)\( \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\frac{{a + \frac{5}{x}}}{{ - \sqrt {1 + \frac{a}{x} + \frac{5}{{{x^2}}}} - 1}}} \right) = - 6\)\( \Leftrightarrow \frac{a}{{ - 2}} = - 6\)\( \Leftrightarrow a = 12\).
Vì vậy giá trị của \(a\) là một nghiệm của phương trình \({x^2} + 11x - 12 = 0\).
Biết \[\lim \left( {\sqrt {{n^2} - 8n} - n + {a^2}} \right) = 0\]. Khi đó
a) Có tất cả 3 giá trị \(a\) thỏa mãn
b) Tổng các giá trị \(a\) tìm được bằng 0
c) Có 2 giá trị nguyên âm \(a\) thỏa mãn
d) Tích các giá trị \(a\) tìm được bằng \( - 4\)
a) Sai | b) Đúng | c) Sai | d) Đúng |
Nếu nhân lượng liên hợp :
Ta có \[\lim \left( {\sqrt {{n^2} - 8n} - n + {a^2}} \right) = \lim \frac{{\left( {2{a^2} - 8} \right)n}}{{\sqrt {{n^2} + n} + n}} = \lim \frac{{2{a^2} - 8}}{{\sqrt {1 + \frac{1}{n}} + 1}}\]
\[ = {a^2} - 4 = 0 \Leftrightarrow a = \pm 2.\]
Phần 3. Câu hỏi trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.
Chứng minh rằng hai dãy số \(\left( {{u_n}} \right),\left( {{v_n}} \right)\) với \({u_n} = \frac{{1 + \cos {n^2}}}{{2n + 1}}\) ;\({v_n} = \frac{{n + \sin 2n}}{{{n^2} + n}}\) có giới hạn \(0\)
Ta có: \(0 \le {u_n} \le \frac{2}{{2n + 1}} \le \frac{1}{n}\)
\(0 \le {v_n} \le \frac{{n + 1}}{{n\left( {n + 1} \right)}} = \frac{1}{n}\)
Do đó, \(\lim {u_n} = 0\) và \(\lim {v_n} = 0\)
Cho hàm số \(f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - {x^2}}&{{\rm{ khi }}x < 1}\\x&{{\rm{ khi }}x \ge 1}\end{array}} \right.\).
Tìm các giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x);\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f(x);\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x)\) .
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} x = 1;\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( { - {x^2}} \right) = - 1\)
Do \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f(x)\) nên không tồn tại \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x)\)
Cho hàm số \(f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{{{x^2} - 4}}{{x + 2}}}&{{\rm{ khi }}x \ne - 2}\\a&{{\rm{ khi }}x = - 2.}\end{array}} \right.\)
Tìm \(a\) để hàm số \(y = f(x)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\).
Ta có:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \frac{{{x^2} - 4}}{{x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \frac{{(x - 2)(x + 2)}}{{x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} (x - 2) = - 2 - 2 = - 4\), \[f\left( { - 2} \right) = a\]
Để hàm số \(f(x)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) thì hàm số \(f(x)\) phải liên tục tại \({x_0} = - 2\)
Hay \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} f(x) = f( - 2)\)
Suy ra: \(a = - 4\)
Chứng minh rằng dãy số sau có giới hạn là \(0\) : \({u_n} = \frac{{{n^n}{{\left( {n + 2} \right)}^n}}}{{{{\left( {2n + 2} \right)}^{2n}}}}\)
\({u_n} = \frac{{{n^n}{{\left( {n + 2} \right)}^2}}}{{{{\left( {2n + 2} \right)}^{2n}}}} = \frac{{{{\left( {{n^2} + 2n} \right)}^n}}}{{{2^{2n}}{{\left( {n + 1} \right)}^{2n}}}} \le \frac{{{{\left( {n + 1} \right)}^{2n}}}}{{{2^{2n}}{{\left( {n + 1} \right)}^{2n}}}} = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{2n}}\)
Mà \(\lim {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{2n}} = 0\) nên \(\lim {u_n} = 0\)
Cho hàm số \(f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{1 - 2x}&{{\rm{ khi }}x \le - 1}\\{{x^2} + 2}&{{\rm{ khi }}x > - 1}\end{array}} \right.\)
Tìm các giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} f(x)\), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} f(x)\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} f(x)\) .
Giả sử \(\left( {{x_n}} \right)\) là dãy số bất kì, \({x_n} < - 1\) và \({x_n} \to - 1\). Khi đó \(f\left( {{x_n}} \right) = 1 - 2{x_n}\) nên \(\lim f\left( {{x_n}} \right) = \lim \left( {1 - 2{x_n}} \right) = 1 - 2 \cdot ( - 1) = 3\)
Vậy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} f(x) = 3\)
Giả sử \(\left( {{x_n}} \right)\) là dãy số bất kì, \({x_n} > - 1\) và \({x_n} \to - 1\). Khi đó \(f\left( {{x_n}} \right) = x_n^2 + 2\) nên \(\lim f\left( {{x_n}} \right) = \lim \left( {x_n^2 + 2} \right) = {( - 1)^2} + 2 = 3\)
Vậy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} f(x) = 3\)
Suy ra \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} f(x) = 3\)
Cho hàm số \[f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3x - 5}&{{\rm{khi}}}&{x \le - 2}\\{ax - 1}&{{\rm{khi}}}&{x > - 2}\end{array}} \right.\]. Với giá trị nào của \(a\) thì hàm số \[f\left( x \right)\] liên tục tại \[x = - 2\]?
Tập xác định \[D = \mathbb{R}\] và \[x = - 2 \in D\].
Ta có: \(f\left( { - 2} \right) = - 11\)
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} \left( {3x - 5} \right) = - 11\]
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} \left( {ax - 1} \right) = - 2a - 1\].
Để hàm số liên tục tại \[x = - 2\] thì \[f\left( { - 2} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} f\left( x \right) \Leftrightarrow - 2a - 1 = - 11 \Leftrightarrow a = 5\].
Vậy hàm số liên tục tại \[x = - 2\] khi \[a = 5\].
