Đề kiểm tra Bài tập cuối chương IX lớp 10 (có lời giải) - Đề 3

Biến cố \[A\]: “Chọn ra số lẻ”.

Do đó tập hợp các kết quả thuận lợi cho biến cố \(\overline A \) là: \(\overline A  = \left\{ {2,4,6} \right\}\).

Ta có \(A = \left\{ {61;62;63;64;65;66} \right\},\)\(B = \left\{ {16;26;36;46;56;66} \right\}\).

Khi đó \(A \cap B = \left\{ {66} \right\} \ne \emptyset \). Vậy \(A\), \(B\) là hai biến cố không xung khắc

Gọi \(A\) là biến cố “4 học sinh được gọi có cả nam và nữ”, suy ra \(\overline A \) là biến cố “4 học sinh được gọi toàn là nam hoặc toàn là nữ”

Số phần tử của không gian mẫu là \(n\left( \Omega  \right) = C_{25}^4 = 12650\).

Ta có \(n\left( {\overline A } \right) = C_{15}^4 + C_{10}^4 = 1575 \Rightarrow P\left( {\overline A } \right) = \frac{{n\left( {\overline A } \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}} = \frac{{63}}{{506}}\).

Vậy xác suất của biến cố \(A\) là \(P\left( A \right) = 1 - P\left( {\overline A } \right) = 1 - \frac{{63}}{{506}} = \frac{{443}}{{506}}\).

D. \[''\]Tổng hai thẻ không vượt quá \[100\]\[''\].

\[n\left( \Omega  \right) = 2.2 = 4\].

C. Mặt sấp xuất hiện 3 lần.    

Trường hợp 1: bạn nam ngồi đầu, khi đó 2 bạn nam xếp vào 2 chỗ (số ghế 1 và 3), nữ xếp nốt vào hai chỗ còn lại ( ghế số 2 và 4), số cách xếp là \(2!.2! = 4\).

Trường hợp 2: bạn nữ ngồi đầu. Tương tự có 4 cách xếp. Vậy theo quy tắc cộng số phần tử của biến cố N là \(4 + 4 = 8\).

Liệt kê ta có: \[A = \left\{ {\left( {1,6} \right),\,\left( {2,6} \right),\,\left( {3,6} \right),\,\left( {4,6} \right),\,\left( {5,6} \right),\,\left( {6,6} \right),\,\left( {6,1} \right),\,\left( {6,2} \right),\,\left( {6,3} \right),\,\left( {6,4} \right),\,\left( {6,5} \right)} \right\}\]

Số phần tử của không gian mẫu:\[n\left( \Omega  \right) = 6.6 = 36\]

Biến cố xuất hiện hai lần như nhau: \[A = \left\{ {\left( {1;1} \right);\left( {2;2} \right);\left( {3;3} \right);\left( {4;4} \right);\left( {5;5} \right);\left( {6;6} \right)} \right\}\]

Suy ra \[P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}} = \frac{6}{{36}} = \frac{1}{6}\].

\(n\left( \Omega  \right) = {6^2} = 36\).

Gọi \[A\] là biến cố: “chọn được 2 viên bi khác màu.“

- Không gian mẫu: \(\left| \Omega  \right| = C_{14}^2 = 91\).

- \(n\left( A \right) = C_5^1.C_9^1 = 45\).

\[ \Rightarrow \]\(P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{\left| \Omega  \right|}} = \frac{{45}}{{91}}\)

Số phần tử của không gian mẫu là: \(\left| \Omega  \right| = {6^6}\).

Số phần tử của không gian thuận lợi là: \(\left| {{\Omega _A}} \right| = {3^6}\)

Xác suất biến cố \(A\) là: \(P\left( A \right) = \frac{1}{{64}}\).

a) Số phần tử của không gian mẫu: \(n(\Omega ) = 6.6 = 36\).

b) Biến cố xuất hiện hai lần như nhau: \(A = \{ (1;1);(2;2);(3;3);(4;4);(5;5);(6;6)\} \).

Suy ra \(P(A) = \frac{{n(A)}}{{n(\Omega )}} = \frac{6}{{36}} = \frac{1}{6}\).

c) Gọi \(B\): "ít nhất một lần xuất hiện mặt sáu chấm".

Khi đó \(\bar B\): "không có lần nào xuất hiện mặt sáu chấm".

Ta có: \(n(\bar B) = 5.5 = 25\).

Vậy \(P(B) = 1 - P(\bar B) = 1 - \frac{{25}}{{36}} = \frac{{11}}{{36}}\).

d) Biến cố tổng hai mặt là \(7:A = \{ (1;6);(2;5);(3;4);(4;3);(5;2);(6;1)\} \) nên \(n(A) = 6\).

Suy ra \(P(A) = \frac{{n(A)}}{{n(\Omega )}} = \frac{6}{{36}} = \frac{1}{6}\).

a) \(n(\Omega ) = 36\).

b) + Ta có: \(A = \{ (1,1);(2,2);(3,3);(4,4);(5,5);(6,6)\} ,n(A) = 6\).

+ Xét các cặp \((i,j)\) với \(i,j \in \{ 1,2,3,4,5,6\} \) mà \(i + j\) chia hết cho 3.

Ta có các cặp có tổng chia hết cho 3 là \((1,2);(1,5);(2,4);(3,3);(3,6);(4,5);(6,6)\).

Hơn nữa mỗi cặp (trừ cặp \((3,3);(6,6))\) khi hoán vị ta được một cặp thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Vậy \(n(B) = 12\).

+ Số các cặp \(i,j(i > j)\) là

\((2,1);(3,1);(3,2);(4,1);(4,2);(4,3);(5,1);(5,2);(5,3);(5,4);(6,1);(6,2);(6,3);(6,4);(6,5)\)

Vậy \(n(C) = 15\).

a) Không gian mẫu \(n(\Omega ) = C_{16}^3 = 560\).

b) Gọi \(A\) là biến cố: "lấy được 3 viên bi đỏ".

\({\rm{ Ta c\'o  }}n(A) = 1.{\rm{ }}\) Vậy \({\rm{ }}P(A) = \frac{1}{{560}}{\rm{. }}\)

c) Gọi \(A\): "lấy được 3 viên bi không đỏ" thì \(A\): "lấy được 3 viên bi trắng hoặc đen". Có \(7 + 6 = 13\) viên bi trắng hoặc đen. Ta có \(n(A) = C_{13}^3 = 286\).

Vậy \(P(A) = \frac{{286}}{{560}} = \frac{{143}}{{280}}\).

d) Gọi \(A\): "lấy được 1 viên bi trắng, 1 viên vi đen, 1 viên bi đỏ".

\({\rm{ Ta c\'o : }}n(A) = 7.6 \cdot 3 = 126.\) Vậy\({\rm{ }}P(A) = \frac{{126}}{{560}} = \frac{9}{{40}}{\rm{. }}\)

Kết quả của ba lần gieo là một dãy có thứ tự các kết quả của từng lần gieo.

Do đó: \(\Omega  = \{ SSS,SSN,NSS,SNS,NNS,NSN,SNN,NNN\}  \Rightarrow n(\Omega ) = 8\).

+ Gọi \(A\) là biến cố "Lần đầu xuất hiện mặt sấp".

Ta có: \(A = \{ SSS,SSN,SNS,SNN\}  \Rightarrow n(A) = 4\).

+ Gọi \(B\) là biến cố "Mặt sấp xuất hiện đúng một lần".

Ta có: \(B = \{ SNN,NSN,NNS\}  \Rightarrow n(B) = 3\).

+ Gọi \(C1\) à biến cố "Mặt ngửa xuất hiện ít nhất một lần".

\(C = \{ NNN,NNS,SNN,NSN,NSS,SSN,SNS\}  \Rightarrow n(C) = 7.{\rm{ }}\)

Với \(k \in {\mathbb{N}^*},k < 999,k\) chia hết cho 7

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}n \in {\mathbb{N}^*}\\1 \le k = 7n < 999\end{array}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}n \in {\mathbb{N}^*}\\\frac{1}{7} \le n < \frac{{999}}{7}\end{array}\end{array} \Leftrightarrow n \in \{ 1;2; \ldots ;142\} } \right.} \right.\)

\(B = \left\{ {\left. {7n} \right|n \in {\mathbb{N}^*},n \le 142} \right\}\). Số kết quả thuận lợi cho \(B\) là 142.

Gọi số có 5 chữ số là \(\overline {abcde} \).

Số các số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau là: \(n(\Omega ) = 9 \cdot A_9^4 = 27216\).

Gọi \(X\) là biến cố "số được chọn có chữ số đứng sau lớn hơn chữ số đứng trước".

\( \Rightarrow a < b < c < d < e\) mà \(a \ne 0,a,b,c,d,e \in \{ 0;1;2; \ldots ;8;9\} \) nên \(a,b,c,d,e \in \{ 1,2, \ldots ,8,9\} \)

Chọn 5 chữ số: \(C_9^5\) (cách). Với mỗi bộ 5 chữ số đã chọn, ghép được 1 số thỏa mãn yêu cầu bài toán.

\( \Rightarrow n(X) = C_9^5 = 126\).

\(P\left( X \right) = \frac{{126}}{{37216}}\)

Ta có \(n(\Omega ) = 40\). Ta mô phỏng lớp học 40 em này bằng biểu đồ Ven như sau:

Từ biểu đồ Ven, ta thấy tổng số học sinh giỏi ít nhất một trong hai môn Toán, Văn là 20, số học sinh còn lại không giỏi cả Toán lẫn Văn là \(n(B) = 20\).

Suy ra: \(P(B) = \frac{{n(B)}}{{n(\Omega )}} = \frac{{20}}{{40}} = \frac{1}{2}\).

Gọi số học sinh nữ của lớp là \(x,(x \in \mathbb{N};1 \le x \le 30)\).

Chọn ngẫu nhiên 3 từ 30 học sinh có \(C_{30}^3 = 4060\).

Số phần tử của không gian mẫu là \(n(\Omega ) = 4060\).

Gọi \(A\) là biến cố "3 học sinh được chọn có hai nam một nữ".

Ta có \(n(A) = C_x^1 \cdot C_{30 - x}^2\)

Do xác suất chọn được hai nam và một nữ là \(\frac{{12}}{{29}}\) nên ta có phương trình

\(\begin{array}{l}\frac{{C_x^1 \cdot C_{30 - x}^2}}{{4060}} = \frac{{12}}{{29}} \Leftrightarrow C_x^1 \cdot C_{30 - x}^2 = 1680\\ \Leftrightarrow x \cdot \frac{{(30 - x)!}}{{2!(28 - x)!}} = 1680 \Rightarrow x = 14.\end{array}\)

Vậy lớp có 14 học sinh nữ.

Số phần tử không gian mẫu là \(n(\Omega ) = C_{12}^3\).

Gọi \(B\) là biến cố "Lấy được 3 bóng và cả 3 bóng đều hỏng".

Ta có: \(n(B) = C_5^3\). Suy ra \(P(B) = \frac{{n(B)}}{{n(\Omega )}} = \frac{{C_5^3}}{{C_{12}^3}} = \frac{1}{{22}}\).

Ta có: Không gian mẫu là \(n(\Omega ) = 10\) !

Giả sử các ghế được đánh số từ 1 đến 10 .

Để có cách xếp sao cho giữa 2 bạn nữ có đúng 2 bạn nam thì các bạn nữ phải ngồi ở các ghế đánh số \(1,4,7,10\). Có tất cả số cách xếp chỗ ngồi loại này là: 6!.4! cách.

Ta tính số cách sắp xếp chỗ ngồi sao cho Huyền và Quang ngồi cạnh nhau.

Nếu Huyền ngồi ở ghế 1 hoặc 10 thì có 1 cách xếp chỗ ngồi cho Quang. Nếu Huyền ngồi ở ghế 4 hoặc 7 thì có 2 cách xếp chỗ ngồi cho Quang.

Do đó, số cách xếp chỗ ngồi cho Quang và Huyền ngồi liền nhau là \(2 + 2.2 = 6\).

Suy ra, số cách xếp chỗ ngồi cho 10 người sao cho Quang và Huyền ngồi liền nhau là 6.3!.5!.

Gọi A: "Giữa 2 bạn nữ gần nhau có đúng 2 bạn nam, đồng thời Quang không ngồi cạnh Huyền".

Ta có: \(n(A) = 4!.6! - 6.3!.5! = 12960\).

\( \Rightarrow P(A) = \frac{{n(A)}}{{n(\Omega )}} = \frac{{12960}}{{10!}} = \frac{1}{{280}}.\)