Đề kiểm tra Bài tập cuối chương IX lớp 10 (có lời giải) - Đề 2

Biến cố A: “Số chấm xuất hiện trong 2 lần khác nhau”.

Do đó tập hợp các kết quả thuận lợi cho biến cố \(\overline A \) là:

\(\overline A  = \left\{ {\left( {1,1} \right);\left( {2,2} \right);\left( {3,3} \right);\left( {4,4} \right);\left( {5,5} \right);\left( {6,6} \right)} \right\}\).

Gọi \[A\] là biến cố ít nhất một người sút bóng thành công.

Xác suất để cả hai cầu thủ sút bóng không thành công là \(P\left( {\overline A } \right) = 0,2.0,3 = 0,06\)

Do đó xác suất để ít nhất 1 người sút thành công là \(P\left( A \right) = 1 - P\left( {\overline A } \right) = 1 - 0,06 = 0,94\).

Gọi biến cố \(A:\) “Số chấm xuất hiện lớn hơn 1”

Số phần tử không gian mẫu \(n\left( \Omega  \right) = 6\)

Số phần tử của biến cố \(A:\,\,n\left( A \right) = 5\).

Xác suất \(P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}} = \frac{5}{6}\).

a) Không gian mẫu: \(n(\Omega ) = C_{15}^5 = 3003\).

b) Gọi \(A\) là biến cố: "Có đúng 1 bạn nữ".

Số cách chọn 5 bạn trong đó có đúng bạn 01 nữ là (1 nữ, 4 nam) là: \(C_7^1 \cdot C_8^4\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow n(A) = C_7^1 \cdot C_8^4.\\ \Rightarrow P(A) = \frac{{n(A)}}{{n(\Omega )}} = \frac{{490}}{{3003}} = \frac{{70}}{{429}}.\end{array}\)

c) Gọi \(B\) là biến cố: "5 bạn được chọn có 3 nam và 2 nữ".

Số cách chọn 5 bạn trong đó có 3 nam, 2 nữ là: \(C_8^3 \cdot C_7^2\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow n(B) = C_8^3 \cdot C_7^2.\\ \Rightarrow P(B) = \frac{{n(B)}}{{n(\Omega )}} = \frac{{1176}}{{3003}} = \frac{{56}}{{143}}.\end{array}\)

d) Gọi \(C\) là biến cố: "5 bạn được chọn có cả nam lẫn nữ mà nam nhiều hơn nữ "

Trường hơp 1: chọn 4 nam và 1 nữ.

Số cách chọn 5 bạn trong đó có 4 nam, 1 nữ là: \(C_8^4 \cdot C_7^1\).

Trường hợp 2: Chọn 3 nam và 2 nữ.

Số cách chọn 5 bạn trong đó có 3 nam, 2 nữ là: \(C_8^3 \cdot C_7^2\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow n(C) = C_8^4 \cdot C_7^1 + C_8^3 \cdot C_7^2 = 1666.\\ \Rightarrow P(C) = \frac{{n(C)}}{{n(\Omega )}} = \frac{{1666}}{{3003}} = \frac{{238}}{{429}}.\end{array}\)

a) \(C_{13}^5 = 1287\).

b) Có \(C_7^3 \cdot C_6^2 = 525\) cách chọn 5 bạn, có đúng 3 bạn nam.

c) Có \(C_7^3 \cdot C_6^2 + C_7^4 \cdot C_6^1 + C_7^5 = 756\) cách chọn 5 bạn, có ít nhất 3 bạn nam.

d) Có \(C_7^3 \cdot C_6^2 + C_7^2 \cdot C_6^3 + C_7^1 \cdot C_6^4 + C_6^5 = 1056\) cách chọn 5 bạn, có nhiều nhất 3 bạn nam

Cách khác: \(C_{13}^5 = 1287\) cách chọn 5 bạn từ 13 bạn.

\(C_7^4 \cdot C_6^1 + C_7^5 = 231\) cách chọn 5 bạn, có nhiều hơn 3 bạn nam.

Vậy có \(1287 - 231 = 1056\) cách chọn 5 bạn, có nhiều nhất 3 bạn nam

a) Số phần tử của không gian mẫu là \(n(\Omega ) = 10!\).

b) Gọi \(A\) là biến cố: "5 bạn nữ đứng cạnh nhau".

Giả sử ghép 5 bạn nữ thành một nhóm có 5! cách ghép.

Coi 5 bạn nữ này là 1 cụm \(X\).

Khi đó bài toán trở thành xếp 5 bạn học sinh nam và \(X\) thành một hàng dọc.

Khi đó số cách xếp là \(6! \Rightarrow n(A) = 5!.6!\)

Vậy xác suất của biến cố \(A\) là \(P(A) = \frac{{n(A)}}{{n(\Omega )}} = \frac{{5!6!}}{{10!}} = \frac{1}{{42}}\).

c) Gọi \(B\) là biến cố: "Học sinh nam và học sinh nữ đứng cạnh nhau".

Để xếp 5 nam và 5 nữ xếp thành một hàng ngang sao cho học sinh nam và học sinh nữ đứng cạnh nhau thì ta sẽ xếp xen kẽ.

Đánh số 10 vị trí từ 1 đến 10.

Trường hợp 1: Nam đứng vị trí lẻ, nữ đứng các vị trí chã̃n.

Ta có: \(5!.5!\).

Trường hợp 2: Nam đứng vị trí chã̃n, nữ đứng các vị trí lẻ Ta có: \(5!.5\)!.

Vậy có tất cả \(5!.5! + 5!.5! = 2.5!.5!\) cách xếp nam, nữ đứng xen kẽ thành một hàng ngang

Vậy \(P(B) = \frac{1}{{126}}\)

d) Gọi \(C\) biến cố "để 2 người đứng đầu hàng và cuối hàng là nữ".

Số cách chọn 2 bạn nữ xếp ở vị trí đầu hàng và cuối hàng là: \(A_5^2\).

Lúc này, còn lại 3 bạn nữ và 5 bạn nam, số cách xếp 8 người này vào 1 hàng là

Vậy số cách xếp thỏa mãn yêu cầu đề là: \(A_5^2 \cdot 8!\).

Vậy \(P(C) = \frac{2}{9}\)

Hãy xác định số các kết quả thuận lợi cho biến cố "Trong 4 viên bi được chọn có ít nhất 1 bi xanh".

Có \(C_{12}^4\) cách chọn 4 viên bi tùy ý. Có \(C_9^4\) cách chọn 4 viên bi đỏ, vàng. \(C_{12}^4 - C_9^4 = 369\) cách chọn 4 viên bi, có ít nhất 1 bi xanh.

Hãy xác định số các kết quả thuận lợi cho biến cố "Trong 4 viên bi được chọn có ít nhất 2 bi đỏ".

\(C_8^4\) cách chọn 4 viên bi xanh, vàng.

\(C_4^1 \cdot C_8^3\) cách chọn 4 viên, có đúng 1 bi đỏ.

\(C_8^4 + C_4^1 \cdot C_8^3\) cách chọn 4 viên bi, có ít hơn 2 bi đỏ.

\(C_{12}^4 - \left( {C_8^4 + C_4^1 \cdot C_8^3} \right) = 201\) cách chọn 4 viên bi, có ít nhất 2 bi đỏ.

Ta xem 6 viên bi xanh là một nhóm thì có 6! cách xếp. Xếp nhóm 6 viên bi xanh này với 5 viên bi trắng thì có 6! cách xếp. Vậy số kết quả thuận lợi cho biến cố "Sáu viên bi xanh được xếp liền nhau" là: 6!.6! = 518400.

Gọi \(A\) là biến cố: "Có 1 cây bút chì màu đỏ và 1 cây bút chì màu xanh".

Số cách chọn được 1 bút đỏ ở hộp 1, 1 bút xanh ở hộp 2 là: \(C_5^1 \cdot C_4^1\).

Số cách chọn được 1 bút đỏ ở hộp 2, 1 bút xanh ở hộp 1 là: \(C_8^1 \cdot C_7^1\).

\( \Rightarrow n(A) = C_5^1 \cdot C_4^1 + C_8^1 \cdot C_7^1 = 76.\)

Ta có \(n(\Omega ) = 36\).

Gọi \(B\) là biến cố tổng số chấm trên hai viên xúc xắc bằng 12 .

\(B = \{ (6;6)\} \). Do đó, ta có \(n(B) = 1.\)

Vậy xác suất của biến cố \(B\) là: \(P(B) = \frac{{n(B)}}{{n(\Omega )}} = \frac{1}{{36}}\).

Giả sử các vị trí của hàng dọc được đánh số thứ tự từ đầu hàng là \(1,2,3,4,5,6,7,8\). Số cách xếp 8 bạn thành một hàng dọc là \(8! = 40320\).

Xếp các bạn nam và bạn nữ đứng xen kẽ nhau có hai trường hợp:

Truờng hợp 1: Các bạn nam đứng ở các vị trí số lẻ còn các bạn nữ đứng ở các vị trí số chẵn. Số cách xếp như vậy là \(4!.4! = 576\).

Truờng hợp 2: Các bạn nữ đứng ở các vị trí số lẻ còn các bạn nam đứng ở các vị trí số chẵn. Số cách xếp như vậy là \(4! \cdot 4! = 576\).

Vậy xác suất của biến cố “Xếp được các bạn nam và bạn nữ đứng xen kẽ nhau" là: \(\frac{{576 + 576}}{{40320}} = \frac{1}{{35}}\)

Số tam giác được tạo từ 3 đỉnh trong 12 đỉnh là \(C_{12}^3\). Vì vậy \(n(\Omega ) = C_{12}^3\).

Gọi \(A\) : "Chọn được tam giác không có cạnh nào là cạnh của đa giác".

Xét số tam giác có 2 cạnh là cạnh của đa giác:

Các tam giác này sẽ có 3 đỉnh là 3 đỉnh liên tiếp của đa giác tức là có 2 cạnh là 2 cạnh liên tiếp của đa giác, 2 cạnh này cắt nhau tại 1 đỉnh, mà đa giác này có 12 đỉnh nên có 12 tam giác thỏa mãn trường hợp này.

Xét số tam giác có 1 cạnh là cạnh của đa giác:

Trước tiên ta chọn 1 cạnh trong 12 cạnh của đa giác nên có 12 cách chọn.

Tiếp theo chọn 1 đỉnh còn lại trong 8 đỉnh (trừ 2 đỉnh tạo nên cạnh đã chọn và 2 đỉnh liền kể với cạnh đã chọn). Do đó trong trường hợp này có \(8.12\) tam giác.

Số tam giác có ít nhất một cạnh là cạnh của đa giác là \(12 + 8.12 = 108\).

Suy ra: \(n(A) = C_{12}^3 - 108 = 112\). Vậy \(P(A) = \frac{{n(A)}}{{n(\Omega )}} = \frac{{28}}{{55}}\).

Số phần tử không gian mẫu là \(n(\Omega ) = 8\) !.

Gọi \(B\) là biến cố : "Không có hai viên bi xanh nào đứng cạnh nhau".

Sắp xếp trước 5 bi đỏ trên một hàng, có 5 ! cách.

Mỗi cặp bi đỏ kề nhau sẽ có một vị trí giữa, ta có 4 vị trí như vậy, cộng với 2 vị trí đầu, cuối hàng ; vậy có 6 vị trí có thể đặt 3 bi xanh vào để không có hai viên bi xanh nào nằm cạnh nhau.

Suy ra \(n(B) = 5!A_6^3\). Vậy \(P(B) = \frac{{n(B)}}{{n(\Omega )}} = \frac{{5!A_6^3}}{{8!}} = \frac{5}{{14}}\).