Đề kiểm tra Bài tập cuối chương II (có lời giải) - Đề 2
22 câu hỏi
Phần 1. Câu hỏi trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi, thí sinh chỉ chọn 1 phương án.
Trong các điểm sau đây, điểm nào thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}x + 3y - 2 \ge 0\\2x + y + 1 \le 0\end{array} \right.\]
\[\left( {0;1} \right)\].
–1;1.
\[\left( {1;3} \right)\].
–1;0.
Chọn B
Thay toạ độ \(\left( {x;y} \right)\) từ đáp án vào hệ bất phương trình. Ta dễ dàng tìm được đáp án là B
Cho miền gạch chéo như hình vẽ dưới đây
Miền trên đây biểu diễn tập nghiệm của hệ bất phương trình nào?
\(\left\{ \begin{array}{c}2x + y > 1\\ - x + 2y < 2\\3x - y > 6\end{array} \right.\).
\(\left\{ \begin{array}{c}2x + y < 1\\ - x + 2y < 2\\3x - y > - 6\end{array} \right.\).
\(\left\{ \begin{array}{c}2x + y < 1\\ - x + 2y > 2\\3x - y > - 6\end{array} \right.\).
\(\left\{ \begin{array}{c}2x + y > 1\\x - 2y < 2\\3x - y > 6\end{array} \right.\).
Chọn B
Lấy điểm \(B\left( { - 1;1} \right)\) thuộc miền gạch chéo thay vào các đáp án ta thấy Chọn C được thỏa mãn và các Chọn C, B, D không thỏa mãn.
Cho hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}2x + y > 0\\x + 5y - 1 < 0\end{array} \right.\)có tập nghiệm là \(S\). Điểm nào sau đây thuộc tập S.
\(\left( { - 1; - 1} \right) \in S\)
\(\left( {2;5} \right) \in S\).
\(\left( {3; - 1} \right) \in S\)
\(\left( { - 1;\frac{2}{5}} \right) \in S\)
Chọn C
Cách 1:
Ta có biểu diễn miền nghiệm của hệ
Từ biểu diễn miền nghiệm của hệ ta suy ra Chọn C
Cách 2:
Ta thay lần lượt giá trị của x và y vào hệ để kiểm tra:
\(x = 3;y = - 1\)thì\(\left\{ \begin{array}{l}2x + y > 0\\x + 5y - 1 < 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x + y = 5 > 0\\x + 5y - 1 = - 2 < 0\end{array} \right.\) thỏa mãn vậy chọn C
Miền nghiệm của hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x - y > 0\\x - 3y \le - 3\\x + y > 5\end{array} \right.\) không chứa điểm nào sau đây?
\(A\left( {3;2} \right)\).
\(B\left( {6;3} \right)\).
\(C\left( {6;4} \right)\).
\(D\left( {5;4} \right)\).
Chọn A
Xét điểm \(A\left( {3;2} \right)\) ta có \(\left\{ \begin{array}{l}3 - 2 > 0\\3 - 3.2 \le - 3\\3 + 2 > 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 > 0\\ - 3 \le - 3\\5 > 5\end{array} \right.\) không thỏa mãn bất phương trình thứ 3.
Giá trị nhỏ nhất của biết thức trên \(F = y - x\) miền xác định bởi hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x + y \le 2}\\{x - y \le 2}\\{5x + y \ge - 4}\end{array}} \right.\) là
\[\min F = 2\] khi \[x = - 1,{\rm{ }}y = 1\].
\[\min F = 2\] khi \[x = 0,{\rm{ }}y = 2\].
\[\min F = - 2\] khi \[x = 1,{\rm{ }}y = - 1\].
\[\min F = - 1\] khi \[x = 0,{\rm{ }}y = - 1\].
Chọn C
Ta dùng máy tính lần lượt kiểm tra các đáp án để xem đáp án nào thỏa bất phương trình trên.
Ta lần lượt tính hiệu \(F = y - x\) và \(\min F = - 2\) khi\(x = 1,y = - 1\).
Giá trị nhỏ nhất của biết thức \(F = y - x\) trên miền xác định bởi hệ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y - 2x \le 2}\\{2y - x \ge 4}\\{x + y \le 5}\end{array}} \right.\) là:
\(\min F = 1\,khi\,x = 2,\,\,y = 3\).
\(\min F = 2\,khi\,x = 0,\,\,y = 2\).
\(\min F = 3\,khi\,x = 1,\,\,y = 4\).
Không tồn tại giá trị nhỏ nhất của \(F\).
Chọn A
Ta tìm giao điểm của các cặp đường thẳng trong miền xác định của hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y - 2x \le 2}\\{2y - x \ge 4}\\{x + y \le 5}\end{array}} \right.\)
\(\left\{ \begin{array}{l} - 2x + y = 2\\ - x + 2y = 4\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 2\end{array} \right.\) \( \Rightarrow A\left( {0;2} \right)\).
\(\left\{ \begin{array}{l} - 2x + y = 2\\x + y = 5\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{3}{2}\\y = \frac{7}{2}\end{array} \right.\,\) \( \Rightarrow B\left( {\frac{3}{2};\frac{7}{2}} \right)\).
\(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 5\\ - x + 2y = 4\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 3\end{array} \right.\,\) \( \Rightarrow C\left( {2;3} \right)\).
Ta tính giá trị của \(F = y - x\) tại các giao điểm:
Tại \(A\left( {0;2} \right)\)\( \Rightarrow F = 2 - 0 = 2\).
Tại \(B\left( {\frac{3}{2};\frac{7}{2}} \right)\)\( \Rightarrow F = \frac{7}{2} - \frac{3}{2} = 2\).
Tại \(C\left( {2;3} \right)\)\( \Rightarrow F = 3 - 2 = 1\).
Vậy \(\min F = 1\,khi\,x = 2,\,\,y = 3\).
Giá trị lớn nhất của biểu thức\[F\left( {x;y} \right) = x + 2y\], với điều kiện \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{0 \le y \le 4}\\{x \ge 0}\\{x - y - 1 \le 0}\\{x + 2y - 10 \le 0}\end{array}} \right.\) là
\(6\).
\[8\].
\[10\].
\[12\].
Chọn C
Vẽ các đường thẳng
\({d_1}:y = 4\);
\({d_2}:x - y - 1 = 0\); \({d_3}:x + 2y - 10 = 0\);
\(Ox:y = 0;{\rm{ }}Oy:x = 0\).
Các đường thẳng trên đôi một cắt nhau tại \(A\left( {0;4} \right),O\left( {0;0} \right),B\left( {1;0} \right),C\left( {4;3} \right),D(2;4)\)Vì điểm \({M_0}\left( {1;1} \right)\)có toạ độ thoả mãn tất cả các bất pt trong hệ nên ta tô đậm các nửa mặt phẳng bờ \({d_1},{d_2},{d_3},Ox,Oy\) không chứa điểm \({M_0}\). Miền không bị tô đậm là đa giác \(OADCB\)kể cả các cạnh là miền nghiệm của hệ pt đã cho.
Kí hiệu \(F(A) = F\left( {{x_A};{y_A}} \right) = {x_A} + 2{y_A}\), ta có
\(F(A) = 8,\)\(F(O) = 0,\)\[F(B) = 1,\]\[F(C) = 10;\]\[F(D) = 10\],\(0 < 1 < 8 < 10\).
Giá trị lớn nhất cần tìm là \(10\).
Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \[F\left( {x;y} \right) = x - 2y\], với điều kiện \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{0 \le y \le 5}\\{x \ge 0}\\{x + y - 2 \ge 0}\\{x - y - 2 \le 0}\end{array}} \right.\) là
\( - 12\).
\[ - 10\].
\[ - 8\].
\[ - 6\].
Chọn B
Vẽ các đường thẳng \({d_1}:y = 5\);
\({d_2}:x + y - 2 = 0\); \({d_3}:x - y - 2 = 0\);
\(Ox:y = 0;{\rm{ }}Oy:x = 0\).
Các đường thẳng trên đôi một cắt nhau tại \(A\left( {0;5} \right)\)
Vì điểm \({M_0}\left( {2;1} \right)\)có toạ độ thoả mãn tất cả các bất pt trong hệ nên ta tô đậm các nửa mặt phẳng bờ \({d_1},{d_2},{d_3},Ox,Oy\) không chứa điểm \({M_0}\). Miền không bị tô đậm là đa giác \(ABCD\) kể cả các cạnh là miền nghiệm của hệ pt đã cho.
Kí hiệu \(F(A) = F\left( {{x_A};{y_A}} \right) = {x_A} - 2{y_A}\), ta có
\(F(A) = - 10,F(B) = - 4,F(C) = 2;F(D) = - 3\),\( - 10 < - 4 < - 3 < 2\).
Giá trị lớn nhất cần tìm là \( - 10\).
Biểu thức \(F = y - x\) đạt giá trị nhỏ nhất với điều kiện \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 2x + y \le - 2}\\{x - 2y \le 2}\\{x + y \le 5}\\{x \ge 0}\end{array}} \right.\)tại điểm \[S\left( {x;y} \right)\] có toạ độ là
\(\left( {4;1} \right)\).
\(\left( {3;1} \right)\).
\(\left( {2;1} \right)\).
\(\left( {1;1} \right)\).
Chọn A
Cách 1: Thử máy tínhTa dùng máy tính lần lượt kiểm tra các đáp án để xem đáp án nào thỏa hệ bất phương trình trên loại được đáp án D
Ta lần lượt tính hiệu \(F = y - x\) và \(\min F = - 3\) tại \(x = 4,\)\(y = 1\).
Cách 2: Tự luận:
Tọa độ \(A\left( {\frac{7}{3};\frac{8}{3}} \right)\), \(B\left( {\frac{2}{3}; - \frac{2}{3}} \right)\), \(C\left( {4;1} \right)\). Giá trị \(F\) lần lượt tại toạ độ các điểm \(B,C,A\) là \( - \frac{4}{3}, - 3;\frac{1}{3}\). Suy ra \(\min F = - 3\) tại \(\left( {4;1} \right).\)
Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(F = y - x\) trên miền xác định bởi hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y - 2x \le 2}\\{2y - x \ge 4}\\{x + y \le 5}\end{array}} \right.\) là
\(\min F = 1\) khi \(x = 2\), \(y = 3\).
\(\min F = 2\) khi \(x = 0\), \(y = 2\).
\(\min F = 3\) khi \(x = 1\), \(y = 4\).
\(\min F = 0\) khi \(x = 0\), \(y = 0\).
Chọn A
Miền nghiệm của hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y - 2x \le 2}\\{2y - x \ge 4}\\{x + y \le 5}\end{array}} \right.\) là miền trong của tam giác \[ABC\] kể cả biên (như hình)
Ta thấy \(F = y - x\) đạt giá trị nhỏ nhất chỉ có thể tại các điểm \(A\), \(B\), \(C\).
Tại \(A\left( {0; 2} \right)\) thì \(F = 2\).
Tại \(B\left( {1; 4} \right)\) thì \(F = 3\)
Tại \(A\left( {2; 3} \right)\) thì \(F = 1\).
Vậy \(\min F = 1\) khi \(x = 2\), \(y = 3\).
Giá trị nhỏ nhất của biết thức \[F = y - x\] trên miền xác định bởi hệ \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x + y \le 2}\\{x - y \le 2}\\{5x + y \ge - 4}\end{array}} \right.\] là
\[{\rm{min }}F = - 3\] khi \[x = 1,y = - 2\].
\[{\rm{min}}\,F = 0\] khi\[x = 0,y = 0\].
\[{\rm{min }}F = - 2\] khi \[x = \frac{4}{3},y = - \frac{2}{3}\].
\[{\rm{min }}F = 8\] khi \[x = - 2,y = 6\].
Chọn C
Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x + y \le 2}\\{x - y \le 2}\\{5x + y \ge - 4}\end{array}} \right.\] trên hệ trục tọa độ như dưới đây:
![Vậy \[{\rm{min }}F = - 2\] khi \[x = \frac{4}{3},y = - \frac{2}{3}\]. (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/10/12-1760056822.png)
Giá trị nhỏ nhất của biết thức \[F = y - x\] chỉ đạt được tại các điểm
\[A\left( { - 2;6} \right),C\left( {\frac{4}{3}; - \frac{2}{3}} \right),\,B\left( {\frac{{ - 1}}{3};\frac{{ - 7}}{3}} \right)\].
Ta có: \(F\left( A \right) = 8;\,F\left( B \right) = - 2;\,F\left( C \right) = - 2\).
Vậy \[{\rm{min }}F = - 2\] khi \[x = \frac{4}{3},y = - \frac{2}{3}\].
Một xưởng cơ khí có hai công nhân là Chiến và Bình. Xưởng sản xuất loại sản phẩm \(I\) và \(II\). Mỗi sản phẩm \(I\) bán lãi \(500\) nghìn đồng, mỗi sản phẩm \(II\) bán lãi \(400\) nghìn đồng. Để sản xuất được một sản phẩm \(I\) thì Chiến phải làm việc trong \(3\) giờ, Bình phải làm việc trong \(1\) giờ. Để sản xuất được một sản phẩm \(II\) thì Chiến phải làm việc trong \(2\) giờ, Bình phải làm việc trong \(6\) giờ. Một người không thể làm được đồng thời hai sản phẩm. Biết rằng trong một tháng Chiến không thể làm việc quá \(180\) giờ và Bình không thể làm việc quá \(220\) giờ. Số tiền lãi lớn nhất trong một tháng của xưởng là.
\[32\] triệu đồng.
\[35\] triệu đồng.
\[14\] triệu đồng.
\[30\] triệu đồng.
Chọn A
Gọi \(x\), \(y\) lần lượt là số sản phẩm loại \(I\) và loại \(II\) được sản xuất ra. Điều kiện \(x\), \(y\) nguyên dương.
Ta có hệ bất phương trình sau: \(\left\{ \begin{array}{l}3x + 2y \le 180\\x + 6y \le 220\\x > 0\\y > 0\end{array} \right.\)
Miền nghiệm của hệ trên là
Tiền lãi trong một tháng của xưởng là \(T = 0,5x + 0,4y\).
Ta thấy \(T\) đạt giá trị lớn nhất chỉ có thể tại các điểm \(A\), \(B\), \(C\). Vì \(C\) có tọa độ không nguyên nên loại.
Tại \(A\left( {60; 0} \right)\) thì \(T = 30\) triệu đồng.
Tại \(B\left( {40; 30} \right)\) thì \(T = 32\) triệu đồng.
Phần 2. Trắc nghiệm lựa chọn đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Xét tính đúng, sai của các mệnh đề sau
a) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x + y \le 3}\\{3x - 2y \ge 1}\end{array}} \right.\) là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
b) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + 2 \le 0}\\{y - 3 \ge 1}\end{array}} \right.\)là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
c) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + 2y = 2}\\{2x - 3y = - 1}\end{array}} \right.\) là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
d) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x + 5y \le 30}\\{4x - 3y \ge 5}\\{x \ge 0}\\{y \ge 1}\end{array}} \right.\)là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
a) Đúng | b) Đúng | c) Sai | d) Đúng |
Các hệ bất phương trình trong câu a, câu b, câu d là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
Hệ phương trình trong câu c không phải là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
Cho hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + y > 0\\2x + 5y < 0\end{array} \right.\)có tập nghiệm là \(S\). Các mệnh đề sau đúng hay sai?
a) \(\left( {1;1} \right) \in S\).
b) \(\left( { - 1; - 1} \right) \in S\).
c) \(\left( {1; - \frac{1}{2}} \right) \in S\).
d) \(\left( { - \frac{1}{2};\frac{2}{5}} \right) \in S\).
a) Sai | b) Sai | c) Đúng | d) Sai |
Với \(\left( {{x_0};{y_0}} \right) = \left( {1; - \frac{1}{2}} \right)\) ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{x_0} + {y_0} > 0\\2{x_0} + 5{y_0} < 0\end{array} \right.\) đúng nên \(\left( {{x_0};{y_0}} \right) = \left( {1; - \frac{1}{2}} \right)\) là một nghiệm của hệ.
Cho hệ bất phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}x - y > 3\\1 - \frac{1}{2}x + y > 0\end{array} \right.\] có tập nghiệm \[S\]. Các mệnh đề sau đúng hay sai?
a) \[\left( {7;3} \right) \in S\].
b) \[\left( {2\,;1} \right) \in S\].
c) \[\left( {5\,; - 6} \right) \in S\].
d) \[\left( {1\,; - 2} \right) \in S\].
a) Đúng | b) Sai | c) Sai | d) Sai |
Thay lần lượt các giá trị của \(x,y\) trong từng đáp án vào hệ bất phương trình:
Với \(x = 7;y = 3\) ta được \(\left\{ \begin{array}{l}7 - 3 > 3\\1 - \frac{1}{2}.7 + 3 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4 > 3\\\frac{1}{2} > 0\end{array} \right.\), cả hai bất phương trình đúng nên khẳng định a đúng.
Với \(x = 2;y = 1\) ta được \(\left\{ \begin{array}{l}2 - 1 > 3\\1 - \frac{1}{2}.2 + 1 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 > 3\\1 > 0\end{array} \right.\), một bất phương trình sai nên khẳng định b sai.
Với \(x = 5;y = - 6\) ta được \(\left\{ \begin{array}{l}5 - \left( { - 6} \right) > 3\\1 - \frac{1}{2}.5 + \left( { - 6} \right) > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}11 > 3\\ - \frac{{15}}{2} > 0\end{array} \right.\), một bất phương trình sai nên khẳng định c sai.
Với \(x = 1;y = - 2\) ta được \(\left\{ \begin{array}{l}1 - \left( { - 2} \right) > 3\\1 - \frac{1}{2}.1 + \left( { - 2} \right) > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3 > 3\\ - \frac{3}{2} > 0\end{array} \right.\), Cả hai bất phương trình sai nên khẳng định d sai.
Cho bất phương trình \[x - 2y > - 5\] có tập nghiệm là \[S\]. Mệnh đề sau đúng hay sai?
a) \[\left( {1;\,3} \right) \in S\].
b) \[\left( {0;\,2} \right) \notin S\].
c) \[\left( {2;\,2} \right) \in S\].
d) \[\left( { - 2;\,2} \right) \in S\].
a) Sai | b) Sai | c) Đúng | d) Sai |
Thế tọa độ \[\left( {1;\,3} \right)\] vào bất phương trình: \[x - 2y > - 5\] ta được \[1 - 2.3 > - 5\] nên \[\left( {1;\,3} \right) \notin S\]
Thế tọa độ \[\left( {0;\,2} \right)\] vào bất phương trình: \[x - 2y > - 5\] ta được \[0 - 2.2 > - 5\] nên \[\left( {0;\,2} \right) \in S\]
Thế tọa độ \[\left( {2;\,2} \right)\] vào bất phương trình: \[x - 2y > - 5\] ta được \[2 - 2.4 > - 5\] nên \[\left( {2;\,2} \right) \in S\].
Thế tọa độ \[\left( { - 2;\,2} \right)\] vào bất phương trình: \[x - 2y > - 5\] ta được \[ - 2 - 2.4 > - 5\] nên \[\left( { - 2;\,2} \right) \notin S\].
Phần 3. Câu hỏi trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6
Trong mặt phẳng \(Oxy, cho tứ giác ABCD có \(A( - 3;0);B(0;2);C(3;1);D(3; - 2)\). Tìm tất cả các giá trị của \(m\) sao cho điểm \(M(m;m - 1)\) nằm trong hình tứ giác \(ABCD\) kể cả 4 cạnh.
Trong mặt phẳng \(Oxy\), cho tứ giác \(ABCD\) có \(A( - 3;0);B(0;2);C(3;1);D(3; - 2)\). Tìm tất cả các giá trị của \(m\) sao cho điểm \(M(m;m - 1)\) nằm trong hình tứ giác \(ABCD\) kể cả 4 cạnh.
Nhận thấy hình tứ giác \(ABCD\) tính cả 4 cạnh của nó là miền nghiệm của hệ bất phương trình gồm 4 bất phương trình có miền nghiệm là nửa mặt phẳng chứa điểm \(O(0;0)\) và lần lượt có các bờ là các đường thẳng \(AB,BC,CD\) và \(DA\).
Phương trình đường thẳng \(AB\):
\(\frac{{x + 3}}{{0 - ( - 3)}} = \frac{{y - 0}}{{2 - 0}} \Leftrightarrow 2x - 3y + 6 = 0.{\rm{ }}\)
Bất phương trình có miền nghiệm là là nửa mặt phẳng bờ \(AB\) (tính cả bờ \(AB\)) và chứa điểm \(O\) là \(2x - 3y + 6 \ge 0\).
Phương trình đường thẳng \(BC:\frac{{x - 0}}{{3 - 0}} = \frac{{y - 2}}{{1 - 2}} \Leftrightarrow x + 3y - 6 = 0\). Bất phương trình có miền nghiệm là là nửa mặt phẳng bờ \(BC\) (tính cả bờ \(BC\)) và chứa điểm \(O\) là \(x + 3y - 6 \le 0\).
Phương trình đường thẳng \(CD:x - 3 = 0\). Bất phương trình có miền nghiệm là là nửa mặt phẳng bờ \(CD\) (tính cả bờ \(CD\)) và chứa điểm \(O\) là \(x - 3 \le 0\).
Phương trình đường thẳng \(DA:\frac{{x + 3}}{{3 - ( - 3)}} = \frac{{y - 0}}{{ - 2 - 0}} \Leftrightarrow x + 3y + 3 = 0\). Bất phương trình có miền nghiệm là là nửa mặt phẳng bờ \(DA\) (tính cả bờ \(DA\) ) và chứa điểm \(O\) là \(x + 3y + 3 \ge 0\).
Hình tứ giác \(ABCD\) tính cả 4 cạnh của nó là miền nghiệm của hệ bất phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x - 3y + 6 \ge 0}\\{x + 3y - 6 \le 0}\\{x - 3 \le 0}\\{x + 3y + 3 \ge 0}\end{array}} \right.(1)\)
Điểm \(M(m;m - 1)\) nằm trong hình tứ giác \(ABCD\) tính cả 4 cạnh của nó khi và chỉ khi \((m;m - 1)\) là một nghiệm của hệ \((1)\), tức là
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2m - 3(m - 1) + 6 \ge 0}\\{m + 3(m - 1) - 6 \le 0}\\{m - 3 \le 0}\\{m + 3(m - 1) + 3 \ge 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m \le 9}\\{m \le \frac{9}{4}}\\{m \le 3}\\{m \ge 0}\end{array} \Leftrightarrow 0 \le m \le \frac{9}{4}} \right.} \right.\)
Vậy các giá trị của \(m\) thỏa mãn là \(0 \le m \le \frac{9}{4}\).
Trong một đợt dã ngoại, một trường học cần thuê xe chở 180 người và 8 tấn hàng. Nơi thuê xe có hai loại xe \(A\) và \(B\), trong đó xe \(A\) có 10 chiếc và xe \(B\) có 9 chiếc. Một xe loại \(A\) cho thuê với giá 5 triệu đồng và một xe loại \(B\) cho thuê với giá 4 triệu đồng. Biết rằng mỗi xe loại \(A\) có thể chở tối đa 30 người và 0,8 tấn hàng, mỗi xe loại \(B\) có thể chở tối đa 20 người và 1,6 tấn hàng. Tìm số xe mỗi loại sao cho chi phí thuê là thấp nhất.
Gọi \(x,y(xe)\) lần lượt là số xe loại \(A\) và \(B\) cần thuê.
Khi đó, số tiền cần bỏ ra để thuê xe là \(F(x;y) = 5x + 4y\) (triệu đồng)
Ta có \(x\) xe loại \(A\) chở được \(30x\) người và \(0,8x\) tấn hàng; \(y\) xe loại \(B\) chở được \(20y\) người và \(1,6y\) tấn hàng.
Suy ra \(x\) xe loại \(A\) và \(y\) xe loại \(B\) chở được \(30x + 20y\) người và \(0,8x + 1,6y\) tấn hàng.
Ta có hệ bất phương trình sau: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{30x + 20y \ge 180}\\{0,8x + 1,6y \ge 8}\\{0 \le x \le 10}\\{0 \le y \le 9}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3x + 2y \ge 18}\\{x + 2y \ge 10}\\{0 \le x \le 10}\\{0 \le y \le 9}\end{array}} \right.} \right.\) (*)
Bài toán trở thành tìm giá trị nhỏ nhất của \(F(x;y)\) trên miền nghiệm của hệ (*).
Miền nghiệm của hệ \((*)\) là tứ giác \(ABCD\) (kể cả bờ)
Tìm tọa độ các điểm \(A,B,C,D\).
Tọa độ điểm \(A\) là nghiệm của hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3x + 2y - 18 = 0}\\{y = 9}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0}\\{y = 9}\end{array}} \right.} \right.\). Vậy \(A(0;9)\).
Tọa độ điểm \(B\) là nghiệm của hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3x + 2y - 18 = 0}\\{x + 2y - 10 = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 4}\\{y = 3}\end{array}} \right.} \right.\). Vậy \(B(4;3)\).
Tọa độ điểm \(C\) là nghiệm của hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 10}\\{x + 2y - 10 = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 10}\\{y = 0}\end{array}} \right.} \right.\). Vậy \(C(10;0)\).
Tọa độ điểm \(D\) là nghiệm của hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 10}\\{y = 9}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 10}\\{y = 9}\end{array}} \right.} \right.\). Vậy \(D(10;9)\).
Ta thấy \(F(x;y) = 5x + 4y\) đạt giá trị nhỏ nhất chỉ có thể tại các điểm \(A,B,C,D\).
Tại \(A(0;9)\) thì \(F = 36\) (triệu đồng).
Tại \(B(4;3)\) thì \(F = 32\) (triệu đồng).
Tại \(C(10;0)\) thì \(F = 50\) (triệu đồng).
Tại \(D(10;9)\) thì \(F = 86\) (triệu đồng).
Như vậy để chi phí thấp nhất cần thuê 4 xe loại \(A\) và 3 xe loại \(B\).
Một gia đình cần ít nhất 1200 đơn vị protein và 800 đơn vị lipit trong thức ăn mỗi ngày. Mỗi kilogam thịt bò chứa 800 đơn vị protein và 200 đơn vị lipit. Mỗi kilogam thịt lợn chứa 600 đơn vị protein và 400 đơn vị lipit. Biết rằng gia đình này chỉ mua nhiều nhất \(2,0\;kg\) thịt bò và \(1,5\;kg\) thịt lợn. Giá tiền \(1\;kg\) thịt bò là 200 nghìn đồng, \(1\;kg\) thịt lợn là 100 nghìn đồng. Gọi \(x,y\) lần lượt là số \(kg\) thịt bò và thịt lợn mà gia đình đó cần mua để tổng số tiền họ phải trả là ít nhất mà vẫn đảm bảo lượng protein và lipit trong thức ăn. Tính \(4{x^2} + {y^2}\).
Điều kiện: \(0 \le x \le 2;0 \le y \le 1,5\)
Khi đó số protein có được là \(800x + 600y\) và số lipit có được là \(200x + 400y\)
Vì gia đình đó cần ít nhất 1200 đơn vị protein và 800 đơn vị lipit trong thức ăn mỗi ngày nên điều kiện tương ứng là:
\(800x + 600y \ge 1200 \Leftrightarrow 4x + 3y \ge 6{\rm{ v\`a }}200x + 400y \ge 800 \Leftrightarrow x + 2y \ge 4\)
Ta có hệ bất phương trình sau:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{0 \le x \le 2}\\{0 \le y \le 1,5}\\{4x + 3y \ge 6}\\{x + 2y \ge 4}\end{array}} \right.\)(*)
Miền nghiệm của hệ trên là miền ngũ giác \(ABCDE\) kể cả các cạnh của ngũ giác.
Chi phí để mua \(x\;kg\) thịt bò và \(y\;kg\) thịt lợn là \(T = 200x + 100y\) (nghìn đồng).
Bài toán trở thành tìm giá trị nhỏ nhất của \(T(x;y) = 200x + 100y\) trên miền nghiệm của hệ \((*)\).
Tìm tọa độ các điểm \(A,B,C,D,E\).
Tọa độ điểm \(A\) là nghiệm của hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{4x + 5y - 6 = 0}\\{y = \frac{3}{2}}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \frac{3}{8}}\\{y = \frac{3}{2}}\end{array}} \right.} \right.\). Vậy \(A\left( {\frac{3}{8};\frac{3}{2}} \right)\).
Tọa độ điềm \(C\) là nghiệm của hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2}\\{y = 0}\end{array}} \right.\). Vậy \(C(2;0)\).
Tọa độ điểm \(D\) là nghiệm của hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2}\\{x + 2y - 4 = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2}\\{y = 1}\end{array}} \right.} \right.\). Vậy \(D(2;1)\).
Tọa độ điểm \(E\) là nghiệm của hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + 2y - 4 = 0}\\{y = \frac{3}{2}}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1}\\{y = \frac{3}{2}}\end{array}} \right.} \right.\). Vậy \(E\left( {1;\frac{3}{2}} \right)\).
Ta thấy \(T(x;y) = 200x + 100y\) đạt giá trị nhỏ nhất chỉ có thể tại các điểm \(A,B,C,D,E\).
Tại \(A\left( {\frac{3}{8};\frac{3}{2}} \right)\) thì \(T = 200 \cdot \frac{3}{8} + 100 \cdot \frac{3}{2} = 225\) (nghìn đồng).
Tại \(B\left( {\frac{3}{2};0} \right)\) thì \(T = 200 \cdot \frac{3}{2} + 100 \cdot 0 = 300\) (nghìn đồng).
Tại \(C(2;0)\) thì \(T = 200.2 + 100.0 = 400\) (nghìn đồng).
Tại \(D(2;1)\) thì \(T = 200.2 + 100.1 = 500\) (nghìn đồng).
Tại \(E\left( {1;\frac{3}{2}} \right)\) thì \(T = 200.1 + 100 \cdot \frac{3}{2} = 350\) (nghìn đồng).
Như vậy để chi phí bỏ ra thấp nhất mà vẫn đảm bảo nhu cầu dinh dưỡng khi \(x = \frac{3}{8}\) và \(y = \frac{3}{2} \Rightarrow 4{x^2} + {y^2} = 4 \cdot {\left( {\frac{3}{8}} \right)^2} + {\left( {\frac{3}{2}} \right)^2} = \frac{{45}}{{16}}\).
Một hộ nông dân định trồng bắp và khoai lang trên diện tích 4ha. Trên diện tích mỗi \(ha\), nếu trồng bắp thì cần 10 công và thu 2 triệu đồng, nếu trồng khoai lang thì cần 15 công và thu 2,5 triệu đồng. Hỏi cần trồng mỗi loại cây trên với diện tích là bao nhiêu ha để thu được nhiều tiền nhất, biết rằng tổng số công không quá 45 công.
Gọi \(x,y(ha)\) lần lượt là số \[ha\] trồng bắp và khoai lang.
Điều kiện \(0 \le x \le 4;0 \le y \le 4;x + y \le 4\); \(10x + 15y \le 45 \Rightarrow 2x + 3y \le 9\)
Số tiền thu được là \(T(x,y) = 2x + 2,5y\) (triệu đồng).
Ta có hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{0 \le x \le 4}\\{0 \le y \le 4}\\{x + y \le 4}\\{2x + 3y \le 9}\end{array}} \right.\)\((*)\)
Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của \(T(x;y) = 2x + 2,5y\) trên miền nghiệm của hệ \((*)\).
Tìm tọa độ các điểm \(O,A,B,C\).
Tọa độ điểm \(A\) là nghiệm của hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0}\\{2x + 3y - 9 = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0}\\{y = 3}\end{array}} \right.} \right.\). Vậy \(A(0;3)\).
Tọa độ điểm \(B\) là nghiệm của hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y - 4 = 0}\\{2x + 3y - 9 = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 3}\\{y = 1}\end{array}} \right.} \right.\). Vậy \(B(3;1)\).
Tọa độ điểm \(C\) là nghiệm của hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y - 4 = 0}\\{y = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 4}\\{y = 0}\end{array}} \right.} \right.\). Vậy \(C(4;0)\).
Tọa độ điểm \(O(0;0)\).
Ta thấy \(T(x;y) = 2x + 2,5y\) đạt giá trị lớn nhất chỉ có thể tại các điểm \(O,A,B,C\).
Tại \(A(0;3)\) thì \(T = 2.0 + 2,5.3 = 7,5\) (triệu đồng).
Tại \(B(3;1)\) thì \(T = 2.3 + 2,5.1 = 8,5\) (triệu đồng).
Tại \(C(4;0)\) thì \(T = 2.4 + 2,5.0 = 8\) (triệu đồng).
Tại \(O(0;0)\) thì \(T = 2.0 + 2,5.0 = 0\) (triệu đồng).
Vậy cần trồng \(3ha\) bắp và \(1ha\) khoai lang để thu được số tiền nhiều nhất.
Người ta dùng hai loại nguyên liệu để chiết xuất ít nhất \(160\;kg\) hóa chất \(A\) và \(12\;kg\) hóa chất \(B\). Từ mỗi tấn nguyên liệu loại \(I\) giá 5 triệu đồng có thể chiết xuất được \(25\;kg\) chất \(A\) và \(1,2\;kg\) chất \(B\). Từ mỗi tấn nguyên liệu loại \(II\) giá 4 triệu đồng có thể chiết xuất được \(20\;kg\) chất \(A\) và \(2\;kg\) chất \(B\). Hỏi phải dùng bao nhiêu tấn nguyên liệu mỗi loại để chi phí mua nguyên liệu là ít nhất. Biết rằng cơ sở cung cấp nguyên liệu chỉ có thể cung cấp không quá 9 tấn nguyên liệu loại \(I\) và không quá 7 tấn nguyên liệu loại \(II\).
Gọi \(x,y\) (tấn) lần lượt là số tấn nguyên liệu loại \(I\) và loại \(II\) cần sử dụng.
Điều kiện \(0 \le x \le 9;0 \le y \le 7\).
Khi đó số kg chất \(A\) thu được là: \(25x + 20y\)
Số kg chất \(B\) thu được là: \(1,2x + 2y\)
Ta có hệ bất phương trình
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{0 \le x \le 9}\\{0 \le y \le 7}\\{25x + 20y \ge 160}\\{1,2x + 2y \ge 12}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{0 \le x \le 9}\\{0 \le y \le 7}\\{5x + 4y \ge 32}\\{3x + 5y \ge 30}\end{array}} \right.} \right.\)
Chi phí mua nguyên liệu là:
\(T(x;y) = 6x + 4y\) (triệu đồng).
Bài toán trở thành tìm giá trị nhỏ nhất của \(T(x;y) = 5x + 4y\) trên miền nghiệm của hệ (*).
Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền được tô màu như hình vẽ.
Một gia đình cần ít nhất \(900\) đơn vị protein và \(400\) đơn vị lipit trong thức ăn mỗi ngày. Mỗi kg thịt lợn chứa \(800\) đơn vị protein và \(200\)đơn vị lipit. Mỗi kg cá chứa \(600\) đơn vị protein và \(400\)đơn vị lipit. Biết rằng gia đình này chỉ mua tối đa \(1,6\) kg thịt lợn và \(1,1\) kg thịt cá. Giá tiền \(1\) kg thịt lợn là \(45\) nghìn đồng và \(1\) kg thịt cá là \(35\) nghìn đồng. Hỏi gia đình đó phải mua bao nhiêu kg mỗi loại để số tiền bỏ ra ít nhất.
Giả sử gia đình đó mua \[x\] (kg) thịt lợn và \[y\] (kg) thịt cá,
Theo giả thiết, \[x\] và \[y\] cần thỏa mãn điều kiện: \[0 \le x \le 1,6;\,\,\,0 \le y \le 1,1\]
Khi đó, số đơn vị protein có được là: \[800x + 600y\;\] và số đơn vị lipit có được là \[200x + 400y\]
Vì gia đình đó cần ít nhất \[400\] đơn vị lipit trong thức ăn mỗi ngày nên điều kiện tương ứng là:
\[800x + 600y \ge 900\;v\`a \;200x + 400y \ge 400\]
Hay gọn hơn ta có:
\[4x + 3y \ge 4,5\;v\`a \;x + 2y \ge 2\]
Vậy các điều kiện mà \[x\] và y thỏa mãn là:
\(\left( I \right) \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{0 \le x \le 1,6}\\{0 \le y \le 1,1}\\{4x + 3y \ge 4,5}\\{x + 2y \ge 2}\end{array}} \right.\) Miền nghiệm của hệ trên miền tứ giác \[ABCD\] (kể cả biên) trên hình.
![Vậy gia đình đó mua \[0,6\] kg thịt lợn và \[0, (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/10/18-1760057273.png)
Chi phí để mua \[x\] (kg) thịt lợn và \[y\] (kg) cá là:
\[T = 45x + 35y\;\] (nghìn đồng)
Ta cần tìm \[\left( {x;y} \right)\] sao cho \[T\] nhỏ nhất
Ta biết \[T\] đạt giá trị nhỏ nhất tại một trong các đỉnh của tứ giác \[ABCD\].
Tại \[A\left( {0,6;0,7} \right)\]ta có \[T = 45.0,6 + 35.0,7 = 51,5\] (nghìn đồng)
Tại \[B\left( {1,6;0,2} \right)\] ta có \[T = 45.1,6 + 35.02 = 79\] (nghìn đồng)
Tại \[C\left( {1,6;1,1} \right)\;\] ta có\[T = 4,5.1,6 + 35.1,1 = 110,5\;\] (nghìn đồng)
Tại \[D\left( {0,3;1,1} \right)\] ta có\[T = 45.0,3 + 35.11 = 52\] (nghìn đồng)
Vậy khi \[x = 0,6\,v\`a \;\,y = 0,7\;\] thì \[T\] đạt giá trị nhỏ nhất
Vậy gia đình đó mua \[0,6\] kg thịt lợn và \[0,7\] kg cá thì chi phí ít nhất (cụ thể, chi phí là \[51,5\] nghìn đồng).
