Đề kiểm tra Bài tập cuối chương 9 (có lời giải) - Đề 1

Gọi \[K\]là biến cố “Ném được vòng vào cổ chai”, \[{A_1}\] là biến cố “Ném được vòng vào cổ chai lần đầu”, \[{A_2}\] là biến cố “Ném được vòng vào cổ chai lần thứ 2”, \[{A_3}\] là biến cố “Ném được vòng vào cổ chai lần thứ ba”.

\[ \Rightarrow P\left( K \right) = P\left( {{A_1}} \right) + P\left( {\overline {{A_1}} {A_2}} \right) + P\left( {\overline {{A_1}{A_2}} {A_3}} \right) = P\left( {{A_1}} \right) + P\left( {\overline {{A_1}} } \right)P\left( {{A_2}} \right) + P\left( {\overline {{A_1}} } \right)P\left( {\overline {{A_2}} } \right)P\left( {{A_3}} \right)\]\[ = 0,75 + 0,25.0,6 + 0,25.0,4.0,3 = 0,81\]

Gọi các biến cố:

\[A,{\rm{ }}B,{\rm{ }}C\]lần lượt là biến cố An thắng, Bình thắng, Nam thắng.

\[{A_n}\]: “ An thắng nhờ bắn trúng mục tiêu ở lượt bắn thứ \[n\]của mình”

\[{B_n}\]: “ Bình thắng nhờ bắn trúng mục tiêu ở lượt bắn thứ \[n\]của mình”

\[{C_n}\]: “ Nam thắng nhờ bắn trúng mục tiêu ở lượt bắn thứ \[n\]của mình”

Khi đó: \[A = {A_1} \cup {A_2} \cup {A_3} \cup ...\] và \[{A_1},{\rm{ }}{A_2},{\rm{ }}{A_3},\]… đôi một xung khắc.

Để \[{A_n}\]xảy ra thì ở \[n - 1\]lượt phi tiêu đầu cả An, Bình, Nam đều phi trượt và An phi trúng ở lượt phi tiêu thứ \[n\]của mình. Ta có: \[P({A_n}) = {(0,8.0,6.0,4)^{n - 1}}.0,2 = 0,{192^{n - 1}}.0,2\]

Vậy dãy số \[P\left( {{A_n}} \right)\]là cấp số nhân lùi vô hạn với công bội \[0,192\] và số hạng đầu bằng \[0,2\].

Do đó xác suất để An giành chiến thắng là \[P(A) = P({A_1}) + P({A_2}) + P({A_3}) + ... = \frac{{0,2}}{{1 - 0,192}} = \frac{{25}}{{101}}\]

Tương tự ta có: \[P({B_n}) = {(0,8.0,6.0,4)^{n - 1}}.0,8.0,4 = 0,{192^{n - 1}}.0,32\] và \[P(B) = \frac{{40}}{{101}}\]

\[P({C_n}) = {(0,8.0,6.0,4)^{n - 1}}.0,8.0,6.0,6 = 0,{192^{n - 1}}.0,288\] và \[P(C) = \frac{{36}}{{101}}\]

Từ đó \[{P_2} > {P_3} > {P_1}.\]

a) Biến cố  là "Số chấm xuất hiện trên xúc xấc ở lần thứ nhất là số chẵn".

Biến cố  là "Số chấm xuất hiện trên xúc xấc ở lần thứ hai nhỏ hơn hoă̆c bằng 3 "

Gọi \(A\) là biến cố "Rút được một thẻ đánh số chẵn và một thẻ đánh số lẻ", \(B\) là biến cố "Rút được hai thẻ đều đánh số chẵn”.

Khi đó biến cố "Tích hai số ghi trên hai thẻ là một số chẵn" là \(A \cup B\).

Do hai biến cố xung khắc nên \(P(A \cup B) = P(A) + P(B)\).

Vì có 10 số chẵn và 10 số lẻ nên ta có:

\(P(A) = \frac{{C_{10}^1 \cdot C_{10}^1}}{{C_{20}^2}} = \frac{{10}}{{19}},P(B) = \frac{{C_{10}^2}}{{C_{20}^2}} = \frac{9}{{38}}{\rm{. }}\)

Do đó, \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) = \frac{{10}}{{19}} + \frac{9}{{38}} = \frac{{29}}{{38}}\).

Số phần tử của không gian mẫu: \[n\left( \Omega  \right) = A_{10}^3 = 720\].

Gọi \[A\] là biến cố cần tính xác suất. Khi đó: các bộ số có tổng bằng \[10\] và khác nhau là:

\[\left\{ {\left( {0;1;9} \right);\left( {0;2;8} \right);\left( {0;3;7} \right);\left( {0;4;6} \right);\left( {1;2;7} \right);\left( {1;3;6} \right);\left( {1;4;5} \right);\left( {2;3;5} \right)} \right\}\].

a) Bấm lần thứ nhất là đúng luôn thì xác suất là \[\frac{8}{{C_{10}^3}} = \frac{8}{{120}}\].

b) Bấm đến lần thứ hai là đúng thì xác suất là: \[\left( {1 - \frac{8}{{120}}} \right).\frac{8}{{119}}\] ( vì trừ đi lần đâu bị sai nên không gian mẫu chỉ còn là \[120 - 1 = 119\]).

c) Bấm đến lần thứ ba mới đúng thì xác suất là: \[\left( {1 - \frac{8}{{120}}} \right)\left( {1 - \frac{8}{{119}}} \right)\frac{8}{{118}}\].

d) Xác suất để B mở được cửa phòng học đó biết rằng để nếu bấm sai \[3\] lần liên tiếp cửa sẽ tự động khóa lại là: \[\frac{8}{{120}} + \left( {1 - \frac{8}{{120}}} \right).\frac{8}{{119}} + \left( {1 - \frac{8}{{120}}} \right)\left( {1 - \frac{8}{{119}}} \right)\frac{8}{{118}} = \frac{{189}}{{1003}}\].

Theo giả thiết hai người ngang tài ngang sức nên xác suất thắng thua trong một ván đấu là \[0,5;0,5\]

Xét tại thời điểm người chơi thứ nhất đã thắng \[4\] ván và người chơi thứ hai thắng \[2\] ván.

Để người thứ nhất chiến thắng thì người thứ nhất cần thắng 1 ván và người thứ hai thắng không quá hai ván.

Có ba khả năng:

a) Đánh 1 ván. Người thứ nhất thắng xác suất là \[0,5\].

b) Đánh 2 ván. Người thứ nhất thắng ở ván thứ hai xác suất là \[{\left( {0,5} \right)^2}\].

c) Đánh 3 ván. Người thứ nhất thắng ở ván thứ ba xác suất là \[{\left( {0,5} \right)^3}\].

d) xác suất để người chơi thứ nhất giành chiến thắng vậy \[P = 0,5 + {\left( {0,5} \right)^2} + {\left( {0,5} \right)^3} = \frac{7}{8}.\].

Số trường hợp thuận lợi của biến cố \(A:A = \{ (4;6);(5;5);(6;4)\} \).

Xác suất của biến cố \(A:P(A) = \frac{3}{{36}} = \frac{1}{{12}}\).

\(P(AB) = P(A)P(B) \Leftrightarrow 0,15 = 0,5P(B) \Rightarrow P(B) = 0,3\).

\(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(AB) = 0,5 + 0,3 - 0,15 = 0,65.{\rm{ }}\)

\(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(AB) \Leftrightarrow 0,6 = P(A) + 0,3 - 0,3P(A) \Rightarrow P(A) = \frac{3}{7}\).

a) Gọi \(A\) là biến cố: "An đạt điểm giỏi về môn Toán".

Gọi \(B\) là biến cố: "Bình đạt điểm giỏi về môn Toán".

Dễ thấy \(A,B\) là hai biến cố độc lập, khi đó \(AB\) là biến cố: "Cả An và Bình đều đạt điểm giỏi môn Toán".

Ta có: \(P(AB) = P(A) \cdot P(B) = 0,92 \cdot 0,88 = 0,8096\).

b) Ta có \(\bar A\bar B\) là biến cố: "Cả An và Bình đều không đạt điểm giỏi môn Toán".

Vì hai biến cố \(\bar A,\bar B\) độc lập nên: \(P(\overline {AB} ) = P(\bar A) \cdot P(\bar B) = 0,08 \cdot 0,12 = 0,0096\).

a) Gọi \(A\) là biến cố: "Xạ thủ thứ nhất bắn trúng bia" và \(B\) là biến cố: "Xạ thủ thứ hai bắn trúng bia". Khi đó \(A,B,\bar A,\bar B\) là các biến cố độc lập đôi một với nhau.

Ta có: \(P(\bar A) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2},P(\bar B) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}\).

Xác suất biến cố \(A\bar B\) là: \(P(A\bar B) = P(A) \cdot P(\bar B) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} = \frac{1}{3}\).

b) Xác suất của biến cố \(\bar A\bar B\) là: \(P(\bar A\bar B) = P(\bar A) \cdot P(\bar B) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} = \frac{1}{3}\).