Hướng dẫn giải:

Số tấn thóc còn lại trong kho là: \(\frac{{15}}{2} - \frac{{11}}{4} - \frac{{27}}{8} = \frac{{60}}{8} - \frac{{22}}{8} - \frac{{27}}{8} = \frac{{11}}{8}\) (tấn thóc).

Hướng dẫn giải:

Số lít dầu lấy ra lần thứ nhất là:

\(120 \cdot \frac{3}{{10}} = 36\) (lít).

Số lít dầu lấy ra lần thứ hai là:

\(\frac{1}{4} \cdot \left( {120 - 36} \right) = 21\) (lít).

Số lít dầu còn lại cuối cùng là:

\(120 - 36 - 21 = 63\) (lít).

Hướng dẫn giải:

Số học sinh có kết quả học tập Tốt là:

\(40 \cdot \frac{1}{5} = 8\) (học sinh).

Số học sinh còn lại là:

\(40 - 8 = 32\) (học sinh).

Số học sinh có kết quả học tập ở mức Đạt là:

\(32 \cdot \frac{3}{8} = 12\) (học sinh).

Số học sinh có kết quả học tập Khá là:

\(32 - 12 = 20\) (học sinh).

Hướng dẫn giải:

a) Doanh thu của nhóm I là:

\(\frac{2}{5} \cdot 120 = 48\) (triệu đồng).

Doanh thu của nhóm II là:

\(\frac{2}{3} \cdot 48 = 32\) (triệu đồng).

Doanh thu của nhóm III là:

\(120 - 48 - 32 = 40\) (triệu đồng).

b) Xếp hạng thứ tự doanh thu từ cao đến thấp: Nhóm I > nhóm III > nhóm II.

Nhóm có doanh thu cao nhất phòng Kinh doanh là nhóm I.

Hướng dẫn giải:

a) Diện tích bể bơi chiếm số phần diện tích khu đất là:

\(1 - \frac{1}{3} - \frac{3}{7} = \frac{{21}}{{21}} - \frac{7}{{21}} - \frac{9}{{21}} = \frac{5}{{21}}\) (diện tích khu đất).

b) Diện tích khu đất là:

\(60:\frac{5}{{21}} = 252{\rm{\;}}\left( {{{\rm{m}}^2}} \right).\)

Diện tích xây nhà là:

\(252 \cdot \frac{1}{3} = 84{\rm{\;}}\left( {{{\rm{m}}^2}} \right).\)

Hướng dẫn giải:

Tổ 3 trồng được chiếm số phần tổng số cây cả lớp trồng được là:

\(1 - \frac{1}{3} - \frac{5}{{12}} = \frac{{12}}{{12}} - \frac{4}{{12}} - \frac{5}{{12}} = \frac{3}{{12}} = \frac{1}{4}\) (số cây cả lớp trồng được).

Số cây cả lớp trồng được là:

\(30:\frac{1}{4} = 120\) (cây).

Số cây tổ 1 trồng được là:

\(120 \cdot \frac{1}{3} = 40\) (cây).

Số cây tổ 2 trồng được là:

\(120 - 40 - 30 = 50\) (cây).

Hướng dẫn giải:

Số quýt chiếm số phần tổng số quả là:

\(\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{5} = \frac{1}{5}\) (tổng số quả).

Số táo chiếm số phần tổng số quả là:

\(1 - \frac{2}{5} - \frac{1}{5} = \frac{2}{5}\) (tổng số quả).

Tổng số quả có trong giỏ là:

\(20:\frac{2}{5} = 20 \cdot \frac{5}{2} = 50\) (quả).

Số quả cam có trong giỏ là:

\(50 \cdot \frac{2}{5} = 20\) (quả).

Số quả quýt có trong giỏ là:

\(50 - 20 - 20 = 10\) (quả).

Hướng dẫn giải:

a) Số gạo ngày thứ ba bán được chiếm số phần tổng số gạo là:

\(\frac{1}{4} \cdot \frac{3}{7} = \frac{3}{{28}}\) (tổng số gạo).

Số gạo ngày thứ hai bán được chiếm số phần tổng số gạo là:

\(1 - \frac{3}{7} - \frac{3}{{28}} = \frac{{28}}{{28}} - \frac{{12}}{{28}} - \frac{3}{{28}} = \frac{{13}}{{28}}\) (tổng số gạo).

Số gạo ban đan đầu cửa hàng có là:

\(26:\frac{{13}}{{28}} = 26 \cdot \frac{{28}}{{13}} = 56\) (tấn).

b) Số gạo ngày thứ nhất cửa hàng bán được là:

\(56 \cdot \frac{3}{7} = 24\) (tấn).

Số gạo ngày thứ nhất cửa hàng bán được là:

\(24 \cdot \frac{1}{4} = 6\) (tấn).

Hướng dẫn giải:

Số học sinh khối 11 chiếm số phần số học sinh toàn trường là:

\(\frac{5}{4} \cdot \frac{4}{{15}} = \frac{1}{3}\) (số học sinh toàn trường).

Số học sinh khối 10 chiếm số phần số học sinh toàn trường là:

\(1 - \frac{4}{{15}} - \frac{1}{3} = \frac{{15}}{{15}} - \frac{4}{{15}} - \frac{5}{{15}} = \frac{6}{{15}} = \frac{2}{5}\) (số học sinh toàn trường).

Số học sinh khối 10 nhiều hơn số học sinh khối 11 số phần so với số học sinh toàn trường là:

\(\frac{2}{5} - \frac{1}{3} = \frac{6}{{15}} - \frac{5}{{15}} = \frac{1}{{15}}\) (số học sinh toàn trường).

Số học sinh toàn trường là:

\(80:\frac{1}{{15}} = 80 \cdot 15 = 1\,\,200\) (học sinh).

Số học sinh khối 12 là:

\(1\,\,200 \cdot \frac{4}{{15}} = 320\) (học sinh).

Số học sinh khối 11 là:

\(320 \cdot \frac{5}{4} = 400\) (học sinh).

Số học sinh khối 10 là:

\(400 + 80 = 480\) (học sinh).

Hướng dẫn giải

Các hình có trục đối xứng là a), d).

Các hình có tâm đối xứng là: c), e).

Hướng dẫn giải

a) Hình chỉ có trục đối xứng là: Hình thang cân và hình tam giác cân.

b) Hình vừa có trục đối xứng vừa có tâm đối xứng là hình chữ nhật.

Hình đối xứng qua tâm \[C\] của hình thang cân \[ABCD\] là:

Hướng dẫn giải

Các chữ cái trong nhóm chữ trên là hình vừa có trục đối xứng và có tâm đối xứng là: Chữ H, O, I.

Tên thành phố đó là: HỘI AN.

Hướng dẫn giải:

Từ \(50\) đến \(99\) có \(\frac{{99 - 50}}{1} + 1 = 50\) số.

Mà \(\frac{1}{{50}} > \frac{1}{{100}};\)

\(\frac{1}{{51}} > \frac{1}{{100}};\)

\(\frac{1}{{52}} > \frac{1}{{100}};\)

        ….

\(\frac{1}{{99}} > \frac{1}{{100}}.\)

Cộng vế theo vế ta được:

\(\frac{1}{{50}} + \frac{1}{{51}} + \frac{1}{{52}} + ... + \frac{1}{{98}} + \frac{1}{{99}} > 50 \cdot \frac{1}{{100}} = \frac{1}{2}.\)

Vậy \(S > \frac{1}{2}.\)

Hướng dẫn giải:

Ta có: \(\frac{1}{{10}} > \frac{1}{{20}};\)

\(\frac{1}{{11}} > \frac{1}{{20}};\)

\(\frac{1}{{12}} > \frac{1}{{20}};\)

….

\(\frac{1}{{20}} = \frac{1}{{20}}.\)

Cộng vế theo vế ta được:

\(\frac{1}{{10}} + \frac{1}{{11}} + \frac{1}{{12}} + ... + \frac{1}{{20}} > \frac{1}{{20}} + \frac{1}{{20}} + ... + \frac{1}{{20}} = 10 \cdot \frac{1}{{20}} = \frac{1}{2};\)

Tương tự ta có:

\(\frac{1}{{21}} + \frac{1}{{22}} + \frac{1}{{23}} + ... + \frac{1}{{30}} > \frac{1}{{30}} + \frac{1}{{30}} + ... + \frac{1}{{30}} = 10 \cdot \frac{1}{{30}} = \frac{1}{3};\)

\(\frac{1}{{31}} + \frac{1}{{32}} + \frac{1}{{33}} + ... + \frac{1}{{40}} > \frac{1}{{40}} + \frac{1}{{40}} + ... + \frac{1}{{40}} = 10 \cdot \frac{1}{{40}} = \frac{1}{4}.\)

Suy ra \(\frac{1}{{10}} + \frac{1}{{11}} + \frac{1}{{12}} + ... + \frac{1}{{39}} + \frac{1}{{40}} > \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{{6 + 4 + 3}}{{12}} = \frac{{13}}{{12}} > 1.\)

Do đó \(A = \frac{1}{{10}} + \frac{1}{{11}} + \frac{1}{{12}} + ... + \frac{1}{{99}} + \frac{1}{{100}} > 1.\)

Vậy \(A = \frac{1}{{10}} + \frac{1}{{11}} + \frac{1}{{12}} + ... + \frac{1}{{99}} + \frac{1}{{100}} > 1.\)

Hướng dẫn giải:

Ta có: \(\frac{1}{{31}} > \frac{1}{{40}};\)

\(\frac{1}{{32}} > \frac{1}{{40}};\)

\(\frac{1}{{33}} > \frac{1}{{40}};\)

…

\(\frac{1}{{40}} = \frac{1}{{40}}.\)

Cộng vế theo vế ta được:

\[\frac{1}{{31}} + \frac{1}{{32}} + \frac{1}{{33}} + ..... + \frac{1}{{40}} > \underbrace {\frac{1}{{40}} + \frac{1}{{40}} + \frac{1}{{40}} + ..... + \frac{1}{{40}}}_{10\,\,so\,\,hang} = 10 \cdot \frac{1}{{40}} = \frac{1}{4}.\]

Tương tự ta được:

\[\frac{1}{{41}} + \frac{1}{{42}} + \frac{1}{{43}} + ..... + \frac{1}{{50}} > \underbrace {\frac{1}{{50}} + \frac{1}{{50}} + \frac{1}{{50}} + ..... + \frac{1}{{50}}}_{10\,\,so\,\,hang} = \frac{1}{5};\]

\[\frac{1}{{51}} + \frac{1}{{52}} + \frac{1}{{53}} + ..... + \frac{1}{{60}} > \underbrace {\frac{1}{{60}} + \frac{1}{{60}} + \frac{1}{{60}} + ..... + \frac{1}{{60}}}_{10\,\,so\,\,hang} = \frac{1}{6}.\]

Suy ra \(\frac{1}{{31}} + \frac{1}{{32}} + \frac{1}{{33}} + ..... + \frac{1}{{60}} > \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6}.\)

Mà \(\frac{1}{4} + \frac{1}{6} = \frac{5}{{12}} > \frac{2}{5}\) nên \(\frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6} > \frac{2}{5} + \frac{1}{5} = \frac{3}{5}.\)

Do đó \(\frac{1}{{31}} + \frac{1}{{32}} + \frac{1}{{33}} + ..... + \frac{1}{{60}} > \frac{3}{5}.\)

Vậy \(A > \frac{3}{5}.\)

Hướng dẫn giải:

\(B = \frac{4}{{1 \cdot 3 \cdot 5}} + \frac{4}{{3 \cdot 5 \cdot 7}} + \frac{4}{{5 \cdot 7 \cdot 9}} + ... + \frac{4}{{21 \cdot 23 \cdot 25}}\)

\( = \frac{{5 - 1}}{{1 \cdot 3 \cdot 5}} + \frac{{7 - 3}}{{3 \cdot 5 \cdot 7}} + \frac{{9 - 5}}{{5 \cdot 7 \cdot 9}} + ... + \frac{{25 - 21}}{{21 \cdot 23 \cdot 25}}\)

\[ = \frac{5}{{1 \cdot 3 \cdot 5}} - \frac{1}{{1 \cdot 3 \cdot 5}} + \frac{7}{{3 \cdot 5 \cdot 7}} - \frac{3}{{3 \cdot 5 \cdot 7}} + \frac{9}{{5 \cdot 7 \cdot 9}} - \frac{5}{{5 \cdot 7 \cdot 9}} + ... + \frac{{25}}{{21 \cdot 23 \cdot 25}} - \frac{{21}}{{21 \cdot 23 \cdot 25}}\]

\( = \frac{1}{{1 \cdot 3}} - \frac{1}{{3 \cdot 5}} + \frac{1}{{3 \cdot 5}} - \frac{1}{{5 \cdot 7}} + \frac{1}{{5 \cdot 7}} - \frac{1}{{7 \cdot 9}} + ... + \frac{1}{{21 \cdot 22}} - \frac{1}{{22 \cdot 23}}\)

\[ = \frac{1}{{1 \cdot 3}} - \frac{1}{{22 \cdot 23}} = \frac{1}{3} - \frac{1}{{506}} = \frac{{506}}{{1\,\,518}} - \frac{3}{{1\,\,518}} = \frac{{503}}{{1\,\,518}}.\]

Hướng dẫn giải:

Ta có: \(A = \frac{1}{2} - \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{2^3}}} - \frac{1}{{{2^4}}} + ... + \frac{1}{{{2^{99}}}} - \frac{1}{{{2^{100}}}}\)

Suy ra \(2A = 2 \cdot \left( {\frac{1}{2} - \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{2^3}}} - \frac{1}{{{2^4}}} + ... + \frac{1}{{{2^{99}}}} - \frac{1}{{{2^{100}}}}} \right)\)

 \( = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{{{2^2}}} - \frac{1}{{{2^3}}} + ... + \frac{1}{{{2^{98}}}} - \frac{1}{{{2^{99}}}}.\)

Do đó \[2A + A = \left( {1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{{{2^2}}} - \frac{1}{{{2^3}}} + ... + \frac{1}{{{2^{98}}}} - \frac{1}{{{2^{99}}}}} \right) + \left( {\frac{1}{2} - \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{2^3}}} - \frac{1}{{{2^4}}} + ... + \frac{1}{{{2^{99}}}} - \frac{1}{{{2^{100}}}}} \right)\]

Suy ra \[3A = 1 - \frac{1}{{{2^{100}}}}\]

Nên \[A = \frac{1}{3} - \frac{1}{{3 \cdot {2^{100}}}}\]

Vì \[\frac{1}{{3 \cdot {2^{100}}}} > 0\] nên \(\frac{1}{3} - \frac{1}{{3 \cdot {2^{100}}}} < \frac{1}{3}.\)

Vậy \(A < \frac{1}{3}.\)

Hướng dẫn giải:

Ta có \[\frac{{2025}}{1} = 2025 = \underbrace {1 + 1 + 1... + 1}_{2025\,\,so\,\,hang}\]

Khi đó:

\(B = \frac{{2025}}{1} + \frac{{2024}}{2} + \frac{{2013}}{3} + \ldots + \frac{1}{{2025}}\)

\( = 1 + \left( {\frac{{2024}}{2} + 1} \right) + \left( {\frac{{2013}}{3} + 1} \right) + \ldots + \left( {\frac{1}{{2025}} + 1} \right)\)

\( = 1 + \frac{{2026}}{2} + \frac{{2026}}{3} + ... + \frac{{2026}}{{2025}}\)

\( = \frac{{2026}}{2} + \frac{{2026}}{3} + ... + \frac{{2026}}{{2025}} + \frac{{2026}}{{2026}}\)

\(B = 2026 \cdot \left( {\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{{2025}} + \frac{1}{{2026}}} \right) = 2026A\)

Ta có \(\frac{B}{A} = \frac{{2026A}}{A} = 2026.\)

Vậy \(\frac{B}{A} = 2026.\)

Hướng dẫn giải:

a) Ta có: \(A = \frac{{12n}}{{3n + 3}} = \frac{{12n}}{{3\left( {n + 1} \right)}} = \frac{{4n}}{{n + 1}}.\)

Với \(n \in \mathbb{Z},\) để \(A\) là phân số thì \(n + 1 \ne 0,\) hay \(n \ne - 1.\)

Vậy với \(n \in \mathbb{Z}\) và \(n \ne - 1\) thì \(A\) là phân số.

b) Ta có: \(A = \frac{{12n}}{{3n + 3}} = \frac{{12n}}{{3\left( {n + 1} \right)}} = \frac{{4n}}{{n + 1}} = 4 - \frac{4}{{n + 1}}.\)

Với \(n \in \mathbb{Z},\) để \(A\) là số nguyên thì \(n + 1 \in \)Ư\(\left( 4 \right) = \left\{ {1; - 1;2; - 2;4; - 4} \right\}\)

Ta có bảng sau:

Vậy \(n \in \left\{ {0;\, - 2;\,1;\, - 3;\,3;\, - 5} \right\}.\)

c) Ta có: \(A = \frac{{12n}}{{3n + 3}} = \frac{{12n}}{{3\left( {n + 1} \right)}} = \frac{{4n}}{{n + 1}}\)

Với mọi số tự nhiên \(n\) ta có \(4n \ge 0;\) \(n + 1 > 0\) nên \(A = \frac{{4n}}{{n + 1}} \ge 0\)

Dấu xảy ra khi và chỉ khi \(n = 0\) (thỏa mãn).

Vậy với \(n = 0\) thì \(A\) đạt giá trị nhỏ nhất là \(0\).

Hướng dẫn giải:

a) Ta có: \(\frac{1}{x} + \frac{y}{3} = \frac{5}{6}\)

\(\frac{1}{x} = \frac{5}{6} - \frac{y}{3}\)

\(\frac{1}{x} = \frac{5}{6} - \frac{{2y}}{6}\)

\(\frac{1}{x} = \frac{{5 - 2y}}{6}\)

Suy ra \(x \cdot \left( {5 - 2y} \right) = 6 \cdot 1 = 6\)

Vì \(x,y\) là số tự nhiên nên \(x \in \)Ư\(\left( 6 \right) = \left\{ {1;\,\,2;\,\,3;\,\,6} \right\}.\)

Ta có bảng sau:

 Từ bảng trên ta tìm được cặp \(\left( {x;y} \right) = \left\{ {\left( {2;1} \right),\left( {6;2} \right)} \right\}.\)

b) Ta có: \(\frac{x}{3} - \frac{y}{4} = \frac{1}{5}\)

 \[\frac{{20x}}{{60}} - \frac{{15y}}{{60}} = \frac{{12}}{{60}}\]

Suy ra \[20x - 15y = 12\]

\[20x - 12 = 15y\]

\[4\left( {5x - 3} \right) = 15y\,\,\,\,\left( 1 \right)\]

Với \(x,\,\,y \in \mathbb{N}\) ta suy ra \[15y\, \vdots \,4\]

Mà ƯCLN\(\left( {15,4} \right) = 1\) nên \[y\,\, \vdots \,\,4\]

Do đó \[y = 4k\,\,\left( {k \in \mathbb{N},\,\,k \ne 0} \right)\]

Thay \[y = 4k\] vào (1) ta được: \[4\left( {5x - 3} \right) = 60k\]

Suy ra \[5x - 3 = 15k\] nên \[5x = 15k + 3\]

Mà \[5x\, \vdots \,5\] nên \[\left( {15k + 3} \right)\,\, \vdots \,\,5\] (điều này là vô lí)

Vậy không tồn tại các số tự nhiên \(x,\,y\) thỏa mãn \(\frac{x}{3} - \frac{y}{4} = \frac{1}{5}.\)

Hướng dẫn giải

Chỉ với hai lần cưa, người nông dân cần cưa thanh vàng thành ba phần: \(\frac{1}{7}\), \(\frac{2}{7}\) và \(\frac{4}{7}\).

Và khi đó, người nông dân sẽ trả lương mỗi ngày cho thợ như sau:

Thứ hai: Trả \(\frac{1}{7}\) thanh vàng.

Thứ ba: Trả \(\frac{2}{7}\) thanh vàng và lấy lại \(\frac{1}{7}\) thanh vàng.

Thứ tư: Đưa lại \(\frac{1}{7}\) thanh vàng cho người thợ.

Thứ năm: Đưa lại \(\frac{4}{7}\) thanh vàng và lấy lại \(\frac{1}{7}\) và \(\frac{2}{7}\) thanh vàng.

Thứ sáu: Đưa \(\frac{1}{7}\) thanh vàng.

Thứ bảy: Đưa \(\frac{2}{7}\) thanh vàng và lấy lại \(\frac{1}{7}\) thanh vàng từ thợ.

Chủ nhật: Trả nội \(\frac{1}{7}\) thanh vàng còn lại.

Hướng dẫn giải

Lấy 6 cái bánh, mỗi cái chia làm đôi được 12 phần bằng nhau, mỗi người được một phần là \(\frac{1}{2}\) cái bánh.

Lấy 3 cái bánh, mỗi cái chia đều làm 4 phần được 12 phần bằng nhau, mỗi người được một phần là \(\frac{1}{4}\) cái bánh.

Lấy 2 cái bánh cuối cùng, mỗi cái chia đều thành 6 phần được 12 phần bằng nhau, mỗi người được một phần là \(\frac{1}{6}\) cái bánh.

Như vậy, mỗi người được ba phần bánh, tổng cộng là: \(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{6} = \frac{{11}}{{12}}\) (cái bánh).

Hướng dẫn giải

Người thứ nhất mua \(\frac{1}{2}\) số trứng mà hai người kia mua.

Do đó, người thứ nhất mua \(\frac{1}{3}\) số trứng của ba người.

Người thứ hai mua \(\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{5} = \frac{1}{5}\) (số trứng).

Người thứ ba mua ứng với \(1 - \frac{1}{3} - \frac{1}{5} = \frac{7}{{15}}\) (số trứng).

Số quả trứng ban đầu trong rổ là: \(14:\frac{7}{{15}} = 30\) (quả).

Hướng dẫn giải

Mỗi bán sẽ nhận được: \(3:4 = \frac{3}{4}\) (cái bánh).

Ta có: \(\frac{3}{4} = \frac{2}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2} + \frac{1}{4}\).

Như vậy mỗi bạn sẽ nhận được \(\frac{1}{2}\) cái bánh và \(\frac{1}{4}\) cái bánh.

Ta có cách chia như sau:

- Lần 1 cắt cả 3 bánh, mỗi bánh chia thành 2 phần bằng nhau, chia mỗi người được \(\frac{1}{2}\) cái bánh.

(Người thứ nhất được \(\frac{1}{2}\) cái bánh thứ nhất, người thứ hai được \(\frac{1}{2}\) cái bánh thứ hai. Người thứ ba được \(\frac{1}{2}\) cái bánh thứ ba, người thứ tư được \(\frac{1}{2}\) cái bánh thứ nhất)

Còn \(\frac{1}{2}\) cái bánh thứ hai và \(\frac{1}{2}\) cái bánh thứ ba.

- Lần 2 cắt số bánh còn lại, mỗi phần thành 2 phần bằng nhau, chia mỗi người được \(\frac{1}{4}\) cái bánh.

Theo cách chia trên thì bánh thứ nhất được chia làm 2 phần, bánh thứ hai và thứ ba được chia làm 3 phần thỏa mãn điều kiện đề bài.