Đề cương ôn tập giữa kì 2 Toán 12 Kết nối tri thức cấu trúc mới (có tự luận) có đáp án - Bài 13. Ứng dụng hình học của tích phân
26 câu hỏi
\[\int\limits_b^a {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} \].
\[\left| {\int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} } \right|\].
\(\int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} \).
\[\int\limits_a^b {f\left( x \right)} dx\].
Đáp án đúng là: C
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = a;x = b\) được tính theo công thức \(\int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} \).
\(S = \int\limits_0^2 {{3^x}} dx\).
\(S = \pi \int\limits_0^2 {{3^{2x}}} dx\).
\(S = \pi \int\limits_0^2 {{3^x}} dx\).
\(S = \int\limits_0^2 {{3^{2x}}} dx\).
Đáp án đúng là: A
Diện tích hình phẳng đã cho được tính bởi công thức \(S = \int\limits_0^2 {{3^x}} dx\).
\(S = 6\).
\(S = 16\).
\(S = \frac{{13}}{6}\).
\(S = 13\).
Đáp án đúng là: A
Ta có: \(S = \int\limits_{ - 1}^2 {\left| {{x^2} + 1} \right|} \,{\rm{d}}x = \int\limits_{ - 1}^2 {\left( {{x^2} + 1} \right)} \,{\rm{d}}x = 6\).
\(\frac{4}{3}\) .
\(\frac{7}{3}\).
\(\frac{8}{3}\).
\(\frac{5}{3}.\)
Đáp án đúng là: B
Diện tích hình phẳng cần tìm: \(S = \int\limits_0^1 {\left| {{x^2} - 6x + 5} \right|{\rm{d}}x} = \frac{7}{3}\).
\[S = \frac{{2000}}{3}\].
\(S = 2008\).
\[S = 2000\].
\(S = \frac{{2008}}{3}\).
Đáp án đúng là: D
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường \(\left( C \right):y = {x^2} - 2x\) và \(\left( d \right):y = 0\) là: \({x^2} - 2x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array} \right.\).
Bảng xét dấu:
Diện tích cần tìm:
\(S = \int\limits_{ - 10}^{10} {\left| {{x^2} - 2x} \right|{\rm{d}}x} = \int\limits_{ - 10}^0 {\left( {{x^2} - 2x} \right){\rm{d}}x} - \int\limits_0^2 {\left( {{x^2} - 2x} \right){\rm{d}}x} + \int\limits_2^{10} {\left( {{x^2} - 2x} \right){\rm{d}}x} \)\( = \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} - {x^2}} \right)} \right|_{ - 10}^0 - \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} - {x^2}} \right)} \right|_0^2 + \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} - {x^2}} \right)} \right|_2^{10}\)\( = \frac{{1300}}{3} + \frac{4}{3} + \frac{{704}}{3} = \frac{{2008}}{3}\).
Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] liên tục trên đoạn \[\left[ {a;b} \right]\]. Gọi \[D\] là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị \[\left( C \right):y = f\left( x \right)\], trục hoành, hai đường thẳng \[x = a\], \[x = b\] (như hình vẽ dưới đây). Giả sử \[{S_D}\] là diện tích hình phẳng \[D\].
\({S_D} = \int\limits_a^0 {f\left( x \right){\rm{d}}x} + \int\limits_0^b {f\left( x \right){\rm{d}}x} \).
\({S_D} = - \int\limits_a^0 {f\left( x \right){\rm{d}}x} + \int\limits_0^b {f\left( x \right){\rm{d}}x} \).
\({S_D} = \int\limits_a^0 {f\left( x \right){\rm{d}}x} - \int\limits_0^b {f\left( x \right){\rm{d}}x} \).
\({S_D} = - \int\limits_a^0 {f\left( x \right){\rm{d}}x} - \int\limits_0^b {f\left( x \right){\rm{d}}x} \).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Ta có \({S_D} = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|{\rm{d}}x} = \int\limits_a^0 {\left| {f\left( x \right)} \right|{\rm{d}}x} + \int\limits_0^b {\left| {f\left( x \right)} \right|{\rm{d}}x} \).
\({S_D} = \int\limits_a^0 {\left( { - f\left( x \right)} \right){\rm{d}}x} + \int\limits_0^b {f\left( x \right){\rm{d}}x} = - \int\limits_a^0 {f\left( x \right){\rm{d}}x} + \int\limits_0^b {f\left( x \right){\rm{d}}x} .\)
Diện tích phần hình phẳng gạch chéo trong hình vẽ bên được tính theo công thức nào dưới đây?
\(\int\limits_{ - 1}^2 {\left( { - 2x + 2} \right)dx} \).
\(\int\limits_{ - 1}^2 {\left( {2x - 2} \right)dx} \).
\(\int\limits_{ - 1}^2 {\left( { - 2{x^2} + 2x + 4} \right)dx} \).
\(\int\limits_{ - 1}^2 {\left( {2{x^2} - 2x - 4} \right)dx} \).
Đáp án đúng là: C
Diện tích hình phẳng gạch chéo trong hình vẽ là:
\(S = \int\limits_{ - 1}^2 {\left| {\left( { - {x^2} + 3} \right) - \left( {{x^2} - 2x - 1} \right)} \right|} dx = \int\limits_{ - 1}^2 {\left| { - 2{x^2} + 2x + 4} \right|} dx = \int\limits_{ - 1}^2 {\left( { - 2{x^2} + 2x + 4} \right)} dx\).
Gọi \(S\) là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = f\left( x \right)\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = - 3\), \(x = 2\) (như hình vẽ bên). Đặt \(a = \int\limits_{ - 3}^1 {f\left( x \right)\,{\rm{d}}x} \), \(b = \int\limits_1^2 {f\left( x \right)\,{\rm{d}}x} \). Mệnh đề nào sau đây là đúng.
\(S = a + b\).
\(S = a - b\).
\(S = - a - b\).
\(S = b - a\).
Đáp án đúng là: D
Ta có \(S = \int\limits_{ - 3}^2 {\left| {f\left( x \right)} \right|\,{\rm{d}}x} \)\( = \int\limits_{ - 3}^1 {\left| {f\left( x \right)} \right|\,{\rm{d}}x} + \int\limits_1^2 {\left| {f\left( x \right)} \right|\,{\rm{d}}x} \)\( = - \int\limits_{ - 3}^1 {\,f\left( x \right){\rm{d}}x} + \int\limits_1^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x} \)\( = - a + b\).
Cắt một vật thể bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục \[Ox\]tại \(x = 1\) và \(x = 3\). Một mặt phẳng tùy ý vuông góc với trục \[Ox\] tại điểm có hoành độ \(x\) (\(1 \le x \le 3\)) cắt vật thể đó theo thiết diện là một hình chữ nhật có độ dài hai cạnh là \(3x\) và \(3{x^2} - 2\). Tính thể tích của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng trên.
\(V = 156\).
\(V = 156\pi \).
\(V = 312\).
\(V = 312\pi \).
Đáp án đúng là: A
Diện tích thiết diện là: \(S(x) = 3x.\left( {3{x^2} - 2} \right) = 9{x^3} - 6x\)
\( \Rightarrow \) Thể tích vật thể là: \(V = \int\limits_1^3 {\left( {9{x^3} - 6x} \right)dx = 156} \).
\(V = \frac{{\pi \left( {{e^2} + 1} \right)}}{2}\).
\(V = \frac{{{e^2} - 1}}{2}\).
\(V = \frac{{\pi {e^2}}}{3}\).
\(V = \frac{{\pi \left( {{e^2} - 1} \right)}}{2}\).
Đáp án đúng là: D
\(V = \pi \int\limits_0^1 {{{\rm{e}}^{2x}}{\rm{d}}x = } \pi \left. {\frac{{{{\rm{e}}^{2x}}}}{2}} \right|_0^1 = \frac{{\pi \left( {{e^2} - 1} \right)}}{2}\).
\(V = (\pi + 1)\pi \).
\(V = \pi - 1\).
\(V = \pi + 1\).
\(V = (\pi - 1)\pi \).
Đáp án đúng là: A
\(V = \pi \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\left( {\sqrt {2 + \cos x} } \right)}^2}dx = \left. {\pi \left( {2x + \sin x} \right)} \right|_0^{\frac{\pi }{2}} = \pi } (\pi + 1).\)
\[V = \frac{7}{6}\].
\[V = \frac{{5\pi }}{6}\].
\[V = \frac{{7\pi }}{{11}}\].
\[V = \frac{{11\pi }}{6}\].
Đáp án đúng là: D
Thể tích của khối tròn xoay tạo thành là:
\[V = \pi \int\limits_4^9 {{{\left( {\sqrt x - 2} \right)}^2}{\rm{d}}x} \]\[ = \pi \int\limits_4^9 {\left( {x - 4\sqrt x + 4} \right)} {\rm{d}}x\]\[ = \pi \left. {\left( {\frac{{{x^2}}}{2} - \frac{{8x\sqrt x }}{3} + 4x} \right)} \right|_4^9\]\[ = \pi \left( {\frac{{81}}{2} - 72 + 36} \right) - \pi \left( {\frac{{16}}{2} - \frac{{64}}{3} + 16} \right) = \frac{{11\pi }}{6}\].
Người ta dự định trồng hoa Lan Ý để trang trí vào phần tô đậm. Biết rằng phần tô đậm là diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị \(y = f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx - \frac{1}{2}\) và \(y = g\left( x \right) = d{x^2} + ex + 1\) trong đó \(a,b,c,d,e \in \mathbb{R}\). Biết rằng hai đồ thị đó cắt nhau tại các điểm có hoành độ lần lượt bằng \( - 3; - 1;2\), chi phí trồng hoa là 800000 đồng/m2 và đơn vị trên các trục được tính là 1 mét. Số tiền trồng hoa gần nhất với số nào sau đây?
\(4220000\) đồng.
\(2083000\) đồng.
\(422000\) đồng.
\(4217000\) đồng.
Đáp án đúng là: D
Phương trình hoành độ giao điểm là
\(a{x^3} + b{x^2} + cx - \frac{1}{2} = d{x^2} + ex + 1\)\( \Leftrightarrow a{x^3} + \left( {b - d} \right){x^2} + \left( {c - e} \right)x - \frac{3}{2} = 0\) (*)
Do đồ thị hai hàm số cắt nhau tại 3 điểm phân biệt nên phương trình (*) có nghiệm \( - 3; - 1;2\).
Ta có \(a{x^3} + \left( {b - d} \right){x^2} + \left( {c - e} \right)x - \frac{3}{2} = k\left( {x + 3} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right)\).
Khi đó \( - 6k = - \frac{3}{2}\)\( \Leftrightarrow k = \frac{1}{4}\).
Do đó diện tích trồng hoa là \(S = \int\limits_{ - 3}^2 {\left| {\frac{1}{4}\left( {x + 3} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right)} \right|dx \approx 5,27} \).
Số tiền trồng hoa khoảng \(5,27.800000 = 4216000\) đồng.
\(33750000\) đồng.
\(3750000\) đồng.
\(12750000\) đồng.
\(6750000\) đồng.
Đáp án đúng là: D
Gọi phương trình parabol \(\left( P \right):y = a{x^2} + bx + c\). Do tính đối xứng của parabol nên ta có thể chọn hệ trục tọa độ \(Oxy\) sao cho \(\left( P \right)\) có đỉnh \(I \in Oy\) (như hình vẽ).
Ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{9}{4} = c,\left( {I \in \left( P \right)} \right)\\\frac{9}{4}a - \frac{3}{2}b + c = 0\left( {A \in \left( P \right)} \right)\\\frac{9}{4}a + \frac{3}{2}b + c = 0\left( {B \in \left( P \right)} \right)\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}c = \frac{9}{4}\\a = - 1\\b = 0\end{array} \right.\).
Vậy \(\left( P \right):y = - {x^2} + \frac{9}{4}\).
Dựa vào đồ thị, diện tích cửa parabol là:
\(S = \int\limits_{\frac{{ - 3}}{2}}^{\frac{3}{2}} {\left( { - {x^2} + \frac{9}{4}} \right){\rm{d}}x} \)\( = 2\int\limits_0^{\frac{3}{2}} {\left( { - {x^2} + \frac{9}{4}} \right){\rm{d}}x} \)\[ = \left. {2\left( {\frac{{ - {x^3}}}{3} + \frac{9}{4}x} \right)} \right|_0^{\frac{9}{4}}\]\( = \frac{9}{2}{{\rm{m}}^2}\).
Số tiền phải trả là: \(\frac{9}{2}.1500000 = 6750000\) đồng.
Khi cắt một vật thể hình chiếc niêm bởi mặt phẳng vuông góc với trục \[Ox\] tại điểm có hoành độ \(x\) (\( - 2 \le x \le 2\)), mặt cắt là tam giác vuông có một góc \(45^\circ \) và độ dài một cạnh góc vuông là \(\sqrt {4 - {x^2}} \) (như hình vẽ). Tính thể tích vật thể hình chiếc niêm trên.
\(V = \frac{{16}}{3}\).
\(V = \frac{{16}}{3}\pi \).
\(V = 10\).
\(V = 10\pi \).
Đáp án đúng là: A
Diện tích tam giác vuông cân là: \(S(x) = \frac{1}{2}\sqrt {4 - {x^2}} .\sqrt {4 - {x^2}} = \frac{1}{2}\left( {4 - {x^2}} \right)\).
\( \Rightarrow \) Thể tích vật thể là: \(V = \int\limits_{ - 2}^2 {\frac{1}{2}\left( {4 - {x^2}} \right)dx = \frac{{16}}{3}} \).
Công thức biểu diễn hàm số \(s\left( t \right) = - 5{t^2} + 30t + 72\left( {\rm{m}} \right)\).
Thời gian kể từ lúc đạp phanh đến khi xe ô tô dừng hẳn là 3 giây.
Sau 3 giây kể từ lúc đạp phanh, quãng đường xe ô tô di chuyển được là 45 m.
Quãng đường xe ô tô đã di chuyển kể từ lúc người lái xe phát hiện chướng ngại vật
a) S, b) Đ, c) Đ, d) S
a) Ta có \(s\left( t \right) = \int {v\left( t \right)dt} = \int {\left( { - 10t + 30} \right)dt = - 5{t^2} + 30t + C} \).
Do \(s\left( 0 \right) = 0\) nên \(C = 0\).
Vậy \(s\left( t \right) = - 5{t^2} + 30t\).
b) Xe ô tô dừng hẳn khi \(v\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow - 10t + 30 = 0 \Leftrightarrow t = 3\).
c) Sau 3 giây kể từ lúc đạp phanh, quãng đường xe ô tô di chuyển được là
\(s\left( 3 \right) = - {5.3^2} + 30.3 = 45\) (m).
d) Đổi 72 km/h = 20 m/s.
Vậy quãng đường xe ô tô đã di chuyển từ từ lúc người lái xe phát hiện chướng ngại vật trên đường đến khi xe ô tô dừng hẳng là \(20 + 45 = 65\) (m).
Cho đồ thị hàm số \(y = {x^2} - 3x + 2\) và \(y = x - 1\) và \({S_1};{S_2}\) là phần diện tích được tô như trong hình dưới
Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = {x^2} - 3x + 2\) và \(y = x - 1\) là \(\int\limits_0^3 {\left( { - {x^2} + 4x - 3} \right)dx} .\)
\({S_1} = \frac{4}{3}\).
\({S_1} = {S_2}\).
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = {x^2} - 3x + 2;y = x - 1;x = 0;x = 3\) là \(\int\limits_0^3 {\left( { - {x^2} + 4x - 3} \right)dx = 1} \).
a) S, b) Đ, c) Đ, d) S
a) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = {x^2} - 3x + 2\) và \(y = x - 1\) là
\(\int\limits_1^3 {\left[ {x - 1 - \left( {{x^2} - 3x + 2} \right)} \right]dx} \)\( = \int\limits_1^3 {\left( { - {x^2} + 4x - 3} \right)dx} \).
b) Ta có \({S_1} = \int\limits_0^1 {\left[ {\left( {{x^2} - 3x + 2} \right) - \left( {x - 1} \right)} \right]dx} \)\( = \int\limits_0^1 {\left( {{x^2} - 4x + 3} \right)dx} \)\( = \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} - 2{x^2} + 3x} \right)} \right|_0^1 = \frac{1}{3} - 2 + 3 = \frac{4}{3}\).
c) \({S_2} = \int\limits_1^3 {\left[ {\left( {x - 1} \right) - \left( {{x^2} - 3x + 2} \right)} \right]dx} \)\( = \int\limits_1^3 {\left( { - {x^2} + 4x - 3} \right)dx} = \frac{4}{3}\).
Vậy \({S_1} = {S_2}\).
d) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = {x^2} - 3x + 2;y = x - 1;x = 0;x = 3\) là \(\int\limits_0^3 {\left| { - {x^2} + 4x - 3} \right|dx = {S_1} + {S_2} = \frac{8}{3}} \).
Số \(m\) thỏa mãn \(\int\limits_1^m {\frac{1}{x}dx} = 2\) là \({e^2}\).
Diện tích hình \(\left( H \right)\) bằng \(4\ln 2\).
Thể tích khối tròn xoay khi quay hình \(\left( H \right)\) xung quanh trục hoành bằng \(2\pi \).
Gọi \(x = k\) là đường thẳng chia hình \(\left( H \right)\) thành 2 phần có diện tích bằng nhau. Khi đó \(k = 1\).
a) Đ, b) Đ, c) S, d) S
a) Xét
b) \(S = \int\limits_1^4 {\left| {\frac{2}{x}} \right|} dx\)\( = 2\int\limits_1^4 {\frac{1}{x}} dx\)\( = \left. {2\ln x} \right|_1^4 = 2\ln 4 = 4\ln 2\).
c) \(V = \pi \int\limits_1^4 {\frac{4}{{{x^2}}}} dx = \left. {\frac{{ - 4\pi }}{x}} \right|_1^4 = - \pi + 4\pi = 3\pi \).
d) Theo đề ta có \(S = \int\limits_1^4 {\left| {\frac{2}{x}} \right|} dx\)\( = \int\limits_1^k {\frac{2}{x}} dx + \int\limits_k^4 {\frac{2}{x}} dx = 2\int\limits_1^k {\frac{2}{x}} dx = 2\ln 4\)
\( \Leftrightarrow \left. {2\ln x} \right|_1^k = \ln 4\)\( \Leftrightarrow 2\ln k = 2\ln 2\)\( \Leftrightarrow k = 2\).
Khoảng cách từ tâm của khối cầu đến khối chỏm cầu bằng 3.
Thể tích của khối chỏm cầu \({V_1}\) được tính theo công thức \({V_1} = \pi \int\limits_4^5 {\left( {25 - {x^2}} \right)dx} \).
Thể tích của khối chỏm cầu \({V_1} = \frac{{14\pi }}{3}\).
Gọi \({V_2}\) là thể tích của nửa khối cầu có bán kính bằng 5. Tỉ số thể tích \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{7}{{125}}\).
a) S, b) Đ, c) Đ, d) Đ
a) Khoảng cách từ tâm của khối cầu đến khối chỏm cầu bằng \(5 - 1 = 4\).
b) Thể tích của khối chỏm cầu được tính theo công thức \({V_1} = \pi \int\limits_4^5 {{{\left( {\sqrt {25 - {x^2}} } \right)}^2}dx} = \pi \int\limits_4^5 {\left( {25 - {x^2}} \right)dx} \).
c) \[{V_1} = \pi \int\limits_4^5 {\left( {25 - {x^2}} \right)dx} = \left. {\pi \left( {25x - \frac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|_4^5 = \frac{{14\pi }}{3}\].
d) Gọi \({V_2}\) là thể tích của nửa khối cầu có bán kính bằng 5.
Ta có \({V_2} = \frac{1}{2}.\frac{4}{3}\pi {.5^3} = \frac{{250}}{3}\pi \).
Suy ra \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{{\frac{{14}}{3}\pi }}{{\frac{{250}}{3}\pi }} = \frac{7}{{125}}\).
Gọi \({S_1},{S_2}\) là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số \(y = f\left( x \right)\) và trục hoành (tham khảo hình vẽ). Biết \({S_1} = 10;{S_2} = 1\).
\(\int\limits_{ - 2}^1 {f\left( x \right)dx} = 10\).
\(\int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx} = 1\).
\(\int\limits_{ - 2}^2 {f\left( x \right)dx} = 11\).
\(\int\limits_{ - 2}^2 {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} = 11\).
a) Đ, b) S, c) S, d) Đ
a) \({S_1} = \int\limits_{ - 2}^1 {f\left( x \right)dx} = 10\).
b) \(\int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx} = - {S_2} = - 1\).
c) \(\int\limits_{ - 2}^2 {f\left( x \right)dx} = \int\limits_{ - 2}^1 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx} = {S_1} + \left( { - {S_2}} \right) = 10 - 1 = 9\).
d) \(\int\limits_{ - 2}^2 {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} = \int\limits_{ - 2}^1 {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} + \int\limits_1^2 {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} = \int\limits_{ - 2}^1 {f\left( x \right)dx} - \int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx} = 10 - \left( { - 1} \right) = 11\).
Lợi nhuận khi bán được \(x\) đơn vị sản phẩm được tính bằng công thức \(P\left( x \right) = - 0,0008{x^2} + 10,4x\).
Lợi nhuận khi bán được 50 sản phẩm đầu tiên là 519 triệu đồng.
Sự thay đổi của lợi nhuận khi doanh số tăng từ 50 lên 55 đơn vị sản phẩm là 49,79 triệu đồng.
Biết sự thay đổi của lợi nhuận khi doanh số tăng từ 50 lên \(a\) đơn vị sản phẩm lớn hơn 517 triệu đồng, khi đó giá trị nhỏ nhất của \(a\) là 100.
a) S, b) Đ, c) S, d) S
a) Ta có \(P\left( x \right) = \int {P'\left( x \right)} dx = \int {\left( { - 0,0008x + 10,4} \right)dx = - 0,0004{x^2} + 10,4x} \).
b) \(P\left( {50} \right) = - {0,0004.50^2} + 10,4.50 = 519\) (triệu đồng).
c) Sự thay đổi của lợi nhuận khi doanh số tăng từ 50 lên 55 là
\(\int\limits_{50}^{55} {P'\left( x \right)dx} = \int\limits_{50}^{55} {\left( { - 0,0008x + 10,4} \right)dx} = 51,79\) (triệu đồng).
d) Sự thay đổi của lợi nhuận khi doanh số tăng từ 50 lên \(a\) là
\[\int\limits_{50}^a {P'\left( x \right)dx} = \int\limits_{50}^a {\left( { - 0,0008x + 10,4} \right)dx} = \left. {\left( { - 0,0004{x^2} + 10,4x} \right)} \right|_{50}^a = - 0,0004{a^2} + 10,4a - 519\].
Theo bài ta ta có:
\[ - 0,0004{a^2} + 10,4a - 519 > 517\]\[ \Leftrightarrow 0,0004{a^2} - 10,4a + 1036 < 0\]\[ \Leftrightarrow 100 < a < 25900\].
Vậy giá trị nhỏ nhất của \(a\) là \(101\).
Trả lời: 4,5
Gọi parabol là \(\left( P \right):y = a{x^2} + bx + c\). Từ hình vẽ ta có \(\left( P \right)\) đi qua \(O\left( {0;{\rm{ }}0} \right)\), \(A\left( {1;{\rm{ }}0} \right)\) và điểm \(I\left( {\frac{1}{2};{\rm{ }}8} \right)\).
Ta có hệ:
Suy ra \(\left( P \right):y = - 32{x^2} + 32x\).
Vậy quãng đường người đó đi được là \[s = \int\limits_0^{\frac{3}{4}} {\left( { - 32{x^2} + 32x} \right){\rm{d}}x} = 4,5\](km).
Đồ thị trong hình dưới đây là của hàm số \(y = f\left( x \right)\).
Biết \(\int\limits_{ - 2}^0 {f\left( x \right)dx = 3;\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} } = - 1\). Tính diện tích phần hình phẳng gạch chéo trong hình.
Trả lời: 4
Ta có \(S = \int\limits_{ - 2}^1 {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} = \int\limits_{ - 2}^0 {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} + \int\limits_0^1 {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} \)\( = \int\limits_{ - 2}^0 {f\left( x \right)dx} - \int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} \)\( = 3 - \left( { - 1} \right) = 4\).
Thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường: \(y = 3x + {x^2};y = 0;x = 0;x = 3\) quanh trục \(Ox\) bằng bao nhiêu (làm tròn đến hàng đơn vị)?
Trả lời: 789
Ta có \(V = \pi \int\limits_0^3 {{{\left( {3x + {x^2}} \right)}^2}dx} = \frac{{2511\pi }}{{10}} \approx 789\).
Hình vuông \(OABC\) có cạnh bằng \(4\) được chia thành hai phần bởi đường cong \(\left( C \right)\) có phương trình \(y = \frac{1}{4}\,{x^2}\). Gọi \({S_1}\,,\,\,{S_2}\) lần lượt là diện tích của phần không bị tô màu và bị tô màu như hình vẽ bên dưới. Tỉ số \(\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}}\)bằng bao nhiêu?
Trả lời: 2
Ta có diện tích hình vuông \(OABC\) là \(16\) và bằng \({S_1}\, + \,{S_2}\).
\({S_2} = \,\,\int\limits_0^4 {\frac{1}{4}{x^2}{\rm{d}}x} \,\, = \,\left. {\,\frac{{{x^3}}}{{12}}} \right|_0^4\, = \,\,\frac{{16}}{3}\)\[\,\, \Rightarrow \,\,\,\,\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}}\,\,\, = \,\,\,\frac{{16 - {S_2}}}{{{S_2}}}\,\,\, = \,\,\,\frac{{16 - \frac{{16}}{3}}}{{\frac{{16}}{3}}}\,\,\, = \,\,\,2\].
Gọi \(V\) là thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = \sqrt x \), \(y = 0\) và \(x = 4\) quanh trục \(Ox\). Tính V (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)
Trả lời: 25,1
Ta có: \[V = \pi \int\limits_0^4 {xdx = \pi } \left. {\frac{{{x^2}}}{2}} \right|_0^4 = 8\pi \approx 25,1\].
