Đề cương ôn tập cuối kì 2 Toán 12 Kết nối tri thức cấu trúc mới (có tự luận) có đáp án - Chương V. Phương pháp tọa độ trong không gian
88 câu hỏi
\(\vec n = \left( {2;\, - 3;\,0} \right)\).
\(\vec n = \left( {2;\, - 3;\,1} \right)\).
\(\vec n = \left( {2;\,0;\, - 3} \right)\) .
\(\vec n = \left( {2;\, - 3;\, - 1} \right)\).
Đáp án đúng là: C
\(\left( P \right):\,\,2x - 3z - 1 = 0\) có vectơ pháp tuyến là \(\vec n = \left( {2;\,0;\, - 3} \right)\).
\(m = 1\).
\(m = - \frac{1}{2}\).
\(m = 2\).
\(m = \frac{1}{2}\).
Đáp án đúng là: D
Ta có \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1;m;m - 1} \right)\), \(\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {2; - 1;3} \right)\).
Để \(\left( P \right) \bot \left( Q \right)\) thì \(1.2 + m.\left( { - 1} \right) + \left( {m - 1} \right).3 = 0\)\( \Leftrightarrow m = \frac{1}{2}\).
\(\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow k } \right]\).
\(\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow j } \right]\).
\(\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {OA} } \right]\) .
\(\left[ {\overrightarrow i ,\overrightarrow {AB} } \right]\).
Đáp án đúng là: B
\(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow j } \right]\) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng chứa \(AB\) và song song với trục tung.
\(\vec n = \left( {7;\,4;\,1} \right)\).
\(\vec n = \left( { - 1;\, - 4;\, - 7} \right)\).
\(\vec n = \left( {2;\,8;\,14} \right)\) .
\(\vec n = \left( {1;\,4;\,7} \right)\).
Đáp án đúng là: A
Có \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right] = \left( { - 1; - 4; - 7} \right) = - \left( {1;4;7} \right) = - \frac{1}{2}\left( {2;8;14} \right)\).
Do đó \(\vec n = \left( {7;\,4;\,1} \right)\) không là pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\).
\[\overrightarrow n = \left( {1;0; - 2} \right)\].
\[\overrightarrow n = \left( {1; - 2;0} \right)\].
\[\overrightarrow n = \left( {1;2;0} \right)\].
\[\overrightarrow n = \left( {1; - 2;1} \right)\].
Đáp án đúng là: B
Trục \[Oz\]có vectơ đơn vị \[\overrightarrow k = (0;0;1)\].
Mặt phẳng \[(Q)\] có VTPT \[\overrightarrow {{n_Q}} = (2;1; - 1)\].
Mặt phẳng \((P)\)song song với trục \[Oz\] và vuông góc với \[(Q):2x + y - z + 7 = 0\]nên \((P)\) có vectơ pháp tuyến \[\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow k ,\overrightarrow {{n_Q}} } \right] = (1; - 2;0)\].
\[\overrightarrow n = \left( {1;0;3} \right)\].
\[\overrightarrow n = \left( {1;0; - 3} \right)\].
\[\overrightarrow n = \left( {1;0;0} \right)\].
\[\overrightarrow n = \left( {3;0;1} \right)\].
Đáp án đúng là: A
Gọi \[H,K\]lần lượt là hình chiếu vuông góc của \[M\]trên mặt phẳng\[(\alpha )\] và trục \[Oy\].
Ta có : \[K(0;2;0)\]
\[d(M,(\alpha )) = MH \le MK\].
Vậy khoảng cách từ \[M\] đến mặt phẳng\[(\alpha )\] lớn nhất khi mặt phẳng\[(\alpha )\]qua \[K\] và vuông góc với\[MK.\]
Nên\[(\alpha )\] có một veto pháp tuyến là:\[\overrightarrow n = \overrightarrow {MK} = \left( { - 1;0; - 3} \right) = - \left( {1;0;3} \right)\].
\(x - 2y - 2z - 1 = 0\).
\( - x + y - 2z - 1 = 0\).
\(x - 2y - 2z + 7 = 0\).
\( - x + y - 2z + 1 = 0\).
Đáp án đúng là: A
Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua \(A\left( { - 1;1; - 2} \right)\) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {1; - 2; - 2} \right)\) nên có phương trình
\(\left( {x + 1} \right) - 2\left( {y - 1} \right) - 2\left( {z + 2} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow x - 2y - 2z - 1 = 0\).
Vậy mặt phẳng cần tìm có phương trình: \(x - 2y - 2z - 1 = 0\).
\(2x - y + 3z + 9 = 0\).
\(2x + y + 3z - 3 = 0\).
\(2x + y + 3z + 3 = 0\).
\(2x - y + 3z - 9 = 0\).
Đáp án đúng là: D
Gọi \(\left( Q \right)\)là mặt phẳng cần tìm.
Theo bài \(\left( Q \right)//\left( P \right) \Rightarrow \left( Q \right):\,2x - y + 3z + m = 0\,\,\left( {m \ne 5} \right)\).
Mà \(\left( Q \right)\) qua \(A \Leftrightarrow 2.0 - \left( { - 3} \right) + 3.2 + m = 0 \Leftrightarrow m = - 9\).
Vậy mp\(\left( Q \right):2x - y + 3z - 9 = 0\).
\(4x - 3y + 2z + 3 = 0\).
\(4x - 3y - 2z + 3 = 0\).
\(2x + y - 3z - 1 = 0\).
\(4x + y - 2z - 1 = 0\).
Đáp án đúng là: B
Ta có\(\overrightarrow {AB} = \left( {2;2;1} \right)\), vectơ pháp tuyến mặt phẳng\(\left( Q \right):\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {1;2; - 1} \right)\).
Theo đề bài ta có vectơ pháp tuyến mặt phẳng \(\left( P \right):\overrightarrow {{n_P}} = \left[ {\overrightarrow {{n_Q}} ,\overrightarrow {AB} } \right] = \left( {4; - 3; - 2} \right)\).
Phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) có dạng \(4x - 3y - 2z + C = 0\).
Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua \(A\left( {0;1;0} \right)\) nên: \( - 3 + C = 0 \Leftrightarrow C = 3\).
Vậy phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) là \(4x - 3y - 2z + 3 = 0\).
\(S = - 12\).
\(S = 2\).
\(S = - 4\).
\(S = - 2\).
Đáp án đúng là: C
\(\overrightarrow {AB} = \left( { - 6;3;1} \right)\).
\(\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {3;1;1} \right)\) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( Q \right)\).
Mặt phẳng \(\left( P \right)\) chứa hai điểm \(A\left( {3;2;1} \right),B\left( { - 3;5;2} \right)\)và vuông góc với mặt phẳng \(\left( Q \right)\).
\( \Rightarrow \overrightarrow {{n_P}} = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {{n_Q}} } \right] = \left( {2;9; - 15} \right)\) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( P \right)\).
Mà \(A\left( {3;2;1} \right) \in \left( P \right)\)
\( \Rightarrow \left( P \right):2x + 9y - 15z - 9 = 0\).
Suy ra \(a = 2;b = 9;c = - 15\). Do đó \(a + b + c = - 4\).
\[\left( Q \right):2x - 2y + z + 4 = 0\].
\[\left( Q \right):2x - 2y + z - 14 = 0\].
\[\left( Q \right):2x - 2y + z - 19 = 0\].
\[\left( Q \right):2x - 2y + z - 8 = 0\].
Đáp án đúng là: B
Ta có, \[\left( Q \right)\]song song \[\left( P \right)\]nên phương trình mặt phẳng \[\left( Q \right):2x - 2y + z + C = 0\]; \[C \ne - 5\]
Chọn \[M\left( {0\,;\,0\,;\,5} \right) \in \left( P \right)\]
Ta có \[d\left( {\left( P \right)\,,\,\left( Q \right)} \right) = d\left( {M\,,\left( Q \right)} \right) = \frac{{\left| {5 + C} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {1^2}} }} = 3\]\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}C = 4\\C = - 14\end{array} \right.\]
\[C = 4 \Rightarrow \left( Q \right):2x - 2y + z + 4 = 0\] khi đó \[\left( Q \right)\] cắt \[Ox\] tại điểm \[{M_1}\left( { - 2\,;\,0\,;\,0} \right)\]có hoành độ âm nên trường hợp này \[\left( Q \right)\] không thỏa đề bài.
\[C = - 14 \Rightarrow \left( Q \right):2x - 2y + z - 14 = 0\] khi đó \[\left( Q \right)\]cắt \[Ox\] tại điểm \[{M_2}\left( {7\,;\,0\,;\,0} \right)\]có hoành độ dương do đó \[\left( Q \right):2x - 2y + z - 14 = 0\] thỏa đề bài.
Vậy phương trình mặt phẳng \[\left( Q \right):2x - 2y + z - 14 = 0\].
\[2x + y + z - 6 = 0\].
\[2x + y + z + 6 = {\rm{ }}0\].
\[2x - y + z + 6 = {\rm{ }}0\].
\[2x + y - z + 6 = {\rm{ }}0\].
Đáp án đúng là: A
Gọi ba điểm\[A\left( {a;0;0} \right)\], \[B\left( {0;{\rm{ }}b;{\rm{ }}0} \right)\], \[C\left( {0;{\rm{ }}0;{\rm{ }}c} \right)\] với \[abc \ne 0\], khi đó phương trình có dạng:
\[(P):\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1\].
Để \[H\left( {2;{\rm{ }}1;{\rm{ }}1} \right)\] là trực tâm\[\Delta ABC\], điều kiện là:
Thay \[a,{\rm{ }}b,{\rm{ }}c\] vào (1), ta được: \[(P):\frac{x}{3} + \frac{y}{6} + \frac{z}{6} = 1\]\[ \Leftrightarrow 2x + y + z - 6 = 0\].
\[\frac{x}{{ - 3}} + \frac{y}{{ - 4}} + \frac{z}{2} = 1\].
\[\frac{x}{{ - 3}} - \frac{y}{4} + \frac{z}{{ - 2}} = 1\].
\[\frac{x}{{\rm{3}}} + \frac{y}{{ - 4}} + \frac{z}{2} = 1\].
\[\frac{x}{{ - 3}} + \frac{y}{4} + \frac{z}{{ - 2}} = 1\].
Đáp án đúng là: D
Phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm \[A( - 3;0;0),B(0;4;0),C(0;0; - 2)\]là:
\[\frac{x}{{ - 3}} + \frac{y}{4} + \frac{z}{{ - 2}} = 1\].
\(5x + 4y + 3z - 50 = 0\).
\(x + y + z = 0\).
\(x - y + z = 0\).
\(x + y + z - 12 = 0\).
Đáp án đúng là: D
Gọi \(A\left( {a;0;0} \right),\,B\left( {0;a;0} \right),\,C\left( {0;0;a} \right)\)\[\left( {a \ne 0} \right)\]là giao điểm của mặt phẳng\(\left( \alpha \right)\)và các tia \(Ox,\)\(Oy,\)\(Oz\).
Phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\)qua A, B, C là: \(\frac{x}{a} + \frac{y}{a} + \frac{z}{a} = 1\).
Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) qua điểm \(M\left( {5;4;3} \right) \Rightarrow a = 12\)
Ta có \(\frac{x}{{12}} + \frac{y}{{12}} + \frac{z}{{12}} = 1 \Leftrightarrow x + y + z - 12 = 0\).
\(m = 2\).
\(m = - 2\).
\(m = - 3\).
\(m = \pm 2\).
Đáp án đúng là: A
Có \(AB = \sqrt {{{\left( {3 - 1} \right)}^2} + {{\left( {4 - 2} \right)}^2} + {{\left( {4 - 3} \right)}^2}} = 3\).
Vì \(d\left( {A,\left( P \right)} \right) = 3\) nên \[\frac{{\left| {2.1 + 2 + m.3 - 1} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {m^2}} }} = 3\]\[ \Leftrightarrow \frac{{\left| {3 + 3m} \right|}}{{\sqrt {5 + {m^2}} }} = 3\]\[ \Leftrightarrow \left| {1 + m} \right| = \sqrt {5 + {m^2}} \]
\[ \Leftrightarrow {m^2} + 2m + 1 = 5 + {m^2}\]\[ \Leftrightarrow m = 2\].
\[\overrightarrow c = \left( {1;{\rm{2}};{\rm{2}}} \right)\].
\[\overrightarrow a = \left( { - 1;0;2} \right)\].
\[\overrightarrow b = \left( { - 1;\,{\rm{1}};{\rm{2}}} \right)\].
\[\overrightarrow d = \left( { - 1;{\rm{0}}; - 2} \right)\].
Đáp án đúng là: B
Đường thẳng \(AB\) nhận \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 1;0;2} \right) = \overrightarrow a \) làm vectơ chỉ phương.
\[\overrightarrow u = \left( {2; - 1;1} \right)\].
\[\overrightarrow u = \left( {1;3;1} \right)\].
\[\overrightarrow u = \left( {1;1; - 1} \right)\].
\[\overrightarrow u = \left( {2;2;1} \right)\].
Đáp án đúng là: B
Gọi \(M\)là giao điểm của \(\Delta \) và \(d\). Suy ra \(M\left( {2 + t; - 4t;3} \right)\).
Đường thẳng \(\Delta \) nhận \(\overrightarrow {AM} = \left( {2 + t; - 4t - 1;1} \right)\).
Vì \(\Delta //\left( P \right)\) nên \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {{n_P}} = 0 \Leftrightarrow \left( {2 + t} \right).2 + \left( { - 4t - 1} \right).\left( { - 1} \right) + 1.1 = 0\)\( \Leftrightarrow t = - 1\).
Suy ra \(\overrightarrow {AM} = \left( {1;3;1} \right)\).
\(\frac{{x - 3}}{4} = \frac{{y - 4}}{2} = \frac{{z + 1}}{{ - 2}}.\)
\(\frac{{x - 4}}{3} = \frac{{y - 2}}{4} = \frac{{z + 2}}{{ - 1}}.\)
\(\frac{{x + 3}}{4} = \frac{{y + 4}}{2} = \frac{{z - 1}}{{ - 2}}.\)
\(\frac{{x + 4}}{3} = \frac{{y + 2}}{4} = \frac{{z - 2}}{{ - 1}}.\)
Đáp án đúng là: B
Phương trình chính tắc của đường thẳng \(\Delta \)là: \(\frac{{x - 4}}{3} = \frac{{y - 2}}{4} = \frac{{z + 2}}{{ - 1}}.\)
\(\frac{{x - 3}}{{ - 6}} = \frac{{y + 2}}{2} = \frac{z}{{ - 2}}.\)
\(\frac{{x - 3}}{{ - 2}} = \frac{{y + 2}}{2} = \frac{z}{3}.\)
\(\frac{{x + 3}}{{ - 5}} = \frac{{y + 2}}{4} = \frac{z}{3}.\)
\(\frac{{x - 3}}{{ - 5}} = \frac{{y + 2}}{4} = \frac{z}{3}.\)
Đáp án đúng là: D
Điểm \(M\) là trung điểm của đoạn thẳng \(BC \Rightarrow M\left( { - 2;\,2;\,3} \right).\)
Đường thẳng \(AM\) đi qua điểm\(A\) và nhận\(\overrightarrow {AM} = \left( { - 5;\,4;\,3} \right)\) làm vectơ chỉ phương.
Phương trình đường thẳng \(AM\)là: \(\frac{{x - 3}}{{ - 5}} = \frac{{y + 2}}{4} = \frac{z}{3}.\)
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 4 + 4t\\y = - 2 + 2t\\z = 2 + 3t\end{array} \right..\)
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 4 + 4t\\y = 2 - 2t\\z = 3 + 2t\end{array} \right..\)
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 4 - 2t\\y = - 2 + 5t\\z = 2 + 2t\end{array} \right..\)
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 4t\\y = 5 - 2t\\z = 2 + 2t\end{array} \right..\)
Đáp án đúng là: A
Vì đường thẳng \(\Delta \) song song với đường thẳng\(d\) nên \(\overrightarrow {{u_\Delta }} = \overrightarrow {{u_d}} = \left( {4;\,2;\,3} \right).\)
Phương trình đường thẳng \(\Delta \)là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 4 + 4t\\y = - 2 + 2t\\z = 2 + 3t\end{array} \right..\)
\(\frac{{x - 2}}{2} = \frac{{y + 4}}{{ - 3}} = \frac{{z + 3}}{6}.\)
\(\frac{{x + 2}}{2} = \frac{{y + 3}}{4} = \frac{{z - 6}}{3}.\)
\(\frac{{x + 2}}{2} = \frac{{y - 4}}{{ - 3}} = \frac{{z - 3}}{6}.\)
\(\frac{{x + 2}}{2} = \frac{{y - 3}}{4} = \frac{{z + 6}}{3}.\)
Đáp án đúng là: C
Vì đường thẳng \(\Delta \) vuông góc với mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\)nên \[\overrightarrow {{u_\Delta }} = \overrightarrow {{n_\alpha }} = \left( {2;\, - 3;\,6} \right)\].
Phương trình đường thẳng \(\Delta \) là: \(\frac{{x + 2}}{2} = \frac{{y - 4}}{{ - 3}} = \frac{{z - 3}}{6}.\)
\(\Delta \) cắt \(d\) và \(\Delta \) vuông góc với \(d\).
\(\Delta \) và \(d\) chéo nhau, \(\Delta \) vuông góc với \(d\).
\(\Delta \) cắt \(d\) và \(\Delta \) không vuông góc với d .
\(\Delta \) và \(d\) chéo nhưng không vuông góc.
Đáp án đúng là: B
\(\Delta \) đi qua điểm \(A\left( {1;1; - 1} \right)\) có véctơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_\Delta }} = \left( {1; - 2;2} \right)\) và \(d\) đi qua điểm \(B\left( {1; - 1;1} \right)\)
có véctơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_d}} = \left( {2;2;1} \right)\)
Ta có \(\overrightarrow {{u_\Delta }} .\overrightarrow {{u_d}} = 1.2 - 2.2 + 2.1 = 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {{u_\Delta }} \bot \overrightarrow {{u_d}} \) suy ra \(\Delta \) vuông góc với \(d\)
Mặt khác \(\left[ {\overrightarrow {{u_\Delta }} ,\overrightarrow {{u_d}} } \right] = \left( { - 6;3;6} \right),\overrightarrow {AB} = \left( {0; - 2;2} \right) \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {{u_\Delta }} ,\overrightarrow {{u_d}} } \right].\overrightarrow {AB} = - 6.0 + 3.\left( { - 2} \right) + 6.2 = 6 \ne 0\)
Suy ra \(\Delta \) và \(d\) chéo nhau.
\(M = - 5\).
\(M = 2\).
\(M = 3\).
\(M = 4\).
Đáp án đúng là: D
Tọa độ giao điểm \(I\) của\(d\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\) là nghiệm của hệ:
. Suy ra
\(\left( { - 4; - 1;2} \right)\).
\(\left( { - 4;1;2} \right)\).
\(\left( {0; - 1;0} \right)\).
\(\left( {0;1;0} \right)\).
Đáp án đúng là: A
Gọi \(H\)là hình chiếu vuông góc của \(M\) lên \(\left( P \right)\) \( \Rightarrow MH:\left\{ \begin{array}{l}x = - 4\\y = 5 + t\\z = 2\end{array} \right.\)
\(H \in MH \Rightarrow H\left( { - 4;5 + t;2} \right)\).
\(H \in \left( P \right) \Leftrightarrow 5 + t + 1 = 0 \Leftrightarrow t = - 6 \Rightarrow H\left( { - 4; - 1;2} \right)\).
\(\frac{{x - 2}}{6} = \frac{{y + 3}}{{ - 5}} = \frac{{z + 1}}{{32}}\).
\(\frac{{x + 2}}{6} = \frac{{y + 3}}{5} = \frac{{z - 1}}{{32}}\).
\(\frac{{x - 2}}{6} = \frac{{y - 3}}{5} = \frac{{z + 1}}{{ - 32}}\).
\(\frac{{x - 2}}{6} = \frac{{y - 3}}{5} = \frac{{z + 1}}{{32}}\).
Đáp án đúng là: C
\(\overrightarrow {{u_d}} = \left( {2;\,4;\,1} \right)\)
Gọi \(N\) là giao điểm của \(\Delta \) và \(d.\)
\(N \in d \Rightarrow N\left( {2t;\,4t;\,3 + t} \right)\)
\(\begin{array}{l}\overrightarrow {MN} = \left( {2t - 2;\,\,4t - 3;\,\,t + 4} \right)\\\Delta \bot d \Rightarrow \overrightarrow {MN} .\overrightarrow u = 0 \Leftrightarrow t = \frac{4}{7}.\end{array}\)
Khi đó: \(\overrightarrow {MN} = \left( { - \frac{6}{7};\,\, - \frac{5}{7};\,\frac{{32}}{7}} \right)\)
Đường thẳng \[\Delta :\left\{ \begin{array}{l}qua\,\,M\left( {2;\,3;\, - 1} \right)\\\overrightarrow {{u_\Delta }} = - 7.\overrightarrow {MN} = \left( {6;\,5;\, - 32} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left( \Delta \right):\frac{{x - 2}}{6} = \frac{{y - 3}}{5} = \frac{{z + 1}}{{ - 32}}\].
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho điểm \(A\left( {1;\, - 1;\,3} \right)\) và hai đường thẳng\({d_1}:\frac{{x - 4}}{1} = \frac{{y + 2}}{4} = \frac{{z - 1}}{{ - 2}},\,\,\,{d_2}:\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y + 1}}{{ - 1}} = \frac{{z - 1}}{1}.\)
Viết phương trình đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(A,\,\,\)vuông góc với đường thẳng \({d_1}\) và cắt đường thẳng \({d_2}.\)
\(\frac{{x - 1}}{4} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{{z - 3}}{4}.\)
\(\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{{z - 3}}{3}\).
\(\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 1}}{{ - 1}} = \frac{{z - 3}}{{ - 1}}\).
\(\frac{{x - 1}}{{ - 2}} = \frac{{y + 1}}{2} = \frac{{z - 3}}{3}\).
Đáp án đúng là: C
Gọi \(M = d \cap {d_2},\,\,{{\rm{d}}_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = - 1 - t\\z = 1 + t\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {t + 2,\,\, - t - 1,\,\,t + 1} \right).\)
Đường thẳng \(d\) nhận \(\overrightarrow {AM} = \left( {t + 1;\, - t;\,t - 2} \right)\) là một vectơ chỉ phương.
Đường thẳng \({d_1}\) có \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {1;\,4;\, - 2} \right).\)
Ta có: \(d \bot {d_1} \Leftrightarrow \overrightarrow {AM} .\overrightarrow u = 0 \Leftrightarrow \left( {t + 1} \right) - 4t - 2\left( {t - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow t = 1 \Rightarrow \overrightarrow {AM} = \left( {2;\, - 1;\, - 1} \right).\)
Đường thẳng \(d\) qua \(A\left( {1;\, - 1;\,3} \right)\) và nhận \(\overrightarrow {AM} = \left( {2;\, - 1;\, - 1} \right)\) là một vectơ chỉ phương nên
\(d:\,\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 1}}{{ - 1}} = \frac{{z - 3}}{{ - 1}}.\)
:\(\Delta :\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y + 3}}{{ - 1}} = \frac{{z - 4}}{{ - 2}}\).
\(\Delta :\frac{{x - 1}}{{ - 1}} = \frac{{y + 3}}{{ - 1}} = \frac{{z - 4}}{{ - 2}}\).
\(\Delta :\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y + 3}}{1} = \frac{{z - 4}}{{ - 2}}\).
\(\Delta :\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y + 3}}{{ - 1}} = \frac{{z + 4}}{2}\).
Đáp án đúng là: C
Ta có \[\overrightarrow {{u_d}} = \left( {3; - 5; - 1} \right)\] là vectơ chỉ phương của\(d\).
\[\overrightarrow {{n_P}} = \left( {2;0;1} \right)\]là vectơ pháp tuyến của \(\left( P \right):2x + z - 2 = 0\).
Ta có \(\left[ {\overrightarrow {{u_d}} ,\overrightarrow {{n_P}} } \right] = \left( { - 5; - 5;10} \right)\).
Do \(\Delta \) vuông góc với \(d\) và song song với \(\left( P \right)\)nên \[\overrightarrow u = \left( {1;1; - 2} \right)\]là vectơ chỉ phương của \[\Delta \].
Khi đó, phương trình của \[\Delta \] là \[\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y + 3}}{1} = \frac{{z - 4}}{{ - 2}}\].
\( - 2x - y + 9z - 36 = 0\).
\(2x - y - z = 0\).
\(6x + 9y + z + 8 = 0\).
\(6x + 9y + z - 8 = 0\).
Đáp án đúng là: C
Đường thẳng \({d_1}:\frac{{x - 1}}{{ - 2}} = \frac{{y + 2}}{1} = \frac{{z - 4}}{3}\) đi qua điểm \(M\left( {1; - 2;4} \right)\), có một VTCP là \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( { - 2;1;3} \right)\).
Đường thẳng \({d_2}:\frac{{x + 1}}{1} = \frac{y}{{ - 1}} = \frac{{z + 2}}{3}\) có một VTCP là \(\overrightarrow {{u_2}} = \left( {1; - 1;3} \right)\).
Mặt phẳng \(\left( P \right)\) chứa hai đường thẳng cắt nhau \({d_1},{d_2}\)\( \Rightarrow \)\(\left( P \right)\) qua điểm \(M\left( {1; - 2;4} \right),\) có một VTPT là \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( {6;9;1} \right)\). Phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) là :
\(\left( P \right):6\left( {x - 1} \right) + 9\left( {y + 2} \right) + \left( {z - 4} \right) = 0 \Leftrightarrow 6x + 9y + z + 8 = 0\).
\(m = 2\).
\(m = - 52\).
\(m = 52\).
\(m = - 2\).
Đáp án đúng là: A
Đường thẳng \(\Delta :\frac{{x - 10}}{5} = \frac{{y - 2}}{1} = \frac{{z + 2}}{1}\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {5;1;1} \right)\).
Mặt phẳng \(\left( P \right):10x + 2y + mz + 11 = 0\)có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {10\,;\,2\,;\,m} \right)\).
Để mặt phẳng \(\left( P \right)\) vuông góc với đường thẳng \(\Delta \) thì \(\overrightarrow u \) phải cùng phương với \(\overrightarrow n \)\[ \Rightarrow \frac{5}{{10}} = \frac{1}{2} = \frac{1}{m} \Leftrightarrow m = 2\].
\(2y - 2z + 1 = 0\).
\(2y - 2z - 1 = 0\).
\[2x - 2z + 1 = 0\].
\[2x - 2z - 1 = 0\].
Đáp án đúng là: A
Đường thẳng \({d_1}\) đi qua điểm \(A\left( {2;0;0} \right)\) có VTCP là \[\overrightarrow {{u_1}} = \left( { - 1;1;1} \right)\] và đường thẳng \({d_2}\) đi qua điểm \(B\left( {0;1;2} \right)\) có VTCP là \[\overrightarrow {{u_1}} = \left( { - 2;1;1} \right)\]
Mặt phẳng \(\left( P \right)\) song song \({d_1};{d_2}\) nên \(\left( P \right)\) có VTPT là \[n = \left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( {0; - 1;1} \right)\]
Do đó: Mặt phẳng \(\left( P \right)\) có dạng \(y - z + m = 0\)
Mặt khác: \(\left( P \right)\) cách đều hai đường thẳng \({d_1};{d_2}\)nên
\(d\left( {{d_1},\left( P \right)} \right) = d\left( {{d_2},\left( P \right)} \right) \Leftrightarrow d\left( {A,\left( P \right)} \right) = d\left( {B,\left( P \right)} \right) \Leftrightarrow \left| m \right| = \left| {m - 1} \right| \Leftrightarrow m = \frac{1}{2}\)
Vậy \(\left( P \right)\):\(y - z + \frac{1}{2} = 0 \Leftrightarrow 2y - 2z + 1 = 0\).
\(45^\circ \).
\(30^\circ \).
\[60^\circ \].
\[90^\circ \].
Đáp án đúng là: D
Ta có \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {1; - 1;2} \right),\overrightarrow {{u_2}} = \left( { - 1;1;1} \right)\).
Ta có \(\cos \left( {{d_1},{d_2}} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {1.\left( { - 1} \right) - 1.1 + 2.1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2}} .\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {1^2} + {1^2}} }} = 0\).
Vậy \(\left( {{d_1},{d_2}} \right) = 90^\circ \).
\(\frac{{\sqrt 2 }}{6}\).
\(\frac{{\sqrt 6 }}{3}\).
\[\frac{{\sqrt 2 }}{3}\].
\[\frac{1}{6}\].
Đáp án đúng là: B
Ta có \(\overrightarrow {{u_d}} = \left( {2;1;1} \right)\), vectơ chỉ phương của trục \(Ox\) là \(\overrightarrow i = \left( {1;0;0} \right)\).
Vậy \(\cos \left( {d,Ox} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{u_d}} ,\overrightarrow i } \right)} \right| = \frac{{\left| {2 + 0 + 0} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {1^2}} .\sqrt {{1^2} + {0^2} + {0^2}} }} = \frac{2}{{\sqrt 6 }} = \frac{{\sqrt 6 }}{3}\).
\(30^\circ \).
\(45^\circ \).
\[60^\circ \].
\[90^\circ \].
Đáp án đúng là: B
Gọi \(\varphi \) là góc giữa đường thẳng \(d\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\).
Ta có \(\overrightarrow {{u_d}} = \left( {5;1;0} \right)\) và \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {3; - 2;0} \right)\).
Khi đó \(\sin \varphi = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{u_d}} ,\overrightarrow {{n_p}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow {{u_d}} .\overrightarrow {{n_p}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{u_d}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_p}} } \right|}} = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow \varphi = 45^\circ \).
\( - \frac{{\sqrt {78} }}{9}\).
\( - \frac{{\sqrt 3 }}{9}\).
\(\frac{{\sqrt 3 }}{9}\).
\(\frac{{\sqrt {78} }}{9}\).
Đáp án đúng là: D
Ta có \(\overrightarrow {{u_\Delta }} = \left( {2; - 1;2} \right),\overrightarrow {{n_\alpha }} = \left( {1;1; - 1} \right)\).
Ta có \(\sin \left( {\Delta ,\left( \alpha \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow n } \right)} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow u .\overrightarrow n } \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow n } \right|}} = \frac{{\sqrt 3 }}{9}\)\( \Rightarrow \cos \left( {\Delta ,\left( \alpha \right)} \right) = \frac{{\sqrt {78} }}{9}\).
\(30^\circ \).
\(45^\circ \).
\[60^\circ \].
\[90^\circ \].
Đáp án đúng là: A
Ta có \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {2; - 1; - 1} \right),\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {1;0; - 1} \right)\).
Ta có \(\cos \left[ {\left( P \right),\left( Q \right)} \right] = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_p}} ,\overrightarrow {{n_Q}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_p}} .\overrightarrow {{n_Q}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_p}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_Q}} } \right|}} = \frac{{\left| {2 + 0 + 1} \right|}}{{\sqrt {4 + 1 + 1} .\sqrt {1 + 1} }} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\).
Vậy \(\left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = 30^\circ \).
\(\frac{1}{{\sqrt 3 }}\).
\(\frac{1}{{\sqrt 5 }}\).
\(\frac{2}{{\sqrt 5 }}\).
\(\frac{1}{3}\).
Đáp án đúng là: A
Mặt phẳng \(\left( {MNP} \right)\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {MP} } \right] = \left( {1;1;1} \right)\).
Mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow k = \left( {0;0;1} \right)\).
Gọi \(\varphi \) là góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {MNP} \right)\) và \(\left( {Oxy} \right)\).
Ta có \(\cos \varphi = \left| {\cos \left( {\overrightarrow n ,\overrightarrow k } \right)} \right| = \frac{{\left| {1.0 + 1.0 + 1.1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\).
\(\frac{{\sqrt 3 }}{5}.\)
\(\frac{{\sqrt 3 }}{2}.\)
\(\frac{1}{2}.\)
\(\frac{{\sqrt 3 }}{4}.\)
Đáp án đúng là: C
Từ hệ trục tọa độ \(Oxyz\) với \(A \equiv O\left( {0;0;0} \right)\,,\,B\left( {a;0;0} \right)\,,\,C\left( {a;a;0} \right)\,,\,D\left( {0;a;0} \right)\),\(A'\left( {0;0;a} \right)\,,\,\)
\(B'\left( {a;0;a} \right)\,,\,\)\(C'\left( {a;a;a} \right)\,,\,D'\left( {0;a;a} \right).\)
Ta thấy \(OC \bot \left( {BB'D'D} \right)\) và \(\overrightarrow {OC} = \left( {a;a;0} \right)\) nên suy ra mặt phẳng \(\left( {BB'D'D} \right)\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {1;1;0.} \right)\).
Đường thẳng \(A'B\)có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {A'B} = \left( {a;0; - a} \right)\) ta chọn \(\overrightarrow u = \left( {1;0; - 1} \right).\)
Ta có \(\sin \alpha = \frac{{\left| {\,\overrightarrow n .\overrightarrow {u\,} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow n } \right|.\left| {\overrightarrow u } \right|}} = \frac{{\left| {1.1 + 1.0 + 0.( - 1)} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {0^2}} .\sqrt {{1^2} + {0^2} + {{( - 1)}^2}} }} = \frac{1}{2}.\)
\(60^\circ .\)
\(30^\circ .\)
\(45^\circ .\)
\(75^\circ .\)
Đáp án đúng là: A
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho gốc tọa độ \(O \equiv A',\,Ox \equiv A'D',\,Oy \equiv A'B',\,\,Oz \equiv A'A.\)
Khi đó:\(A'(0;0;0)\), \(D'(a;0;0)\), \(B'(0;a;0)\), \(C'(a;a;0)\),
\(A(0;0;a)\), \(D(a;0;a)\), \(B(0;a;a)\), \(C(a;a;a)\).
\[ \Rightarrow \overrightarrow {A'B'} = (0;a;0),\,\overrightarrow {A'D} = (a;0;a),\,\overrightarrow {A'A} = (0;0;a),\,\overrightarrow {A'C'} = (a;a;0).\]
\(\left[ {\overrightarrow {A'B'} ,\overrightarrow {A'D} } \right] = ({a^2};0; - {a^2}).\)
Chọn \(\overrightarrow {{n_1}} = (1;0; - 1)\) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( {A'B'CD} \right)\).
\(\left[ {\overrightarrow {A'A} ,\overrightarrow {A'C} } \right] = ( - {a^2};{a^2};0).\)
Chọn \(\overrightarrow {{n_2}} = ( - 1;1;0)\) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \[\left( {ACC'A'} \right)\].
Góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {A'B'CD} \right)\)và \(\left( {ACC'A'} \right)\)là:
\[{\rm{cos}}\alpha {\rm{ = }}\left| {{\rm{cos}}\left( {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right)} \right| = \frac{{\left| { - 1} \right|}}{{\sqrt 2 .\sqrt 2 }} = \frac{1}{2} \Rightarrow \alpha = 60^\circ .\]
\(10^\circ .\)
\(12^\circ .\)
\(11^\circ .\)
\(9^\circ .\)
Đáp án đúng là: C
Gọi \(\Delta \) là đường thẳng biểu thị cho hướng chuyển động bay lên của máy bay.
Ta có \(\Delta \) nhận vectơ \(\overrightarrow v = \left( {150;150;40} \right) = 10\left( {15;15;4} \right)\) làm vectơ chỉ phương.
Mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {0;0;1} \right)\).
Gọi \(\varphi \) là góc giữa đường thẳng \(\Delta \) và mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\).
Suy ra \(\sin \varphi = \left| {\cos \left( {\overrightarrow v ,\overrightarrow n } \right)} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow v .\overrightarrow n } \right|}}{{\left| {\overrightarrow v } \right|.\left| {\overrightarrow n } \right|}} = \frac{{\left| {15.0 + 15.0 + 4.1} \right|}}{{\sqrt {{{15}^2} + {{15}^2} + {4^2}} .\sqrt {{0^2} + {0^2} + {1^2}} }} = \frac{4}{{\sqrt {466} }}\).
Vậy góc nâng của máy bay là \(\varphi \approx 11^\circ \).
\(2.\)
\(\frac{1}{2}.\)
\( - \frac{1}{2}.\)
\( - 2.\)
Đáp án đúng là: C
Ta có \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {0; - 1;2} \right)\), \(\overrightarrow {{u_2}} = \left( {1;m; - 1} \right)\).
Theo đề ta có \(\cos \left( {{d_1},{d_2}} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {0.1 + \left( { - 1} \right).m + 2.\left( { - 1} \right)} \right|}}{{\sqrt {{0^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2}} .\sqrt {{1^2} + {m^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{{\sqrt 5 }}{5}\)
\( \Leftrightarrow \frac{{\left| {m + 2} \right|}}{{\sqrt 5 .\sqrt {{m^2} + 2} }} = \frac{{\sqrt 5 }}{5}\)\( \Leftrightarrow \left| {m + 2} \right| = \sqrt {{m^2} + 2} \)\( \Leftrightarrow {m^2} + 4m + 4 = {m^2} + 2\)\( \Leftrightarrow m = - \frac{1}{2}\).
\(\frac{{x + 1}}{2} = \frac{y}{{ - 1}} = \frac{{z + 1}}{{ - 1}}.\)
\(\frac{{x + 1}}{2} = \frac{y}{2} = \frac{{z + 1}}{{ - 1}}.\)
\(\frac{{x + 1}}{2} = \frac{y}{2} = \frac{{z + 1}}{1}.\)
\(\frac{{x + 1}}{2} = \frac{y}{2} = \frac{{z - 1}}{{ - 1}}.\)
Đáp án đúng là: B
Giả sử \(d \cap {\Delta _1} = M \in {\Delta _1}\). Suy ra \(M\left( {1 + 2t;2 + t; - 2 - t} \right)\).
Đường thẳng \(d\) nhận \(\overrightarrow {AM} = \left( {2 + 2t;2 + t; - 1 - t} \right)\) làm một vectơ chỉ phương.
\(\overrightarrow {{u_2}} = \left( { - 1;2;2} \right)\) là một vectơ chỉ phương của \({\Delta _2}\).
Khi có \(\cos \left( {d,{\Delta _2}} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right)} \right| = \frac{{\left| { - 2 - 2t + 4 + 2t - 2 - 2t} \right|}}{{\sqrt {{{\left( {2 + 2t} \right)}^2} + {{\left( {2 + t} \right)}^2} + {{\left( { - 1 - t} \right)}^2}} .\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2} + {2^2}} }}\)
\( = \frac{{\left| { - 2t} \right|}}{{3\sqrt {6{t^2} + 14t + 9} }}\)\( = \frac{1}{3}\sqrt {\frac{{4{t^2}}}{{6{t^2} + 14t + 9}}} \).
Xét hàm số \(y = \frac{{4{t^2}}}{{6{t^2} + 14t + 9}}\).
Có \(y' = \frac{{8t\left( {6{t^2} + 14t + 9} \right) - \left( {12t + 14} \right)4{t^2}}}{{{{\left( {6{t^2} + 14t + 9} \right)}^2}}}\)\( = \frac{{48{t^3} + 112{t^2} + 72t - \left( {48{t^3} + 56{t^2}} \right)}}{{{{\left( {6{t^2} + 14t + 9} \right)}^2}}}\)\( = \frac{{56{t^2} + 72t}}{{{{\left( {6{t^2} + 14t + 9} \right)}^2}}}\).
Có \(y' = 0 \Leftrightarrow 56{t^2} + 72t = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 0 \Rightarrow y = 0\\t = - \frac{9}{7} \Rightarrow y = 7,2\end{array} \right.\).
Suy ra \({y_{\min }} \Leftrightarrow t = 0 \Rightarrow M\left( {1;2; - 2} \right)\). Do đó \(\overrightarrow {AM} = \left( {2;2; - 1} \right)\).
Vậy phương trình đường thẳng \(d:\frac{{x + 1}}{2} = \frac{y}{2} = \frac{{z + 1}}{{ - 1}}\).
\( - \frac{1}{{2\sqrt 3 }}.\)
\(1.\)
\(\frac{1}{{2\sqrt 3 }}.\)
\(\frac{1}{{12}}.\)
Đáp án đúng là: C
Đường thẳng \(AB\) nhận \(\overrightarrow {AB} = \left( {1; - 2;1} \right)\) làm một vectơ chỉ phương.
Đường thẳng \(CD\) nhận \(\overrightarrow {CD} = \left( { - 1; - 1;0} \right)\) làm một vectơ chỉ phương.
Do đó \(\cos \left( {AB,CD} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} } \right)} \right| = \frac{{\left| {1.\left( { - 1} \right) + \left( { - 2} \right).\left( { - 1} \right) + 1.0} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {1^2}} .\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {0^2}} }} = \frac{1}{{2\sqrt 3 }}\).
\(30^\circ \).
\(45^\circ \).
\[60^\circ \].
\[90^\circ \].
Đáp án đúng là: B
Vì điểm \(H\left( {2; - 1; - 2} \right)\) là hình chiếu vuông góc của gốc tọa độ \(O\left( {0;0;0} \right)\) xuống mặt phẳng \(\left( Q \right)\) nên \(OH \bot \left( Q \right)\). Suy ra mặt phẳng \(\left( Q \right)\) nhận \(\overrightarrow {OH} = \left( {2; - 1; - 2} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến.
Có \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1; - 1;0} \right)\).
Suy ra \(\cos \left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow {OH} } \right)} \right| = \frac{{\left| {2.1 + \left( { - 1} \right).\left( { - 1} \right) + \left( { - 2} \right).0} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} .\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {0^2}} }} = \frac{3}{{3\sqrt 2 }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\).
Do đó \(\left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = 45^\circ \).
\(30^\circ \).
\(45^\circ \).
\[60^\circ \].
\[90^\circ \].
Đáp án đúng là: C
Ta có \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {3;4;5} \right),\overrightarrow {{n_\alpha }} = \left( {1; - 2;0} \right),\overrightarrow {{n_\beta }} = \left( {1;0; - 2} \right)\).
Ta có \(\overrightarrow {{u_d}} = \left[ {\overrightarrow {{n_\alpha }} ,\overrightarrow {{n_\beta }} } \right] = \left( {4;2;2} \right)\).
Khi đó \(\sin \varphi = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow {{u_d}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {3.4 + 4.2 + 5.2} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2} + {5^2}} .\sqrt {{4^2} + {2^2} + {2^2}} }} = \frac{{30}}{{20\sqrt 3 }} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\)\( \Rightarrow \varphi = 60^\circ \).
\(m = - 1\).
\(m = 1\).
\[m = - 5\].
\[m = 5\].
Đáp án đúng là: A
Ta có \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {2; - m; - 3} \right),\overrightarrow {{u_2}} = \left( {1;1;1} \right)\) lần lượt là các vectơ chỉ phương của đường thẳng \({d_1},{d_2}\).
Để \({d_1}\) vuông góc với \({d_2}\) thì \(2.1 + \left( { - m} \right).1 + \left( { - 3} \right).1 = 0 \Leftrightarrow m = - 1\).
\[I\left( { - 1;2;1} \right)\] và \(R = 3\).
\[I\left( {1; - 2; - 1} \right)\] và \(R = 3\).
\[I\left( { - 1;2;1} \right)\] và \(R = 9\).
\[I\left( {1; - 2; - 1} \right)\] và \(R = 9\).
Đáp án đúng là: A
Dựa vào phương trình mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 9\), ta có tâm \(I( - 1;2;1)\) và \(R = \sqrt 9 = 3\).
Tâm \[I\left( { - 1;2; - 3} \right)\]và bán kính \[R = 4\].
Tâm \[I\left( {1; - 2;3} \right)\]và bán kính \[R = 4\].
Tâm \[I\left( { - 1;2;3} \right)\]và bán kính \[R = 4\].
Tâm \[I\left( {1; - 2;3} \right)\]và bán kính \[R = 16\].
Đáp án đúng là: A
Dựa vào phương trình mặt cầu \[(S):{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x - 4y + 6z - 2 = 0\],ta có:
\[\left\{ \begin{array}{l}{\rm{t\^a m }}I\left( { - 1;2; - 3} \right)\\{\rm{b\'a n k\'i nh }}R = \sqrt {{{( - 1)}^2} + {2^2} + {{( - 3)}^2} - ( - 2)} = \sqrt {16} = 4\end{array} \right.\].
\[(S):{\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {z^2} = 16\].
\[(S):{\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {z^2} = 4\].
\[(S):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {z^2} = 16\].
\[(S):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {z^2} = 4\].
Đáp án đúng là: A
Phương trình mặt cầu \[(S):{\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {z^2} = 16\].
\[(S):{x^2} + {y^2} + {(z - 1)^2} = 24\].
\[(S):{x^2} + {y^2} + {(z - 1)^2} = \sqrt 6 \].
\[(S):{x^2} + {y^2} + {(z - 1)^2} = 6\].
\[(S):{x^2} + {y^2} + {(z - 1)^2} = \sqrt {24} \].
Đáp án đúng là: C
Tâm I là trung điểm của AB, \(I(0;\,0;\,1)\)
Bán kính \(R = \frac{{AB}}{2} = \frac{{\sqrt {24} }}{2} = \sqrt 6 \) với \(\overrightarrow {AB} = (4;\, - 2;\,2)\)
Phương trình mặt cầu \[(S):{\rm{ }}{x^2} + {y^2} + {(z - 1)^2} = 6\].\[\]
\((S):{(x - 1)^2} + {(y - 1)^2} + {(z - 2)^2} = 4.\)
\((S):{(x + 1)^2} + {(y + 1)^2} + {(z + 2)^2} = 4.\)
\((S):{(x - 1)^2} + {(y - 1)^2} + {(z - 2)^2} = 2.\)
\((S):{(x + 1)^2} + {(y + 1)^2} + {(z + 2)^2} = 4.\)
Đáp án đúng là: A
Dạng phương trình
Ta có\(\left\{ \begin{array}{l}A \in (S)\\B \in (S)\\C \in (S)\\D \in (S)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2a - 2b + d = - 2\\ - 6a - 2b - 4c + d = - 14\\2a - 2b - 4c + d = - 6\\ - 2a + 2b - 4c + d = - 6\end{array} \right. \Leftrightarrow a = 1,\,b = 1;\,c = 2;d = 2\)
Vậy \((S):{(x - 1)^2} + {(y - 1)^2} + {(z - 2)^2} = 4.\)
\({\left( {x\; - 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 4\).
\({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 9\).
\({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 3\).
\({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 5\).
Đáp án đúng là: A
Ta có: \(d(A,(P)) = \frac{{\left| {2.2 - 1 + 2.1 + 1} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2}} }} = 2\).
Phương trình mặt cầu là:\({\left( {x\;--2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 4\).
\[{\left( {x + 3} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = \frac{4}{9}\].
\[{\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = \frac{4}{9}\].
\[{\left( {x + 3} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = \frac{4}{9}\].
\[{\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = \frac{4}{9}\].
Đáp án đúng là: D
Vì \(I \in d \Rightarrow \)\(I(t, - 1, - t)\)
\(d(I,(P)) = d(I,(Q))\)nên \(\frac{{\left| {t - 2 - 2t + 3} \right|}}{3} = \frac{{\left| {t - 2 - 2t + 7} \right|}}{3}\)\( \Leftrightarrow \frac{{\left| { - t + 1} \right|}}{3} = \frac{{\left| { - t + 5} \right|}}{3}\)\( \Leftrightarrow t = 3\).
Do đó \(I\left( {3; - 1; - 3} \right)\) và \(R = d\left( {I,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {1.3 + 2.\left( { - 1} \right) + 2\left( { - 3} \right) + 3} \right|}}{3} = \frac{2}{3}\).
Phương trình mặt cầu là:\[{\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = \frac{4}{9}\].
\(m = 2;m = - 5\).
\(m = - 2;m = 5\).
\(m = 4;m = - 7\).
Không tồn tại giá trị của\(m\)
Đáp án đúng là: A
\(\left( S \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 9\)có tâm và bán kính lần lượt là \(I\left( {1; - 1;1} \right),{\rm{ }}R = 3\).
Mặt phẳng \(\left( P \right)\) tiếp xúc với mặt cầu \(\left( S \right)\) khi và chỉ khi \(d\left( {I,\left( P \right)} \right) = R\)
\( \Leftrightarrow \frac{{\left| {2.1 + 2.\left( { - 1} \right) + 1 - {m^2} - 3m} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {2^2} + {1^2}} }} = 3 \Leftrightarrow \left| { - {m^2} - 3m + 1} \right| = 9 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{m^2} + 3m - 1 = 9}\\{{m^2} + 3m - 1 = - 9}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m = 2}\\{m = - 5}\end{array}} \right.\).
\(3\sqrt 3 .\)
\(\sqrt 6 .\)
3.
\(2\sqrt 3 .\)
Đáp án đúng là: A
Tâm \(I \in d \Rightarrow I\left( {1 + t;1 + 2t; - 2 + t} \right)\).
\(\overrightarrow {AI} = \left( {3 + t; - 3 + 2t; - 3 + t} \right);{\rm{ }}\overrightarrow {BI} = \left( { - 1 + t;1 + 2t; - 5 + t} \right)\)
Vì \(\left( S \right)\) đi qua \(A,B\) nên ta có
\[\begin{array}{l}IA = IB \Leftrightarrow I{A^2} = I{B^2} \Leftrightarrow {\left( {3 + t} \right)^2} + {\left( { - 3 + 2t} \right)^2} + {\left( { - 3 + t} \right)^2} = {\left( { - 1 + t} \right)^2} + {\left( {1 + 2t} \right)^2} + {\left( { - 5 + t} \right)^2}\\ \Leftrightarrow 4t = 0 \Leftrightarrow t = 0 \Rightarrow \overrightarrow {IA} = \left( {3; - 3; - 3} \right)\end{array}\]
Vậy bán kính mặt cầu \(\left( S \right)\): \(R = IA = \sqrt {{3^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} = 3\sqrt 3 .\)
\({x^2} + {y^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = \frac{2}{7}\) hoặc \({x^2} + {y^2} + {\left( {z - 4} \right)^2} = \frac{2}{7}.\)
\({x^2} + {y^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = \frac{2}{7}\) hoặc \({x^2} + {y^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = \frac{2}{7}.\)
\({x^2} + {y^2} + {z^2} = \frac{2}{7}\) hoặc \({x^2} + {y^2} + {\left( {z - 4} \right)^2} = \frac{2}{7}.\)
\({x^2} + {y^2} + {z^2} = \frac{2}{7}\) hoặc \({x^2} + {y^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = \frac{2}{7}.\)
Đáp án đúng là: C
Vì tâm\(I \in Oz \Rightarrow I\left( {0;0;z} \right)\)
Mặt cầu \((S)\)có tâm \(I\) tiếp xúc với mặt phẳng \((P)\)\( \Leftrightarrow d\left( {I,\left( P \right)} \right) = R \Leftrightarrow \frac{{\left| {2.0 + 3.0 + 1.z - 2} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {3^2} + {1^2}} }} = \frac{2}{{\sqrt {14} }}\)
\( \Leftrightarrow \left| {z - 2} \right| = 2 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z = 0 \Rightarrow I\left( {0;0;0} \right)\\z = 4 \Rightarrow I\left( {0;0;4} \right)\end{array} \right.\)
Vậy phương trình mặt cầu.\(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} = \frac{2}{7}\) hoặc \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {\left( {z - 4} \right)^2} = \frac{2}{7}.\)
\[{\left( {x - 6} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - 4} \right)^2} = 6\].
\[{\left( {x - 6} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - 4} \right)^2} = 36\].
\[{\left( {x + 6} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z + 4} \right)^2} = 6\].
\[{\left( {x + 6} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z + 4} \right)^2} = 36\].
Đáp án đúng là: B
phương trình mặt cầu \(\left( S \right)\) biểu diễn ranh giới của vùng phủ sóng là
\[{\left( {x - 6} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - 4} \right)^2} = 36\].
\[A\left( { - 5;0;3} \right)\].
\[B\left( { - 5; - 2;5} \right)\].
\[C\left( { - 6;2;2} \right)\].
\[D\left( { - 7; - 2;3} \right)\].
Đáp án đúng là: C
Ta có \(IA = \sqrt 3 < 2,IB = \sqrt 3 < 2,IC = \sqrt {13} > 2,ID = \sqrt 3 < 2\).
Vậy người đứng tại điểm C nằm ngoài mặt cầu nên sẽ không sử dụng được dịch vụ của trạm thu phát sóng điện thoại di động.
\[{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x + 2y - 2z + 4 = 0\].
\[{x^2} + {y^2} + {z^2} + 4x - 2y + 2z + 6 = 0\].
\[{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x - 6y + 4z + 14 = 0\].
\[{x^2} + {y^2} + {z^2} + 8x - 6y + 2z - 10 = 0\].
Đáp án đúng là: D
Phương trình \[{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x + 2y - 2z + 4 = 0\] có \({a^2} + {b^2} + {c^2} - d = - 1 < 0\).
Phương trình \[{x^2} + {y^2} + {z^2} + 4x - 2y + 2z + 6 = 0\] có \({a^2} + {b^2} + {c^2} - d = 0\).
Phương trình \[{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x - 6y + 4z + 14 = 0\] có \({a^2} + {b^2} + {c^2} - d = 0\).
Phương trình \[{x^2} + {y^2} + {z^2} + 8x - 6y + 2z - 10 = 0\] có \({a^2} + {b^2} + {c^2} - d = 36 > 0\).
Vậy phương trình \[{x^2} + {y^2} + {z^2} + 8x - 6y + 2z - 10 = 0\] là phương trình của mặt cầu.
\[7\].
\[8\].
\[9\].
\[6\].
Đáp án đúng là: A
Ta có \[{x^2} + {y^2} + {z^2} + 4mx + 2my - 2mz + 9{m^2} - 28 = 0\]
\[ \Leftrightarrow {\left( {x + 2m} \right)^2} + {\left( {y + m} \right)^2} + {\left( {z - m} \right)^2} = 28 - 3{m^2}\]\[\left( 1 \right)\].
\[\left( 1 \right)\]là phương trình mặt cầu \[ \Leftrightarrow 28 - 3{m^2} > 0 \Leftrightarrow - \sqrt {\frac{{28}}{3}} < m < \sqrt {\frac{{28}}{3}} \].
Do \[m\] nguyên nên \[m \in \left\{ { - 3\,;\, - 2\,;\, - 1\,;\,0\,;\,1\,;\,2\,;\,3} \right\}\].
Vậy có \[7\] giá trị của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
\((S):{\left( {x + 1} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = \frac{{110}}{3}\).
\((S):{\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = \frac{{110}}{3}\).
\((S):{\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = \frac{{100}}{3}\).
\((S):{\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = \frac{{110}}{3}\).
Đáp án đúng là: B
Ta có \[\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 7t\\y = 3t\\z = 1 - 2t\end{array} \right.\] . Tọa độ I là nghiệm của hệ phương trình:
Thay (1), (2), (3) vào (4) ta có: \[5\left( {1 + 7t} \right) - 4\left( {3t} \right) + \left( {1 - 2t} \right) - 6 = 0 \Leftrightarrow t = 0 \Rightarrow I\left( {1;0;1} \right)\].
Ta có : \[d\left( {I,\left( Q \right)} \right) = \frac{{5\sqrt 6 }}{3}\].
Gọi r là bán kính đường tròn giao tuyến của (S) và mặt phẳng (Q). Ta có: \[20\pi = \pi {r^2} \Leftrightarrow r = 2\sqrt 5 .\]
R là bán kính mặt cầu (S) cần tìm.
Theo giả thiết: \(R = \sqrt {{{\left[ {d\left( {I,\left( Q \right)} \right)} \right]}^2} + {r^2}} = \frac{{\sqrt {330} }}{3}.\) Vậy (S) : \({\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = \frac{{110}}{3}\).
Vectơ có toạ độ \((1;2;3)\) là một vectơ chỉ phương của \({\Delta _1}\).
Vectơ có toạ độ \((4;5;6)\)là một vectơ chỉ phương của \({\Delta _2}\).
Côsin của góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {{u_1}} = (2;1; - 2)\) và \(\overrightarrow {{u_2}} = ( - 1; - 2;2)\) bằng \( - \frac{8}{9}\)
Góc giữa hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của độ) bằng \(132^\circ .\)
a) S, b) S, c) Đ, d) S
a) \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {2;1; - 2} \right)\)là một vectơ chỉ phương của \({\Delta _1}\).
b) \(\overrightarrow {{u_2}} = \left( { - 1; - 2;2} \right)\)là một vectơ chỉ phương của \({\Delta _2}\).
c) Côsin của góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {2;1; - 2} \right)\), \(\overrightarrow {{u_2}} = \left( { - 1; - 2;2} \right)\)là
\(\cos \left( {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right) = \frac{{\overrightarrow {{u_1}} .\overrightarrow {{u_2}} }}{{\left| {\overrightarrow {{u_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{u_2}} } \right|}} = \frac{{ - 8}}{{3.3}} = \frac{{ - 8}}{9}\) .
d) \(\cos \left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right)} \right| = \frac{8}{9} \Rightarrow \left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) \approx 27^\circ \).
Vectơ có tọa độ \(\left( {2;1;6} \right)\) là một vectơ chỉ phương của \(\Delta .\)
Vectơ có tọa độ \(\left( {1;2; - 2} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của \(\left( P \right).\)
Côsin của góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow u = \left( {5;12; - 13} \right)\) và \(\overrightarrow n = \left( {1; - 2; - 2} \right)\) bằng \(\frac{7}{{39\sqrt 2 }}.\)
Góc giữa đường thẳng \(\Delta \) và mặt phẳng \(\left( P \right)\) (làm tròn đến hàng đơn vị của độ) bằng \(83^\circ .\)
a) S, b) Đ, c) Đ, d) S
a) Vectơ chỉ phương của đường thẳng \(\Delta \) là \(\overrightarrow u = \left( {5;12; - 13} \right)\).
b) Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( P \right)\) là \(\overrightarrow n = \left( {1; - 2; - 2} \right)\).
c) Côsin của góc giữa hai vecto \(\overrightarrow u = \left( {5;12; - 13} \right)\) và \(\overrightarrow n = \left( {1; - 2; - 2} \right)\) là
\(\cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow n } \right) = \frac{{\overrightarrow u .\overrightarrow n }}{{\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow n } \right|}} = \frac{7}{{13\sqrt 2 .3}} = \frac{7}{{39\sqrt 2 }}\).
d) Khi đó, góc giữa đường thẳng \(\Delta \) và mặt phẳng \(\left( P \right)\) là
\(\sin \left( {\Delta ,\left( P \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow n } \right)} \right| = \frac{7}{{39\sqrt 2 }} \Rightarrow \left( {\Delta ,\left( P \right)} \right) \approx 7^\circ \).
Vectơ có tọa độ \(\left( {2\,;\,2\,;1} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của mặt phằng \(\left( {{P_1}} \right)\).
Vectơ có toạ độ \(\left( {1\,;\, - 2\,;\, - 2} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( {{P_2}} \right)\).
Côsin của góc giữa hai vectơ \({\vec n_1} = \left( {2\,;\,1\,;\,2} \right)\) và \({\vec n_2} = \left( {1\,;\, - 2\,;\, - 2} \right)\)bằng \( - \frac{4}{9}\).
Góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {{P_1}} \right)\) và \(\left( {{P_2}} \right)\) bằng \(116^\circ \).
a) S, b) Đ, c) Đ, d) S
a) \(\overrightarrow {{n_{\left( {{P_1}} \right)}}} = \left( {2;1;2} \right)\) .
b) \(\overrightarrow {{n_{\left( {{P_2}} \right)}}} = \left( {1; - 2; - 2} \right)\).
c) \(\cos \left( {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right) = \frac{{2.1 + 1\left( { - 2} \right) + 2\left( { - 2} \right)}}{{3.3}} = - \frac{4}{9}\) .
d) Ta có \(\cos \left( {\left( {{P_1}} \right),\left( {{P_2}} \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right)} \right| = \frac{4}{9} \Rightarrow \left( {\left( {{P_1}} \right),\left( {{P_2}} \right)} \right) \approx 63^\circ \).
Trong không gian \[Oxyz\] cho hình chóp \(S.ABCD\)có \(S\left( {0;0;3,5} \right),\,ABCD\) là hình chữ nhật với \(A\left( {0;0;0} \right),B\left( {4;0;0} \right),D\left( {0;10;0} \right)\) (tham khảo hình vẽ).
Toạ độ điểm \[C\left( {4;10;0} \right).\]
Phương trình mặt phẳng \[\left( {SBD} \right)\] là \[\frac{x}{4} + \frac{y}{{10}} + \frac{z}{{3,5}} = 1\].
Toạ độ của vectơ \[\overrightarrow {SC} \] là \[\left( {4;10; - 3,5} \right)\].
Góc giữa đường thẳng SCvà mặt phẳng \[\left( {SBD} \right)\] (làm tròn đến hàng đơn vị của độ là \[20^\circ \]).
a) Đ, b) Đ, c) Đ, d) S
a) Vì \(\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BC} \) nên \(C\left( {4\,;\,10\,;\,0} \right)\). Suy ra toạ độ điểm \[C\left( {4;10;0} \right).\]
b) Phương trình mặt phẳng \(\left( {SBD} \right)\) là: \(\frac{x}{4} + \frac{y}{{10}} + \frac{z}{{3,5}} = 1 \Leftrightarrow 35x + 14y + 40z - 140 = 0.\)
c) \(\overrightarrow {SC} = \left( {4\,;\,10\,;\, - 3,5} \right)\).
d) Suy ra \(\overrightarrow n = \left( {35\,;\,14\,;\,40} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( {SBD} \right)\).
Khi đó, \(\sin \left( {SC\,,\,\left( {SBD} \right)} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow {SC} \,.\,\overrightarrow n } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {SC} } \right|\,.\,\left| {\,\overrightarrow n } \right|}} = \frac{{\left| {4\,.\,35 + 10\,.\,14 + \left( { - \,3,5} \right)\,.\,40} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {{10}^2} + {{\left( { - \,3,5} \right)}^2}} \,.\,\sqrt {{{35}^2} + {{14}^2} + {{40}^2}} }} = \frac{{280\sqrt {53} }}{{9\,\,063}}\).
Vậy góc giữa đường thẳng \(SC\) và mặt phẳng \(\left( {SBD} \right)\) là khoảng \(13^\circ \).
Vectơ \(\overrightarrow {AB} \) không là vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\).
\(\overrightarrow {MN} = \left( {2;0;3} \right),\overrightarrow {MP} = \left( {4;0;1} \right)\).
Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) có một vectơ pháp tuyến có toạ độ là \(\left( {0; - 1;0} \right)\).
Góc giữa đường thẳng \(d\) và mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) bằng \(45^\circ \).
a) S, b) Đ, c) Đ, d) Đ
a) Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( {2\;;\; - 2;\;0} \right)\)là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\).
b) \(\overrightarrow {MN} = \left( {2\;;\;0;\;3} \right)\), \(\overrightarrow {MP} = \left( {4\;;\;0;\;1} \right)\).
c) \(\left[ {\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {MP} } \right] = \left( {0\;;\;10;\;0} \right)\)nên mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\)có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {0\;;\; - 1;\;0} \right).\)
d) \[{\rm{sin}}\left( {d,\left( \alpha \right)} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow n .\overrightarrow {AB} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow n } \right|.\left| {\overrightarrow {AB} } \right|}} = \frac{{\left| {0.2 + \left( { - 1} \right).\left( { - 2} \right) + 0.0} \right|}}{{\sqrt {{0^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {0^2}} .\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {0^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\].
Suy ra góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\)bằng \(45^\circ \).
Vectơ chỉ phương của đường thẳng \({\Delta _1}\) là \(\overrightarrow a = \left( {1; - 3;4} \right)\).
Đường thẳng \({d_1}\) vuông góc với \(\left( P \right)\) có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \left( {1;3; - 2} \right)\).
Đường thẳng \({d_2}\) vuông góc với \({\Delta _2}\) và song song với mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_2}} = \left( {3; - 3;2} \right)\).
Đường thẳng \({d_3}\) qua \(A\left( {1; - 1;2} \right)\), cắt và vuông góc với trục \(Oz\) có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_3}} = \left( { - 1; - 1;0} \right)\).
a) S, b) Đ, c) S, d) S
a) Vectơ chỉ phương của đường thẳng \({\Delta _1}\) là \(\overrightarrow a = \left( {0; - 3;4} \right)\).
b) Đường thẳng \({d_1}\) vuông góc với \(\left( P \right)\) có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \overrightarrow {{n_P}} = \left( {1;3; - 2} \right)\).
c) Có \(\overrightarrow {{u_{{\Delta _2}}}} = \left( {3; - 3;2} \right),\overrightarrow k = \left( {0;0;1} \right)\).
Suy ra \(\overrightarrow {{u_2}} = \left[ {\overrightarrow {{u_{{\Delta _2}}}} ,\overrightarrow k } \right] = \left( { - 3; - 3;0} \right)\).
d) Giả sử \({d_3}\) cắt trục \(Oz\) tại điểm \(B\left( {0;0;a} \right)\). Suy ra \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 1;1;a - 2} \right)\).
Vì \({d_3} \bot Oz\) nên \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow k = 0\)\( \Leftrightarrow a - 2 = 0 \Leftrightarrow a = 2\).
Do đó đường thẳng \({d_3}\) nhận \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 1;1;0} \right)\).
Số đo góc giữa hai đường thẳng \(\Delta \) và \(\left( P \right)\) bằng \(90^\circ \).
Biết hình chiếu của \(O\) lên \(\left( Q \right)\) là \(H\left( {3; - 1;2} \right)\), \(\alpha \) là số đo góc giữa \(\left( Q \right)\) và đường thẳng \(\Delta \). Khi đó \(\cos \alpha = \frac{1}{{14}}\).
Đường thẳng \({d_1}\) là giao tuyến của \(\left( P \right)\) và \(\left( {Oxy} \right)\). Gọi \(\beta \) là góc giữa \({d_1}\) và mặt phẳng \(\left( {Oxz} \right)\). Khi đó \(\beta > 30^\circ \).
Đường thẳng \({d_2}\) vuông góc với \(\left( P \right)\) tạo với \(\left( Q \right):x + my - 3 = 0\) một góc \(30^\circ \). Khi đó tổng tất cả các giá trị của tham số \(m = - \frac{{16}}{5}\).
a) S, b) S, c) S, d) S
a) Ta có \(\overrightarrow {{u_\Delta }} = \left( { - 1;2;3} \right),\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1;2; - 1} \right)\).
Có \(\sin \left( {\Delta ,\left( P \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{u_\Delta }} ,\overrightarrow {{n_P}} } \right)} \right| = \frac{{\left| { - 1.1 + 2.2 + 3.\left( { - 1} \right)} \right|}}{{\sqrt {14} .\sqrt 6 }} = 0\).
Do đó số đo góc giữa hai đường thẳng \(\Delta \) và \(\left( P \right)\) bằng \(0^\circ \).
b) \(\overrightarrow {{n_Q}} = \overrightarrow {OH} = \left( {3; - 1;2} \right)\).
Ta có \(\sin \alpha = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {OH} ,\overrightarrow {{u_\Delta }} } \right)} \right| = \frac{{\left| {3.\left( { - 1} \right) + \left( { - 1} \right).2 + 2.3} \right|}}{{\sqrt {9 + 1 + 4} .\sqrt {1 + 4 + 9} }} = \frac{1}{{14}}\).
c) Ta có \(\overrightarrow {{u_{{d_1}}}} = \left[ {\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow k } \right] = \left( {2; - 1;0} \right)\).
\(\sin \beta = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{u_{{d_1}}}} ,\overrightarrow j } \right)} \right| = \frac{{\left| {2.0 + \left( { - 1} \right).1 + 0.0} \right|}}{{\sqrt {4 + 1} .\sqrt 1 }} = \frac{1}{{\sqrt 5 }}\)\( \Rightarrow \beta \approx 26,5^\circ < 30^\circ \).
d) Đường thẳng \({d_2}\) vuông góc với \(\left( P \right)\) nên \(\overrightarrow {{u_{{d_2}}}} = \left( {1;2; - 1} \right)\).
Có \(\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {1;m;0} \right)\).
\(\sin \left( {{d_2},\left( Q \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{u_{{d_2}}}} ,\overrightarrow {{n_Q}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {1.1 + 2.m + \left( { - 1} \right).0} \right|}}{{\sqrt 6 .\sqrt {{1^2} + {m^2}} }} = \frac{{\left| {1 + 2m} \right|}}{{\sqrt {6\left( {1 + {m^2}} \right)} }} = \sin 30^\circ \)
\( \Leftrightarrow \frac{{\left| {1 + 2m} \right|}}{{\sqrt {6\left( {1 + {m^2}} \right)} }} = \frac{1}{2}\)\( \Leftrightarrow 2{\left( {1 + 2m} \right)^2} = 3\left( {1 + {m^2}} \right)\)\( \Leftrightarrow 2\left( {1 + 4m + 4{m^2}} \right) = 3\left( {1 + {m^2}} \right)\)
\( \Leftrightarrow 5{m^2} + 8m - 1 = 0\)\( \Leftrightarrow m = \frac{{ - 4 \pm \sqrt {21} }}{5}\).
Suy ra tổng các giá trị của \(m\) là \( - \frac{8}{5}\).
Hai đường thẳng \(d\) và \(d'\) vuông góc với nhau.
Hai đường thẳng \(d\) và \(d'\) cắt nhau tại điểm có tọa độ \(\left( { - 1;0;3} \right)\).
Hai đường thẳng \(d'\) và \(\left( \Delta \right)\) song song hoặc trùng nhau.
Hai đường thẳng \(d'\) và \(\left( \Delta \right)\) trùng nhau.
a) Đ, b) Đ, c) Đ, d) S
Có \(\overrightarrow {{u_d}} = \left( {2; - 1;4} \right)\), \(\overrightarrow {{u_{d'}}} = \left( {3;2; - 1} \right),\overrightarrow {{u_\Delta }} = \left( { - 3; - 2;1} \right)\).
a) Có \(\overrightarrow {{u_d}} .\overrightarrow {{u_{d'}}} = 2.3 + \left( { - 1} \right).2 + 4.\left( { - 1} \right) = 0\). Do đó hai đường thẳng \(d\) và \(d'\) vuông góc với nhau.
b) Ta có \(d':\frac{{x + 4}}{3} = \frac{{y + 2}}{2} = \frac{{z - 4}}{{ - 1}}\)\( \Rightarrow d':\left\{ \begin{array}{l}x = - 4 + 3t'\\y = - 2 + 2t'\\z = 4 - t'\end{array} \right.\).
Xét hệ \(\left\{ \begin{array}{l} - 3 + 2t = - 4 + 3t'\\1 - t = - 2 + 2t'\\ - 1 + 4t = 4 - t'\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2t - 3t' = - 1\\ - t - 2t' = - 3\\4t + t' = 5\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = 1\\t' = 1\\4.1 + 1 = 5\end{array} \right.\).
Vậy tọa độ giao điểm là \(\left( { - 1;0;3} \right)\).
c) Có \(\frac{3}{{ - 3}} = \frac{2}{{ - 2}} = \frac{{ - 1}}{1}\)\( \Rightarrow \overrightarrow {{u_{d'}}} \) và \(\overrightarrow {{u_\Delta }} \) cùng phương nên hai đường thẳng \(d'\) và \(\left( \Delta \right)\) song song hoặc trùng nhau.
d) Vì \(A\left( { - 4; - 2;4} \right) \in d'\) thay vào phương trình đường thẳng \(\Delta \) không thỏa mãn nên hai đường thẳng \(d'\) và \(\left( \Delta \right)\)không trùng nhau.
Côsin góc giữa hai máy bay số một và máy bay số hai là \(\frac{{5\sqrt 2 }}{6}\).
Sau 10 giờ kể từ thời điểm bay hai máy bay gần nhau nhất.
Nếu máy bay số một vẫn ở phi trường (đứng ở vị trí ban đầu) thì vị trí tọa độ của máy bay là \(\left( {20;20; - 10} \right)\).
Sau 5 giờ thì vị trí tọa độ máy bay số hai trong không gian là \(\left( {35;25; - 10} \right)\).
a) S, b) Đ, c) Đ, d) S
a) Giả sử đường bay của máy bay số 1 là \(\left( {{\Delta _1}} \right):\left\{ \begin{array}{l}x = 20 + 2t\\y = 20 + t\\z = - 10 - t\end{array} \right.\) có \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {2;1; - 1} \right)\) và đường bay của máy bay số 2 thỏa mãn \(\left( {30 + t';20 + t', - 10 - t'} \right) \in {\Delta _2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 30 + t'\\y = 20 + t'\\z = - 10 - t'\end{array} \right.\) có \(\overrightarrow {{u_2}} = \left( {1;1; - 1} \right)\).
Ta có \(\cos \left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {2.1 + 1.1 + \left( { - 1} \right).\left( { - 1} \right)} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} .\sqrt {{1^2} + {1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\).
b) Kể từ thời điểm xuất phát, để hai máy bay gần nhau nhất thì hai máy bay phải gần tọa độ giao điểm của \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\).
Xét hệ \(\left\{ \begin{array}{l}20 + 2t = 30 + t'\\20 + t = 20 + t'\\ - 10 - t = - 10 - t'\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2t - t' = 10\\t - t' = 0\\ - t + t' = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow t = t' = 10\).
Vậy sau 10 giờ thì hai máy bay gần nhau nhất.
c) Nếu máy bay số một vẫn ở phi trường thì thời điểm lúc đó là 0 giờ \( \Rightarrow t = 0\) thay vào phương trình đường thẳng \({\Delta _1}\) ta được
Suy ra vị trí tọa độ của máy bay là \(\left( {20;20; - 10} \right)\).
d) Vị trí tọa độ máy bay số 2 sau 5 giờ là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 30 + 5\\y = 20 + 5\\z = - 10 - 5\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 35\\y = 25\\z = - 15\end{array} \right.\).
Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {1; - 2;0} \right)\) và bán kính \(R = 2\).
Bán kính của mặt cầu \(\left( S \right)\) là đoạn \(IM\) với điểm \(M\left( {1;1;2} \right)\).
Mặt cầu \(\left( S \right)\) có đường kính \(AB\) với \(A\left( {0;1; - 2} \right)\) và \(B\left( {2; - 1; - 4} \right)\).
Mặt cầu \(\left( S \right)\) tiếp xúc với mặt phẳng \(\left( P \right):x + y - z - 2 = 0\).
a) Đ, b) S, c) S, d) S
a) Mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 4y + 1 = 0\) có tâm \(I\left( {1; - 2;0} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {0^2} - 1} = 2\).
b) Thay tọa độ điểm M vào phương trình mặt cầu ta được \({1^2} + {1^2} + {2^2} - 2.1 + 4.1 + 1 = 9 \ne 0\).
Do đó \(M\)không nằm trên \(\left( S \right)\).
c) Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( {2; - 2; - 2} \right)\)\( \Rightarrow \left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt {{2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} = 2\sqrt 3 \)\( \Rightarrow \frac{{AB}}{2} = \sqrt 3 \ne R\).
d) Ta có \(d\left( {I,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {1 + \left( { - 2} \right) - 0 - 2} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \sqrt 3 \ne R\).
Phương trình mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) là \(5x - y + 2z + 3 = 0\).
Phương trình đường thẳng \(AC\) là \(\frac{{x - 1}}{{ - 1}} = \frac{y}{1} = \frac{{x + 1}}{3}\).
Phương trình mặt cầu đường kính \(AC\) là \({x^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 12\).
Phương trình mặt cầu có tâm \(A\) và đi qua \(B\) là \({\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 11\).
a) S, b) S, c) S, d) Đ
a) \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 1;1;3} \right),\overrightarrow {AC} = \left( { - 2; - 2;4} \right)\), \(\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {10; - 2;4} \right) = 2\left( {5; - 1;2} \right)\).
Phương trình mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) đi qua điểm \(A\left( {1;0; - 1} \right)\) và nhận \(\overrightarrow n = \left( {5; - 1;2} \right)\)làm vectơ pháp tuyến có phương trình là \(5\left( {x - 1} \right) - y + 2\left( {z + 1} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow 5x - y + 2z - 3 = 0\).
b) Đường thẳng \(AC\) đi qua \(A\left( {1;0; - 1} \right)\) và nhận \(\overrightarrow u = \left( {1;1; - 2} \right)\) làm vectơ chỉ phương có phương trình là \(\frac{{x - 1}}{1} = \frac{y}{1} = \frac{{z + 1}}{{ - 2}}\).
c) Có \(\left| {\overrightarrow {AC} } \right| = \sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {4^2}} = 2\sqrt 6 \)\( \Rightarrow R = \frac{{AC}}{2} = \sqrt 6 \).
Gọi \(I\left( {0; - 1;1} \right)\) là trung điểm của \(AC\).
Do đó phương trình mặt cầu đường kính \(AC\) là \({x^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 6\).
d) Có \(R = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {1^2} + {3^2}} = \sqrt {11} \).
Phương trình mặt cầu có tâm \(A\) và đi qua \(B\) là \({\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 11\).
Trong không gian \(Oxyz\), cho \(\left( P \right):x - y + z - 3 = 0\) và \(A\left( {5;6;7} \right)\). Gọi \(H\left( {a;b;c} \right)\) là hình chiếu vuông góc của \(A\) trên \(\left( P \right)\). Tính \(a + 2b + c\).
Trả lời: 24
Đường thẳng đi qua \(A\left( {5;6;7} \right)\) và vuông góc với mặt phẳng \(\left( P \right):x - y + z - 3 = 0\) nhận \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1; - 1;1} \right)\) làm vectơ chỉ phương có phương trình là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 5 + t\\y = 6 - t\\z = 7 + t\end{array} \right.\).
Tọa độ điểm H là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x = 5 + t\\y = 6 - t\\z = 7 + t\\x - y + z - 3 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 5 + t\\y = 6 - t\\z = 7 + t\\5 + t - 6 + t + 7 + t - 3 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 4\\y = 7\\z = 6\\t = - 1\end{array} \right.\).
Do đó \(H\left( {4;7;6} \right)\). Suy ra \(a = 4;b = 7;c = 6\). Vậy \(a + 2b + c = 24\).
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho các điểm \(A\left( {1;0;0} \right),B\left( {0;2;0} \right),C\left( {0;0;m} \right)\left( {m \ne 0} \right)\). Để mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) hợp với mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) một góc \(60^\circ \) thì tổng các giá trị của \(m\)là bao nhiêu?
Trả lời: 0
Mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) có phương trình là \(\frac{x}{1} + \frac{y}{2} + \frac{z}{m} = 1\)\( \Leftrightarrow 2mx + my + 2z - 2m = 0\).
Mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {2m;m;2} \right)\).
Mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\)có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow k = \left( {0;0;1} \right)\)
Để mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) hợp với mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) một góc \(60^\circ \) thì \(\cos 60^\circ = \frac{{\left| 2 \right|}}{{\sqrt {4{m^2} + {m^2} + 4} }}\)
\( \Leftrightarrow \frac{1}{2} = \frac{{\left| 2 \right|}}{{\sqrt {4{m^2} + {m^2} + 4} }}\)\( \Leftrightarrow 4{m^2} + {m^2} + 4 = 16\)\( \Leftrightarrow 5{m^2} = 12\)\( \Leftrightarrow m = \pm \sqrt {\frac{{12}}{5}} \).
Vậy tổng các giá trị của \(m\) bằng 0.
Trong không gian \(Oxyz\) cho hai đường thẳng \({d_1}:\left\{ \begin{array}{l}x = 4 + t\\y = - 4 - t\\z = 6 + 2t\end{array} \right.\), \({d_2}:\frac{{x - 5}}{2} = \frac{{y - 11}}{4} = \frac{{z - 5}}{2}\). Đường thẳng \(d\) đi qua \(A\left( {5; - 3;5} \right)\) cắt \({d_1},{d_2}\) lần lượt ở \(B,C\). Tính tỉ số \(\frac{{AB}}{{AC}}\).
Trả lời: 0,5
Vì \(B \in {d_1}\) nên \(B\left( {4 + t; - 4 - t;6 + 2t} \right)\).
Phương trình tham số của \({d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 5 + 2t'\\y = 11 + 4t'\\z = 5 + 2t'\end{array} \right.\).
Vì \(C \in {d_2}\) nên \(C\left( {5 + 2t';11 + 4t';5 + 2t'} \right)\).
Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 1 + t; - 1 - t;2t + 1} \right),\overrightarrow {AC} = \left( {2t';4t' + 14;2t'} \right)\).
Do \(A,B,C\) thẳng hàng nên \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} \) cùng phương.
Suy ra \(\exists k \in \mathbb{R}:\overrightarrow {AB} = k\overrightarrow {AC} \)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t - 1 = 2kt'\\ - t - 1 = 4kt' + 14k\\2t + 1 = 2kt'\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = - 2\\t' = - 3\\k = \frac{1}{2}\end{array} \right.\).
Do đó \(\overrightarrow {AB} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} \Rightarrow \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{1}{2} = 0,5\).
Trong không gian \(Oxyz\), một cabin cáp treo ở Bà Nà Hill xuất phát từ điểm \(A\left( { - 2;1;5} \right)\) và chuyển động đều theo đường cáp có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \left( {0; - 2;6} \right)\) với tốc độ là \(4{\rm{m/s}}\) (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét). Giả sử sau 5 (s) kể từ lúc xuất phát, cabin đến điểm \(M\). Gọi tọa độ \(M\left( {a;b;c} \right)\). Tính \(a + 3b + c\).
Trả lời: 6
Phương trình tham số của đường cáp là \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = - 2\\y = 1 - 2k\\z = 5 + 6k\end{array} \right.\).
Do tốc độ chuyển động của cabin là \(4{\rm{m/s}}\) nên độ dài \(AM = 4t\left( {\rm{m}} \right)\).
Vì vậy sau 5 giây kể từ lúc xuất phát, cabin đến điểm \(M\) thì \(AM = 4.5 = 20\left( {\rm{m}} \right)\).
Vì \(M \in d\) nên \(M\left( { - 2;1 - 2k;5 + 6k} \right)\). Suy ra \(\overrightarrow {AM} = \left( {0; - 2k;6k} \right)\).
Do 2 vectơ \(\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow u \) cùng hướng nên \(k > 0\).
Vì \(AM = 20 \Leftrightarrow \sqrt {{0^2} + 4{k^2} + 36{k^2}} = 20\)\( \Leftrightarrow 40{k^2} = 400 \Leftrightarrow k = \sqrt {10} \) (vì \(k > 0\)).
Suy ra tọa độ điểm \(M\left( { - 2;1 - 2\sqrt {10} ;5 + 6\sqrt {10} } \right)\).
Khi đó \(a + 3b + c = - 2 + 3\left( {1 - 2\sqrt {10} } \right) + 5 + 6\sqrt {10} = 6\).
Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {a;b;c} \right)\) nằm trên đường thẳng \(\left( d \right):\frac{x}{1} = \frac{{y - 1}}{1} = \frac{{z - 2}}{1}\) và tiếp xúc với hai mặt phẳng \(\left( P \right):2x - z - 4 = 0\), \(\left( Q \right):x - 2y - 2 = 0\). Tổng \(P = a + b + c\) bằng bao nhiêu?
Trả lời: 6
Vì \(I \in d\) nên \(I\left( {t;1 + t;2 + t} \right)\).
Theo đề ta có \(d\left( {I,\left( P \right)} \right) = d\left( {I,\left( Q \right)} \right)\)\( \Leftrightarrow \frac{{\left| {2t - 2 - t - 4} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{{\left| {t - 2 - 2t - 2} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }}\)
\( \Leftrightarrow \left| {t - 6} \right| = \left| { - 4 - t} \right|\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t - 6 = - 4 - t\\t - 6 = 4 + t\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow t = 1\).
Do đó \(I\left( {1;2;3} \right)\). Suy ra \(P = a + b + c = 6\).
Trong không gian \(Oxyz\), một vòm được thiết kế có bề mặt là mặt cầu tâm \(I\left( {1;2;20} \right)\), bán kính bằng \(50{\rm{m}}\) và có đáy nằm trên mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\). Chiều cao của vòm là bao nhiêu? (biết đơn vị của hệ trục tọa độ là mét).
Trả lời: 70
Chiều cao của vòm bằng \(R + d\left( {I,\left( {Oxy} \right)} \right)\)\( = 50 + \frac{{\left| {20} \right|}}{{\sqrt {{1^2}} }} = 70\).
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình thang vuông tại \(A\) và \(B\), thỏa mãn điều kiện \(AB = BC = a,AD = 2a\), \(SA\) vuông góc với mặt đáy \(\left( {ABCD} \right)\), \(SA = a\). Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(SB,CD\). Tính cosin của góc giữa \(MN\) và \(\left( {SAC} \right)\). (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
Trả lời: 0,74
Chọn đơn vị là \(a\).
Có \(A\left( {0;0;0} \right),B\left( {1;0;0} \right),C\left( {1;1;0} \right),D\left( {0;2;0} \right),S\left( {0;0;1} \right),M\left( {\frac{1}{2};0;\frac{1}{2}} \right),N\left( {\frac{1}{2};\frac{3}{2};0} \right)\).
Vectơ chỉ phương của \(\overrightarrow {MN} \) là \(\overrightarrow {MN} = \left( {0;\frac{3}{2}; - \frac{1}{2}} \right)\)\( \Rightarrow 2\overrightarrow {MN} = \left( {0;3; - 1} \right)\).
Vectơ pháp tuyến của \(\left( {SAC} \right)\) là \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AS} } \right] = \left( {1; - 1;0} \right)\).
Suy ra \(\sin \left( {MN,\left( {SAC} \right)} \right) = \frac{{\left| 3 \right|}}{{\sqrt {9 + 1} .\sqrt 2 }} = \frac{{3\sqrt 5 }}{{10}}\).
Do đó \(\cos \left( {MN,\left( {SAC} \right)} \right) = \sqrt {1 - {{\left( {\frac{{3\sqrt 5 }}{{10}}} \right)}^2}} = \frac{{\sqrt {55} }}{{10}} \approx 0,74\).
Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):\,{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 16\) có tâm \(I\left( {a;b;c} \right)\). Tính \(a + b + c\).
Trả lời: 2
Mặt cầu \(\left( S \right):\,{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 16\) có tâm là \(I\left( {1\,;\, - 2\,;\,3} \right)\).
Suy ra \(a = 1;b = - 2;c = 3\). Do đó \(a + b + c = 2\).
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho \(A\left( { - 1;0;0} \right)\), \(B\left( {0;0;2} \right)\), \(C\left( {0; - 3;0} \right)\). Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \(OABC\) (kết quả làm tròn đến hàng phần mười).
Trả lời: 1,9
Gọi \(\left( S \right)\) là mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \(OABC\).
Phương trình mặt cầu \(\left( S \right)\) có dạng: \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\).
Vì \(O\), \(A\), \(B\), \(C\) thuộc \(\left( S \right)\) nên ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}d = 0\\1 + 2a + d = 0\\4 - 4c + d = 0\\9 + 6b + d = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - \frac{1}{2}\\b = - \frac{3}{2}\\c = 1\\d = 0\end{array} \right.\).
Vậy bán kính mặt cầu \(\left( S \right)\) là: \(R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d} \)\( = \sqrt {\frac{1}{4} + \frac{9}{4} + 1} \)\( = \frac{{\sqrt {14} }}{2} \approx 1,9\)
Trong không gian \(Oxyz\), gọi \(I\left( {a;\,b;\,c} \right)\) là tâm mặt cầu đi qua điểm \(A\left( {1;\, - 1;\,4} \right)\) và tiếp xúc với tất cả các mặt phẳng tọa độ. Tính \(P = a - b + c\).
Trả lời: 9
Vì mặt cầu tâm \(I\) tiếp xúc với các mặt phẳng tọa độ nên \(d\left( {I,\,\left( {Oyz} \right)} \right) = d\left( {I,\,\left( {Ozx} \right)} \right) = d\left( {I,\,\left( {Oxy} \right)} \right)\)\( \Leftrightarrow \left| a \right| = \left| b \right| = \left| c \right|\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = b = c\\a = b = - c\\a = - b = c\\a = - b = - c\end{array} \right.\)
Nhận thấy chỉ có trường hợp \(a = - b = c\) thì phương trình \(AI = d\left( {I,\,\left( {Oxy} \right)} \right)\) có nghiệm, các trường hợp còn lại vô nghiệm.
Thật vậy:
Với \(a = - b = c\) thì \(I\left( {a;\, - a;\,a} \right)\)
\(AI = d\left( {I,\,\left( {Oyx} \right)} \right)\)\( \Leftrightarrow {\left( {a - 1} \right)^2} + {\left( {a - 1} \right)^2} + {\left( {a - 4} \right)^2} = {a^2}\)\( \Leftrightarrow {a^2} - 6a + 9 = 0\)\( \Leftrightarrow a = 3\)
Khi đó \(P = a - b + c = 9\).
Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\), cho các điểm \(A(5;1;3),B(1;2;6),C(5;0;4),D(4;0;6)\). Viết phương trình mặt phẳng\[(Q)\]chứa \(AB\) và song song với \(CD\).
+) \[\overrightarrow {AB} = ( - 4;1;3),\,\,\overrightarrow {CD} = ( - 1;0;2)\] .
Mặt phẳng\[(Q)\]chứa \(AB\) và song song với \(CD\)có một vecto pháp tuyến:
\[\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} } \right] = (2;5;1)\].
Mặt phẳng \(\left( Q \right)\) đi qua \(A\left( {5;1;3} \right)\) và nhận \(\overrightarrow n = \left( {2;5;1} \right)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là:
\(2\left( {x - 5} \right) + 5\left( {y - 1} \right) + \left( {z - 3} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow 2x + 5y + z - 18 = 0\).
Viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng \(\Delta \) trong mỗi trường hợp sau:
a) \(\Delta \) đi qua điểm \(A\left( { - 1;3;2} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( { - 2;3;4} \right)\).
b) \(\Delta \) đi qua hai điểm \(M\left( {2; - 1;3} \right)\) và \(N\left( {3;0;4} \right)\).
a) \(\Delta \) đi qua điểm \(A\left( { - 1;3;2} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( { - 2;3;4} \right)\) có phương trình tham số là \(\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 - 2t\\y = 3 + 3t\\z = 2 + 4t\end{array} \right.\) và phương trình chính tắc là \(\frac{{x + 1}}{{ - 2}} = \frac{{y - 3}}{3} = \frac{{z - 2}}{4}\).
b) Ta có \(\overrightarrow {MN} = \left( {1;1;1} \right)\).
Đường thẳng \(MN\) đi qua \(M\left( {2; - 1;3} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {MN} = \left( {1;1;1} \right)\) có phương trình tham số là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = - 1 + t\\z = 3 + t\end{array} \right.\) và phương trình chính tắc là \(\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{{z - 3}}{1}\).
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), viết phương trình đường thẳng d đi qua \(A\left( {2; - 1;1} \right)\) cắt và vuông góc với đường thẳng \[\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = - 1 - t\\z = t\end{array} \right.\] .
Gọi \({\rm{B}} = {\rm{d}} \cap \Delta \)nên gọi \(B\left( {t; - 1 - t;t} \right)\)\( \Rightarrow \overrightarrow {AB} = \left( {t - 2; - t;t - 1} \right)\).
Có \(\overrightarrow {{u_\Delta }} = \left( {1; - 1;1} \right)\).
Vì \(d \bot \Delta \) nên \( \Rightarrow \overrightarrow {AB} = \left( { - 1; - 1;0} \right)\) nên \(\left( {1;1;0} \right)\) là vectơ chỉ phương của d.
Đường thẳng \(d\) đi qua \(A\left( {2; - 1;1} \right)\) và có \(\left( {1;1;0} \right)\) là vectơ chỉ phương có phương trình là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = - 1 + t\\z = 1\end{array} \right..\)
Trong không gian \(Oxyz\), viết phương trình mặt cầu đi qua 3 điểm \(A\left( { - 2;3;3} \right),B\left( { - 1;1;2} \right),C\left( {4;2;2} \right)\) và có tâm thuộc mặt phẳng \(\left( {Oyz} \right)\).
Vì mặt cầu có tâm \(I\) thuộc mặt phẳng \(\left( {Oyz} \right)\) nên tâm có dạng \(I\left( {0;b;c} \right)\).
Vì mặt cầu đi qua ba điểm \(A\left( { - 2;3;3} \right),B\left( { - 1;1;2} \right),C\left( {4;2;2} \right)\) nên ta có \(IA = IB = IC = R \Leftrightarrow I{A^2} = I{B^2} = I{C^2} = {R^2}\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4 + {\left( {3 - b} \right)^2} + {\left( {3 - c} \right)^2} = 1 + {\left( {1 - b} \right)^2} + {\left( {2 - c} \right)^2}\\1 + {\left( {1 - b} \right)^2} + {\left( {2 - c} \right)^2} = 16 + {\left( {2 - b} \right)^2} + {\left( {2 - c} \right)^2}\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}40 + 9 - 6c + {c^2} = 65 + 4 - 4c + {c^2}\\b = 9\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2c = 20\\b = 9\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}c = - 10\\b = 9\end{array} \right.\). Suy ra \(I\left( {0;9; - 10} \right),R = IA = \sqrt {4 + 36 + 169} = \sqrt {209} \).
Phương trình mặt cầu là \({x^2} + {\left( {y - 9} \right)^2} + {\left( {z + 10} \right)^2} = 209\).
Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {z^2} = 12\). Gọi \(\left( P \right)\) là mặt phẳng song song với mặt phẳng \[\left( {Oxz} \right)\] và cắt mặt cầu \(\left( S \right)\)theo đường tròn có chu vi lớn nhất. Viết phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\).
Mặt phẳng \(\left( P \right)\) song song với mặt phẳng \[\left( {Oxz} \right)\]nên có vectơ pháp tuyến \(\vec j = \left( {0;1;0} \right)\).
Mặt phẳng \(\left( P \right)\) cắt mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {z^2} = 12\) theo đường tròn có chu vi lớn nhất nên mặt phẳng \(\left( P \right)\)đi qua tâm \[I\left( {1;\; - 2;\;0} \right)\].
Phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\): \(y + 2 = 0\).
Trong không gian \[Oxyz\] cho điểm \(A\left( {2;\;1{\rm{;}}\;1} \right)\) và đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = t\\z = - 2 - t\end{array} \right.\). Tìm phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) chứa đường thẳng d và cách A một khoảng lớn nhất.
Gọi K là hình chiếu vuông góc của A trên đường thẳng d và H là hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\). Khi đó \(d\left( {A,\left( \alpha \right)} \right) = AH \le AK\).
Vậy: \(d\left( {A,\left( \alpha \right)} \right)\) lớn nhất khi \(H \equiv K\). Khi đó \(\left( \alpha \right)\) là mặt phẳng chứa d và vuông góc với AK.
\(K \in d \Rightarrow K = \left( {1 + 2t;\;t;\; - 2 - t} \right)\)\( \Rightarrow \overrightarrow {AK} = \left( {2t - 1;\;t - 1;\; - t - 3} \right)\).
\(AK \bot d \Leftrightarrow \overrightarrow {AK} .{\vec u_d} = 0 \Leftrightarrow 2\left( {2t - 1} \right) + 1\left( {t - 1} \right) - 1\left( { - t - 3} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow t = 0\).
Phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) qua \(M\left( {1;\;{\rm{0;}}\; - 2} \right) \in d\) và có vectơ pháp tuyến \(\vec n = \overrightarrow {AK} = \left( { - 1;\; - 1;\; - 3} \right)\) là: \( - 1\left( {x - 1} \right) - 1\left( {y - 0} \right) - 3\left( {z + 2} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow x + y + 3z + 5 = 0\).
Trong không gian \(Oxyz\) (đơn vị trên mỗi trục là mét), một ngọn hải đăng (xem hình vẽ) được đặt ở vị trí \(I\left( {25;30;50} \right)\). Mặt cầu \(\left( S \right)\) mô tả ranh giới của vùng phủ sáng trên biển của hải đăng, biết rằng ngọn hải đăng đó được thiết kế với bán kính phủ sáng \(R = 5\;{\rm{km}}\).
a) Viết phương trình mặt cầu \(\left( S \right)\).
b) Chứng minh rằng điểm \(A\left( {1025;30;50} \right)\) nằm bên trong mặt cầu \(\left( S \right)\).
c) Một người đi biển ở vị trí \(M\left( {45;60;50} \right)\) có được chiếu sáng bởi sánh sáng của ngọn hải đăng không?
a) Đổi \(5\;{\rm{km }} = {\rm{ }}5000{\rm{ m}}\).
Phương trình mặt cầu \(\left( S \right)\): \({\left( {x - 25} \right)^2} + {\left( {y - 30} \right)^2} + {\left( {z - 50} \right)^2} = {5000^2}\).
b) Có \(IA = \sqrt {{{\left( {1025 - 25} \right)}^2} + {{\left( {30 - 30} \right)}^2} + {{\left( {50 - 50} \right)}^2}} = 1000 < 5000 = R\).
Do đó điểm \(A\) nằm trong mặt cầu \(\left( S \right)\).
c) Ta có \(IM = \sqrt {{{\left( {45 - 25} \right)}^2} + {{\left( {60 - 30} \right)}^2} + {{\left( {50 - 50} \right)}^2}} = \sqrt {1300} < 5000 = R\).
Suy ra điểm \(M\) nằm trong mặt cầu \(\left( S \right)\). Do đó một người đi biển ở vị trí \(M\left( {45;60;50} \right)\) có thể được chiếu sáng bởi sánh sáng của ngọn hải đăng.
