Đề cương ôn tập giữa kì 2 Toán 12 Kết nối tri thức cấu trúc mới (có tự luận) có đáp án - Bài 11. Nguyên hàm
29 câu hỏi
Biết \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\) trên \(K\). Khẳng định nào dưới đây đúng?
\(F\left( x \right) = f\left( x \right),\forall x \in K\).
\(F'\left( x \right) = f\left( x \right),\forall x \in K\).
\(F'\left( x \right) = f'\left( x \right),\forall x \in K\).
\(f'\left( x \right) = F\left( x \right),\forall x \in K\).
Đáp án đúng là: B
\(F'\left( x \right) = f\left( x \right),\forall x \in K\).
Biết \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\) trên \(K\). Khẳng định nào dưới đây đúng?
\(\int {2f\left( x \right)dx} = 2F'\left( x \right) + C\).
\(\int {2f\left( x \right)dx} = 2f\left( x \right) + C\).
\(\int {2f\left( x \right)dx} = 2F\left( x \right) + C\).
\(\int {2f\left( x \right)dx} = F\left( {2x} \right) + C\).
Đáp án đúng là: C
\(\int {2f\left( x \right)dx} = 2F\left( x \right) + C\).
\(\int {\left( {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right)dx} = \int {f\left( x \right)dx} .\int {g\left( x \right)dx} \).
\(\int {f\left( x \right).g\left( x \right)dx} = \int {f\left( x \right)dx} .\int {g\left( x \right)dx} \).
\(\int {\frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}dx} = \frac{{\int {f\left( x \right)dx} }}{{\int {g\left( x \right)dx} }}\).
\(\int {\left( {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right)dx} = \int {f\left( x \right)dx} - \int {g\left( x \right)dx} \).
Đáp án đúng là: D
\(\int {\left( {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right)dx} = \int {f\left( x \right)dx} - \int {g\left( x \right)dx} \).
\(G\left( x \right) = xF\left( x \right) - x + C\).
\(G\left( x \right) = F\left( x \right) - x + C\).
\(G\left( x \right) = xF\left( x \right) - 1 + C\).
\(G\left( x \right) = F\left( x \right) - 1 + C\).
Đáp án đúng là: B
\(G\left( x \right) = \int {\left[ {f\left( x \right) - 1} \right]dx} = \int {f\left( x \right)dx} - \int {dx} \)\( = F\left( x \right) - x + C\).
\[{x^2} + C\].
\[{x^2} + 6x + C\].
\[2{x^2} + C\].
\[2{x^2} + 6x + C\].
Đáp án đúng là: B
\(\int {\left( {2x + 6} \right)dx = {x^2} + 6x + C} \)
\(\frac{{{x^{2023}}}}{{2023}} + 1\).
\(\frac{{{x^{2023}}}}{{2023}}\).
\(y = 2022{x^{2021}}\).
\(\frac{{{x^{2023}}}}{{2023}} - 1\).
Đáp án đúng là: C
Ta có: \(\int {{x^{2022}}{\rm{d}}} x = \frac{{{x^{2023}}}}{{2023}} + C,{\rm{ }}C\)là hằng số.
Nên các phương án A, B, D đều là nguyên hàm của hàm số \(y = {x^{2022}}\).
\[F\left( x \right)\, = \,\frac{{{x^4}}}{4}\, - \,6{x^3}\, + \,\frac{{11}}{2}{x^2} - \,6x\, + \,C\].
\[F\left( x \right)\, = \,{x^4}\, + \,6{x^3}\, + \,11{x^2} + \,6x\, + \,C\].
\[F\left( x \right)\, = \,\frac{{{x^4}}}{4}\, + 2{x^3}\, + \,\frac{{11}}{2}{x^2} + \,6x\, + \,C\].
\[F\left( x \right)\, = \,{x^3}\, + \,6{x^2}\, + \,11{x^2} + \,6x\, + \,C\].
Đáp án đúng là: C
Ta có: \[f\left( x \right)\, = \,\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right) = \,{x^3} + \,6{x^2}\, + \,11x\, + \,6\].
\[ \Rightarrow \,\,F\left( x \right)\, = \,\int {\left( {{x^3} + \,6{x^2}\, + \,11x\, + \,6} \right)} dx\, = \,\,\frac{{{x^4}}}{4}\, + 2{x^3}\, + \,\frac{{11}}{2}{x^2} + \,6x\, + \,C\].
\(\int {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \frac{{{x^3}}}{3} + \frac{1}{x} + C\).
\(\int {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \frac{{{x^3}}}{3} - \frac{2}{x} + C\).
\(\int {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \frac{{{x^3}}}{3} - \frac{1}{x} + C\).
\(\int {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \frac{{{x^3}}}{3} + \frac{2}{x} + C\).
Đáp án đúng là: B
Ta có \(\int {\left( {{x^2} + \frac{2}{{{x^2}}}} \right){\rm{d}}x} = \frac{{{x^3}}}{3} - \frac{2}{x} + C\).
\(\sin x + 3{x^2} + C\).
\( - \sin x + 3{x^2} + C\).
\(\sin x + 6{x^2} + C\).
\( - \sin x + C\).
Đáp án đúng là: A
Ta có \(\int {f\left( x \right){\rm{d}}x = \int {\left( {\cos x + 6x} \right){\rm{d}}x = \sin x + 3{x^2} + C} } \).
\(\int {\cos \frac{x}{2}\sin \frac{x}{2}} = \frac{1}{2}\sin + C\).
\(\int {\cos \frac{x}{2}\sin \frac{x}{2}} = \frac{1}{2}\cos x + C\).
\(\int {\cos \frac{x}{2}\sin \frac{x}{2}} = - \frac{1}{2}\sin x + C\).
\(\int {\cos \frac{x}{2}\sin \frac{x}{2}} = - \frac{1}{2}\cos x + C\).
Đáp án đúng là: D
\(\int {\cos \frac{x}{2}\sin \frac{x}{2}} = \frac{1}{2}\int {\sin x} dx = - \frac{1}{2}\cos x + C\).
\(F\left( { - 1} \right) = \frac{1}{{2\ln 2}}\).
\(F\left( { - 1} \right) = \frac{1}{2} - \frac{1}{{2\ln 2}}\).
\(F\left( { - 1} \right) = 1 + \frac{1}{{2\ln 2}}\).
\(F\left( { - 1} \right) = \frac{1}{2} - \frac{1}{{\ln 2}}\).
Đáp án đúng là: B
\[F\left( x \right) = \int {\left( {{2^x} + x + 1} \right){\rm{d}}x} = \frac{1}{{\ln 2}}{2^x} + \frac{1}{2}{x^2} + x + C.\]
\[ \Rightarrow F\left( x \right) = \frac{1}{{\ln 2}}{2^x} + \frac{1}{2}{x^2} + x + C.\]
\(F\left( 0 \right) = 1 \Rightarrow 1 = \frac{1}{{\ln 2}}{2^0} + \frac{1}{2}{0^2} + 0 + C \Rightarrow C = 1 - \frac{1}{{\ln 2}}\)
\[ \Rightarrow F\left( x \right) = \frac{1}{{\ln 2}}{2^x} + \frac{1}{2}{x^2} + x + 1 - \frac{1}{{\ln 2}}\]
\( \Rightarrow F\left( { - 1} \right) = \frac{1}{{\ln 2}}{2^{ - 1}} + \frac{1}{2} - 1 + 1 - \frac{1}{{\ln 2}} \Rightarrow F\left( { - 1} \right) = \frac{1}{2} - \frac{1}{{2\ln 2}}\).
\(F\left( x \right) = {e^x} + {x^2} + \frac{1}{2}\).
\(F\left( x \right) = {e^x} + {x^2} + \frac{5}{2}\).
\(F\left( x \right) = {e^x} + {x^2} + \frac{3}{2}\).
\(F\left( x \right) = 2{e^x} + {x^2} - \frac{1}{2}\).
Đáp án đúng là: A
Ta có\(F\left( x \right) = \int {\left( {{e^x} + 2x} \right){\rm{d}}x} = {e^x} + {x^2} + C\).
Theo bài ra ta có: \(F\left( 0 \right) = 1 + C = \frac{3}{2} \Rightarrow C = \frac{1}{2}\).
\({f^2}\left( 2 \right) = \frac{{313}}{{15}}\).
\({f^2}\left( 2 \right) = \frac{{332}}{{15}}\).
\({f^2}\left( 2 \right) = \frac{{324}}{{15}}\).
\[{f^2}\left( 2 \right) = \frac{{323}}{{15}}\].
Đáp án đúng là: B
Ta có \(\int {f'\left( x \right).f\left( x \right){\rm{d}}x} = \int {\left( {{x^4} + {x^2}} \right){\rm{d}}x} + C\)\( \Rightarrow \frac{{{f^2}\left( x \right)}}{2} = \frac{{{x^5}}}{5} + \frac{{{x^3}}}{3} + C\).
Do \(f\left( 0 \right) = 2\) nên suy ra \(C = 2\).
Vậy \({f^2}\left( 2 \right) = 2\left( {\frac{{32}}{5} + \frac{8}{3} + 2} \right)\)\( = \frac{{332}}{{15}}\).
5 (cm).
7,5 (m).
2,5 (m).
5 (m).
Đáp án đúng là: D
Ta có: \(v\left( t \right) = - 40t + 20\)
\( \Rightarrow s\left( t \right) = \int {v\left( t \right)} dt = \int {\left( { - 40t + 20} \right)} dt = - 20{t^2} + 20t + C\)
\( \Rightarrow s\left( t \right) = - 20{t^2} + 20t + C\)
Chọn \(t = 0 \Rightarrow s\left( 0 \right) = 0\)\( \Rightarrow C = 0\)
\( \Rightarrow s\left( t \right) = - 20{t^2} + 20t\)
Khi xe dừng hẳn thì \(v\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow - 40t + 20 = 0 \Rightarrow t = 0,5\).
Từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển được: \(s\left( {0,5} \right) = - 20.{\left( {0,5} \right)^2} + 20.\left( {0,5} \right) = 5{\rm{m}}\).
Bạn Minh Hiền ngồi trên máy bay đi du lịch thế giới với vận tốc chuyển động của máy bay là \(v\left( t \right) = 3{t^2} + 5\left( {{\rm{m/s}}} \right)\). Quãng đường máy bay bay từ giây thứ 4 đến giây thứ 10 là:
36 m.
252 m.
1134 m.
966 m.
Đáp án đúng là: D
Ta có: \(v\left( t \right) = 3{t^2} + 5\)
\( \Rightarrow s\left( t \right) = \int {v\left( t \right)dt} = \int {\left( {3{t^2} + 5} \right)} dt = {t^3} + 5t + C\)
\( \Rightarrow s\left( t \right) = {t^3} + 5t + C\)
Chọn \(t = 0 \Rightarrow s\left( 0 \right) = 0\)\( \Rightarrow C = 0\).
\( \Rightarrow s\left( t \right) = {t^3} + 5t\)
Sau 4 giây, quãng đường máy bay bay được là:\(s\left( 4 \right) = {4^3} + 5.4 = 84{\rm{m}}\).
Sau 10 giây, quãng đường máy bay bay được là:\(s\left( {10} \right) = {10^3} + 5.10 = 1050{\rm{m}}\).
Quãng đường máy bay từ giây thứ 4 đến giây thứ 10 là:\[s\left( {10} \right) - s\left( 4 \right) = 966{\rm{m}}\].
\(F\left( x \right) = f'\left( x \right)\).
\(F'\left( x \right) = f\left( x \right)\).
\(F\left( x \right) = {x^4} - 3{x^2} + 2\).
\(F\left( 1 \right) = 3\).
a) S, b) Đ, c) Đ, d) S
a) b) Ta có \(F'\left( x \right) = f\left( x \right)\).
c) Có \(F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)} dx = \int {\left( {4{x^3} - 6x} \right)dx} = {x^4} - 3{x^2} + C\).
Mà \(F\left( 0 \right) = 2\) nên \(C = 2\).
Do đó \(F\left( x \right) = {x^4} - 3{x^2} + 2\).
d) Có \(F\left( 1 \right) = {1^4} - {3.1^2} + 2 = 0\).
\(\int {f\left( x \right)} dx = 2x + 3\ln \left( {x - 1} \right) + C\).
Nguyên hàm \(F\left( x \right)\) của \(f\left( x \right) = \frac{{2x + 1}}{{x - 1}}\) thỏa mãn \(F\left( 2 \right) = 1\) là \(F\left( x \right) = 2x + 3\ln \left| {x - 1} \right| - 3\).
Phương trình \(F\left( x \right) = 2x + 2\) có 2 nghiệm \({x_1};{x_2}\). Khi đó \(T = {x_1} + {x_2} = 2\).
a) Đ, b) S, c) Đ, d) Đ
a) Ta có \(f\left( x \right) = \frac{{2x + 1}}{{x - 1}} = \frac{{2\left( {x - 1} \right) + 3}}{{x - 1}} = 2 + \frac{3}{{x - 1}}\).
b) \(\int {f\left( x \right)} dx = \int {\left( {2 + \frac{3}{{x - 1}}} \right)} dx = 2x + 3\ln \left| {x - 1} \right| + C\).
c) Theo câu b, \(F\left( x \right) = 2x + 3\ln \left| {x - 1} \right| + C\).
Vì \(F\left( 2 \right) = 1\) nên \(F\left( 2 \right) = 2.2 + 3\ln \left| {2 - 1} \right| + C = 1\)\( \Leftrightarrow C = - 3\).
Vậy \(F\left( x \right) = 2x + 3\ln \left| {x - 1} \right| - 3\).
d) Có \(F\left( x \right) = 2x + 2\) nên \(2x + 3\ln \left| {x - 1} \right| - 3 = 2x + 2\)\( \Leftrightarrow \ln \left| {x - 1} \right| = \frac{5}{3}\)\( \Leftrightarrow \left| {x - 1} \right| = {e^{\frac{5}{3}}}\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 1 = {e^{\frac{5}{3}}}\\x - 1 = - {e^{\frac{5}{3}}}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1 + {e^{\frac{5}{3}}}\\x = 1 - {e^{\frac{5}{3}}}\end{array} \right.\).
Tổng hai nghiệm của phương trình là 2.
\(\int {f\left( x \right)dx} = - 2\sin x + C\).
Biết rằng \(\int {f\left( x \right)dx} = ax + b\sin x + C,a,b \in \mathbb{Z}\), khi đó \(a + b = 4\).
Nguyên hàm \(F\left( x \right)\) của hàm số \(f\left( x \right)\) thỏa mãn \(F\left( 0 \right) = 1\) là \(F\left( x \right) = 2\left( {x + \sin x} \right) + 1\).
Nguyên hàm \(F\left( x \right)\) của hàm số \(f\left( x \right)\) thỏa mãn \(F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 0\) là \(F\left( x \right) = 2\left( {x + \sin x} \right) - \pi \).
a) S, b) Đ, c) Đ, d) S
a) Vì \({\left( { - 2\sin x + C} \right)^\prime } = - 2\cos x \ne 4{\cos ^2}\frac{x}{2}\) nên hàm số \(F\left( x \right) = - 2\sin x + C\) không phải là nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\) đã cho.
b) Có \(\int {f\left( x \right)} dx = \int {4{{\cos }^2}\frac{x}{2}} dx = \int {2\left( {1 + \cos x} \right)} dx = 2\left( {x + \sin x} \right) + C\).
Suy ra \(a = 2;b = 2\). Do đó \(a + b = 4\).
c) Theo câu b, \(F\left( x \right) = 2\left( {x + \sin x} \right) + C\).
Vì \(F\left( 0 \right) = 1\) nên \(C = 1\). Vậy ta có \(F\left( x \right) = 2\left( {x + \sin x} \right) + 1\).
d) Theo câu b, \(F\left( x \right) = 2\left( {x + \sin x} \right) + C\).
Vì \(F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 0\) nên \(2\left( {\frac{\pi }{2} + \sin \frac{\pi }{2}} \right) + C = 0 \Leftrightarrow C = - \pi - 2\).
Vậy \(F\left( x \right) = 2\left( {x + \sin x} \right) - \pi - 2\).
\(F\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{2} + \ln x + 2025\).
Biết \(F\left( 1 \right) = \frac{3}{2}\), khi đó \(F\left( e \right) = \frac{{{e^2}}}{2} + 1\).
\(F\left( x \right) = f'\left( x \right),\forall x \in \left( {0; + \infty } \right)\).
Biết rằng đồ thị của hàm số \(F\left( x \right)\) đi qua \(M\left( {e;\frac{{{e^2}}}{2}} \right)\). Khi đó \(F\left( 1 \right) = \frac{1}{2}\).
a) Đ, b) S, c) S, d) S
a) Ta có \(F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx} = \int {\frac{{{x^2} + 1}}{x}} dx = \int {\left( {x + \frac{1}{x}} \right)} dx = \frac{{{x^2}}}{2} + \ln x + C\).
Một nguyên hàm \(F\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{2} + \ln x + 2025\).
b) Có \(F\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{2} + \ln x + C\).
Ta có \(F\left( 1 \right) = \frac{3}{2} \Leftrightarrow \frac{1}{2} + C = \frac{3}{2} \Leftrightarrow C = 1\). Suy ra \(F\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{2} + \ln x + 1\).
Vậy \(F\left( e \right) = \frac{{{e^2}}}{2} + 2\).
c) Theo định nghĩa nguyên hàm \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\) khi và chỉ khi \(F'\left( x \right) = f\left( x \right)\).
d) Ta có \(F\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{2} + \ln x + C\).
Đồ thị của hàm số \(F\left( x \right)\) đi qua \(M\left( {e;\frac{{{e^2}}}{2}} \right)\) nên ta có phương trình \(\frac{{{e^2}}}{2} = \frac{{{e^2}}}{2} + \ln e + C \Leftrightarrow C = - 1\).
Do đó \(F\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{2} + \ln x - 1\). Suy ra \(F\left( 1 \right) = \frac{1}{2} + \ln 1 - 1 = - \frac{1}{2}\).
Các mệnh đề sau đây đúng hay sai?
\(\int {{2^x}{\rm{d}}x} = {2^x}\ln 2 + C\).
\(\int {{{\rm{e}}^{2x}}{\rm{d}}x} = \frac{{{{\rm{e}}^{2x}}}}{2} + C\).
\[\int {{e^x}\left( {{e^x}--{\rm{ }}1} \right)} dx = \frac{1}{2}{e^{2x}} + {e^x} + C\].
\(\int {{e^{3x}}{{.3}^x}dx} = \frac{{{{\left( {3{e^3}} \right)}^x}}}{{3 + \ln 3}} + C\).
a) S, b) Đ, c) S, d) Đ
a) \(\int {{2^x}{\rm{d}}x} = \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}} + C\).
b) \(\int {{{\rm{e}}^{2x}}{\rm{d}}x} = \frac{{{{\rm{e}}^{2x}}}}{2} + C\).
c) \[\int {{e^x}\left( {{e^x}--{\rm{ }}1} \right)} dx = \int {\left( {{e^{2x}} - {e^x}} \right)} dx = \frac{1}{2}{e^{2x}} - {e^x} + C\].
d) \(\int {{e^{3x}}{{.3}^x}dx} = \int {{{\left( {3{e^3}} \right)}^x}dx} = \frac{{{{\left( {3{e^3}} \right)}^x}}}{{\ln \left( {3{e^3}} \right)}} + C = \frac{{{{\left( {3{e^3}} \right)}^x}}}{{3 + \ln 3}} + C\).
Biết \(y = F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = 2\sin 2x\) thỏa mãn \(F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 2\). Tính\(F\left( {\frac{\pi }{6}} \right)\).
Trả lời: 0,5
Ta có \(F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)} dx = \int {2\sin 2xdx} = - \cos 2x + C\).
Theo giả thiết \(F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 2 \Leftrightarrow C = 1\). Suy ra \(F\left( x \right) = - \cos 2x + 1\).
Vậy \(F\left( {\frac{\pi }{6}} \right) = \frac{1}{2}\).
Cho \(F\left( x \right) = \left( {a{x^2} + bx + c} \right){e^{ - x}}\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \left( {{x^2} - 3x + 2} \right){e^{ - x}}\). Tính tổng \(S = a + 2b - c\).
Trả lời: 2
Ta có \(F'\left( x \right) = \left( {2ax + b} \right){e^{ - x}} - \left( {a{x^2} + bx + c} \right){e^{ - x}} = \left[ { - a{x^2} + \left( {2a - b} \right)x + \left( {b - c} \right)} \right]{e^{ - x}}\).
Yêu cầu bài toán thỏa mãn khi và chỉ khi
Vậy \(S = - 1 + 2.1 - \left( { - 1} \right) = 2\).
Cây cà chua khi trồng có chiều cao 5 cm. Tốc độ tăng chiều cao của cây cà chua sau khi trồng được cho bởi hàm số \(v\left( t \right) = - 0,1{t^3} + {t^2}\), trong đó \(t\) tính theo tuần, \(v\left( t \right)\) tính bằng centimét/tuần. Gọi \(h\left( t \right)\) là độ cao của cây cà chua ở tuần thứ \(t\). Chiều cao cây cà chua sau 2 tuần là bao nhiêu? Làm tròn kết quả đến số thập phân thứ 2.
Trả lời: 7,27
Ta có \(h\left( t \right) = \int {v\left( t \right)dt} = \int {\left( { - 0,1{t^3} + {t^2}} \right)dt} = - \frac{1}{{40}}{t^4} + \frac{1}{3}{t^3} + C\).
Theo giả thiết, \(h\left( 0 \right) = 5 \Leftrightarrow C = 5\)\( \Rightarrow h\left( t \right) = - \frac{1}{{40}}{t^4} + \frac{1}{3}{t^3} + 5\) (cm).
Vậy \(h\left( 2 \right) = - \frac{1}{{40}}{.2^4} + \frac{1}{3}{.2^3} + 5 = \frac{{109}}{{15}}\left( {{\rm{cm}}} \right) \approx 7,27\).
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ {0;2} \right]\). Giả sử \(y = F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của \(y = f\left( x \right)\) và \(\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx = 3} \) và \(F\left( 0 \right) = 2\). Giá trị \(F\left( 2 \right)\) bằng bao nhiêu?
Trả lời: 5
Ta có \(\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx = F\left( 2 \right) - F\left( 0 \right) = 3} \Rightarrow F\left( 2 \right) = 5\).
Cho hàm số \[f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{1}{x}}&{{\rm{ khi }}x \ge 1}\\{x + 1}&{{\rm{ khi }}x < 1}\end{array}} \right.\]. Tích phân \[I = \int\limits_2^0 { - 3{t^2}f(t){\rm{d}}t} \]. (kết quả làm tròn đến hàng phần mười).
Trả lời: 6,3
\[I = - 3\int\limits_2^0 {{t^2}f(t){\rm{d}}t} = 3\int\limits_0^2 {{x^2}f(x){\rm{d}}} x = 3\left[ {\int\limits_0^1 {{x^2}\left( {x + 1} \right){\rm{d}}} x + \int\limits_1^2 {x{\rm{d}}} x} \right] = \frac{{25}}{4} \approx 6,3\].
Từ tâm \({O_2}\), kẻ đường thẳng song song với đoạn \(AB\). Kéo dài bán kính \({O_1}A\) cắt đường thẳng vừa kẻ tại \(H\)
Xét tứ giác \(AB{O_2}H\) có ba góc vuông nên \(AB{O_2}H\) là hình chữ nhật
Khi đó: \(AH = {O_2}B = r = 15\)cm và \({O_2}H = AB\)
Xét \(\Delta {O_1}H{O_2}\) vuông tại \(H\) có \({O_1}H = {O_1}A + AH = R + r = 30 + 15 = 45\)cm và \({O_1}{O_2} = d = 90\)cm
Áp dụng định lý Pytago trong \(\Delta {O_1}H{O_2}:\)\({O_2}H = \sqrt {{O_1}O_2^2 - {O_1}{H^2}} = \sqrt {{{90}^2} - {{45}^2}} = 45\sqrt 3 \)cm
Vì \(AB = {O_2}H\) nên chiều dài một đoạn dây thẳng là \(45\sqrt 3 \)cm
Do có 2 đoạn chéo nhau, tổng chiều dài phần dây thẳng là \(90\sqrt 3 \)cm và đặt \(\alpha = \widehat {H{O_1}{O_2}}\)
Xét tam giác vuông \({O_1}H{O_2}\), ta có: \(\cos \left( \alpha \right) = \frac{{{O_1}H}}{{{O_1}{O_2}}} = \frac{{45}}{{90}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \alpha = 60^\circ = \frac{\pi }{3}\)rad (góc này là cung nhỏ) nên góc ở tâm \(\widehat {A{O_1}A'} = 2\alpha = 120^\circ = \frac{{2\pi }}{3}\)rad
Vậy góc của phần cung mà dây ôm vào ròng rọc lớn là: \({\varphi _1} = 2\pi - \frac{{2\pi }}{3} = \frac{{4\pi }}{3}\)rad
Mặt khác \({O_1}A \bot AB\)và \({O_2}B \bot AB\)nên \({O_1}A//{O_2}B\)
Đường thẳng \({O_1}{O_2}\)cắt hai đường thẳng song song này tạo ra các góc so le trong bằng nhau
Do đó góc hợp bởi bán kính ròng rọc nhỏ và đường nối tâm cũng bằng \(\alpha = 60^\circ \)
Tương tự suy ra góc ôm dây trên ròng rọc nhỏ cũng là: \({\varphi _2} = 2\pi - \frac{{2\pi }}{3} = \frac{{4\pi }}{3}\)rad
Chiều dài cung trên ròng rọc lớn: \({L_R} = R.{\varphi _1} = 30.\frac{{4\pi }}{3} = 40\pi \)cm
Chiều dài cung trên ròng rọc nhỏ: \({L_r} = r.{\varphi _2} = 15.\frac{{4\pi }}{3} = 20\pi \)cm
Tổng chiều dài dây curoa \(L\)là: cm
Quãng đường máy bay \(A\) đã bay: \({d_A} = 800.2,25 = 1800\)km
Gọi \(\overrightarrow u = \left( {a;b;c} \right)\) là một vectơ chỉ phương
Mặt khác ta có \(\overrightarrow u = \left( {a;b;c} \right)\) hợp với các trục tọa độ các góc bằng nhau
Đặt \(a = \cos \alpha ,\,\,b = \cos \beta ,\,\,c = \cos \gamma \).
Và một tính chất bất biến trong không gian là:\({\cos ^2}\alpha + {\cos ^2}\beta + {\cos ^2}\gamma = 1\left( * \right)\)
Đề bài cho biết máy bay bay theo tia hợp với các trục tọa độ các góc bằng nhau.
Nghĩa là \(\alpha = \beta = \gamma \Rightarrow \cos \alpha = \cos \beta = \cos \gamma \)thay vào \(\left( * \right) \Rightarrow \cos \alpha = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\)\( \Rightarrow \overrightarrow u = \left( {\frac{1}{{\sqrt 3 }};\frac{1}{{\sqrt 3 }};\frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right)\)
Vậy tọa độ điểm \(A\) là: \(OA = 1800.\overrightarrow u = \left( {600\sqrt 3 ;600\sqrt 3 ;600\sqrt 3 } \right)\)
Thời gian bay của máy bay \(B\) là \({t_B} = 2\)(giờ) và quãng đường máy bay \(B\) đã bay: \({d_B} = 2 \cdot {v_B}\)
Xuất phát từ \(P\left( {80\sqrt 6 ;0;0} \right)\) và bay theo hướng tương tự máy bay \(A\):
\(\overrightarrow {OB} = \overrightarrow {OP} + {d_B}.\overrightarrow u = \left( {80\sqrt 6 + \frac{{2{v_B}}}{{\sqrt 3 }};\frac{{2{v_B}}}{{\sqrt 3 }};\frac{{2{v_B}}}{{\sqrt 3 }}} \right)\)
Vậy \(AB = \sqrt {{{\left( {80\sqrt 6 + \frac{{2{v_B}}}{{\sqrt 3 }} - 600\sqrt 3 } \right)}^2} + {{\left( {\frac{{2{v_B}}}{{\sqrt 3 }} - 600\sqrt 3 } \right)}^2} + {{\left( {\frac{{2{v_B}}}{{\sqrt 3 }} - 600\sqrt 3 } \right)}^2}} = 160 \Leftrightarrow {v_B} \approx 843\)km
Hình chiếu vuông góc của \(\overrightarrow v \)lên mặt phẳng đáy \(\left( {Oxy} \right)\) là \({\overrightarrow v _{xy}} = \left( {1;\sqrt 2 ;0} \right)\).
Độ dài \(\left| {{{\overrightarrow v }_{xy}}} \right| = \sqrt {{1^2} + {{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2}} = \sqrt 3 \)
Ta thực hiện phép xoay trục: Giữ nguyên trục \(Oz\), ta xoay hệ trục \(Oxy\) quanh \(O\) thành hệ trục \(OXY\)sao cho trục \(OX\) mới trùng với hướng của \({\overrightarrow v _{xy}}\).
Trong hệ tọa độ \(OXYZ\)mới:
Khối bán cầu là khối tròn xoay quanh \(Oz\)nên phương trình không đổi: \({X^2} + {Y^2} + {Z^2} \le 4\)
Vectơ chỉ phương của tia sáng lúc này chỉ còn thành phần trên trục \(OX\)và \(OZ\) tọa độ mới của nó là: \({\overrightarrow {v'} _{xy}} = \left( {\left| {{{\overrightarrow v }_{xy}}} \right|;0;{v_z}} \right) = \left( {\sqrt 3 ;0; - 1} \right)\)
Bóng của chính mặt đáy bán cầu: Do đáy bán cầu đã nằm sẵn trên mặt đất, bóng của nó chính là hình tròn tâm \(O\), bán kính \(R = 2\) có phương trình \(\left( C \right):{X^2} + {Y^2} \le 4\)
Bóng của phần mặt cong bán cầu: Gọi \(M\left( {{X_0};{Y_0};{Z_0}} \right)\)là điểm tiếp xúc thì vectơ pháp tuyến tại điểm \(M\) là \[\vec n = \left( {{X_0};{Y_0};{Z_0}} \right)\]
Điều kiện tiếp xúc (tia sáng vuông góc với pháp tuyến): \[\overrightarrow n .\overrightarrow v = 0 \Leftrightarrow \sqrt 3 {X_0} - {Z_0} = 0 \Rightarrow {Z_0} = \sqrt 3 {X_0}\]
Thay \({Z_0}\)vào phương trình mặt cầu, ta được phương trình đường cong tiếp xúc:
\[X_0^2 + Y_0^2 + Z_0^2 = 4 \Leftrightarrow 4X_0^2 + Y_0^2 = 4\]
Một tia sáng đi qua \(M\)có phương trình tham số:\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{X = x + t}\\{Y = y + \sqrt 2 t}\\{Z = z - t}\end{array}} \right.\) và tia sáng qua \(M\)chạm đất khi \(Z = 0 \Rightarrow t = {Z_0} = \sqrt 3 {X_0}\)
Tọa độ điểm bóng trên mặt đất là:\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{X = {X_0} + \left( {\sqrt 3 {X_0}} \right)\sqrt 3 = 4{X_0} \Rightarrow {X_0} = \frac{X}{4}}\\{Y = {Y_0}}\end{array}} \right.\)
Thế vào phương trình trên, ta được đường viền của bóng cong là một nửa Elip
\(\left( E \right):\frac{{{X^2}}}{{16}} + \frac{{{Y^2}}}{4} = 1\left( {X \ge 0} \right)\)
Bóng trên mặt đất là sự hợp nhất của hình tròn \(\left( C \right)\)và nửa Elip \(\left( E \right)\). Do nửa Elip bao trùm hoàn toàn nửa phải của hình tròn, nên hình phẳng tạo thành bóng được giới hạn bởi:
Nửa trái là đường tròn \({X^2} + {Y^2} = 4 \Rightarrow Y = \pm \sqrt {4 - {X^2}} \)(với \(X \in \left[ { - 2;0} \right]\))
Nửa phải là Elip \(\frac{{{X^2}}}{{16}} + \frac{{{Y^2}}}{4} = 1 \Rightarrow Y = \pm \frac{1}{2}\sqrt {16 - {X^2}} \)
Gọi \(S\) là diện tích toàn bộ bóng. Do tính đối xứng qua trục \(OX\), ta tính phần diện tích phía trên trục \(OX\)rồi nhân đôi
Vậy diện tích bóng cần tìm là: \[S = 2.\left( {\int\limits_{ - 2}^0 {\sqrt {4 - {X^2}} {\rm{d}}X + \int\limits_0^4 {\frac{1}{2}} \sqrt {16 - {X^2}} {\rm{d}}X} } \right) \approx 18,8\]
Cách 2: Dựa vào tính chất
Gọi \(\alpha \) là góc giữa các tia sáng và mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\): \(\sin \alpha = \frac{{\left| {\vec v.\vec k} \right|}}{{\left| {\vec v} \right|.\left| {\vec k} \right|}} = \frac{{\left| { - 1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} .1}} = \frac{1}{2}\)
Suy ra \(\alpha = 30^\circ \)
Bóng của khối bán cầu trên mặt phẳng\(\left( {Oxy} \right)\) được hợp thành bởi hai phần:
Một nửa hình tròn đáy: Phần này nằm sẵn trên mặt phẳng\(\left( {Oxy} \right)\) có diện tích \({S_1} = \frac{1}{2}\pi {R^2}.\)
Một nửa hình elip: Đây là hình chiếu của mặt cong bán cầu xuống mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) theo phương của tia sáng.
Hình chiếu của một hình tròn bán kính \(R\) xuống mặt phẳng nghiêng một góc \(\alpha \)(hoặc hình chiếu của mặt cầu) là một hình elip có các bán trục là \(R\) và \(\frac{R}{{\sin \alpha }}\).
Diện tích nửa hình elip tạo ra bóng là \({S_2} = \frac{1}{2}\frac{{\pi {R^2}}}{{\sin \alpha }}.\)
Vậy tổng diện tích bóng \(S\)là: \(S = {S_1} + {S_2} = \frac{{\pi {R^2}}}{2}\left( {1 + \frac{1}{{\sin \alpha }}} \right) = 6\pi \approx 18,8\)
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 4
Tập xác định: D = ℝ.
Ta có: y¢=-3x2 + 6x + 9 = 0 Û \(\left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = 3\end{array} \right.\).
Bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy y¢ > 0 Û x Î (-1; 3).
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (-1; 3).
Þ b – a = 3 + 1 = 4.
