Đề cương ôn tập giữa kì 1 Toán 12 Chân trời sáng tạo cấu trúc mới có đáp án - Bài 2. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy

\(\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 5;\,3} \right)} y = - 4\) khi \(x = 0\).

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} y = 1\) và \(\forall x \in \left[ { - 5;\,3} \right)\), \(f\left( x \right) < 1\) nên hàm số không có GTLN. Chọn D.

Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy \(\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 2;\,4} \right]} y = - 19\) khi \(x = - 2\). Chọn A.

Dựa vào đồ thị hàm số ta có \[\mathop {\min }\limits_{} y = - 1.\] Chọn A.

Ta có: \[y' = 3{x^2} - 6x - 9 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\, \in \left( { - 2;\,2} \right)\\x = 3\,\,\,\, \notin \left( { - 2;\,2} \right)\end{array} \right.\]

Mà \[y\left( { - 2} \right) = 0;\,y\left( 2 \right) = - 20;\,y\left( { - 1} \right) = 7\].

Suy ra \[\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 2;\,2} \right]} y = 7\]; \[\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 2;\,2} \right]} y = - 20\]. Chọn D.

\(y' = \left( {2x - 2} \right){e^{{x^2} - 2x}}\), \(y' = 0 \Leftrightarrow 2x - 2 = 0 \Leftrightarrow x = 1\).

\(y\left( 1 \right) = \frac{1}{e},y\left( 0 \right) = 1,y\left( 2 \right) = 1 \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ {0;2} \right]} y = \frac{1}{e}\). Chọn D.

Ta có : \[y' = 1 - \frac{1}{{{x^2}}} = \frac{{{x^2} - 1}}{{{x^2}}}\] trên khoảng \[\left( {0; + \infty } \right)\].

\[y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1 \in \left( {0; + \infty } \right)\\x = - 1 \notin \left( {0; + \infty } \right)\end{array} \right.\]

Bảng biến thiên:

Trên khoảng \[\left( {0; + \infty } \right)\], không có \(M\); \[m = - 3\]. Chọn A.

Dựa vào đồ thị của hàm số \(y = f'(x)\) ta có BBT như sau:

Dựa vào BBT suy ra hàm số \(y = f(x)\) đạt giá trị nhỏ nhất trên khoảng \(\left[ {0;2} \right]\) tại \[x = 1\]. Chọn C.

Dựa vào đồ thị của hàm số \(y = f'(x)\) ta có BBT như sau:

Dựa vào BBT suy ra hàm số \(y = f(x)\) đạt giá trị lớn nhất trên khoảng \(\left[ {1;3} \right]\) tại \[{x_0} = 2\].

Nên \[x_0^2 - 2{x_0} + 2018 = 2018\]. Chọn A.

Ta có \(v\left( t \right) = s'\left( t \right) = 2t - \frac{1}{2}{t^2}.\) Suy ra \(v'\left( t \right) = 2 - t\) và \(v'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow t = 2.\)

Bảng biến thiên

Vậy chất điểm đạt vận tốc lớn nhất tại thời điểm \(t = 2\) (giây). Chọn A.

Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\).

Ta có \(y' = 3{x^2} - 6x\); \(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array} \right.\).

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta có:

a) Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {2; + \infty } \right)\) nên đồng biến trên khoảng \(\left( {3; + \infty } \right)\).

b) Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 2\).

c) Có \(f\left( 1 \right) = - 1;f\left( 2 \right) = - 3;f\left( 3 \right) = 1\). Hàm số đạt giá trị lớn nhất trên đoạn \(\left[ {1;3} \right]\) tại \(x = 3\).

d) Có \(y'' = 6x - 6;y'' = 0 \Leftrightarrow x = 1 \Rightarrow y = - 1\).

Do đó đồ thị hàm số đối xứng qua điểm \(I\left( {1; - 1} \right)\).

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Đúng.

Tập xác định \(D = \mathbb{R}\).

Ta có \(y' = 3{x^2} - 6x - 9\); \(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = 3\end{array} \right.\).

Bảng biến thiên

a) Hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( {3; + \infty } \right)\) và nghịch biến trên khoảng \(\left( { - 1;3} \right)\).

b) Hàm số đạt cực đại tại \(x = - 1\).

c) Trên \(\left( { - 1; + \infty } \right)\) hàm số đạt giá trị nhỏ nhất là −26 tại \(x = 3\).

d) Điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số trên lần lượt là \(A\left( { - 1;6} \right)\) và \(B\left( {3; - 26} \right)\).

Suy ra \(AB = \sqrt {{{\left( {3 + 1} \right)}^2} + {{\left( { - 26 - 6} \right)}^2}}  = 4\sqrt {65} \).

Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Đúng; d) Đúng.

Dựa vào đồ thị hàm số \(y = f'\left( x \right)\) ta có bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy:

+) Hàm số đồng biến trên \(\left( { - 2; - 1} \right)\) và \(\left( {2;6} \right)\) suy ra \(f\left( { - 1} \right) > f\left( { - 2} \right)\) và \(f\left( 6 \right) > f\left( 2 \right)\) (1).

+) Hàm số nghịch biến trên \(\left( { - 1;2} \right)\)suy ra \(f\left( { - 1} \right) > f\left( 2 \right)\) (2).

Từ (1), (2) suy ra \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 2;6} \right]} f\left( x \right) = \max \left\{ {f\left( { - 2} \right),f\left( { - 1} \right),f\left( 2 \right),f\left( 6 \right)} \right\} = \max \left\{ {f\left( { - 1} \right),f\left( 6 \right)} \right\}\).

Đáp án: a) Sai; b) Sai; c) Sai; d) Đúng.

Khi bán \(x\) mét vải lụa:

a) Số tiền thu được là: \(B(x) = 220x\) (nghìn đồng).

b) Lợi nhuận thu được là: \(L(x) = B(x) - C(x) = - {x^3} + 3{x^2} + 240x - 500\) (nghìn đồng).

c) Hàm số \(L(x)\) xác định trên \([1;18]\).

\(L'(x) = - 3{x^2} + 6x + 240;L'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 10\) hoặc \(x = - 8\) (loại).

Bảng biến thiên:

c) Dựa vào bảng biến thiên ta có hộ làm nghề dệt này cần sản xuất và bán ra mỗi ngày 10 mét vải lụa để thu được lợi nhuận tối đa.

d) Dựa vào bảng biến thiên ta có lợi nhuận tối đa của hộ làm nghề dệt vải lụa tơ tằm có thể đạt được là 1200 nghìn đồng.

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.

Dựa vào đồ thị hàm số suy ra

a) \(m = - 4\).

b) \(M = 0\).

c)\(M + m = 0 + ( - 4) = - 4\).

d) Với \(\forall x \in \left[ { - 1\,;\, + \infty } \right)\), ta có: \(f\left( x \right) \le 0 \Rightarrow f\left( x \right) + 4 \le 4\) và \(f\left( x \right) + 4 = 4 \Leftrightarrow f\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = 2\end{array} \right.\)

Vậy, giá trị lớn nhất của hàm số \(y = f\left( x \right) + 4\) trên nửa khoảng \(\left[ { - 1\,;\, + \infty } \right)\) là \(4\).

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.

Ta có: \(f'(t) = \frac{{ - 5000{{\left( {1 + 5{e^{ - t}}} \right)}^\prime }}}{{{{\left( {1 + 5{e^{ - t}}} \right)}^2}}} = \frac{{25000{e^{ - t}}}}{{{{\left( {1 + 5{e^{ - t}}} \right)}^2}}}\)

Tốc độ bán hàng là lớn nhất khi \(f'(t)\) lớn nhất.

Đặt \(h(t) = \frac{{25000{e^{ - t}}}}{{{{\left( {1 + 5{e^{ - t}}} \right)}^2}}}\).

\(h'(t) = \frac{{ - 25000{e^{ - t}}{{\left( {1 + 5{e^{ - t}}} \right)}^2} - 2 \cdot \left( { - 5{e^{ - t}}} \right) \cdot \left( {1 + 5{e^{ - t}}} \right) \cdot 25000{e^{ - t}}}}{{{{\left( {1 + 5{e^{ - t}}} \right)}^4}}}\)

\(\begin{array}{l} = \frac{{ - 25000{e^{ - t}}\left( {1 + 5{e^{ - t}}} \right)\left( {1 + 5{e^{ - t}} - 10{e^{ - t}}} \right)}}{{{{\left( {1 + 5{e^{ - t}}} \right)}^4}}} = \frac{{ - 25000{e^{ - t}}\left( {1 - 5{e^{ - t}}} \right)}}{{{{\left( {1 + 5{e^{ - t}}} \right)}^3}}}\\h'(t) = 0 \Leftrightarrow \frac{{ - 25000{e^{ - t}}\left( {1 - 5{e^{ - t}}} \right)}}{{{{\left( {1 + 5{e^{ - t}}} \right)}^3}}} = 0 \Leftrightarrow 1 - 5{e^{ - t}} = 0 \Leftrightarrow {e^{ - t}} = \frac{1}{5} \Leftrightarrow t = \ln 5(tm)\end{array}\)

Ta có bảng biến thiên với \(t \in [0; + \infty )\):

Vậy sau khi phát hành khoảng \(\ln 5 \approx 1,6\) năm thì thì tốc độ bán hàng là lớn nhất.

Trả lời: 1,6.

Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}\).

Ta có \(f'\left( x \right) = \frac{{{m^2} - m + 1}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} > 0,\forall x \in D\).

Khi đó \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;1} \right]} f\left( x \right) = f\left( 0 \right) \Leftrightarrow - {m^2} + m = - 2 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = - 1\\m = 2\end{array} \right.\).

Vậy có 2 giá trị m để giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{x - {m^2} + m}}{{x + 1}}\) trên đoạn \(\left[ {0;1} \right]\) bằng \( - 2\).

Trả lời: 2.

Với \(0 \le t \le 12\) ta có: \(N'\left( t \right) = - 3{t^2} + 24t\); \(N'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 0\\t = 8\end{array} \right.\).

Ta có \(N\left( 0 \right) = 0;N\left( 8 \right) = 256;N\left( {12} \right) = 0\).

Do đó, số người tối đa bị nhiễm bệnh ở địa phương là 256 người trong 12 tuần đầu.

Trả lời: 256.

Thể tích hộp sữa là 1 lít = 1 dm³ = 1000 cm³. Khi đó chiều cao của hộp sữa là \(\frac{{1000}}{{{x^2}}}\) (cm).

Đặt diện tích toàn phần của hộp sữa là \(y = 2{x^2} + 4x.\frac{{1000}}{{{x^2}}} = \frac{{2{x^3} + 4000}}{x}\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\).

Xét \(y' = \frac{{4{x^3} - 4000}}{{{x^2}}} = 0 \Leftrightarrow x = 10\) (cm).

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy \(x = 10\)cm thì diện tích toàn phần của hộp sữa sẽ nhỏ nhất là 600 cm².

Trả lời: 10.

Để chi phí xây dựng bờ rào là ít tốn kém nhất thì chu vi mảnh đất phải bé nhất.

Gọi \(x\) là chiều dài của mảnh đất hình chữ nhật\(\left( {x > 0} \right)\)

Suy ra chiều rộng là \(\frac{{100}}{x}\)

Chu vi của mảnh đất hình chữ nhật là \(C\left( x \right) = 2x + \frac{{200}}{x}\)

Ta có:\(C'\left( x \right) = 2 - \frac{{200}}{{{x^2}}} = \frac{{2{x^2} - 200}}{{{x^2}}}\)

\(C'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 2{x^2} - 200 = 0 \Leftrightarrow x = 10\)\(\left( {v\`i \,\,x > 0} \right)\)

Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta thấy \(\mathop {\min \,\,C\left( x \right) = C(10) = 40}\limits_{\left( {0; + \infty } \right)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,} \)

Suy ra chu vi mảnh đất hình chữ nhật bé nhất khi chiều dài bằng \(10\,{\rm{m}}\), chiều rộng bằng \(10\,{\rm{m}}\)

Vậy \(a + 2b = 30\).

Trả lời: 30.