Đề cương ôn tập cuối kì 1 Toán 12 Chân trời sáng tạo (có tự luận) có đáp án - Bài 4. Khảo sát và vẽ đồ thị một số hàm số cơ bản
11 câu hỏi
Phần I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Mỗi câu chỉ chọn một phương án.
Bảng biến thiên dưới đây là của hàm số nào trong các hàm số sau?
\(y = - {x^3} + 3{x^2} - 3\).
\(y = {x^3} + 3{x^2} - 1\).
\(y = {x^3} - 3x + 2\).
\(y = {x^3} - 3{x^2} + 2\).
Xét hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} + 2\).
Ta có: \(a = 1 > 0\,;\,\,y' = 3{x^2} - 6x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow y = 2\\x = 2 \Rightarrow y = - 2\end{array} \right.\). Chọn D.
Cho hàm số \[y = \frac{{ax + b}}{{cx - 1}}\]có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Giá trị của tổng \[S = a + b + c\] bằng:
![Cho hàm số \[y = \frac{{ax + b}}{{cx - 1}}\] có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Giá trị của tổng \[S = a + b + c\] bằng: A. \[S = 0.\] B. \[S = - 2.\] C. \[S = 2.\] D. \[S = 4.\] (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/10/5-1761390678.png)
\[S = 0.\]
\[S = - 2.\]
\[S = 2.\]
\[S = 4.\]
Tiệm cận ngang: \[y = \frac{a}{c} = - 1\]; tiệm cận đứng: \[x = \frac{1}{c} = 1\].
Từ đây suy ra: \[\left\{ \begin{array}{l}a = - 1\\c = 1\end{array} \right.\] mà đồ thị lại cắt trục hoành tại \[x = 2\] nên \[2a + b = 0\] hay \[b = - 2a = 2.\]
Vậy \[S = a + b + c = - 1 + 2 + 1 = 2.\] Chọn C.
Đồ thị ở hình bên là của một trong bốn hàm số sau. Hỏi đó là hàm số nào trong các hàm số sau?
\[y = \frac{{{x^2} - x - 1}}{{x - 2}}\].
\[y = \frac{{{x^2} + x - 1}}{{x - 2}}\].
\[y = \frac{{{x^2} - 2x - 1}}{{x - 2}}\].
\[y = \frac{{{x^2} + x + 1}}{{x - 2}}\].
Dựa vào đồ thị hàm số ta có tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là \(x = 2\) và tiệm cận xiên của đồ thị hàm số là \(y = x + 1\).
+) Xét hàm số \[y = \frac{{{x^2} - x - 1}}{{x - 2}} = x + 1 + \frac{1}{{x - 2}}\] nhận \(y = x + 1\) là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.
Hàm số đó là \[y = \frac{{{x^2} - x - 1}}{{x - 2}}\]. Chọn A.
Đường cong hình bên là đồ thị hàm số \(y = {\rm{a}}{x^3} + b{x^2} + cx + d\).
![Đường cong hình bên là đồ thị hàm số \(y = {\rm{a}}{x^3} + b{x^2} + cx + d\). Xét các phát biểu sau: 1. \(a = - 1\) 2. \(ad < 0\) 3. \(ad > 0\) 4. \(d = - 1\) 5.\(a + c = b + 1\) Số phát biểu sai là: A. \[2\]. B. \[3\]. C. \[1\]. D. \[4\]. (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/10/7-1761390753.png)
Xét các phát biểu sau:
1. \(a = - 1\)
2. \(ad < 0\)
3. \(ad > 0\)
4. \(d = - 1\)
5.\(a + c = b + 1\)
Số phát biểu sai là:
\[2\].
\[3\].
\[1\].
\[4\].
Do \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = - \infty \Rightarrow a > 0\)\( \Rightarrow \) phát biểu \(a = - 1\) : Sai
Do \(y(0) = d = 1 > 0\)\( \Rightarrow \) phát biểu \(d = - 1\) và phát biểu \(ad < 0\) đều Sai.
Do \(y( - 1) = 0 \Rightarrow - a + b - c + d = 0 \Rightarrow a + c = b + d = b + 1\) (Đúng), Phát biểu \(ad > 0\) đúng
Vậy các phát biểu 1, 2, 4 sai\( \Rightarrow \) có 3 phát biểu sai. Chọn B.
Cho hàm số \(y = \frac{{ax - 1}}{{cx + d}}\) có tiệm cận đứng \(x = 1\), tiệm cận ngang \(y = - 2\) và đi qua điểm \(A\left( {2; - 3} \right)\). Lúc đó hàm số \(y = \frac{{ax - 1}}{{cx + d}}\) là hàm số nào trong bốn hàm số sau:
\[y = \frac{{ - 3}}{5}.\frac{{2x + 1}}{{x - 1}}.\]
\(y = \frac{{2x - 1}}{{1 - x}}\).
\(y = \frac{{ - 2x - 1}}{{ - x + 1}}.\)
\(y = \frac{{2x - 1}}{{x - 1}}.\)
Đồ thị hàm số \(y = \frac{{a\,x - 1}}{{c\,x + d}}\) có tiệm cận đứng \(x = - \frac{d}{c}\), tiệm cận ngang \(y = \frac{a}{c}\)
Theo đề bài ta có ac=−2−dc=1a.2−1c.2+d=−3⇔a=−2c−d=c2a−1=−6c−3d⇔a+2c=0c+d=02a+6c+3d=1⇔a=2c=−1d=1. Chọn B.
Phần II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, chọn đúng hoặc sai.
Nhà máy\(A\) chuyên sản xuất một loại sản phẩm cho nhà máy\(B\). Hai nhà máy thỏa thuận rằng, hằng tháng \(A\) cung cấp cho \(B\) số lượng sản phẩm theo đơn đặt hàng của \(B\) (tối đa \(100\) tấn sản phẩm). Nếu số lượng đặt hàng là \(x\) tấn sản phẩm thì giá bán cho mỗi tấn sản phẩm được biểu diễn bởi công thức: \(P\left( x \right) = 45 - 0,001{x^2}\) (triệu đồng). Cho phí để \(A\) sản xuất \(x\) tấn sản phẩm trong một tháng là \(C\left( x \right) = 100 + 30x\) triệu đồng (gồm \(100\)triệu đồng chi phí cố định và \(30\) triệu đồng cho mỗi tấn sản phẩm).
a) Chi phí để \(A\) sản xuất \(10\) tấn sản phẩm trong một tháng là \(400\)triệu đồng.
b) Số tiền \(A\) thu được khi bán \(10\) tấn sản phẩm cho \(B\) là \(600\)triệu đồng.
c) Lợi nhuận mà \(A\) thu được khi bán \(x\) tấn sản phẩm \(\left( {0 \le x \le 100} \right)\) cho \(B\) được biểu diễn bởi công thức \(H\left( x \right) = - 0,001{x^3} + 15x - 100\).
d) Bên \(A\) bán cho \(B\) khoảng \(70,7\) tấn sản phẩm mỗi tháng thì thu được lợi nhuận lớn nhất.
a) Chi phí để \(A\) sản xuất \(10\) tấn sản phẩm trong một tháng là \(C\left( {10} \right) = 100 + 30.10 = 400\)triệu đồng.
b) Số tiền \(A\) thu được khi bán \(10\) tấn sản phẩm cho \(B\) là
\(R\left( {10} \right) = 10.P\left( {10} \right) = 10.\left( {45 - 0,{{001.10}^2}} \right) = 449\) triệu đồng.
c) Lợi nhuận mà \(A\) thu được là: \(H\left( x \right) = R\left( x \right) - C\left( x \right) = xP\left( x \right) - C\left( x \right)\)
\(P\left( x \right) = 45x - 0,001{x^3} - \left( {100 + 30x} \right) = - 0,001{x^3} + 15x - 100\).
d) Xét hàm số \(H\left( x \right) = - 0,001{x^3} + 15x - 100\), \(\left( {0 \le x \le 100} \right)\)
Ta có: \(H'\left( x \right) = - 0,003{x^2} + 15 = 0 \Leftrightarrow - 0,003{x^2} + 15 = 0 \Leftrightarrow x = 50\sqrt 2 \) (chọn).
Khi đó: \(H\left( 0 \right) = - 100\); \[H\left( {50\sqrt 2 } \right) = 500\sqrt 2 - 100\]; \(H\left( {100} \right) = 400\).
Vậy \(A\) bán cho \(B\) khoảng \(50\sqrt 2 \approx 70,7\) tấn sản phẩm mỗi tháng thì thu được lợi nhuận lớn nhất bằng \[H\left( {50\sqrt 2 } \right) = 500\sqrt 2 - 100\].
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Đúng
Cho hàm số \(y = \frac{{ - {x^2} - 3x + 4}}{{x - 3}}\) có đồ thị là \(\left( C \right)\).
a) Đồ thị \(\left( C \right)\) có tiệm cận xiên là \(y = - x - 6\).
b) Đồ thị \(\left( C \right)\) nhận giao điểm \(I\left( {3\,;\, - 9} \right)\) làm tâm đối xứng.
c) Đồ thị \(\left( C \right)\) có hai điểm cực trị nằm 2 phía đối với \(Oy\).
d) Đồ thị không cắt trục \(Ox\).
a) Ta có \(y = - x - 6 - \frac{{14}}{{x - 3}}\).
Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {y - \left( { - x - 6} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\frac{{ - 14}}{{x - 3}}} \right) = 0;\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {y - \left( { - x - 6} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\frac{{ - 14}}{{x - 3}}} \right) = 0\).
Suy ra tiệm cận xiên của đồ thị hàm số là \(y = - x - 6\).
b) Phương trình đường tiệm cận đứng là \(x = 3\).
Suy ra giao điểm 2 tiệm cận là \(I\left( {3, - 9} \right)\) là tâm đối xứng.
c) \(y' = \frac{{ - {x^2} + 6x + 5}}{{{{\left( {x - 3} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 6x - 5 = 0\) \(\left( * \right)\)
Phương trình \(\left( * \right)\) luôn có 2 nghiệm \({x_1} < 0 < {x_2}\) nên \(\left( C \right)\) luôn có 2 điểm cực trị nằm 2 phía đối với \(Oy\).
d) \(y = 0 \Leftrightarrow - {x^2} - 3x + 4 = 0\) và phương trình luôn có 2 nghiệm suy ra \(\left( C \right)\)cắt \(Ox\) tại hai điểm phân biệt.
Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Đúng; c) Sai.
Cho hàm số \[y = f\left( x \right) = {x^3} - 6{x^2} - 15x + 20\].
a) Đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng \(20\).
b) Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty \,;\, - 1} \right) \cap \left( {5\,;\, + \infty } \right)\).
c) Tâm đối xứng của đồ thị hàm số có toạ độ \(I\left( {2\,;\, - 26} \right)\).
d) Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f\left( x \right)\) trên khoảng \(\left( { - 4\,;\, + \infty } \right)\) bằng \( - 80\).
a) Thay \(x = 0\) suy ra \(f\left( 0 \right) = 20\).
b) Ta có \(y' = 3{x^2} - 12x - 15 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x < - 1\\x > 5\end{array} \right.\).
Do đó hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( {5; + \infty } \right)\).
c) \({x_I} = \frac{{ - b}}{{3a}} = \frac{{ - \left( { - 6} \right)}}{{3.1}} = \frac{6}{3} = 2 \Rightarrow {y_I} = f\left( {{x_I}} \right) = f\left( 2 \right) = - 26\) suy ra \(I\left( {2\,;\, - 26} \right)\).
d) Ta có \(f'\left( x \right) = 3{x^2} - 12x - 15 \Rightarrow f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = 5\end{array} \right.\)
Bảng biến thiên của hàm số trên khoảng \(\left( {4\,;\, + \infty } \right)\):
Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f\left( x \right)\) trên khoảng \(\left( { - 4\,;\, + \infty } \right)\) bằng \( - 80\).
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; c) Đúng.
Phần III. Trắc nghiệm trả lời ngắn
Gọi \(S\) là tập hợp các giá trị \(m\) để tiệm cận xiên của đồ thị hàm số \(y = \frac{{m{x^2} + x - 3}}{{x - 1}}\) tạo với hai trục hệ tọa độ \(Oxy\) một tam giác có diện tích bằng \(2\). Khi đó tổng các giá trị của \(S\) bằng bao nhiêu?
Với \(m = 0\) ta có \(y = \frac{{x - 3}}{{x - 1}}\). Khi đó đồ thị hàm số không có tiệm cận xiên.
Với \(m = 2\) ta có \(y = \frac{{2{x^2} + x - 3}}{{x - 1}} = 2x + 3\). Khi đó đồ thị hàm số không có tiệm cận xiên.
Với \(m \ne 0;m \ne 2\) ta có \(y = mx + m + 1 + \frac{{m - 2}}{{x - 1}}\).
Ta có: \[\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left( {y - mx - m - 1} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{m - 2}}{{x - 1}} = 0\] nên đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số là \(y = mx + m + 1\). Giao điểm của tiệm cận xiên với trục \(Ox\) là \(\left( {\frac{{ - m - 1}}{m};0} \right)\)
Giao điểm của tiệm cận xiên với trục \(Oy\) là \(\left( {0;m + 1} \right)\).
Đường tiệm cận xiên tạo thành một tam giác thì diện tích của tam giác:
\(S = \frac{1}{2}.\left| {m + 1} \right|.\left| {\frac{{ - m - 1}}{m}} \right| = 2 \Leftrightarrow {\left( {m + 1} \right)^2} = 4\left| m \right| \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{m^2} + 2m + 1 = 4m;\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,m \ge 0\\{m^2} + 2m + 1 = - 4m;\,\,\,khi\,\,m < 0\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{m^2} - 2m + 1 = 0;\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,m \ge 0\\{m^2} + 6m + 1 = 0;\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,m < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = \frac{1}{2}\\m = - 3 + 2\sqrt 2 \\m = - 3 - 2\sqrt 2 \end{array} \right.\).
Vậy tổng giá trị của \(S\) bằng \(\frac{{ - 11}}{2} = - 5,5\).
Trả lời: −5,5.
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{ax + 1}}{{bx + c}}\) \(\left( {a,b,c \in \mathbb{R}} \right)\) có bảng biến thiên như sau:
Trong các số \(a,b\) và \(c\) có bao nhiêu số dương?
Đồ thị hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{ax + 1}}{{bx + c}}\) có đường tiệm cận đứng là đường thẳng \(x = - \frac{c}{b}\) và đường tiệm cận ngang là đường thẳng \(y = \frac{a}{b}\).
Từ bảng biến thiên ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} - \frac{c}{b} = 2\\\frac{a}{b} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow a = b = - \frac{c}{2}\) \(\left( 1 \right)\)
Mặt khác: \(f'\left( x \right) = \frac{{ac - b}}{{{{\left( {bx + c} \right)}^2}}}\).
Vì hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ;2} \right)\) và \(\left( {2; + \infty } \right)\) nên
\(f'\left( x \right) = \frac{{ac - b}}{{{{\left( {bx + c} \right)}^2}}} > 0 \Leftrightarrow ac - b > 0\)\(\left( 2 \right)\)
Thay \(\left( 1 \right)\) vào \(\left( 2 \right)\), ta được: \( - \frac{{{c^2}}}{2} + \frac{c}{2} > 0 \Leftrightarrow - {c^2} + c > 0 \Leftrightarrow 0 < c < 1\).
Suy ra c là số dương và a, b là số âm.
Trả lời: 1.
Một chuyển động xác định bởi phương trình \(S\left( t \right) = a{t^3} + b{t^2} + ct + d\left( {a,b,c,d \in \mathbb{R}} \right)\) trong đó \(t\) tính bằng giây và \(S\) tính bằng mét. Biết rằng đồ thị của hàm số \(S\left( t \right)\) là đường cong như hình.
Tính vận tốc (m/s) của chuyển động tại thời điểm gia tốc bằng 12 m/s2.
Đồ thị hàm số đi qua các điểm \(A\left( { - 1; - 1} \right),B\left( {0;3} \right),C\left( {1;1} \right),D\left( {2; - 1} \right)\) nên ta có hệ phương trình
\(\left\{ \begin{array}{l} - a + b - c + d = - 1\\d = 3\\a + b + c + d = 1\\8a + 4b + 2c + d = - 1\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = - 3\\c = 0\\d = 3\end{array} \right.\). Do đó \(S = {t^3} - 3{t^2} + 3\).
Khi đó \(v = S' = 3{t^2} - 6t\); \(a = S'' = 6t - 6 = 12 \Rightarrow t = 3\).
Khi đó vận tốc của chuyển động là \(S'\left( 3 \right) = 27 - 18 = 9\) m/s.
Trả lời: 9.
