Đề cương ôn tập cuối kì 1 Toán 12 Chân trời sáng tạo cấu trúc mới (có tự luận) có đáp án - Bài 3. Đường tiệm cận của đồ thị hàm số
12 câu hỏi
Phần I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Mỗi câu chỉ chọn một phương án.
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ dưới đây.
Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) là:
\(4\).
\(3\).
\(2\).
\(1\).
Dựa vào đồ thị của hàm số \(y = f\left( x \right)\)ta có:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = 1\) nên đường thẳng \(y = 1\) là một đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = 3\) nên đường thẳng \(y = 3\) là một đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = + \infty \) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = + \infty \) suy ra đường thẳng \(x = 0\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\).
Vậy đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) có tất cả 3 đường tiệm cận. Chọn B.
Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\]có bảng biến thiên như sau:
Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là:
2.
3.
4.
1.
Nhìn bảng biến thiên ta thấy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = - \infty \) nên đường thẳng \(x = 0\)là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = 3 \Rightarrow y = 3\] là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = 1 \Rightarrow y = 1\]là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Vậy đồ thị hàm số có 3 tiệm cận. Chọn B.
Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = \frac{{3x + 2}}{{x - 2}}\) là đường thẳng có phương trình:
\(x = 2\).
\(x = - 1\).
\(x = 3\).
\(x = - 2\).
Ta có:\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{3x + 2}}{{x - 2}} = + \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{3x + 2}}{{x - 2}} = - \infty .\)
Do đó tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = \frac{{3x + 2}}{{x - 2}}\) là đường thẳng có phương trình \(x = 2\). Chọn A.
Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = \frac{{x - 2}}{{x + 1}}\) là
\(y = - 2\).
\(y = 1\).
\(x = - 1\).
\(x = 2\).
Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{x - 2}}{{x + 1}} = 1\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{x - 2}}{{x + 1}} = 1\)
Suy ra \(y = 1\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. Chọn B.
Tiệm cận xiên của đồ thị hàm số \(y = \frac{{{x^2} + x - 3}}{{x - 1}}\) là:
\[y = 2x - 1\].
\[y = x + 2\].
\[y = 2 - x\].
\[y = x - 1\].
Ta có \(y = \frac{{{x^2} + x - 3}}{{x - 1}} = x + 2 - \frac{1}{{x - 1}}\).
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {y - \left( {x + 2} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( { - \frac{1}{{x - 1}}} \right) = 0,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {y - \left( {x + 2} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( { - \frac{1}{{x - 1}}} \right) = 0\].
Vậy tiệm cận xiên của đồ thị hàm số là: \(y = x + 2\). Chọn B.
Cho hàm số \(y = \frac{{ - {x^2} + 3x - 1}}{{x - 2}}\). Tọa độ giao điểm của các đường tiệm cận của đồ thị hàm số là:
\(\left( { - 2;\,3} \right)\).
\(\left( {2;\,1} \right)\).
\(\left( {2;\, - 1} \right)\).
\(\left( {3;\,2} \right)\).
Ta có \(y = \frac{{ - {x^2} + 3x - 1}}{{x - 2}} = - x + 1 + \frac{1}{{x - 2}}\).
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {y - \left( { - x + 1} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\frac{1}{{x - 2}}} \right) = 0,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {y - \left( { - x + 1} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\frac{1}{{x - 2}}} \right) = 0\].
Vậy tiệm cận xiên của đồ thị hàm số là \(y = - x + 1\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{ - {x^2} + 3x - 1}}{{x - 2}} = + \infty ,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{ - {x^2} + 3x - 1}}{{x - 2}} = - \infty \).
Vậy tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là \(x = 2\).
Vậy tọa độ giao điểm của hai đường tiệm cận là \(\left( {2;\, - 1} \right)\). Chọn C.
Phần II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, chọn đúng hoặc sai.
Cho hàm số \(y = \frac{{\left( {m + 1} \right){x^2} + 2x - 1}}{{x - 1}}\) với \(m\) là tham số.
a) Với \(m = - 1\) đồ thị hàm số có tiệm cận ngang \(y = 2\).
b) Với \(m = 0\) đồ thị hàm số có tiệm cận xiên \(y = x - 1\).
c) Với \(m = 2\) thì đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng \(\frac{9}{2}\).
d) Với \(m = 1\), tích khoảng cách từ một điểm bất kì trên đồ thị đến các đường tiệm cận bằng \(\frac{{3\sqrt 5 }}{5}\).
a) Với là \(m = - 1\) ta có: \(y = \frac{{2x - 1}}{{x - 1}}\) nên đồ thị hàm số có tiệm cận ngang \(y = 2\).
b) Với là \(m = 0\) ta có: \(y = \frac{{{x^2} + 2x - 1}}{{x - 1}} \Leftrightarrow y = x + 3 + \frac{2}{{x - 1}}\) nên đồ thị hàm số có tiệm cận xiên \(y = x + 3.\)
c) Với \(m = 2\), ta có: \(y = \frac{{3{x^2} + 2x - 1}}{{x - 1}} \Leftrightarrow y = 3x + 5 + \frac{4}{{x - 1}}\) nên đồ thị hàm số có tiệm cận xiên \(y = 3x + 5\).
Đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số cắt hai trục tọa độ tại 2 điểm \(A\left( {0\,;\,5} \right)\) , \(B\left( { - \frac{5}{3}\,;\,0} \right)\).
Diện tích tam giác \(OAB\) là \({S_{OAB}} = \frac{1}{2}OA.OB = \frac{1}{2}.5.\frac{5}{3} = \frac{{25}}{6}\).
d) Với \(m = 1\) ta có \(y = \frac{{2{x^2} + 2x - 1}}{{x - 1}}\,\,\left( C \right)\), đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là \({d_1}:x = 1\), tiệm cận xiên là \({d_2}:y = 2x + 4\).
Gọi \(M\left( {x;\frac{{2{x^2} + 2x - 1}}{{x - 1}}} \right) \in \left( C \right)\) khi đó \(d\left( {M\,;\,{d_1}} \right) = \left| {x - 1} \right|\); \[d\left( {M\,;\,{d_2}} \right) = \frac{5}{{\sqrt 5 .\left| {x - 1} \right|}}\].
Khi đó \(d\left( {M\,;\,{d_1}} \right).d\left( {M\,;\,{d_2}} \right) = \left| {x - 1} \right|.\frac{5}{{\sqrt 5 .\left| {x - 1} \right|}} = \sqrt 5 \).
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Sai
Cho đồ thị hàm số \(y = \frac{{2x - 1}}{{2x + 4}}\) có đồ thị \(\left( C \right)\).
a)Đường thẳng \(y = 2\) là tiệm cận ngang của \(\left( C \right)\).
b) Đường thẳng \(y = 1\) là tiệm cận ngang của \(\left( C \right)\).
c) Hàm số \(y = \frac{{2x - 1}}{{2x + 4}}\) nghịch biến trong khoảng \[\left( { - \infty ;10} \right)\] và \[\left( {10; + \infty } \right)\].
d) Đường thẳng \(x = - 2\) là tiệm cận đứng của \(\left( C \right)\).
Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{2 - \frac{1}{x}}}{{2 + \frac{4}{x}}} = \frac{2}{2} = 1\).
\( \Rightarrow y = 1\) là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = \frac{{2x - 1}}{{2x + 4}}\).
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ - }} \frac{{2x - 1}}{{2x + 4}} = + \infty \]; \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ + }} \frac{{2x - 1}}{{2x + 4}} = - \infty \] nên \(x = - 2\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Có \(y' = \frac{{10}}{{{{\left( {2x + 4} \right)}^2}}} > 0,\forall x \ne - 2\).
Do đó hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 2} \right)\) và \(\left( { - 2; + \infty } \right)\).
Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng
Cho hàm số \(y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}\) có bảng biến thiên như hình bên dưới
a) Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định.
b) Tiệm cận ngang \(y = 2\).
c) Giao điểm với trục tung là điểm có tung độ âm.
d) Trong các số \(a,b,c,d\) có hai số dương.
a) Dựa vào bảng biến thiên ta có hàm số nghịch biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ;2} \right)\)và \(\left( {2; + \infty } \right)\).
b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = - 2;\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = - 2\) nên \(y = - 2\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
c) Giao điểm với trục tung là điểm có tung độ \(f\left( 0 \right) = \frac{b}{d}\).
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy \(f\left( 0 \right) < 0\).
d) Vì \(f\left( 0 \right) < 0\) nên \(b,d\) trái dấu.
Vì tiện cận ngang của đồ thị hàm số \(y = - 2\) nên \(\frac{a}{c} = - 2 < 0\). Do đó \(a,c\) trái dấu.
Do đó trong các số \(a,b,c,d\) có hai số dương.
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Đúng
Phần III. Trắc nghiệm trả lời ngắn
Giao điểm hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số \[y = \frac{{{x^2} + 2x + 5}}{{x + 1}}\] có tọa độ \(\left( {a;b} \right)\). Tìm \(a + b\).
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} \frac{{{x^2} + 2x + 5}}{{x + 1}} = - \infty \]; \[\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \frac{{{x^2} + 2x + 5}}{{x + 1}} = + \infty \] nên \(x = - 1\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
\[y = \frac{{{x^2} + 2x + 5}}{{x + 1}} = x + 1 + \frac{4}{{x + 1}}\].
Có \[\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left[ {y - \left( {x + 1} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{4}{{x + 1}} = 0\] nên \(y = x + 1\) là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.
Suy ra giao điểm của hai đường tiệm cận là \(\left( { - 1;0} \right)\). Do đó \(a + b = - 1\).
Trả lời: −1.
Số lượng sản phẩm bán được của một cửa hàng quần áo trong \(t\) (tháng) được cho bởi công thức: \(S\left( t \right) = 200\left( {\frac{2}{3} - \frac{8}{{2 + t}}} \right)\) với \(t \ge 1\). Xem \(y = S\left( t \right)\) là một hàm số xác định trên nửa khoảng \(\left[ {1; + \infty } \right)\), biết rằng tiệm cận ngang của đồ thị hàm số có dạng \(\frac{a}{b}\,,\,a\,,\,b \in {\mathbb{N}^*}\,,\,\left( {a\,,\,b} \right) = 1\). Tính \(P = a - 2b\).
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } S\left( t \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } 200\left( {\frac{2}{3} - \frac{8}{{2 + t}}} \right) = 200.\frac{2}{3} = \frac{{400}}{3}\)\( \Rightarrow a = 400\,;\,b = 3\).
Vậy \(P = a - 2b = 400 - 6 = 394\).
Trả lời: 394.
Cho hàm số \(y = \frac{{{x^2} + 3}}{{x - 2}}\) có đồ thị \(\left( C \right)\). Hai đường tiệm cận của đồ thị \(\left( C \right)\) cùng với hai trục tọa độ tạo thành một hình thang vuông có diện tích \(S\). Tính \(S\).
Có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{{x^2} + 3}}{{x - 2}} = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{{x^2} + 3}}{{x - 2}} = - \infty \). Suy ra \(x = 2\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Có \(y = x + 2 + \frac{7}{{x - 2}}\).
Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left[ {y - \left( {x + 2} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{7}{{x - 2}} = 0\). Do đó \(y = x + 2\) là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.
Đường thẳng \({d_2}:y = x + 2\) cắt trục \(Oy\) tại \(A\left( {0;2} \right)\).
Đường thẳng \({d_1}:x = 2\) cắt \({d_2}:y = x + 2\) tại \(B\left( {2;4} \right)\).
Đường thẳng \({d_1}:x = 2\) cắt trục \(Ox\) tại \(C\left( {2;0} \right)\).
Do đó hai đường tiệm cận của đồ thị \(\left( C \right)\) cùng với hai trục tọa độ tạo thành một hình thang vuông \(OABC\).
Khi đó \({S_{OABC}} = \frac{{\left( {OA + BC} \right).OC}}{2} = 6\).
Trả lời: 6.
