Đề cương ôn tập giữa kì 1 Toán 10 Cánh diều cấu trúc mới có đáp án - Bài 5. Tích của một số với một vectơ
11 câu hỏi
Phần I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Mỗi câu chỉ chọn một phương án.
Cho số \(k \ne 0\) và \(\overrightarrow a \ne \overrightarrow 0 \). Tìm khẳng định sai trong các khẳng định sau.
\[0.\overrightarrow a = \overrightarrow 0 \].
\[ - k.\overrightarrow 0 = \overrightarrow 0 \].
\[0.\overrightarrow a = 0\].
\[k.\overrightarrow 0 = \overrightarrow 0 \].
\[0.\overrightarrow a = \overrightarrow 0 \]. Chọn C.
Cho đoạn thẳng \[AB\]và điểm I thỏa mãn \[\overrightarrow {IB} + 3\overrightarrow {IA} = \overrightarrow 0 \]. Hình nào sau đây mô tả đúng giả thiết này?
Hình 1.
Hình 2.
Hình 3.
Hình 4.
Ta có\[\overrightarrow {IB} + 3\overrightarrow {IA} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {IB} = - 3\overrightarrow {IA} \].
Do đó \[IB = 3.IA\];\[\overrightarrow {IA} \] và \[\overrightarrow {IB} \] ngược hướng. Chọn Hình 4. Chọn D.
Cho tam giác \[ABC\] có \[G\] là trọng tâm và \[I\] là trung điểm của \[BC.\] Đẳng thức nào sau đây đúng ?
\[\overrightarrow {GA} = 2\,\overrightarrow {GI} .\]
\[\overrightarrow {IG} = - \frac{1}{3}\overrightarrow {IA} .\]
\[\overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = 2\,\overrightarrow {GI} .\]
\[\overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow {GA} .\]
Vì \[I\] là trung điểm của \[BC\] suy ra \[\overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0 .\]
Ta có \[\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {GB} = \overrightarrow {GI} + \overrightarrow {IB} \\\overrightarrow {GC} = \overrightarrow {GI} + \overrightarrow {IC} \end{array} \right. \Rightarrow \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \underbrace {\overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} }_{\overrightarrow 0 } + 2\,\overrightarrow {GI} = 2\,\overrightarrow {GI} .\]Chọn C.
Cho tam giác \[ABC\] có \[M\] là trung điểm của \[BC,\,\,\,I\] là trung điểm của \[AM.\] Khẳng định nào sau đây đúng ?
\[\overrightarrow {IB} + 2\overrightarrow {IC} + \overrightarrow {IA} = \overrightarrow 0 .\]
\[\overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} + 2\overrightarrow {IA} = \overrightarrow 0 .\]
\[2\overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} + \overrightarrow {IA} = \overrightarrow 0 .\]
\[\overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} + \overrightarrow {IA} = \overrightarrow 0 .\]
Vì \(M\) là trung điểm \(BC\) nên \[\overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} = 2\overrightarrow {IM} .\]
Mặt khác \(I\) là trung điểm \(AM\) nên \(\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IM} = \overrightarrow 0 .\)
Suy ra \[\overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} + 2\overrightarrow {IA} = 2\overrightarrow {IM} + 2\overrightarrow {IA} = 2\left( {\overrightarrow {IM} + \overrightarrow {IA} } \right) = \overrightarrow 0 .\]Chọn B.
Cho tam giác \(ABC\), có bao nhiêu điểm \(M\) thỏa \[\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} } \right| = 5\]?
\(1\).
\(2\).
vô số.
Không có điểm nào.
Gọi \[G\] là trọng tâm của tam giác \[ABC\], ta có \[\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = 3\overrightarrow {MG} \].
Thay vào ta được : \[\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} } \right| = 5 \Leftrightarrow \left| {3\overrightarrow {MG} } \right| = 5 \Leftrightarrow MG = \frac{5}{3}\], hay tập hợp các điểm \[M\]là đường tròn có tâm là trọng tâm của tam giác \[ABC\] và bán kính bằng \[\frac{5}{3}\] . Chọn C.
Phần II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, chọn đúng hoặc sai.
Cho tam giác ABC có trọng tâm G, gọi M là trung điểm BC. B' là điểm đối xứng của B qua G.
a) Tứ giác AGCB' là hình bình hành.
b) \(\overrightarrow {CB'} = - \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} \).
c) \(\overrightarrow {AB'} = - \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{2}{3}\overrightarrow {AC} \).
d) \(\overrightarrow {MB'} = - \frac{5}{6}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{6}\overrightarrow {AC} \).
a) Gọi N là trung điểm của AC.
Theo đề ta có BG = GB' mà G là trọng tâm tam giác ABC. Suy ra N là trung điểm của GB'.
Vì N là trung điểm của AC và GB' nên AGCB' là hình bình hành.
b) Ta có \(\overrightarrow {CB'} = \overrightarrow {GA} = - \overrightarrow {AG} = - \frac{2}{3}\overrightarrow {AM} = - \frac{2}{3}.\frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right) = - \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} - \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} \).
c) Có \(\overrightarrow {AB'} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CB'} = \overrightarrow {AC} - \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} - \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AC} - \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} \).
d) Có \(\overrightarrow {MB'} = \overrightarrow {AB'} - \overrightarrow {AM} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AC} - \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} - \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right) = \frac{1}{6}\overrightarrow {AC} - \frac{5}{6}\overrightarrow {AB} \).
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Đúng.
Cho DABC. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC.
a) \(2\overrightarrow {CM} = \overrightarrow {CB} + \overrightarrow {CA} \).
b) \(\overrightarrow {AB} = - \frac{2}{3}\overrightarrow {CM} - \frac{4}{3}\overrightarrow {BN} \).
c) \(\overrightarrow {AC} = \frac{4}{3}\overrightarrow {CM} + \frac{2}{3}\overrightarrow {BN} \).
d) \(\overrightarrow {MN} = \frac{1}{3}\overrightarrow {BN} - \frac{1}{3}\overrightarrow {CM} \).
a) Vì M là trung điểm AB nên \(\overrightarrow {CB} + \overrightarrow {CA} = 2\overrightarrow {CM} \).
b) Ta có \( - \frac{2}{3}\overrightarrow {CM} - \frac{4}{3}\overrightarrow {BN} \)\( = - \frac{2}{3}.\frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {CB} + \overrightarrow {CA} } \right) - \frac{4}{3}.\frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} } \right)\)\( = - \frac{1}{3}\overrightarrow {CB} - \frac{1}{3}\overrightarrow {CA} - \frac{2}{3}\overrightarrow {BA} - \frac{2}{3}\overrightarrow {BC} \)
\( = \frac{1}{3}\overrightarrow {BC} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} + \frac{2}{3}\overrightarrow {AB} - \frac{2}{3}\overrightarrow {BC} \)\( = - \frac{1}{3}\overrightarrow {BC} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} + \frac{2}{3}\overrightarrow {AB} \)\( = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {BC} } \right) + \frac{2}{3}\overrightarrow {AB} \)\( = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CB} } \right) + \frac{2}{3}\overrightarrow {AB} \)
\( = \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{2}{3}\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AB} \).
c) Ta có \(\frac{4}{3}\overrightarrow {CM} + \frac{2}{3}\overrightarrow {BN} \)\( = \frac{4}{3}.\frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CB} } \right) + \frac{2}{3}.\frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} } \right)\)\( = \frac{2}{3}\overrightarrow {CA} + \frac{2}{3}\overrightarrow {CB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {BA} + \frac{1}{3}\overrightarrow {BC} \)
\( = - \frac{2}{3}\overrightarrow {AC} - \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {BC} - \frac{2}{3}\overrightarrow {BC} \)\( = - \frac{2}{3}\overrightarrow {AC} - \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} - \frac{1}{3}\overrightarrow {BC} \)\( = - \frac{2}{3}\overrightarrow {AC} - \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} } \right)\)\( = - \frac{2}{3}\overrightarrow {AC} - \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} = - \overrightarrow {AC} \).
d) \(\frac{1}{3}\overrightarrow {BN} - \frac{1}{3}\overrightarrow {CM} \)\( = \frac{1}{3}.\frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} } \right) - \frac{1}{3}.\frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CB} } \right)\)\( = \frac{1}{6}\left( {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} - \overrightarrow {CA} - \overrightarrow {CB} } \right)\)\( = \frac{1}{2}\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {MN} \).
Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.
Cho DABC có trọng tâm G. Gọi M là trung điểm BC.
a) \(\overrightarrow {BC} = 2\overrightarrow {BM} \).
b) \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AM} \).
c) \(\overrightarrow {AG} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AM} \).
d) \(\overrightarrow {AG} = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right)\).
a) Vì M là trung điểm BC nên ta có \(\overrightarrow {BC} = 2\overrightarrow {BM} \).
b) Ta có \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow {AM} \).
c) d) Ta có \(\overrightarrow {AG} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AM} = \frac{2}{3}.\frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right) = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right)\).
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Đúng.
Phần III. Trắc nghiệm trả lời ngắn
Cho tam giác ABC. Tia đối của tia CB lấy điểm D sao cho \(CD = \frac{1}{2}CB\). Gọi \(x,y\) là các số thực thỏa mãn \(\overrightarrow {AD} = x\overrightarrow {AB} + y\overrightarrow {AC} \). Tính giá trị của \(\left| {xy} \right|\).
Ta có \(\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BD} = \overrightarrow {AB} + \frac{3}{2}\overrightarrow {BC} = - \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{3}{2}\overrightarrow {AC} \).
Suy ra \(x = - \frac{1}{2};y = \frac{3}{2}\). Do đó \(\left| {xy} \right| = 0,75\).
Trả lời: 0,75.
Cho tam giác ABC, gọi D là điểm trên cạnh BC sao cho \(\overrightarrow {BD} = \frac{2}{3}\overrightarrow {BC} \) và I là trung điểm của AD. Gọi M là điểm thỏa mãn \(\overrightarrow {AM} = \frac{2}{5}\overrightarrow {AC} \). Biết rằng \(\overrightarrow {BI} = k\overrightarrow {BM} \). Tính giá trị của \(T = 6k\).
Ta có \(\overrightarrow {BI} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BD} } \right) = - \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}.\left( {\frac{2}{3}\overrightarrow {BC} } \right)\)\( = - \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} } \right)\)\( = - \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} - \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} \)
\( = - \frac{5}{6}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}.\frac{5}{2}\overrightarrow {AM} \)\( = - \frac{5}{6}\overrightarrow {AB} + \frac{5}{6}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BM} } \right)\)\( = \frac{5}{6}\overrightarrow {BM} \).
Suy ra \(6k = 6.\frac{5}{6} = 5\).
Trả lời: 5.
Cho tam giác vuông ABC có AB = 1, AC = 2. Điểm N thỏa mãn \(\overrightarrow {CN} = \overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CB} + \overrightarrow {CI} \) với I là trung điểm AB. Tính độ dài vectơ \(\overrightarrow {CN} \) (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
Ta có \(\left| {\overrightarrow {CN} } \right| = \left| {\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CB} + \overrightarrow {CI} } \right| = \left| {2\overrightarrow {CI} + \overrightarrow {CI} } \right| = 3\left| {\overrightarrow {CI} } \right| = 3CI = 3.\sqrt {{2^2} + {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2}} \approx 6,18\).
Trả lời: 6,18.
