Đề cương ôn tập cuối kì 1 Toán 10 Cánh diều cấu trúc mới có đáp án - Chương 3. Hàm số và đồ thị

Lời giải

Chọn A.

Thay tọa độ điểm vào hàm số ta thấy chỉ có điểm \(\left( { - 2;0} \right)\) thỏa mãn.

Lời giải

Chọn A.

Ta có \(f\left( 2 \right) + f\left( { - 2} \right) = \frac{{2\sqrt {2 - 2}  - 3}}{{2 - 1}} + {\left( { - 2} \right)^2} + 2\)\( \Rightarrow P = 3\).

Lời giải

Chọn B.

Với \[x \le  - 3\] ta có: \[ - 2x + 1 = 5 \Leftrightarrow x =  - 2\] (loại).

Với \[x >  - 3\] ta có: \[\frac{{x + 7}}{2} = 5 \Leftrightarrow x = 3\] (nhận).

Vậy \[{x_0} = 3\].

Lời giải

Chọn B.

Nhìn đồ thị ta có: \(f\left( { - 1} \right) = f\left( 1 \right) = 1\, \Rightarrow \,\)A đúng.

Đồ thị không có tâm đối xứng nên B sai.

Trên khoảng \(\left( {1;\,5} \right)\) đồ thị hàm số đi lên từ trái sang phải nên hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {1;\,5} \right)\, \Rightarrow \)C đúng.

Trên khoảng \(\left( { - 6;\, - 1} \right)\) đồ thị hàm số đi xuống từ trái sang phải nên hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - 6;\, - 1} \right)\, \Rightarrow \)D đúng.

Lời giải

Chọn D.

Đỉnh của parabol: \[{x_I} =  - \frac{b}{{2a}} = 2\].

Bảng biến thiên của hàm số:

Dựa vào bảng biến thiên suy ra khẳng định D sai.

Lời giải

Chọn D.

Hàm số \(y = {x^2} - 4x + 3\)có \(a = 1 > 0\) nên đồng biến trên khoảng \(\left( { - \frac{b}{{2a}}; + \infty } \right)\).

Vì vậy hàm số đồng biến trên \(\left( {2; + \infty } \right)\).

Lời giải

Chọn A.

\[\left( P \right):y = f\left( x \right) =  - 3{x^2} + x - 2\], TXĐ: \[D = \mathbb{R}\].

Có \[a =  - 3\] và \[ - \frac{b}{{2a}} = \frac{1}{6}\].

Nên hàm số \[y = f\left( x \right)\] nghịch biến trong khoảng \(\left( {\frac{1}{6}; + \infty } \right).\)

Lời giải

Chọn A.

Ta có \(a =  - 1 < 0,\frac{{ - b}}{{2a}} = \frac{{ - 6}}{{2.\left( { - 1} \right)}} = 3\). Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;3} \right)\).

Lời giải

Chọn C.

Đồ thị hàm số có trục đối xứng là đường \[x = m - 1\]. Đồ thị hàm số đã cho có hệ số \[{x^2}\] âm nên sẽ đồng biến trên \[\left( { - \infty ;m - 1} \right)\] và nghịch biến trên \[\left( {m - 1; + \infty } \right)\]. Theo đề, cần: \[m - 1 \le 1 \Leftrightarrow m \le 2\].

Lời giải

Chọn D.

Dựa vào đồ thị có:

\[\left( P \right):y = f\left( x \right) = {x^2} - 2x - 3\] có \[a = 1 > 0\] nên \[\left( P \right)\] có bề lõm hướng lên (loại hình \[2\]).

\[\left( P \right)\] có đỉnh \[I\] có \[{x_I} = 1\] (loại hình \[1\] và \[3\]).

Vậy \[\left( P \right):y = f\left( x \right) = {x^2} - 2x - 3\] có đồ thị là hình \[4\].

Lời giải

Chọn D.

Dựa vào bảng biến thiên ta có: Parabol \[\left( P \right)\] có bề lõm quay xuống dưới; hoành độ đỉnh dương; cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng –1 nên \(\left\{ \begin{array}{l}a < 0\\\frac{{ - b}}{{2a}} > 0\\c =  - 1 < 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a < 0\\b > 0\\c < 0\end{array} \right.\).

Lời giải

Chọn D.

Vì Parabol hướng bề lõm lên trên nên \(a > 0\).

Đồ thị hàm số cắt \(Oy\) tại điểm \(\left( {0;c} \right)\) ở dưới \(Ox \Rightarrow c < 0\).

Hoành độ đỉnh Parabol là \( - \frac{b}{{2a}} < 0\), mà \(a > 0 \Rightarrow b > 0\).

Lời giải

Chọn A.

Từ bảng biến thiên suy ra hệ số \(a > 0\). Loại C, D.

Toạ độ đỉnh \(I\left( {2\,; - 4} \right)\) loại B.

Lời giải

Chọn D.

Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng \[ - 1\] nên loại B và C.

Hoành độ của đỉnh là \({x_I} =  - \frac{b}{{2a}} = 1\) nên ta loại A và chọn D.

Lời giải

Chọn C.

Parabol \(\left( P \right):y = a{x^2} + bx + c,\left( {a \ne 0} \right)\) đi qua các điểm \(A\left( { - 1;0} \right)\), \(B\left( {1; - 4} \right)\), \(C\left( {3;0} \right)\) nên có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}a - b + c = 0\\a + b + c =  - 4\\9a + 3b + c = 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b =  - 2\\c =  - 3\end{array} \right.\).

Khi đó: \(2a + b + 2c = 2 \cdot 1 - 2 + 2 \cdot \left( { - 3} \right) =  - 6\).

Lời giải

Chọn B.

Dựa vào đồ thị của hàm số \[y = {x^2} - 2x + 4\]: \[\left( P \right)\], ta nhận thấy:

\[\left( P \right)\] có đỉnh \[I\left( {1;\,3} \right)\] nên A đúng.

\[\min y = 3,\,\forall x \in \left[ {0;\,3} \right]\], đạt được khi \[x = 1\] nên B sai.

\[\left( P \right)\] có trục đối xứng \[x = 1\] nên C đúng.

\[\max y = 7,\,\forall x \in \left[ {0;\,3} \right]\], đạt được khi \[x = 3\] nên D đúng.

Lời giải

Chọn A.

Ta có \(\Delta  = {1^2} - 4.\left( { - 3} \right).2 = 25\)

Vì \(a =  - 3 < 0\) nên hàm số có giá trị lớn nhất là: \(\frac{{ - \Delta }}{{4a}} = \frac{{25}}{{12}}\).

Lời giải

Chọn B.

Ta có \( - \frac{b}{{2a}} = \frac{1}{3}\) và \(a =  - 3 < 0\). Suy ra hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng \(\left( {\frac{1}{3}; + \infty } \right)\). Mà \(\left[ {1;3} \right] \subset \left( {\frac{1}{3}; + \infty } \right)\). Do đó trên đoạn \(\left[ {1;3} \right]\) hàm số đạt giá trị lớn nhất tại điểm \(x = 1\), tức là \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {1;3} \right]} f\left( x \right) = f\left( 1 \right) = 0\).

Lời giải

Chọn B.

Ta có \(x =  - \frac{b}{{2a}} = \frac{{2m}}{{2m}} = 1\), suy ra \(y =  - 4m - 2\).

Để hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng \( - 10\) khi và chỉ khi

\[\frac{m}{2} > 0 \Leftrightarrow m > 0\]\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 0\\ - 4m - 2 =  - 10\end{array} \right. \Leftrightarrow m = 2\).

Lời giải

Chọn B.

Hoành độ đỉnh của \(\left( P \right):y = 3{x^2} - 2x + 1\) là \(x =  - \frac{b}{{2a}} = \frac{1}{3}\)\( \Rightarrow y = 3 \cdot {\left( {\frac{1}{3}} \right)^2} - 2 \cdot \frac{1}{3} + 1 = \frac{2}{3}\).

Vậy \(I\left( {\frac{1}{3};\,\frac{2}{3}} \right)\).

Lời giải

Chọn C.

Ta có: \({x_I} =  - 1 \Rightarrow  - \frac{4}{{2a}} =  - 1 \Rightarrow a = 2.\)

Hơn nữa \(I \in \left( P \right)\) nên \( - 5 = a - 4 - b \Rightarrow b = 3.\)

Lời giải

Chọn A.

Đồ thị hàm số \(y = a{x^2} + bx + c\) đi qua điểm \(A\left( {2;1} \right)\) và có đỉnh \(I\left( {1\,;\, - 1} \right)\) nên có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}4a + 2b + c = 1\\ - \frac{b}{{2a}} = 1\\a + b + c =  - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4a + 2b + c = 1\\b =  - 2a\\a + b + c =  - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}c = 1\\b =  - 2a\\ - a + c =  - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}c = 1\\b =  - 4\\a = 2\end{array} \right.\).

Vậy \(T = {a^3} + {b^2} - 2c = 22\).

Lời giải

Chọn C.

Parabol  đỉnh \(I\left( { - \frac{b}{{2a}};c - \frac{{{b^2}}}{{4a}}} \right)\)

Theo bài ra, ta có (P) có đỉnh \(I\left( {2;0} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} - \frac{b}{{2a}} = 2\\c - \frac{{{b^2}}}{{4a}} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b =  - 4a\\{b^2} = 4ac\end{array} \right. & \left( 1 \right)\)

Lại có (P) cắt Oy tại điểm \(M\left( {0; - 1} \right)\) suy ra \(y\left( 0 \right) =  - 1 \Leftrightarrow c =  - 1 & \left( 2 \right)\)

Từ (1), (2) suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}b =  - 4a\\{b^2} =  - a\\c =  - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b =  - 4a\\{b^2} = b\\c =  - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - \frac{1}{4}\\b = 1;\,\,c =  - 1\end{array} \right.\) (vì \(b = 0 \Rightarrow a = 0\) loại).

Lời giải

Chọn B.

Vì \(A,B,C \in (P)\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 1 = a{.0^2} + b.0 + c\\ - 1 = a.{\left( 1 \right)^2} + b.(1) + c\\1 = a.{\left( { - 1} \right)^2} + b.( - 1) + c\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b =  - 1\\c =  - 1\end{array} \right.\).

Vậy \(\left( P \right):y = {x^2} - x - 1\).

Lời giải

Chọn D.

Phương trình hoành độ giao điểm: \[2x - {x^2} = 3x - 6 \Leftrightarrow {x^2} + x - 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2 \Rightarrow y = 0\\x =  - 3 \Rightarrow y =  - 15\end{array} \right.\]

Vậy \[b + d =  - 15\].

Lời giải

Chọn B.

Phương trình hoành độ giao điểm của \[d\] và \[\left( P \right)\] là:

\[{x^2} + 3x = x + {m^2} \Leftrightarrow {x^2} + 2x - {m^2} = 0\] (1).

Đề d cắt \[\left( P \right)\] tại 2 điểm phân biệt \[\Delta ' > 0 \Leftrightarrow 1 + {m^2} > 0,\forall m \in \mathbb{R}\].

Gọi \[{x_1};{\rm{ }}{x_2}\] là 2 nghiệm của phương trình (1), khi đó \[A\left( {{x_1};{x_1} + {m^2}} \right)\], \[B\left( {{x_2};{x_2} + {m^2}} \right)\] \[ \Rightarrow I\left( {\frac{{{x_1} + {x_2}}}{2};\frac{{{x_1} + {x_2} + 2{m^2}}}{2}} \right)\]

Theo Vi ét ta có \[{x_1} + {x_2} =  - 2;{\rm{ }}{x_1}.{x_2} =  - {m^2}\] nên \[I\left( { - 1;{m^2} - 1} \right)\].

Vì \[I\] thuộc \(d'\) nên \[{m^2} - 1 = 1 \Leftrightarrow {m^2} = 2 \Leftrightarrow m =  \pm \sqrt 2 \].

Lời giải

Chọn D.

Vì đường thẳng \(y =  - 2,5\) có một điểm chung duy nhất với \(\left( P \right)\) và đường thẳng \(y = 2\) cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm có hoành độ là \( - 1\) và 5 nên suy ra tọa độ đỉnh của \(\left( P \right)\) là:

\(\left( {\frac{{ - 1 + 5}}{2};2,5} \right) = \left( {2;2,5} \right)\).

Vậy \(\left( P \right)\) đi qua ba điểm \(\left( {2;2,5} \right)\), \(\left( { - 1;2} \right)\) và \(\left( {5;2} \right)\).

Từ đó ta có hệ \(\left\{ \begin{array}{l}a - b + c = 2\\25a + 5b + c = 2\\4a + 2b + c = 2,5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{1}{{10}}\\b = \frac{{ - 4}}{{10}}\\c = \frac{{15}}{{10}}\end{array} \right.\).

Vậy \(a - b - c =  - 1\).

Lời giải

Chọn C.

Từ giả thiết của bài toán ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}c = 1,2\\a + b + c = 8,5\\4a + 2b + c = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - \frac{{49}}{{10}}\\b = \frac{{61}}{5}\\c = 1,2\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow a + b + c = \frac{{17}}{2}\).

Lời giải

Chọn D.

Gắn hệ trục tọa độ \(Oxy\) như hình vẽ, chiếc cổng là 1 phần của parabol \(\left( P \right)\): \(y = a{x^2} + bx + c\) với \(a < 0\).

Do parabol \(\left( P \right)\) đối xứng qua trục tung nên có trục đối xứng \(x = 0 \Rightarrow  - \frac{b}{{2a}} = 0 \Leftrightarrow b = 0\).

Chiều cao của cổng parabol là 4m nên \(G\left( {0;4} \right)\) \( \Rightarrow c = 4\).

\( \Rightarrow \left( P \right)\): \(y = a{x^2} + 4\)

Lại có, kích thước cửa ở giữa là 3m × 4m nên \(E\left( {2;3} \right),\;F\left( { - 2;3} \right)\)\( \Rightarrow 3 = 4a = 4 \Leftrightarrow a =  - \frac{1}{4}\).

Vậy \(\left( P \right)\): \(y =  - \frac{1}{4}{x^2} + 4\).

Ta có \( - \frac{1}{4}{x^2} + 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 4\\x =  - 4\end{array} \right.\) nên \(A\left( { - 4;0} \right)\), \(B\left( {4;0} \right)\) hay \(AB = 8\)(m).

Lời giải

Chọn B.

Gọi hai cạnh của hình chữ nhật có độ dài là \(x,\,y\,\)(như hình vẽ); \(0 < x,\,y < 60\).

Ta có \(2x + y = 60 \Rightarrow y = 60 - 2x\).

Diện tích hình chữ nhật là \(S = xy = x\left( {60 - 2x} \right) = \frac{1}{2}.2x\left( {60 - 2x} \right) \le \frac{1}{2}\left( {\frac{{2x + 60 - 2x}}{x}} \right) = 450\).

Vậy diện tích hình chữ nhật lớn nhất là \(450\,\left( {{m^2}} \right)\), đạt được khi \(x = 15,\,y = 30\).

Lời giải

Chọn A.

Theo định nghĩa tam thức bậc hai thì \(f\left( x \right) = 3{x^2} + 2x - 5\) là tam thức bậc hai.

Lời giải

Chọn A.

Đồ thị hàm số là một Parabol quay lên nên \(a > 0\) và đồ thị hàm số cắt trục \[Ox\] tại hai điểm phân biệt nên \(\Delta  > 0\).

Lời giải

Chọn C.

Ta có \(f\left( x \right) = {x^2} - 8x + 16 = {\left( {x - 4} \right)^2}\). Suy ra \(f\left( x \right) \ge 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\).

Lời giải

Chọn C.

Ta có \(f\left( x \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \)\( - {x^2} - 4x + 5 = 0\)\( \Leftrightarrow \)\(x = 1\), \(x =  - 5\).

Mà hệ số \(a =  - 1 < 0\) nên: \(f\left( x \right) \ge 0\)\( \Leftrightarrow \)\(x \in \left[ { - 5;\,1} \right]\).

Lời giải

Chọn C.

Ta có: \(\frac{{4x - 12}}{{{x^2} - 4x}} \le 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x < 0\\3 \le x < 4\end{array} \right.\) hay \(x \in \left( { - \infty ;\,0} \right) \cup \left[ {3;\,4} \right)\).

Lời giải

Chọn B.

Đặt \[f\left( x \right) = \left( {3{x^2} - 10x + 3} \right)\left( {4x - 5} \right)\].

Phương trình \(3{x^2} - 10x + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 3}\\{x = \frac{1}{3}}\end{array}} \right.\) và \(4x - 5 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{5}{4}.\)

Lập bảng xét dấu

Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy \[f\left( x \right) < 0 \Leftrightarrow x \in \left( { - \,\infty ;\frac{1}{3}} \right) \cup \left( {\frac{5}{4};3} \right).\]

Lời giải

Chọn A.

Ta có \({x^2} - 3x + 2 < 0 \Leftrightarrow 1 < x < 2.\)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình \({x^2} - 3x + 2 < 0\) là \(\left( {1;2} \right)\).

Lời giải

Chọn B.

Ta có: \({x^2} - x - 6 \le 0 \Leftrightarrow  - 2 \le x \le 3\).

Tập nghiệm bất phương trình là: \(S = \left[ { - 2;3} \right]\).

Lời giải

Chọn B.

Ta có: \( - {x^2} + 2x + 3 > 0 \Leftrightarrow  - 1 < x < 3\).

Lời giải

Chọn D.

Hàm số \(y = \sqrt { - {x^2} + 2x + 3} \) xác định khi \( - {x^2} + 2x + 3 \ge 0 \Leftrightarrow  - 1 \le x \le 3\).

Vậy tập xác định của hàm số là \(D = \left[ { - 1;3} \right]\).

Lời giải

Chọn B.

Hàm số đã cho xác định khi \(\left\{ \begin{array}{l}\sqrt {{x^2} - 3}  + x - 2 \ne 0\\{x^2} - 3 \ge 0\end{array} \right.\)

Ta có \({x^2} - 3 \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \ge \sqrt 3 \\x \le  - \sqrt 3 \end{array} \right.\).

Xét \(\sqrt {{x^2} - 3}  + x - 2 = 0\)\( \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} - 3}  = 2 - x\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2 - x \ge 0\\{x^2} - 3 = {\left( {2 - x} \right)^2}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 2\\x = \frac{7}{4}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow x = \frac{7}{4}\)

Do đó tập xác định của hàm số đã cho là \(D = \left( { - \infty ; - \sqrt 3 } \right] \cup \left[ {\sqrt 3 ; + \infty } \right)\backslash \left\{ {\frac{7}{4}} \right\}\).

Lời giải

Chọn A.

Xét \(f\left( x \right) = 2{x^2} - 3x - 15\).

\(f\left( x \right) = 0\)\( \Leftrightarrow x = \frac{{3 \pm \sqrt {129} }}{4}\).

Ta có bảng xét dấu

 Tập nghiệm của bất phương trình là \(S = \left[ {\frac{{3 - \sqrt {129} }}{4};\,\frac{{3 + \sqrt {129} }}{4}} \right]\).

Do đó bất phương trình có \(6\) nghiệm nguyên là \( - 2\), \( - 1\), \(0\), \(1\), \(2\), \(3\).

Lời giải

Chọn B.

Phương trình có hai nghiệm phân biệt

\( \Leftrightarrow \Delta ' > 0 \Leftrightarrow {\left( {m - 1} \right)^2} - \left( { - 1} \right).\left( {m - 3} \right) > 0 \Leftrightarrow {m^2} - m - 2 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m <  - 1\\m > 2\end{array} \right.\).

Vậy \(m \in \left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)\).

Lời giải

Chọn D.

Xét phương trình \[m{x^2} - 2mx + 4 = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left(  *  \right).\]

TH1. Với \[m = 0,\] khi đó phương trình \[\left(  *  \right) \Leftrightarrow 4 = 0\] (vô lý).

Suy ra với \[m = 0\] thì phương trình \[\left(  *  \right)\] vô nghiệm.

TH2. Với \[m \ne 0,\] khi đó để phương trình \[\left(  *  \right)\] vô nghiệm \[ \Leftrightarrow \]\[{\Delta '_x} < 0\]

\[ \Leftrightarrow {m^2} - 4m < 0 \Leftrightarrow m\left( {m - 4} \right) < 0 \Leftrightarrow 0 < m < 4\].

Kết hợp hai TH, ta được \[0 \le m < 4\] là giá trị cần tìm.

Lời giải

Chọn C.

Để phương trình \[f\left( x \right) = 0\] có nghiệm \[ \Leftrightarrow \,\,{\Delta '_x} \ge 0 \Leftrightarrow {\left( { - \,b} \right)^2} - 4.3 \ge 0\]

\[ \Leftrightarrow {b^2} - 12 \ge 0 \Leftrightarrow {b^2} - {\left( {2\sqrt 3 } \right)^2} \ge 0 \Leftrightarrow \left( {b - 2\sqrt 3 } \right)\left( {b + 2\sqrt 3 } \right) \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b \ge 2\sqrt 3 \\b \le  - \,2\sqrt 3 \end{array} \right..\]

Vậy \[b \in \left( { - \,\infty ; - \,2\sqrt 3 } \right] \cup \left[ {2\sqrt 3 ; + \,\infty } \right)\] là giá trị cần tìm.

Lời giải

Chọn B.

Ta có \(f\left( x \right) > 0,\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a > 0\\\Delta  < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 > 0\\{\left( {m + 1} \right)^2} - 4\left( {2m + 7} \right) < 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow {m^2} - 6m - 27 < 0 \Leftrightarrow  - 3 < m < 9\).

Lời giải

Chọn B.

\(\sqrt {4 - 3{x^2}}  = 2x - 1 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x - 1 \ge 0\\4 - 3{x^2} = 4{x^2} - 4x + 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge \frac{1}{2}\\\left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = \frac{{ - 3}}{7}\end{array} \right.\end{array} \right. \Rightarrow x = 1.\)

Vậy phương trình có 1 nghiệm.

Lời giải

Chọn D.

\[\sqrt {2x - 3}  = x - 3\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 3 > 0\\2x - 3 = {\left( {x - 3} \right)^2}\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 3\\2x - 3 = {x^2} - 6x + 9\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 3\\{x^2} - 8x + 12 = 0\end{array} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 3\\\left[ \begin{array}{l}x = 6\\x = 2\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 6\].

Lời giải

Chọn B.

Ta có \(\sqrt {4x + 7}  = 2x - 1 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x - 1 \ge 0\\4x + 7 = {\left( {2x - 1} \right)^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge \frac{1}{2}\\4{x^2} - 8x - 6 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge \frac{1}{2}\\x = \frac{{2 \pm \sqrt {10} }}{2}\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow x = \frac{{2 + \sqrt {10} }}{2}\). Vậy \(x = \frac{{2 + \sqrt {10} }}{2}\).

Lời giải

Chọn B.

Ta có \(\sqrt {2{x^2} + 3x - 5}  = x + 1\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 1 \ge 0\\2{x^2} + 3x - 5 = {\left( {x + 1} \right)^2}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge  - 1\\{x^2} + x - 6 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow x = 2\).

Lời giải

Chọn D.

Ta có \[\sqrt {{x^2} - 2x - 3}  = \sqrt {x - \frac{5}{4}} \,\, \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - \frac{5}{4} \ge 0\\{x^2} - 2x - 3 = x - \frac{5}{4}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge \frac{5}{4}\\{x^2} - 3x - \frac{7}{4} = 0\end{array} \right.\]

Phương trình \[{x^2} - 3x - \frac{7}{4} = 0\] có hai nghiệm phân biệt: \[x = \frac{7}{2}\](thỏa ĐK) và \[x =  - \frac{1}{2}\] (không thỏa ĐK) nên phương trình đã cho có một nghiệm \[x = \frac{7}{2}\] và tổng các nghiệm là: \[\frac{7}{2}\].

Lời giải

Chọn B.

Bình phương hai vế của phương trình \[\sqrt {{x^2} - 2x - 3}  = \sqrt {x + 1} \] ta được:

\({x^2} - 2x - 3 = x + 1 \Leftrightarrow x = 4,x =  - 1\).

Thay lần lượt hai giá trị trên vào bất phương trình \(x + 1 \ge 0\), ta thấy cả hai giá trị đều thỏa mãn. Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là \(S = \left\{ { - 1;4} \right\}\).

Lời giải

Chọn C.

Ta có: \(\sqrt { - {x^2} + 4x - 3}  = \sqrt {2m + 3x - {x^2}} \, \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - {x^2} + 4x - 3 \ge 0\\ - {x^2} + 4x - 3 = 2m + 3x - {x^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 \le x \le 3\\x = 2m + 3\end{array} \right.\)

Để phương trình \(\left( 1 \right)\) có nghiệm thì:

\(1 \le 2m + 3 \le 3 \Leftrightarrow  - 1 \le m \le 0 \Rightarrow m \in \left[ { - 1;0} \right] \Rightarrow {a^2} + {b^2} = 1.\)

Lời giải

Chọn C.

\(4\sqrt {2{x^2} - 3x + 1}  = \sqrt {9{x^2} + 54x + 81}  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2{x^2} - 3x + 1 \ge 0\\32{x^2} - 48x + 16 = 9{x^2} + 54x + 81\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x \ge 1\\x \le \frac{1}{2}\end{array} \right.\\23{x^2} - 102x - 65 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x \ge 1\\x \le \frac{1}{2}\end{array} \right.\\\left[ \begin{array}{l}x = 5\\x =  - \frac{{13}}{{23}}\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 5\\x =  - \frac{{13}}{{23}}\end{array} \right. \Rightarrow 5 + \left( { - \frac{{13}}{{23}}} \right) = \frac{{102}}{{23}}.\)

Lời giải

a) Sai                                b) Sai                              c) Đúng                           d) Đúng

Khi \(x = 2\) thì \(f\left( x \right) = 1\) luôn xác định. Khi \(x \ne 2\) thì \(f\left( x \right) = \frac{1}{{x - 2}}\) luôn xác định.

Vậy, tập xác định hàm số là \(D = \left\{ 2 \right\} \cup \left( {\mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}} \right) = \mathbb{R}\).

Ta có: \(f\left( 0 \right) = \frac{1}{{0 - 2}} =  - \frac{1}{2},f\left( 2 \right) = 1,f\left( 3 \right) = \frac{1}{{3 - 2}} = 1\).

Xét phương trình \(f\left( x \right) = \frac{{x + 1}}{{x - 2}}\). Điều kiện \(x \ne 2\), khi đó \(f\left( x \right) = \frac{1}{{x - 2}}\). Ta có phương trình: \(\frac{1}{{x - 2}} = \frac{{x + 1}}{{x - 2}} \Leftrightarrow x + 1 = 1\,\,\left( {x \ne 2} \right) \Leftrightarrow x = 0\). Vậy tập nghiệm phương trình: \(S = \left\{ 0 \right\}\).

Lời giải

a) Đúng                             b) Đúng                           c) Sai                               d) Đúng

Ứng với mỗi tháng trong năm, ta chỉ có đúng một số lượng người nhiễm Covid-19 trong tỉnh đó. Vì vậy mối liên hệ này chính là một hàm số.

Tập xác định hàm số: \(D = \left\{ {1;2;3;4;5;6;7;8;9;10;11;12} \right\}\).

Tập giá trị hàm số là: \(D = \left\{ {10;32;35;42;57;58;60;77;78;90} \right\}\).

Ta có: \(f\left( 1 \right) = 10\).

Với \(y = 58\) thì \(x = 9\), ta có điểm \[\left( {9;58} \right)\] thuộc đồ thị hàm số.

Lời giải

a) Sai                                b) Đúng                           c) Đúng                           d) Đúng

Tập xác định hàm số: \(D = \left[ { - 4;7} \right]\). Tập giá trị hàm số: \(T = \left[ {0;5} \right]\)

Ta thấy điểm \(\left( { - 4;2} \right),\left( {4;1} \right)\) thuộc đồ thị hàm số, điểm \(\left( {2;3} \right)\) không thuộc đồ thị hàm số.

Ta có: \(f\left( { - 1} \right) = 3,f\left( 5 \right) = 2\).

Hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng: \(\left( { - 3;0} \right),\left( {4;7} \right)\) (do đồ thị hàm số đi lên từ trái sang phải trên các khoảng này); hàm số nghịch biến trên các khoảng: \(\left( { - 4; - 3} \right),\left( {0;4} \right)\) (do đồ thị hàm số đi xuống từ trái sang phải trên các khoảng này).

Lời giải

a) Đúng                             b) Sai                              c) Đúng                           d) Đúng

Ta có \(T = 3\,000\,000 + 700\,000\left( {x - 3} \right) = 900\,000 + 700\,000x\) với \(x \ge 3,x \in \mathbb{N}\).

Với \(x = 7\) thì \(T = 900\,000 + 700\,000 \cdot 7 = 5\,800\,000\) (đồng).

Vậy một khách hàng thuê một chiếc xe hơi công ty trong 7 ngày Tết thì sẽ trả khoản tiền thuê là \(5\,800\,000\)đồng.

Xét bất phương trình \(900\,000 + 700\,000x \le 10\,000\,000 \Leftrightarrow 9 + 7x \le 100 \Leftrightarrow x \le \frac{{91}}{7} = 13.\)

Vậy với khoản tiền 10 triệu đồng, anh Bình có thể thuê một chiếc xe tối đa 13 ngày.

Lời giải

a) Đúng                             b) Sai                              c) Đúng                           d) Sai

Ta có \(a = 2 > 0\) nên parabol \(\left( P \right)\) quay bề lõm lên trên.

Có \( - \frac{b}{{2a}} =  - 1\) nên \(\left( P \right)\) có tọa độ đỉnh \(I\left( { - 1; - 1} \right)\) và trục đối xứng là \(x =  - 1\). 

Với \(x = 0\) thì \(y = 1\) nên giao điểm của \(\left( P \right)\) với trục tung là \(M\left( {0;1} \right)\).

\(\left( P \right)\) đi qua các điểm \(Q\left( {1;7} \right)\) và \(P\left( { - 3;7} \right)\).

Lời giải

a) Sai                                b) Đúng                           c) Đúng                           d) Sai

Trục đối xứng của đồ thị là đường thẳng \(x = 2\). Đỉnh \(I\) của đồ thị hàm số có tọa độ là \(\left( {2; - 2} \right)\).

Hàm số bậc hai có dạng \[y = a{x^2} + bx + c\,\,\left( {a \ne {\rm{0}}} \right)\]. Đồ thị hàm số đi qua điểm \(A\left( {0;6} \right)\) nên \(a \cdot {0^2} + b \cdot 0 + c = 6 \Rightarrow c = 6\).

Mặt khác, đồ thị có toạ độ đỉnh là \[I\left( {2; - 2} \right)\] nên ta có:

\(\begin{array}{*{20}{c}}{\left\{ \begin{array}{l} - \frac{b}{{2a}} = 2\\a \cdot {2^2} + b \cdot 2 + 6 =  - 2\end{array} \right.}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}4a + b = 0\\4a + 2b =  - 8\end{array}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}a = 2\\b =  - 8\end{array}\end{array}{\rm{. }}} \right.} \right.\)

Vậy hàm số đã cho là \(y = 2{x^2} - 8x + 6\).

Lời giải

a) Đúng                             b) Sai                              c) Đúng                           d) Sai

Tập xác định của hàm số là \(D = \mathbb{R}\), đỉnh \(I\left( { - 1; - 4} \right)\), trục đối xứng là đường thẳng \(x =  - 1\).

Giao điểm với trục \(Oy\) là \(A\left( {0; - 3} \right)\), giao điểm với trục \(Ox\) là \(B\left( {1;0} \right),C\left( { - 3;0} \right)\).

Ta có đồ thị như hình dưới đây.

Lời giải

a) Sai                                b) Đúng                           c) Đúng                           d) Sai

Vì bề lõm của đồ thị hướng xuống dưới nên hệ số \(a < 0;\)

Từ đồ thị, ta thấy toạ độ đỉnh \(I\left( {1;4} \right)\), trục đối xứng \(x = 1\);

Hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right)\) (do đồ thị hàm số đi lên từ trái qua phải trên khoảng này); nghịch biến trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\) (do đồ thị hàm số đi xuống từ trái qua phải trên khoảng này).

Dựa vào đồ thị, ta thấy \(f\left( x \right) \le 0\) khi \(x\) thuộc các khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right]\) và \(\left[ {3; + \infty } \right)\).

Lời giải

a) Đúng                             b) Sai                              c) Sai                              d) Đúng

Ta có \(y =  - {x^2} + 3\,\,\,\left( {a =  - 1,b = 0,c = 3} \right)\).

Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\). Tọa độ đỉnh \(I\) của parabol: \({x_I} =  - \frac{b}{{2a}} = 0,{y_I} =  - {0^2} + 3 = 3\) hay \(I\left( {0;3} \right)\).

Do \(a =  - 1 < 0\) nên bề lõm parabol hướng xuống.

Bảng biến thiên:

Kết luận:

- Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\) và nghịch biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\).

- Giá trị lớn nhất của hàm số là \({y_{\max }} = 3\), khi \(x = 0\). (Hàm số không có giá trị nhỏ nhất).

Lời giải

a) Đúng                             b) Sai                              c) Đúng                           d) Đúng

Nếu có thêm x người thì số khách là 20 + x. Vì cứ có thêm 1 người, giá vé sẽ giảm 1 USD/người cho toàn bộ hành khách, khi đó giá vé của mỗi người là 30 – x (USD).

Theo đó, doanh thu là \(T\left( x \right) = \left( {20 + x} \right)\left( {30 - x} \right) =  - {x^2} + 10x + 600\) (USD).

Lợi nhuận công ty là \(L\left( x \right) = T\left( x \right) - 400 =  - {x^2} + 10x + 200\) (USD).

Xét tam thức \(f\left( x \right) = L\left( x \right) =  - {x^2} + 10x + 200\), ta thấy \(f\left( x \right)\) có hai nghiệm là x = − 10, x = 20.

Áp dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai, ta có bảng xét dấu sau:

Công ty lãi khi \(f\left( x \right) > 0\), tức là \( - 10 < x < 20\). Vì \(x \ge 0\) nên ta có \(0 \le x < 20\).

Vậy số khách từ người thứ 21 trở lên có ít hơn 20 người thì công ty có lãi.

Lời giải

a) Đúng                             b) Sai                              c) Sai                              d) Đúng

Doanh thu khi bán Q sản phẩm là 150Q (nghìn đồng).

Lợi nhuận khi bán Q sản phẩm là \(150Q - \left( {{Q^2} + 20Q + 4\,000} \right) =  - {Q^2} + 130Q - 4\,000\) (nghìn đồng).

Để không bị lỗ thì \( - {Q^2} + 130Q - 4\,000 \ge 0\).

Tam thức \(f\left( Q \right) =  - {Q^2} + 130Q - 4\,000\) có hai nghiệm Q = 50, Q = 80 và hệ số \(a =  - 1 < 0\). Sử dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai, ta thấy tập hợp những giá trị của Q sao cho tam thức f (Q) mang dấu “+” là khoảng (50; 80). Do đó tập nghiệm của bất phương trình \( - {Q^2} + 130Q - 4\,000 \ge 0\) là đoạn \(\left[ {50;\,80} \right]\). Vậy số sản phẩm cần được sản xuất trong đoạn \(\left[ {50;\,80} \right]\) để đảm bảo không bị lỗ.

Lời giải

a) Đúng                             b) Đúng                           c) Sai                              d) Đúng

Bình phương hai vế của phương trình (*), ta được: \(2{x^2} + x + 3 = {x^2} + 10x + 25\) (**).

Ta có (**) \( \Leftrightarrow {x^2} - 9x - 22 = 0\).

Do đó, phương trình (**) có hai nghiệm là \(x = 11\) và \(x =  - 2\).

Thay lần lượt \(x = 11;x =  - 2\) vào phương trình đã cho, ta thấy hai giá trị này đều không thỏa mãn. Do đó, phương trình (*) vô nghiệm.

Vậy tập nghiệm của phương trình (*) là \(S = \emptyset \).

Lời giải

a) Đúng                             b) Sai                              c) Đúng                           d) Sai

Ta có: \({x^2} + 2 \ge 0\) đúng \(\forall x \in \mathbb{R}\).

Bình phương hai vế của phương trình (*) ta được \(5{x^2} - 8x + 2 = {x^2} + 2 \Leftrightarrow 4{x^2} - 8x = 0\) (**).

Do đó, phương trình (**) có hai nghiệm là \(x = 0\) và \(x = 2\).

Thử lại, ta thấy cả hai giá trị này đều thỏa mãn phương trình (*).

Vậy tập nghiệm của phương trình (*) là \(S = \left\{ {0;2} \right\}\)và tổng các nghiệm của phương trình (*) là .

Lời giải

Trả lời: 5.

Sau một năm số lượng cá trong hồ là \(1000 + 1000x = 1000\left( {1 + x} \right)\) (con).

Sau hai năm số lượng cá trong hồ là \(1000\left( {1 + x} \right) + 1000\left( {1 + x} \right)x = 1000{\left( {1 + x} \right)^2}\) (con).

Điều kiện \(x > 0\). Để số lượng cá trong hồ sau hai năm là 36 000 thì ta có:

\(1000{\left( {1 + x} \right)^2} = 36\,000 \Leftrightarrow {\left( {1 + x} \right)^2} = 36 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 5}\\{x =  - 7\left( l \right)}\end{array}} \right.\) .

Vậy tốc độ tăng thêm số lượng cá trong hồ sau mỗi năm là 5 lần số lượng cá ban đầu.

Lời giải

Trả lời: 80.

Gọi \(x\) (đô la) là giá mỗi đôi giày bán ra thì số tiền lãi tương ứng là \(x - 40\) (đô la).

Số tiền lãi thu được mỗi tháng là \(f\left( x \right) = \left( {x - 40} \right)\left( {120 - x} \right) =  - {x^2} + 160x - 4\,800\).

Đây là hàm số bậc hai với \(a =  - 1,b = 160,c =  - 4800 \Rightarrow  - \frac{b}{{2a}} = 80\).

Vì \(a =  - 1 < 0\) nên hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng \(f\left( {80} \right) =  - {80^2} + 160 \cdot 80 - 4\,800 = 1\,600\), ứng với \(x = 80\).

Vậy, để tối ưu hóa lợi nhuận, cửa hàng cần đưa ra giá bán 80 đô la mỗi đôi giày, khi đó lợi nhuận tối đa trong tháng là 1 600 đô la.

Lời giải

Trả lời: \(8\).

Dựng trục \(Oxy\) như hình vẽ.

Gọi parabol \(\left( P \right):y = a{x^2} + bx + c\,\,\,\left( {a \ne 0} \right)\).

Ta có \(\left( P \right)\) qua các điểm \(I\left( {0;4} \right),E\left( {2;3} \right),F\left( { - 2;3} \right)\) nên \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{c = 4}\\{4a + 2b + c = 3}\\{4a - 2b + c = 3}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a =  - \frac{1}{4}}\\\begin{array}{l}b = 0\\c = 4\end{array}\end{array}} \right.\).

Khi đó, \(\left( P \right):y =  - \frac{1}{4}{x^2} + 4\).

Hai điểm \(A,B\) là giao điểm của \[\left( P \right)\] với \(Ox\) nên hoành độ thỏa mãn \( - \frac{1}{4}{x^2} + 4 = 0 \Leftrightarrow x =  \pm 4\).

Do vậy \(A\left( { - 4;0} \right),B\left( {4;0} \right) \Rightarrow AB = 8\).

Lời giải

Trả lời: 2.

Xét \(v\left( t \right) = \frac{1}{2}{t^2} - 4t + 10\) với \( - \frac{b}{{2a}} = 4,a = \frac{1}{2} > 0\) nên bề lõm parabol hướng lên.

Bảng biến thiên của \(v\left( t \right)\):

Vậy ở giây thứ tư trong 10 giây đầu thì vận tốc của vật đạt giá trị nhỏ nhất là \(v{\left( t \right)_{\min }} = 2\).

Lời giải

Trả lời: 6.

Bề ngang còn lại của tấm tôn sau khi gập thành rãnh dẫn nước: \(32 - 2x\,\,{\rm{(cm)}}\).

Diện tích mặt cắt ngang rãnh dẫn nước: \(S = x\left( {32 - 2x} \right) =  - 2{x^2} + 32x\).

Theo giả thiết: \(S \ge 120\), tức là \( - 2{x^2} + 32x \ge 120\) hay \( - 2{x^2} + 32x - 120 \ge 0\).

Xét \( - 2{x^2} + 32x - 120 = 0\). Khi đó, \(x = 6\) hoặc \(x = 10\).

Bảng xét dấu:

Từ bảng xét dấu ta có \( - 2{x^2} + 32x - 120 \ge 0\) khi \(x \in \left[ {6;10} \right]\).

Vậy rãnh dẫn nước chỉ đạt yêu cầu khi độ cao tối thiểu của nó bằng \(6\;{\rm{cm}}\).

Lời giải

Trả lời: \(50\).

Gọi thời gian chú thỏ chạy trên đoạn \(AD\) là \(x\,\,\left( {0 < x < 30} \right)\) (giây), khi đó thời gian chú thỏ chạy trên đoạn \(BD\) là \(30 - x\) (giây). Do đó, quãng đường \(AD\) và \(BD\) lần lượt là \(13x\,\,{\rm{(m)}}\) và \(15\left( {30 - x} \right)\,\,{\rm{(m)}}\).

Độ dài quãng đường \(BC\) là: \(\sqrt {{{370}^2} - {{120}^2}}  = 350\,\,{\rm{(m)}}\).

Tam giác \(ACD\) vuông tại \(C\) nên \(CD = \sqrt {{{\left( {13x} \right)}^2} - {{120}^2}} \,\,{\rm{(m)}}\).

Mặt khác, \(CD = BC - BD = 350 - 15\left( {30 - x} \right)\,\,{\rm{(m)}}\).

Do đó, ta có \(\sqrt {{{\left( {13x} \right)}^2} - {{120}^2}}  = 350 - 15\left( {30 - x} \right)\).

Giải phương trình này và kết hợp với điều kiện \(0 < x < 30\), ta nhận \(x = 10\) (giây).

Vậy khoảng cách giữa vị trí \(C\) và vị trí \(D\) là: \(350 - 15 \cdot \left( {30 - 10} \right) = 50\,\,{\rm{(m)}}\).