Đề cương ôn tập giữa kì 1 Toán 10 Cánh diều cấu trúc mới có đáp án - Bài 2: Giải tam giác. Tính diện tích tam giác
16 câu hỏi
Phần I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Mỗi câu chỉ chọn một phương án.
Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b, AB = c. Gọi p là nửa chu vi của tam giác, r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác và S là diện tích tam giác đó. Mệnh đề nào sau đây đúng?
\(S = p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)\).
\(S = 2bc\sin A\).
\(S = pr\).
\(S = \frac{{abc}}{{4r}}\).
Ta có \(S = pr\). Chọn C.
Tam giác \(ABC\) có \(AB = 4\,,\,\,AC = 6\) và \(\widehat {BAC} = 30^\circ \). Tính diện tích tam giác \(ABC\).
\(6\).
\(3\).
\(6\sqrt 3 \).
\(3\sqrt 3 \).
Có \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}AB.AC.\sin A = \frac{1}{2}.4.6.\sin 30^\circ = 6\). Chọn A.
Một tam giác có ba cạnh là 10, 12, 18. Diện tích tam giác bằng bao nhiêu?
\(42\sqrt 2 \).
\(40\sqrt 2 \).
\(40\sqrt 3 \).
\(41\sqrt 3 \).
Có \(p = \frac{{10 + 12 + 18}}{2} = 20\).
Diện tích tam giác là \(S = \sqrt {20.\left( {20 - 10} \right).\left( {20 - 12} \right).\left( {20 - 18} \right)} = 40\sqrt 2 \). Chọn B.
Cho tam giác \(ABC\) có cạnh \(AB = 2\,{\rm{cm}}\), \(\widehat {ABC} = 60^\circ \) và \(\widehat {BAC} = 75^\circ \)(như hình vẽ bên dưới).
Diện tích tam giác \(ABC\) gần nhất với giá trị nào sau đây?
\(2,37\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}\).
\(0,63\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}\).
\(2,45\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}\).
\(1,58\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}\).
Có \(\widehat C = 180^\circ - \left( {\widehat A + \widehat B} \right) = 180^\circ - \left( {75^\circ + 60^\circ } \right) = 45^\circ \).
Theo định lí sin ta có: \(\frac{{AC}}{{\sin B}} = \frac{{AB}}{{\sin C}} \Rightarrow AC = \frac{{AB}}{{\sin C}}.\sin B = \frac{2}{{\sin 45^\circ }}.\sin 60^\circ = \sqrt 6 \).
Do đó \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}.AB.AC.\sin A = \frac{1}{2}.2.\sqrt 6 .\sin 75^\circ \approx 2,37\) cm2. Chọn A.
Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b, AB = c và có diện tích S. Nếu tăng cạnh BC lên 3 lần và giảm cạnh AB đi 2 lần, đồng thời giữ nguyên góc B thì khi đó diện tích tam giác mới được tạo thành bằng
\[2S\].
\[\frac{3}{2}S\].
\[6S\].
\[\frac{2}{3}S\].
Ta có \(S = \frac{1}{2}AB.BC.\sin B\).
Nếu tăng cạnh BC lên 3 lần và giảm cạnh AB đi 2 lần, đồng thời giữ nguyên góc B thì khi đó diện tích tam giác mới được tạo thành bằng \(S' = \frac{1}{2}.\frac{{AB}}{2}.3BC.\sin B = \frac{3}{2}\left( {\frac{1}{2}AB.BC.\sin B} \right) = \frac{3}{2}S\). Chọn B.
Cho tam giác \(ABC\) có \(AB = 3\), \(BC = 5\) và độ dài đường trung tuyến \(BM = \sqrt {13} \). Bán kính \(r\) của đường tròn nội tiếp \[\Delta ABC\] bằng
\(2\).
\(\frac{1}{2}\).
\(1\).
\(\sqrt 2 \).
![Cho tam giác \(ABC\) có \(AB = 3\), \(BC = 5\) và độ dài đường trung tuyến \(BM = \sqrt {13} \). Bán kính \(r\) của đường tròn nội tiếp \[\Delta ABC\] bằng A. \(2\). B. \(\frac{1}{2}\). C. \(1\). D. \(\sqrt 2 \). (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/09/9-1758691234.png)
Có \(B{M^2} = \frac{{A{B^2} + B{C^2}}}{2} - \frac{{A{C^2}}}{4}\)\( \Rightarrow A{C^2} = 2\left( {A{B^2} + B{C^2}} \right) - 4B{M^2} = 2\left( {9 + 25} \right) - 4.13 = 16 \Rightarrow AC = 4\).
Có \(p = \frac{{3 + 4 + 5}}{2} = 6\).
\(S = \sqrt {6.\left( {6 - 3} \right).\left( {6 - 4} \right).\left( {6 - 5} \right)} = 6.r\)\( \Leftrightarrow r = \frac{6}{6} = 1\). Chọn C.
Tam giác \[ABC\] có \[BC = 12\], \[CA = 9\] và \[AB = 6\]. Trên cạnh \[BC\] lấy điểm \[M\] sao cho \[BM = 8\]. Tính độ dài đoạn thẳng \[AM\].
\(34\).
\(17\).
\(\sqrt {34} \).
\(\sqrt {43} \).
![Tam giác \[ABC\] có \[BC = 12\], \[CA = 9\] và \[AB = 6\]. Trên cạnh \[BC\] lấy điểm \[M\] sao cho \[BM = 8\]. Tính độ dài đoạn thẳng \[AM\]. A. \(34\). B. \(17\). C. \(\sqrt {34} \). D. \(\sqrt {43} \). (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/09/10-1758691278.png)
Xét DABC \(\cos B = \frac{{A{B^2} + B{C^2} - A{C^2}}}{{2.AB.BC}} = \frac{{{6^2} + {{12}^2} - {9^2}}}{{2.6.12}} = \frac{{11}}{{16}}\).
Xét DABM có \(\cos B = \frac{{A{B^2} + B{M^2} - A{M^2}}}{{2.AB.BM}} = \frac{{11}}{{16}}\)\( \Leftrightarrow \frac{{36 + {8^2} - A{M^2}}}{{2.6.8}} = \frac{{11}}{{16}}\)\( \Leftrightarrow AM = \sqrt {34} \). Chọn C.
Trên biển một con thuyền thả neo ở vị trí A. Một người đứng ở vị trí K trên bờ biển muốn đo khoảng cách từ người đó đến con thuyền, người đó đã chọn một điểm H trên bờ với K và đo được KH = 380 m, \(\widehat {AKH} = 50^\circ ,\widehat {AHK} = 45^\circ \). Khoảng cách KA từ người đó đến con thuyền bằng
\(KA \approx 270\;{\rm{m}}\).
\(KA \approx 280\;{\rm{m}}\).
\(KA \approx 290\;{\rm{m}}\).
\(KA \approx 300\;{\rm{m}}\).
Xét tam giác \(\Delta AHK\) có \(\widehat A = 180^\circ - \left( {\widehat H + \widehat K} \right) = 180^\circ - \left( {45^\circ + 50^\circ } \right) = 85^\circ \).
Theo định lí sin, ta có \(\frac{{KA}}{{\sin H}} = \frac{{HK}}{{\sin A}}\)\( \Rightarrow KA = \frac{{HK}}{{\sin A}}.\sin H = \frac{{380.\sin 45^\circ }}{{\sin 85^\circ }} \approx 270\). Chọn A.
Cho tam giác ABC có AB = 5, AC = 8 và \(\widehat {BAC} = 60^\circ \). Khi đó, bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC bằng
\(1\).
\(2\).
\(\sqrt 3 \).
\(2\sqrt 3 \).
Theo định lí côsin ta có \(BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2} - 2AB.AC.\cos BAC} = \sqrt {25 + 64 - 2.5.8.\cos 60^\circ } = 7\).
Có \({S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}.AB.AC.\sin \widehat {BAC} = \frac{1}{2}.5.8.\sin 60^\circ = 10\sqrt 3 \).
Có \(p = \frac{{5 + 8 + 7}}{2} = 10\).
Vì \(S = p.r \Rightarrow r = \frac{S}{p} = \frac{{10\sqrt 3 }}{{10}} = \sqrt 3 \). Chọn C.
Cho tam giác ABC có BC = 10 và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là R = 10. Tính số đo góc \(\widehat A\).
\(\widehat A = 90^\circ \).
\(\widehat A = 60^\circ \).
\(\widehat A = 30^\circ \).
\(\widehat A = 45^\circ \).
Theo định lí sin có \(\frac{{BC}}{{\sin A}} = 2R \Rightarrow \sin A = \frac{{BC}}{{2R}} = \frac{{10}}{{20}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \widehat A = 30^\circ \). Chọn C.
Phần II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, chọn đúng hoặc sai.
Cho tam giác ABC, biết AB = 13 cm, BC = 15 cm, \(\widehat B = 60^\circ \).
a) Công thức tính diện tích tam giác ABC là \(S = \frac{1}{2}BA.BC.\sin A\).
b) Diện tích tam giác ABC là \(S = \frac{{195\sqrt 3 }}{4}\) cm2.
c) Độ dài cạnh \(AC = \sqrt {199} \) cm.
d) Độ dài bán kính đường tròn nội tiếp của tam giác ABC là \(r = 2 + \sqrt 3 \) cm.
a) \(S = \frac{1}{2}BA.BC.\sin B\).
b) \(S = \frac{1}{2}BA.BC.\sin B\)\( = \frac{1}{2}.13.15.\sin 60^\circ = \frac{{195\sqrt 3 }}{4}\) (cm2).
c) Ta có \(A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} - 2AB.BC.\cos B\)\( = {13^2} + {15^2} - 2.13.15.\cos 60^\circ = 199\) \( \Rightarrow AC = \sqrt {199} \).
d) Ta có \(S = pr \Rightarrow r = \frac{S}{p}\)\( = \frac{{195\sqrt 3 }}{4}:\frac{{13 + 15 + \sqrt {199} }}{2}\)\( = \frac{{195\sqrt 3 }}{{2\left( {28 + \sqrt {199} } \right)}}\).
Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.
Cho tam giác ABC có a = 8; b = 6; c = 5.
a) Chu vi của tam giác ABC là 19.
b) \(\cos A = - \frac{1}{{20}}\).
c) Diện tích tam giác ABC là \(S = 14,98\) (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
d) Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là \(R = \frac{{320}}{{\sqrt {399} }}\).
a) Chu vi của tam giác ABC là 8 + 6 + 5 = 19.
b) Có \(\cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2.b.c}} = \frac{{{6^2} + {5^2} - {8^2}}}{{2.6.5}} = - \frac{1}{{20}}\).
c) Có \(S = \sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)} = \sqrt {\frac{{19}}{2}\left( {\frac{{19}}{2} - 8} \right)\left( {\frac{{19}}{2} - 6} \right)\left( {\frac{{19}}{2} - 5} \right)} = \frac{{3\sqrt {399} }}{4} \approx 14,98\).
d) Có \(R = \frac{{abc}}{{4S}} = \frac{{8.6.5}}{{4.\frac{{3\sqrt {399} }}{4}}} = \frac{{80}}{{\sqrt {399} }}\).
Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.
Hai người dân đứng cách nhau 30 m cùng nhìn lên đỉnh của một tòa nhà theo góc nhìn lần lượt là 30° và 50°.
a) Góc nhìn từ đỉnh tòa nhà về hai phía A và B nơi hai người dân đang đứng là góc \(\widehat {ACB}\) có số đo 30°.
b) Khoảng cách từ vị trí người A tới nóc của tòa nhà là 43,9 m.
c) Chiều cao của tòa nhà là khoảng 30 m.
d) Vì gặp sự cố nên tầng trên cùng của tòa nhà đang bị cháy. Để cứu hộ đám cháy, một xe cứu hỏa đã tiếp cận dưới chân tòa nhà và chân thang đứng cách mặt đất 1,8 m, chiều dài tối đa của thang xếp là 40 m. Để tiếp cận được đám cháy thì xe cứu hỏa phải đứng cách chân tòa nhà một khoảng xa nhất là 21,7 m.
a) Xét tam giác ABC có \(\widehat {BAC} = 180^\circ - 50^\circ = 130^\circ ,\widehat {ABC} = 30^\circ \) nên \(\widehat {ACB} = 180^\circ - 130^\circ - 30^\circ = 20^\circ \).
b) Áp dụng định lí sin cho tam giác ABC ta được
\(\frac{{AB}}{{\sin C}} = \frac{{AC}}{{\sin B}}\) \( \Rightarrow \frac{{30}}{{\sin 20^\circ }} = \frac{{AC}}{{\sin 30^\circ }}\) \( \Rightarrow AC = \frac{{30.\sin 30^\circ }}{{\sin 20^\circ }} \approx 43,9\) m.
c) Xét tam giác vuông CHA vuông tại H nên \(CH = AC.\sin 50^\circ \approx 33,6\) m.
d) Chân thang cách mặt đất 1,8 m ta có CK = CH – HK = 33,6 – 1,8 = 31,8 m.
Khi đó khoảng cách tới chân tòa nhà xa nhất có thể là:
\(KD = \sqrt {C{D^2} - C{K^2}} = \sqrt {{{40}^2} - 31,{8^2}} \approx 24,3\) m.
Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Sai; d) Sai.
Phần III. Trắc nghiệm trả lời ngắn
Cho tam giác ABC có c = 3; b = 5; a = 6. Tính diện tích tam giác ABC (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
Chu vi tam giác ABC là 3 + 5 + 6 = 14.
Diện tích tam giác ABC là \(S = \sqrt {\frac{{14}}{2}\left( {\frac{{14}}{2} - 3} \right)\left( {\frac{{14}}{2} - 5} \right)\left( {\frac{{14}}{2} - 6} \right)} \approx 7,48\).
Trả lời: 7,48.
Cho tam giác ABC biết b = 7, c = 5, \(\cos A = \frac{3}{5}\). Biết rằng bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC có dạng \(r = a - \sqrt b \), trong đó \(a,b \in \mathbb{N}\). Tính giá trị biểu thức \(a - 2b\).
Ta có \({a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos A\)\( = 49 + 25 - 2.7.5.\frac{3}{5} = 32 \Rightarrow a = \sqrt {32} \).
Có \({\sin ^2}A = 1 - {\cos ^2}A = 1 - \frac{9}{{25}} = \frac{{16}}{{25}} \Rightarrow \sin A = \frac{4}{5}\) vì \(0^\circ \le \widehat A \le 180^\circ \).
Khi đó \(S = \frac{1}{2}bc.\sin A = \frac{1}{2}.7.5.\frac{4}{5} = 14\).
Mà \(r = \frac{S}{p} = \frac{{14}}{{\frac{{7 + 5 + \sqrt {32} }}{2}}} = 3 - \sqrt 2 \).
Suy ra a = 3; b = 2. Do đó a – 2b = −1.
Trả lời: −1.
Từ hai vị trí A và B của một tòa nhà, người ta quan sát đỉnh C của ngọn núi. Biết rằng độ cao \(AB = 70\) m, phương nhìn AC tạo với phương nằm ngang góc 30°, phương nhìn BC tạo với phương nằm ngang góc 15°30'. Ngọn núi có độ cao so với mặt đất là bao nhiêu mét? (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).
Từ giả thiết ta suy ra tam giác ABC có \(\widehat {CAB} = 60^\circ ,\widehat {ABC} = 105^\circ 30'\) và \(c = 70\).
Khi đó \(\widehat A + \widehat B + \widehat C = 180^\circ \Rightarrow \widehat C = 180^\circ - \left( {\widehat A + \widehat B} \right) = 180^\circ - 165^\circ 30' = 14^\circ 30'\).
Theo định lí sin, ta có \(\frac{{AC}}{{\sin B}} = \frac{{AB}}{{\sin C}}\)\( \Leftrightarrow \frac{{AC}}{{\sin 105^\circ 30'}} = \frac{{70}}{{\sin 14^\circ 30'}}\)\( \Rightarrow AC = \frac{{70.\sin 105^\circ 30'}}{{\sin 14^\circ 30'}} \approx 269,4\).
Gọi CH là khoảng cách từ C đến mặt đất.
Tam giác vuông ACH có cạnh CH đối diện với góc 30° nên \(CH = \frac{{AC}}{2} = \frac{{269,4}}{2} = 134,7 \approx 135\) m.
Trả lời: 135.
