Dạng 4: Tiên đề Ơ-Clit: Qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng ta vẽ được một và chỉ một đường thẳng song song với đường thẳng đã cho có đáp án

Gọi I là giao điểm của HF và CE.

⇒H, I, F thẳng hàng (*) (t/c hình chữ nhật).

Cần chứng minh: M,I, F thẳng hàng.

MA=ME=12AE (gt) và OA=OC=12AC (t/c hình chữ nhật).

 ⇒OM là đường trung bình của ΔACE.

⇒OM//CE⇒O​DC^=IC​F^( 2 góc đồng vị).

Mà ODC^=OC​D^ và ICF^=I​FC^ (vì ΔOCD cân tại O,ΔICF cân tại I , t/c hình chữ nhật).

⇒OC​D^=IFC^⇒I​F//AC mà IM//AC (do IMlà đường trung bình ΔACE).

⇒M, I,  Fthẳng hàng (tiên đề Ơclít).

Kết hợp (*)với ta có: M, H, F thẳng hàng.

+ Từ (gt) ⇒MH//CE ; NH//AC⇒BMBE=BHBC=BNB​D (định lý Talét).

⇒MN//ED (định ký Talét đảo) .

+ Chứng minh tương tự ta có:PQ//ED 2

+ Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông  HAC và HAB ta có:

AH2=AQ.AC=AM.AB⇒AQAM=ABAC mà ABAC=A​DA​E (vì ΔDAB∽ΔEAC (g.g)).

⇒AQAM=A​DAE hay AQAD=AMA​E⇒MQ//E​D. (định lý Talét đảo)

Kết hợp với (1), (2) ta có:

M,N ,Q thẳng hàng và M, P , Q thẳng hàng (tiên đề Ơclít).

Do đó M , N, P, Q thẳng hàng.

1)

Ta có: ABO^=900 (AB là tiếp tuyến của(O) tại B)

     ÞDABO vuông tại B

     Þ AB2+OB2=OA2  (Đ/L Pytago)

     Þ  AB2=OA2−OB2=2R2−R2=4R2−R2=3R2 Þ   AB=R3   

2) Ta có DBOC cân tại O (OB = OC = R)

     Mà OH là đường cao ( BC ^ OA tại H)

     Þ OH là đường phân giác của DBOC

     Þ  BOA^=COA^

    Chứng minh DAOC = DAOB (c-g-c)

   Þ  ACO^=ABO^

Mà ABO^=900 (AB là tiếp tuyến của(O) tại B)

   Þ ACO^=900

Þ    AC ^ OC

Þ     Mà C thuộc (O)

   Þ AC là tiếp tuyến của đường tròn (O)  

3) Chứng minh DABC cân tại A ( 1)

Xét DABO vuông tại 0, có

SinABO^=OBOA=R2R=12

            Þ BAO^=300

     Ta có: AO là tia phân giác của góc BAC (T/c 2 tiếp tuyến cắt nhau)

 Þ  BAC^=2BAO^=2.300=600  (2)

           Từ (1) và (2) suy ra DABC đều

4)    Gọi I là giao điểm của AF và HD

Áp dụng hệ quả Talet để I là trung điểm HD

Gọi K là trung điểm BD

   Chứng minh KI là đường trung bình của DBHD

Þ KI // HB

Mà HB ^ OA tại H (gt)

Þ KI ^ AH

   Chứng minh I là trực tâm của DAHK

Þ    AI là đường cao của DAHK

Þ    AF ^ HK (3)

Chứng minh HK là đường trung bình của DBDC

Þ     HK // CD (4)

Từ (3) và (4)

    Þ AF ^ CD

   Ta có: DAEC nội tiếp đường tròn đường kính AC

    ÞDAEC vuông tại E

    Þ AE ^ CD

   Mà AF ^ CD

Vậy Ba điểm A, E, F thẳng hàng