Dạng 3: Sử dụng tính chất về tâm và đường kính của đường tròn có đáp án
15 câu hỏi
Cho (O) đường kính AB. Điểm M chuyển động trên (O), M≠A; M≠B. Kẻ MH vuông góc với AB. Vẽ đường tròn O1 đường kính MH cắt đường thẳng MA và MB tại C và D . Chứng minh rằng:
a) C ,D ,O1 thẳng hàng.
a)
Ta có : AMB^=90o
(góc nội tiếp chắn nửa (O)).
⇒CMD^=90o. ⇒CDlà đường kính của O1.
Suy ra C, D, O1thẳng hàng.
b, Chứng minh rằng: ABCD nội tiếp
b) MCHD là hình chữ nhật nội tiếp O.
⇒MCD^=MHD^( 2 góc nội tiếp cùng chắn CD⏜).
Mà MCD^=B^⇒MCD^+ACD^=B^+ACD^=180o .
Vậy ABCD nội tiếp.
Cho tam giác vuông ABC nội tiếp đường tròn tâm O đường kính AB. Trên tia đối của tia CA lấy điểm D sao cho CD = AC
a) Chứng minh tam giác ABD cân
a)
Xét ΔABD có BC⊥DA,CA=CD nên BC vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến, do đó ΔABD cân tại B.
b) Đường thẳng vuông góc với AC tại A cắt đường tròn (O) tại E. Trên tia đối của tia EA lấy điểm F sao cho EF= AE. Chứng minh ba điểm D, B, F thẳng hàng
b) CAE^=900nên CE là đường kính của đường tròn (O) C, O, E thẳng hàng.
Ta có CO là đường trung bình của tam giác ABD
CO//DB CE// BD.
Tương tự, OE là đường trung bình của
OE//BF CE//BF.
Suy ra B, D, F thẳng hàng ( theo tiên đề Owclit).
c) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác ADF tiếp xúc với đường tròn (O)
c) Theo tính chất đường trung bình của ΔABD;ΔABF ta có OC=12DB;OE=12BF mà OC=OE⇒BD=BF=AB
⇒ B là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ADF → BA là bán kính.
Mà OB = AB – OA nên đường tròn ngoại tiếp tam giác ADF tiếp xúc với đường tròn (O) tại A.
Cho tam giác ABC vuông tại C và BC < CA. Gọi I là điểm trên AB và IB < IA. Kẻ đường thẳng d đi qua I và vuông góc với AB. Gọi giao điểm của d với AC, BC lần lượt là F và E. Gọi M là điểm đối xứng với B qua I.
a) Chứng minh rằng tam giác IME đồng dạng với tam giác IFA và IE. IF = IA. IB
a)
Ta có IE là đường trung trực của BM
⇒ΔEBM cân tại M ⇒B1^=M1^
Mà B1^=F1^ ( cùng phụ với A1^ )
ΔIME ΔIFAg.g⇒IMIF=IEIA⇒IE.IF=IA.IM⇒IE.IF=IA.IB
b) Đường tròn ngoại tiếp tam giác CEF cắt AE tại N. Chứng minh rằng F, N, B thẳng hàng.
b) Ta có ECF^=900⇒ENF^=900
Xét ΔBAE có EI, AC là các đường cao cắt nhau tại F nên BF⊥EAmà FN⊥EA⇒B,F,Nthẳng hàng
c) Cho AB cố định, C thay đổi sao cho BCA^=900. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF luôn đi qua hai điểm cố định và tâm đường tròn này nằm trên đường thẳng cố định
c, Ta có E1^=A1^ suy ra tứ giác AMFE nội tiếp
Từ đó suy ra đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF luôn qua hai điểm A, M cố định. Vậy tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF luôn nằm trên đường trung trực của AM cố định
Trên cạnh CD của hình vuông ABCD, lấy một điểm M, vẽ đường tròn tâm O đường kính AM. Gọi E là giao điểm của đường tròn tâm (O') đường kính CD. Hai đường tròn cắt nhau tại điểm thứ hai N. Tia DN cắt BC tại P. Chứng minh rằng:
a) Ba điểm E,N,C thẳng hàng
a, 
Ta có D là giao điểm thứ nhất của (O) và (O')
Dễ thấy AEMD là hình chữ nhật và ED là đường kính của (O)
Nên END^=900 (góc nội tiếp chắn nửa cung đường tròn)
Mặt khác CD là đường kính của (O')
nênDNC^=900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
⇒END^+DNC^=1800 hay ba điểm E,N,C thẳng hàng.
b, Chứng minh rằng: CA⊥MP
Ta có AEMD là hình chữ nhật
⇒AECM là hình chữ nhật
⇒EB⏜=CM⏜ (1)
Xét ΔCBE và ΔCDP có
BCE=CDP (hai góc cùng phụ với góc DPC)
CB=DC;B=C=900 (gt)
Do đó: ΔCBE=ΔDCP (g.c.g)
⇒EB=CP (2)
Từ (1) và (2)
⇒CM=CP hay ΔPCM cân có là đường phân giác
⇒CA cũng đồng thời là đường cao.
Vậy CA⊥MP.
Cho đường tròn (O), M là điểm ở ngoài (O), hai tiếp tuyến MAvà MB( A, B là hai tiếp tuyến), C là một điểm trên đường tròn tâm M bán kính MA và nằm trong đường tròn (O). Các tia AC và BC cắt đường tròn (O) lần lượt tại E và D.
Chứng minh ba điểm D,O,E thẳng hàng.
Trong đường tròn (O) ta có: ABD^=12AOD^
Mặt khác trong đường tròn (M) có:
ABC^=12AMC^ (góc nội tiếp bằng nửa góc ở tâm cùng chắn một cung).
⇒AMC^=AOD^ (1)
Tương tự ta có: BMC^=BOE^ (2)
Do MA và MB là tiếp tuyến của (O) nên:
MAO^=MBO^=900
Hay MAO^=MBO^=1800
⇒AMB^+AOB^=1800
Hay AMC^+BMC^+AOB^=1800 (3)
Từ (1), (2) và (3) ta có: AOD+BOE+AOB=1800
Vậy ba điểm D,O,E thẳng hàng.
Gọi M là một điểm bất kỳ trên đường tròn ngoại tiếp ∆ABC; P,Q,R lần lượt là hình chiếu của M trên các đường thẳng BC, CA và .
Chứng minh rằng:
a) Các điểm M,B,P,R cùng thuộc một đường tròn.
a)
BRM^+BPM^=900+900=1800Tứ giác RBPM nội tiếp.
⇒ Các điểm M,P,B,Ccùng thuộc một đường tròn
Chứng minh rằng: b) Các điểm R,P,Q thẳng hàng.
b) Chứng minh tương tự a) có tứ giác MPQC nội tiếp
⇒MPQ^+MCQ^=1800
Mà RBM^=RPM^ (tứ giác RBPM nôi tiếp)
Và RBM^=MCQ^ (tứ giác ABMC nội tiếp)
Do đó: RPM^=MCQ^
Ta có: RPM^+MPQ^=MCQ^+MPQ^=1800⇒R,P,Q thẳng hàng.
Chứng minh rằng: b) Các điểm R,P,Q thẳng hàng.
b) Chứng minh tương tự a) có tứ giác MPQC nội tiếp
⇒MPQ^+MCQ^=1800
Mà RBM^=RPM^ (tứ giác RBPM nôi tiếp)
Và RBM^=MCQ^ (tứ giác ABMC nội tiếp)
Do đó: RPM^=MCQ^
Ta có: RPM^+MPQ^=MCQ^+MPQ^=1800⇒R,P,Q thẳng hàng.
Chứng minh rằng: b) Các điểm R,P,Q thẳng hàng.
b) Chứng minh tương tự a) có tứ giác MPQC nội tiếp
⇒MPQ^+MCQ^=1800
Mà RBM^=RPM^ (tứ giác RBPM nôi tiếp)
Và RBM^=MCQ^ (tứ giác ABMC nội tiếp)
Do đó: RPM^=MCQ^
Ta có: RPM^+MPQ^=MCQ^+MPQ^=1800⇒R,P,Q thẳng hàng.
