Dạng 1: Chứng minh qua 3 điểm xác định một góc bẹt (tổng hai góc chung đỉnh bằng 180 độ) có đáp án
6 câu hỏi
Cho tam giác ABC có các góc B và C nhọn, đường cao AH . Dựng ra phía ngoài tam giác ABC các tam giác vuông cân ABD, ACE(BAD^=CAE^=90o). Gọi M là trung điểm của DE. Chứng minh rằng H, A, M thẳng hàng.
Dựng hình bình hành AEFD.
⇒M là trung điểm của EF (t/c hình bình hành) và EF=DA =BA.
Mặt khác EA=CA (gt); AEF^=CAB^ (cùng bù với DAE^).
⇒ΔEFA =ΔABC (c – g – c).
A1^=C1^ ( Hai góc tương ứng).
Mà A1^+C1^=90o
⇒A1^+A2^=90o.
⇒A1^+A2^+A3^=180o hay FAH^=180o⇒M,A , H thẳng hàng.
Cho tam giác ABC vuông tại A. Đường tròn (O) đường kính AB cắt đường tròn (O’) đường kính AC tại D, M là điểm chính giữa cung nhỏ DC, AM cắt đường tròn (O) tại N, cắt BC tại E.Chứng minh O, N, O’thẳng hàng.
Xét (O’) có: AEB^=sdAD⏜+sdCM⏜2 ( góc có đỉnh ở bên trong đường tròn).
BAM^=sdADM⏜2=sd AD⏜+sd MD⏜2( góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung) .
Suy ra BAM^=AEB^Þ tam giác ABE cân tại B nên BN vừa là đường cao vừa là trung tuyếnÞNA = NE và OA = OB, O’A = O’CÞ NO, NO’ là đường trung bình của tam giác ACE, ABE nên O’N // CE, NO // EB do đó O, N, O’ thẳng hàng.
Hai đường tròn O;R và O';r tiếp xúc ngoài tại CR>r gọi AC và BC là hai đường kính đi qua C của đường tròn O và O'. DE là dây cung của đường tròn O vuông góc với AB tại trung điểm M của AB. Tia DC cắt đường tròn O' tại điểm thứ 2 là F
a) Tứ giác ADBE là hình gì? Vì sao?
a) Tứ giác ADBE là hình thoi vì AM = MB; MD = ME và DE⊥AB
b) Chứng minh ba điểm B, F, E thẳng hàng
b) Ta có BE//DA . Nối BF ta có ADF^=BFD^=900⇒BF//DA. Như vậy BE//DA và BF//DA mà qua B chỉ có duy nhất một đường thẳng song song với DA do đó 3 điểm B, F, E phải thẳng hàng
c) DB cắt đường tròn (O') tại điểm thứ hai là G. Chứng minh DF, EG và AB đồng quy
c) Ta có CG vuông góc với DB, mặt khác EC vuông góc với DB. Nhưng qua C chỉ tồn tại duy nhất một đường vuông góc với DB nên E, C , G phải thẳng hàng và DF, EG, AB phải đồng quy tại điểm C, chính là trực tâm tam giác EDB
d) Chứng minh MF là tiếp tuyến của (O')
d) Nhận thấy MEF^=F1^ và O'BF^=F2^ mà MEF^+O'BF^=900 nên F1^+F2^=900, suy ra MFO'^=900 Vậy MF là tia tiếp tuyến của đường tròn tâm O’.
