Dạng 4: Bất đẳng thức bu-nhi-a-cốp-xki có đáp án

Chứng minh rằng với a, b, c tùy ý ta luôn có:

$ab+bc+ca\le a^2+b^2+c^2$

Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác, p là một nửa chu vi. Chứng minh rằng: $\sqrt{p}<\sqrt{p-a}+\sqrt{p-b}+\sqrt{p-c}\le \sqrt{3p}$

Cho a, b, c là ba số khác 0. Chứng minh rằng: $\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2}\ge \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}$

Hai số x, y thỏa mãn $x^2+y^2=1$. Chứng minh rằng $-5\le 3x+4y\le 5$.

Cho các số không âm a, y thỏa mãn $x^3+y^3=2$. Chứng minh rằng: $x^2+y^2\le 2$

Chứng minh bất đẳng thức:

$\frac{a_1^2}{a_2+a_3+a_4}+\frac{a_2^2}{a_3+a_4+a_5}+\frac{a_3^2}{a_4+a_5+a_1}+\frac{a_4^2}{a_5+a_1+a_2}+\frac{a_5^2}{a_1+a_2+a_3}\ge \frac{\sqrt{5}}{3}$

Trong đó: a₁, a₂, a₃, a₄, a₅ là các số dương thỏa mãn điều kiện:

$a_1^2+a_2^2+a_3^2+a_4^2+a_5^2\ge 1$

Trong tất cả các nghiệm (x, y) của phương trình: 2x + 3y = 1

Hãy chỉ ra nghiệm có tổng $3x^2+2y^2$ nhỏ nhất.