Dạng 1: Các phương pháp chứng minh bất đẳng thức có đáp án

Chứng minh rằng với mọi $n\in {\mathbb{N}}^{*}$ luôn có: $\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\mathrm{...}+\frac{1}{n(n+1)}<1$

Chứng minh rằng với mọi $a,b\in ℝ$ luôn có: $\frac{a+b}{2}.\frac{a^2+b^2}{2}.\frac{a^3+b^3}{2}\le \frac{a^6+b^6}{2}$

Cho $a,b,c\in (0;1)$, chứng minh rằng ít nhất một trong các bất đẳng thức sau là sai: $a(1-b)>\frac{1}{4},b(1-c)>\frac{1}{4},c(1-a)>\frac{1}{4}$

Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác vuông với a là cạnh huyền.

Chứng minh rằng: $a^3>b^3+c^3$