Dạng 3: Bất đẳng thức cô-si có đáp án

Cho ba số dương a, b, c. Chứng minh rằng: $\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\ge \frac{3}{2}$

Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác. Chứng minh rằng: $ab(a+b-2c)+bc(b+c-2a)+ca(c+a-2b)\ge 0$

Cho $a,b>0,m\in {\mathbb{N}}^{*}$. Chứng minh rằng: ${\left(1+\frac{a}{b}\right)}^m+{\left(1+\frac{b}{a}\right)}^m\ge 2^{m+1}$

Cho hai số $a,b\ge 0$.

a. Nếu $a+b=k-const$, tính giá trị lớn nhất của ab.

b. Nếu $ab=k-const$, tính giá trị nhỏ nhất của a + b.

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: $y=\frac{x}{3}+\frac{15}{x}$, với x > 0.

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: $y=x^3+\frac{3}{x^2}$, với x > 0

Tìm giá trị lớn nhất của hàm số: $y=(x+2)(3-x)$, với $-2\le x\le 3$

Tìm giá trị lớn nhất của hàm số: $y=x{(1-x)}^3$, với $0\le x\le 1$.

Giải phương trình: $\frac{3}{\left|x+1\right|}+\frac{\left|x+1\right|}{3}=2$