Dạng 2. Tìm phân thức thỏa mãn yêu cầu

Tìm phân thức Q thỏa mãn điều kiện: $\frac{2a-6}{a^3-3a^2-a+3}+Q=\frac{6}{a-3}-\frac{2a^2}{1-a^2}$ với $a\ne \pm 1$ và $a\ne 3.$

Chứng minh: $\frac{1}{x}-\frac{1}{x+3}=\frac{3}{x(x+3)}.$ Từ đó, tính nhanh biểu thức: $M=\frac{1}{x(x+3)}+\frac{1}{(x+3)(x+6)}+\mathrm{...}+\frac{1}{(x+12)(x+15)},$

với các mẫu thỏa mãn $\ne 0$.

Chứng minh: $\frac{1}{q}-\frac{1}{q+1}=\frac{1}{q(q+1)}.$Áp dụng để tính nhanh biểu thức sau$N=\frac{1}{q(q+1)}+\frac{1}{(q+1)(q+2)}+\mathrm{...}+\frac{1}{(q+5)(q+6)},$ với các mẫu thỏa mãn $\ne 0$.