Bộ 5 đề thi giữa kì 2 Toán 8 Kết nối tri thức (Tự luận) có đáp án - Đề 5

a) Tốc độ trên đường cao tốc là: \[r + 50\% \cdot r = 1,5r\] (giờ)

Thời gian gia đình ông Ba đi trên đoạn đường bình thường là: \(\frac{{100}}{r}\) (giờ).

Thời gian gia đình ông Ba đi trên đoạn đường cao tốc là: \(\frac{{240}}{{1,5r}} = \frac{{160}}{r}\) (giờ).

Thời gian gia đình ông Ba phải đi là: \(\frac{{100}}{r} + \frac{{160}}{r} = \frac{{260}}{r}\) (giờ).

b) Nếu họ lái xa đúng giới hạn ghi trên biển chỉ đường thì \(r = 40\) (km/giờ) và khi đó thời gian gia đình ông Ba phải đi là: \(\frac{{260}}{{40}} = 6,5\) (giờ) = 6 giờ 30 phút.

a) Ta có \(1 - {x^2} = - \left( {{x^2} - 1} \right) = - \left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right).\)

Khi đó, điều kiện xác định của biểu thức \(B\) là \(\left\{ \begin{array}{l}x - 1 \ne 0\\x + 1 \ne 0\\1 - {x^2} \ne 0\end{array} \right.\) hay \(\left\{ \begin{array}{l}x - 1 \ne 0\\x + 1 \ne 0\\ - \left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right) \ne 0\end{array} \right.,\) tức là \(\left\{ \begin{array}{l}x \ne 1\\x \ne - 1\end{array} \right..\)

Vậy để \(B\) xác định thì \(x \ne 1\) và \(x \ne - 1.\)

b) Với \(x \ne 1\) và \(x \ne - 1\) ta có:

\(B = \frac{{x + 1}}{{x - 1}} - \frac{{x - 1}}{{x + 1}} + \frac{4}{{1 - {x^2}}}\)\( = \frac{{x + 1}}{{x - 1}} - \frac{{x - 1}}{{x + 1}} - \frac{4}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}\)

\( = \frac{{{{\left( {x + 1} \right)}^2} - {{\left( {x - 1} \right)}^2} - 4}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}\)\( = \frac{{\left( {{x^2} + 2x + 1} \right) - \left( {{x^2} - 2x + 1} \right) - 4}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}\)

\( = \frac{{4x - 4}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}\)\( = \frac{{4\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}\)\( = \frac{4}{{x + 1}}\).

Vì vậy với \(x \ne 1\) và \(x \ne - 1\) thì \(B = \frac{4}{{x + 1}}.\)

Với \(x = - \frac{1}{2}\) thoả mãn điều kiện xác định, thay vào biểu thức \(B = \frac{4}{{x + 1}},\) ta được:

\(B = \frac{4}{{ - \frac{1}{2} + 1}} = \frac{4}{{\frac{1}{2}}} = 8.\)

Vậy với \(x = - \frac{1}{2}\) thì \(B = 8.\)

c) Với \(x \ne 1\) và \(x \ne - 1\) thì \(B = \frac{4}{{x + 1}}.\)

Với \(x\) là số nguyên, để \(B\) nhận giá trị nguyên thì \(x + 1\) là ước của \(4.\)

Mà Ư\(\left( 4 \right) = \left\{ {1;\,\, - 1;\,\,2;\,\, - 2;\,\,4;\,\, - 4} \right\}.\)

Ta có bảng sau:

Do đó: \(x \in \left\{ { - 5;\,\, - 3;\,\, - 2;\,\,0;\,\,1;\,\,3} \right\}.\)

Mà \(x \ne 1\) và \(x \ne - 1\) nên \(x \in \left\{ { - 5;\,\, - 3;\,\, - 2;\,\,0;\,\,3} \right\}.\)

Vậy để \(B\) nhận giá trị nguyên thì \(x \in \left\{ { - 5;\,\, - 3;\,\, - 2;\,\,0;\,\,3} \right\}.\)

Hướng dẫn giải

Gọi \[x\,\,\left( \% \right)\] là giá bán một ly trà sữa ở tuần trước \(\left( {x > 0} \right).\)

Vì tổng giá một ly trà sữa và một ly trà đào là \(47\,\,000\) đồng.

Khi đó giá bán một ly trà đào ở tuần trước là \(47\,\,000 - x\) (đồng).

Giá bán một ly trà sữa hôm nay là: \[x\left( {100\% - 20\% } \right) = 80\% x = 0,8x\] (đồng).

Giá bán một ly trà đào hôm nay là:

\[\left( {47\,\,000 - x} \right)\left( {100\% + 10\% } \right) = 110\% x\left( {47\,\,000 - x} \right) = 51\,\,700 - 1,1x\] (đồng).

Do My đã trả chi phí là \(172\,\,600\) đồng. Hỏi ở tuần trước nên ta có phương trình:

                    \(5 \cdot 0,8x + 3\left( {51\,\,700 - 1,1x} \right) = 172\,\,600\)

\(4x + 155\,\,100 - 3,3x = 172\,\,600\)

\(4x - 3,3x = 172\,\,600 - 155\,\,100\)

\(0,7x = 17\,\,500\)

\(x = 25\,\,000\) (thỏa mãn).

Vậy giá tiền mỗi ly trà sữa ở tuần trước là \(25\,\,000\) đồng;

Giá tiền mỗi ly trà đào là \(47\,\,000 - 25\,\,000 = 22\,\,000\) (đồng).

Hướng dẫn giải

a) Xét \(\Delta ABC\) cân tại \(A\) có đường cao \(AD\) nên đồng thời là đường trung tuyến, đo dó \(BD = CD = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2} \cdot 120 = 60{\rm{\;cm}}.\) Áp dụng định lí Pythagore cho \(\Delta ABD\) vuông tại \(D,\) ta có:

\(A{B^2} = A{D^2} + B{D^2},\) suy ra \(A{D^2} = A{B^2} - B{D^2} = {100^2} - {60^2} = 6\,\,400.\)

Do đó \(AD = \sqrt {6\,\,400} = 80{\rm{\;cm}}.\)

b) Xét \(\Delta BDH\) và \(\Delta ADC\) có:

\(\widehat {BDH} = \widehat {ADC} = 90^\circ \) và \(\widehat {HBD} = \widehat {DAC}\) (cùng phụ với \(\widehat {ECB}).\)

Do đó  (g.g).

c) Theo câu b,  suy ra \(\widehat {BHD} = \widehat {ACD}\) (hai góc tương ứng).

Mà \(\widehat {ABD} = \widehat {ACD}\) (do \(\Delta ABC\) cân tại \(A),\) nên \(\widehat {BHD} = \widehat {ABD}.\)

Xét \(\Delta BDH\) và \(\Delta ADB\) có:

\(\widehat {BDH} = \widehat {ADB} = 90^\circ \) và \(\widehat {BHD} = \widehat {ABD}\)

Do đó  (g.g).

Suy ra \(\frac{{BD}}{{AD}} = \frac{{BH}}{{AB}} = \frac{{DH}}{{DB}}\) (tỉ số cạnh tương ứng).

Hay \(\frac{{60}}{{80}} = \frac{{BH}}{{100}} = \frac{{DH}}{{60}},\) suy ra \(BH = \frac{{60 \cdot 100}}{{80}} = 75{\rm{\;cm}}\) và \(DH = \frac{{60 \cdot 60}}{{80}} = 45{\rm{\;cm}}.\)

d) Ta có \(AH = AD - DH = 80 - 45 = 35{\rm{\;cm}}.\)

Xét \(\Delta BDH\) và \(\Delta BEC\) có:

\(\widehat {BDH} = \widehat {BEC} = 90^\circ \) và \(\widehat {EBC}\) là góc chung.

Do đó  (g.g).

Xét \(\Delta BDH\) và \(\Delta AEH\) có:

\(\widehat {BDH} = \widehat {AHE} = 90^\circ \) và \(\widehat {BHD} = \widehat {AHE}\) (đối đỉnh).

Do đó  (g.g).

Mà  nên  

Do đó \(\frac{{HE}}{{BD}} = \frac{{AH}}{{AB}}\) (tỉ số cạnh tương ứng), hay \(\frac{{HE}}{{60}} = \frac{{35}}{{100}},\) suy ra \(HE = \frac{{60 \cdot 35}}{{100}} = 21{\rm{\;}}\left( {{\rm{cm}}} \right).\)

Từ \(D\) vẽ \(Dx \bot CD\) cắt tia \(AB\) tại \(E.\) Xét tứ giác \(BCDE\) có \(\widehat {BCD} = \widehat {CDE} = \widehat {CBE} = 90^\circ \) nên \(BCDE\) là hình chữ nhật. Do đó \(DE = BC = 12{\rm{\;cm}},\,\,BE = CD = 6{\rm{\;cm}}.\) Có \(AE = AB + BE = 10 + 6 = 16{\rm{\;cm}}.\) Áp dụng định lí Pythagore cho \(\Delta ADE\) vuông tại \(E,\) ta được: \(A{D^2} = A{E^2} + D{E^2} = {16^2} + {12^2} = 400.\) Suy ra \(AD = \sqrt {400} = 20{\rm{\;cm}}.\)

Thời gian viên bi lăn theo đoạn thẳng \(AD\) là \(\frac{{20 \cdot 21}}{{28}} = 15\) (giây).