Bộ 5 đề thi giữa kì 2 Toán 8 Kết nối tri thức (Tự luận) có đáp án - Đề 4
6 câu hỏi
Trong một cuộc đua xe đạp, anh Nam phải hoàn thành đoạn đường \[48{\rm{ km}}.\] Nửa đoạn đường đầu anh Nam đạp cùng một tốc độ. Nửa đoạn đường còn lại, anh Nam đạp với tốc độ nhỏ hơn lúc đầu 4 km/giờ. Gọi x là tốc độ ở nửa đoạn đường đầu. Hãy viết biểu thức thể hiện thời gian anh Nam đi trong
a) nửa đoạn đường đầu. b) nửa đoạn đường còn lại.
a) Nửa quãng đường dài là: \(48:2 = 24\,\,{\rm{(km)}}\)
Thời gian anh Nam đi trongnửa đoạn đường đầu là:\(\frac{{24}}{x}\)(giờ)
b) Tốc độ ở nửa đoạn đường sau là: \[x - 4\](km/giờ).
Thời gian anh Nam đi trongnửa đoạn đường sau là:\(\frac{{24}}{{x - 4}}\)(giờ)
Cho biểu thức \[A = \frac{{{x^3} - 1}}{{{x^2} - 4}} \cdot \left( {\frac{1}{{x - 1}} - \frac{{x + 1}}{{{x^2} + x + 1}}} \right).\]
a) Viết điều kiện xác định của biểu thức \(A.\)
b) Rút gọn biểu thức \(A.\)
c) Tính giá trị của biểu thức \(A\) biết \(\left| {x + 3} \right| = 1.\)
a) Ta có \({x^2} - 4 = \left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right).\)
\({x^2} + x + 1 = {x^2} + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = {\left( {x + \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4} \ge \frac{3}{4} > 0\) với mọi \(x.\)
Khi đó, điều kiện xác định của biểu thức \(A\) là \({x^2} - 4 \ne 0,\) \(x - 1 \ne 0\) hay \(x - 2 \ne 0,\) \(x + 2 \ne 0\) và \(x - 1 \ne 0\), tức là \(x \ne 2,\,\,x \ne - 2\) và \(x \ne 1.\)
Vậy điều kiện xác định của biểu thức \(A\) là \(x \ne 2,\,\,x \ne - 2\) và \(x \ne 1.\)
b) Với \(x \ne 2,\,\,x \ne - 2\) và \(x \ne 1,\) ta có:
\[A = \frac{{{x^3} - 1}}{{{x^2} - 4}} \cdot \left( {\frac{1}{{x - 1}} - \frac{{x + 1}}{{{x^2} + x + 1}}} \right)\]
\( = \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}{{{x^2} - 4}} \cdot \frac{1}{{x - 1}} - \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}{{{x^2} - 4}} \cdot \frac{{x + 1}}{{{x^2} + x + 1}}\)
\( = \frac{{{x^2} + x + 1}}{{{x^2} - 4}} - \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{{x^2} - 4}}\)
\( = \frac{{{x^2} + x + 1 - \left( {{x^2} - 1} \right)}}{{{x^2} - 4}}\)\( = \frac{{{x^2} + x + 1 - {x^2} + 1}}{{{x^2} - 4}}\)
\[ = \frac{{x + 2}}{{{x^2} - 4}} = \frac{{x + 2}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x - 2} \right)}} = \frac{1}{{x - 2}}.\]
Vậy với \(x \ne 2,\,\,x \ne - 2\) và \(x \ne 1,\) thì \(A = \frac{1}{{x - 2}}.\)
c) Ta có \(\left| {x + 3} \right| = 1\) suy ra \(x + 3 = 1\) hoặc \(x + 3 = - 1\)
Do đó \(x = - 2\) (không thỏa mãn điều kiện) hoặc \(x = - 4\) (thỏa mãn điều kiện).
Thay \(x = - 4\) vào biểu thức \(A = \frac{1}{{x - 2}},\) ta được: \(A = \frac{1}{{ - 4 - 2}} = - \frac{1}{6}.\)
Vậy \(A = - \frac{1}{6}\) khi \(\left| {x + 3} \right| = 1.\)
Giải các phương trình sau:
a) \( - \frac{1}{2}x + 2 = \frac{5}{2}x - 1\). b) \[3\left( {x - 5} \right) + 5x = 2x - 7.\]
c) \(\frac{{2x - 1}}{3} - \frac{{x + 7}}{4} = \frac{{5 - 3x}}{2}\). d) \({\left( {x - 3} \right)^3} - 2\left( {x - 1} \right) = x{\left( {x - 2} \right)^2} - 5{x^2}\).
a) \( - \frac{1}{2}x + 2 = \frac{5}{2}x - 1\) \( - \frac{1}{2}x - \frac{5}{2}x = - 1 - 2\) \( - 3x = - 3\) \(x = 1.\) Vậy phương trình đã cho có nghiệm \(x = 1.\) c) \(\frac{{2x - 1}}{3} - \frac{{x + 7}}{4} = \frac{{5 - 3x}}{2}\) \(\frac{{4\left( {2x - 1} \right)}}{{12}} - \frac{{3\left( {x + 7} \right)}}{{12}} = \frac{{6\left( {5 - 3x} \right)}}{{12}}\) \(8x - 4 - 3x - 21 = 30 - 18x\) \(8x - 3x + 18x = 30 + 4 + 21\) \(23x = 55\) \(x = \frac{{55}}{{23}}.\) Vậy phương trình đã cho có nghiệm \(x = \frac{{55}}{{23}}.\) | b) \[3\left( {x - 5} \right) + 5x = 2x - 7\] \[3x - 15 + 5x = 2x - 7\] \[3x + 5x - 2x = 15 - 7\] \[6x = 8\] \[x = \frac{4}{3}.\] Vậy phương trình đã cho có nghiệm \[x = \frac{4}{3}.\] d) \({\left( {x - 3} \right)^3} - 2\left( {x - 1} \right) = x{\left( {x - 2} \right)^2} - 5{x^2}\) \({x^3} - 9{x^2} + 27x - 27 - 2x + 2 = x\left( {{x^2} - 4x + 4} \right) - 5{x^2}\) \({x^3} - 9{x^2} + 25x - 25 = {x^3} - 4{x^2} + 4x - 5{x^2}\) \(21x = 25\) \(x = \frac{{25}}{{21}}\) Vậy phương trình đã cho có nghiệm là \(x = \frac{{25}}{{21}}.\) |
Nhu cầu mua hàng online hiện nay rất lớn. Để vận chuyển các món hàng đó đến khách hàng tiêu dùng, không ai khác chính là shipper. Ngày 05/01/2025, công ty ABC tính nhờ các shipper vận chuyển đến khách hàng. Mỗi shipper vận chuyển 30 món hàng. Sau khi tính toán lại, mỗi shipper vận chuyển 36 món hàng. Do đó, số shipper vận chuyển giảm đi 3 người. Tính số món hàng ngày 05/01/2025 công ty ABC giao cho khách.
Gọi \[x\] (món hàng) là số món hàng công ty ABC giao cho khách ngày 05/01/2025 \(\left( {x \in \mathbb{N}*} \right).\)
Số shipper dự tính là: \(\frac{x}{{30}}\) (người).
Số shipper thực tế là:\(\frac{x}{{36}}\) (người).
Do số shipper vận chuyển hàng giảm đi 3 người nên ta có phương trình:
\(\frac{x}{{30}} - \frac{x}{{36}} = 3\)
\[\left( {\frac{1}{{30}} - \frac{1}{{36}}} \right)x = 3\]
\(\frac{1}{{180}}x = 3\)
\(x = 540\) (thỏa mãn).
Vậy ngày 05/01/2025 công ty ABC giao cho khách 540 món hàng.
Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có \(AB = 6{\rm{\;cm}}\) và \(AC = 8{\rm{\;cm}}.\) Kẻ đường cao \(AH.\)
a) Chứng minh
b) Tính độ dài các cạnh \(BC\) và \(AH.\)
c) Tia phân giác của \(\widehat {ACB}\) cắt \(AH\) tại \(E,\) cắt \(AB\) tại \(D.\) Chứng minh rằng \[\frac{{AC}}{{AD}} = \frac{{HC}}{{HE}}.\]
d) Tính tỉ số diện tích của \(\Delta ACD\) và \(\Delta HCE.\)
a) Xét \(\Delta ABC\) và \(\Delta HBA\) có: \(\widehat {BAC} = \widehat {BHA} = 90^\circ \) và \(\widehat B\) là góc chung. Do đó (g.g). b) Vì tam giác \(ABC\) vuông tại \(A,\) theo định lí Pythagore ta có: \(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} = {6^2} + {8^2} = 100.\) Suy ra \(BC = 10{\rm{\;cm}}.\) |  |
Theo câu a), nên \(\frac{{AC}}{{HA}} = \frac{{BC}}{{AB}}\) (tỉ số cạnh tương ứng).
Suy ra \(AH = \frac{{AB \cdot AC}}{{BC}} = \frac{{6 \cdot 8}}{{10}} = 4,8{\rm{\;cm}}{\rm{.}}\)
c) Xét \(\Delta ACD\) và \(\Delta HCE\) có:
\(\widehat {DAC} = \widehat {EHC} = 90^\circ \) và \(\widehat {ACD} = \widehat {HCE}\) (do \(CD\) là tia phân giác của \(\widehat {ACB}).\)
Do đó (g.g).
Suy ra \[\frac{{AC}}{{HC}} = \frac{{AD}}{{HE}}\] (tỉ số cạnh tương ứng) nên \[\frac{{AC}}{{AD}} = \frac{{HC}}{{HE}}\] (*)
d) ⦁ Chứng minh tương tự câu a), ta cũng có: (g.g).
Mà hay nên
Suy ra \[\frac{{BH}}{{AH}} = \frac{{AB}}{{CA}}\] (tỉ số cạnh tương ứng), do đó \[BH = \frac{{AB}}{{AC}} \cdot AH = \frac{6}{8} \cdot 4,8 = 3,6{\rm{\;cm}}.\]
Khi đó \[HC = BC - BH = 10 - 3,6 = 6,4{\rm{\;cm}}.\]
⦁ Ta có \(CD\) là phân giác \(\widehat {ACB}\) nên \(\frac{{CA}}{{CB}} = \frac{{DA}}{{DB}},\) do đó \[\frac{{AC}}{{AD}} = \frac{{BC}}{{BD}}.\]
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
\[\frac{{AC}}{{AD}} = \frac{{BC}}{{BD}} = \frac{{AC + BC}}{{AD + BD}} = \frac{{AC + BC}}{{AB}} = \frac{{8 + 10}}{6} = 3.\]
Suy ra \(AD = \frac{{AC}}{3} = \frac{8}{3}{\rm{\;cm}}\) và \[\frac{{HC}}{{HE}} = \frac{{AC}}{{AD}} = 3.\]
Khi đó \[HE = \frac{{HC}}{3} = \frac{{6,4}}{3} = \frac{{32}}{{15}}.\]
Ta có \[\frac{{{S_{ACD}}}}{{{S_{HCE}}}} = \frac{{\frac{1}{2}AD \cdot AC}}{{\frac{1}{2}HE \cdot HC}} = \frac{{AD \cdot AC}}{{HE \cdot HC}} = \frac{{\frac{8}{3} \cdot 8}}{{\frac{{32}}{{15}} \cdot 6,4}} = \frac{{25}}{{16}}.\]
Vậy tỉ số diện tích của \(\Delta ACD\) và \(\Delta HCE\) là \[\frac{{25}}{{16}}.\]
![Một chiếc thang có chiều dài \[AB = 3,7\,\,{\rm{m}}\] đặt cách một bức tường khoảng cách (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/02/blobid17-1739547507.png)
1. Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác \[ABH\]vuông tại \[H\], ta có:
\(A{B^2} = A{H^2} + B{H^2}\).
Suy ra \(A{H^2} = A{B^2} - B{H^2}\).
Do đó\(AH = \sqrt {A{B^2} - B{H^2}} = \sqrt {{{\left( {3,7} \right)}^2} - {{\left( {1,2} \right)}^2}} = 3,5\,\,(m)\).
Ta có \(\frac{{AH}}{{BH}} = \frac{{3,5}}{{1,2}} \approx 2,9\).
Mà \[2,9 > 2,2\] nên khoảng cách đặt thang cách chân tường là không an toàn.
