Bộ 5 đề thi giữa kì 2 Toán 8 Kết nối tri thức cấu trúc mới có đáp án - Đề 5
20 câu hỏi
Mẫu thức của phân thức \(\frac{{{x^2}\left( {x + 1} \right)}}{{\left( {x - y} \right){y^2}}}\) là
\({x^2}\left( {x + 1} \right)\).
\(\left( {x - y} \right)\).
\(\left( {x - y} \right){y^2}\).
\({y^2}\).
Đáp án đúng là: C
Mẫu thức của phân thức \(\frac{{{x^2}\left( {x + 1} \right)}}{{\left( {x - y} \right){y^2}}}\) là \(\left( {x - y} \right){y^2}\).
Điều kiện xác định của phân thức \(\frac{{{x^2} - 1}}{{{x^2} - 2x + 1}}\) là
\(x = 1\).
\(x = 1;x = - 1\).
\(x \ne 1;x \ne - 1\).
\(x \ne 1\).
Đáp án đúng là: D
Điều kiện xác định của phân thức là \({x^2} - 2x + 1 \ne 0\) hay \({\left( {x - 1} \right)^2} \ne 0\), suy ra \(x \ne 1\).
Giả sử các biểu thức đều có nghĩa. Áp dụng quy tắc đổi dấu ta viết được phân thức \(\frac{{5 - x}}{{11 - {x^2}y}}\) bằng phân thức
\(\frac{{5 - x}}{{11 + {x^2}y}}\).
\(\frac{{x - 5}}{{ - 11 + {x^2}y}}\).
\(\frac{{x + 5}}{{11 - {x^2}y}}\).
\(\frac{{x + 5}}{{11 + {x^2}y}}\).
Đáp án đúng là: B
Áp dụng phân thức đổi dấu, ta có:
\(\frac{{5 - x}}{{11 - {x^2}y}} = \frac{{ - \left( {5 - x} \right)}}{{ - \left( {11 - {x^2}y} \right)}} = \frac{{x - 5}}{{ - 11 + {x^2}y}}\).
Kết quả của biểu thức \(\frac{3}{{2x + 6}} - \frac{{x - 6}}{{2{x^2} + 6x}}\) là
\(\frac{1}{{x + 3}}.\)
\( - \frac{1}{{x + 3}}\).
\( - \frac{1}{x}.\)
\(\frac{1}{x}\).
Đáp án đúng là: D
Ta có: \(\frac{3}{{2x + 6}} - \frac{{x - 6}}{{2{x^2} + 6x}} = \frac{{3x}}{{x\left( {2x + 6} \right)}} - \frac{{x - 6}}{{x\left( {2x + 6} \right)}} = \frac{{2x + 6}}{{x\left( {2x + 6} \right)}} = \frac{1}{x}\).
Công thức nào dưới đây thể hiện phép nhân hai phân thức \(\frac{A}{B}\) với phân thức \(\frac{M}{N}\)?
\(\frac{A}{B}.\frac{M}{N} = \frac{{A + M}}{{B.N}}\).
\(\frac{A}{B}.\frac{M}{N} = \frac{{A.N}}{{B.M}}\).
\(\frac{A}{B}.\frac{M}{N} = \frac{{A.M}}{{B.N}}\).
\(\frac{A}{B}.\frac{M}{N} = \frac{{A.M}}{{B + N}}\).
Đáp án đúng là: C
Ta có: \(\frac{A}{B}.\frac{M}{N} = \frac{{A.M}}{{B.N}}\).
Kết quả của phép tính \(\frac{{\left( { - 20x} \right)}}{{3{y^2}}}:\frac{{\left( { - 4{x^3}} \right)}}{{5y}}\) là
\(\frac{{80{x^3}}}{{15{y^3}}}\).
\(\frac{{25x}}{{3y}}\).
\(\frac{{25xy}}{{3{x^2}y}}\).
\(\frac{{25}}{{3{x^2}y}}\).
Đáp án đúng là: D
Ta có: \(\frac{{\left( { - 20x} \right)}}{{3{y^2}}}:\frac{{\left( { - 4{x^3}} \right)}}{{5y}} = \frac{{\left( { - 20x} \right)}}{{3{y^2}}}.\frac{{5y}}{{\left( { - 4{x^3}} \right)}} = \frac{{ - 100xy}}{{ - 12{x^3}{y^2}}} = \frac{{25}}{{3{x^2}y}}\),
Đưa phương trình \(5x - \left( {6 - x} \right) = 12\) về dạng \(ax + b = 0\) ta được
\(4x + 6 = 0.\)
\(4x - 18 = 0\).
\(5x - 6 = 0\).
\(6x - 18 = 0\).
Đáp án đúng là: D
Ta có: \(5x - \left( {6 - x} \right) = 12\)
\(5x - 6 + x - 12 = 0\)
\(6x - 18 = 0\)
Giá trị \(x = - 4\) là nghiệm của phương trình nào dưới đây?
\( - \frac{5}{2}x + 1 = 11\).
\( - \frac{5}{2}x = - 10\).
\(3x - 8 = 0\).
\(3x - 1 = x + 7\).
Đáp án đúng là: A
• Thay \(x = - 4\) vào phương trình \( - \frac{5}{2}x + 1 = 11\), ta được: \( - \frac{5}{2}.\left( { - 4} \right) + 1 = 11\).
Do đó, \(x = - 4\) là nghiệm của phương trình \( - \frac{5}{2}x + 1 = 11\).
• Thay \(x = - 4\) vào phương trình \( - \frac{5}{2}x = - 10\), ta được: \( - \frac{5}{2}.\left( { - 4} \right) = 10 \ne - 10\).
Do đó, \(x = - 4\) không là nghiệm của phương trình \( - \frac{5}{2}x = - 10\).
• Thay \(x = - 4\) vào phương trình \(3x - 8 = 0\), ta được: \(3.\left( { - 4} \right) - 8 = - 20 \ne 0\).
Do đó, \(x = - 4\) không là nghiệm của phương trình \(3x - 8 = 0\).
• Thay \(x = - 4\) vào phương trình \(3x - 1 = x + 7\), ta được: \(3.\left( { - 4} \right) - 1 = - 4 + 7\) hay \( - 13 = 3\) (vô lí).
Do đó, \(x = - 4\) không là nghiệm của phương trình \(3x - 1 = x + 7\).
Vậy chọn đáp án A.
Cho theo tỉ số \(k\). Vậy \(k\) bằng tỉ số nào dưới đây?
\(k = \frac{{AB}}{{BC}}\).
\(k = \frac{{AC}}{{DF}}\).
\(k = \frac{{DE}}{{AB}}.\)
\(k = \frac{{DE}}{{DF}}\).
Đáp án đúng là: B
Nếu theo tỉ số \(k\) thì ta có:
\(\frac{{AB}}{{DE}} = \frac{{BC}}{{EF}} = \frac{{AC}}{{DF}} = k\).
Vậy chọn đáp án B.
Cho \(\Delta DEF\) vuông tại \(E\). Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác trên ta được:
\(D{E^2} + E{F^2} = D{F^2}\).
\(D{F^2} + F{E^2} = D{E^2}\).
\(D{E^2} + D{F^2} = E{F^2}\).
\(E{F^2} - D{E^2} = D{F^2}\).
Đáp án đúng là: A
Ta có \(\Delta DEF\) vuông tại \(E\) nên theo định lí Pythagore, ta được:
\(D{E^2} + E{F^2} = D{F^2}\).
Cho \(\Delta ABC\) và \(\Delta DMN\) như hình vẽ dưới đây:
Để (cạnh huyền – cạnh góc vuông) thì cần thêm yếu tố nào dưới đây?
\(\frac{{AB}}{{DM}} = \frac{{AC}}{{DN}}\).
\(\frac{{BC}}{{AC}} = \frac{{MN}}{{DN}}\).
\(\widehat B = \widehat M\).
Cả ba đáp án trên đều đúng.
Đáp án đúng là: A
Để (cạnh huyền – cạnh góc vuông) thì cần điều kiện \(\frac{{BC}}{{AC}} = \frac{{MN}}{{DN}}\).
Trong các cặp hình sau, hình nào là hình đồng dạng?
Hình \(A\).
Hình \(B.\)
Hình \(C\).
Không có hình nào.
Đáp án đúng là: B
Một miếng đất hình chữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng \(25{\rm{ m}}\). Nếu giảm chiều dài đi \(25{\rm{ m}}\) thì diện tích sẽ nhỏ hơn diện tích ban đầu là \(1{\rm{ }}000{\rm{ }}{{\rm{m}}^2}\). Gọi chiều dài ban đầu của miếng dất là \(x\) \(\left( {x > 25,{\rm{ m}}} \right).\)
a) Chiều rộng ban đầu của miếng đất là \(x - 25{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)\).
b) Khi chiều dài giảm đi \(25{\rm{ m}}\)ta được chiều dài mới bằng chiều rộng ban đầu của mảnh đất.
c) Phương trình mô tả bài toán là \(x\left( {x - 25} \right) - \left( {x - 25} \right)\left( {x - 25} \right) = 1{\rm{ }}000\).
d) Diện tích ban đầu của mảnh đất là \({\rm{2 600 }}\left( {{{\rm{m}}^2}} \right)\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: a) Đ b) Đ c) Đ d) Đ
Gọi chiều dài ban đầu của miếng dất là \(x\) \(\left( {x > 25,{\rm{ m}}} \right).\)
Chiều rộng ban đầu của miếng đất là \(x - 25{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)\).
Chiều dài của miếng dất sau khi giảm là \(x - 25{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)\).
Diện tích ban đầu của mảnh đất là: \(x\left( {x - 25} \right){\rm{ }}\left( {{{\rm{m}}^2}} \right)\).
Diện tích sau khi giảm chiều dài của mảnh đất là: \(\left( {x - 25} \right)\left( {x - 25} \right){\rm{ }}\left( {{{\rm{m}}^2}} \right)\).
Theo đề, diện tích sau khi giảm sẽ nhỏ hơn diện tích ban đầu là \(1{\rm{ }}000{\rm{ }}{{\rm{m}}^2}\) nên ta có phương trình:
\(x\left( {x - 25} \right) - \left( {x - 25} \right)\left( {x - 25} \right) = 1{\rm{ 000 }}\left( {{{\rm{m}}^2}} \right)\)
Giải phương trình, ta có:
\(x\left( {x - 25} \right) - \left( {x - 25} \right)\left( {x - 25} \right) = 1{\rm{ 000}}\)
\({x^2} - 25x - {x^2} + 50x - 625 = 1{\rm{ 000}}\)
\(25x = 1{\rm{ }}625\)
\(x = 65\) (thỏa mãn).
Do đó, diện tích ban đầu của miếng đất là \(65.\left( {65 - 25} \right) = 2{\rm{ }}600{\rm{ }}\left( {{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\).
Cho \(\Delta BAC\) nhọn \(\left( {AB < AC} \right)\), đường cao \(AH\). Gọi \(D,E\) lần lượt là hình chiếu của \(H\) trên \(AB,AC\). Biết \(AH = 5{\rm{ cm,}}\)\(DE = 4{\rm{ cm,}}\)\(BC = 8{\rm{ cm}}\).
a) ΔADH∽ΔAHB
b) \(A{H^2} = AD.AB\).
c) ΔADE∽ΔCAB
d) \({S_{ADE}} = 5{\rm{ c}}{{\rm{m}}^2}\).
Đáp án đúng là: a) Đ b) Đ c) S d) Đ
• Xét \(\Delta ADH\) và \(\Delta AHB\) có: \(\widehat {HDA} = \widehat {BHA} = 90^\circ \) và \(\widehat {DAH} = \widehat {BAH}\) (góc chung)
Suy ra (g.g)
Suy ra \(\frac{{AD}}{{AH}} = \frac{{AH}}{{AB}}\) hay \(A{H^2} = AD.AB\) (1)
• Xét \(\Delta AEH\) và \(\Delta AHC\) có: \(\widehat {HEA} = \widehat {CHA} = 90^\circ \) và \(\widehat {EAH} = \widehat {CAH}\) (góc chung)
Suy ra (g.g).
Suy ra \(\frac{{AE}}{{AH}} = \frac{{AH}}{{AC}}\) hay \(A{H^2} = AE.AC\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(AD.AB = AE.AC\) hay \(\frac{{AE}}{{AB}} = \frac{{AD}}{{AC}}\).
Xét \(\Delta ADE\) và \(\Delta ACB\) có: \(\frac{{AE}}{{AB}} = \frac{{AD}}{{AC}}\) và \(\widehat {BAC} = \widehat {DAE}\) (góc chung)
Suy ra (c.g.c)
• Ta có \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}AH.BC = \frac{{8.5}}{2} = 20{\rm{ c}}{{\rm{m}}^2}\).
Mà \(\frac{{{S_{ADE}}}}{{{S_{ABC}}}} = \frac{{D{E^2}}}{{B{C^2}}} = \frac{{{4^2}}}{{{8^2}}} = \frac{1}{4}\).
Do đó, \({S_{ADE}} = \frac{1}{4}{S_{ABC}} = \frac{1}{4}.20 = 5{\rm{ c}}{{\rm{m}}^2}\).
Cho biểu thức \(A = \frac{{x - 2}}{{x + 2}} - \frac{x}{{x - 2}} - \frac{{9x - 2}}{{4 - {x^2}}}\) \(\left( {x \ne 2;x \ne - 2} \right)\). Biết rằng, khi rút gọn \(A\), ta được \(A = \frac{a}{{x - 2}}\). Tìm giá trị của \(a\).
Đáp án: \(a = 1\)
Với \(x \ne 2;x \ne - 2\), ta có:
\(A = \frac{{x - 2}}{{x + 2}} - \frac{x}{{x - 2}} - \frac{{9x - 2}}{{4 - {x^2}}}\)
\(A = \frac{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x - 2} \right)}} - \frac{{x\left( {x + 2} \right)}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x - 2} \right)}} + \frac{{9x - 2}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x - 2} \right)}}\)
\(A = \frac{{{x^2} - 4x + 4 - {x^2} - 2x + 9x - 2}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x - 2} \right)}}\)
\(A = \frac{{x + 2}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x - 2} \right)}}\)
\(A = \frac{1}{{x - 2}}\).
Vậy \(a = 1.\)
Cho biểu thức \(B = \left( {\frac{{7 - 2x}}{{x - 1}} + \frac{{2x}}{{x + 1}} - \frac{1}{{{x^2} - 1}}} \right):\frac{{3x + 9}}{{{x^2} - 1}}\) với \(x \ne 1;x \ne - 1\). Tính giá trị của \(B\) biết \(\left| {x - 2} \right| = 1\).
Đáp án: \(\frac{5}{6}\)
Với \(x \ne 1;x \ne - 1\), ta có: \(B = \left( {\frac{{7 - 2x}}{{x - 1}} + \frac{{2x}}{{x + 1}} - \frac{1}{{{x^2} - 1}}} \right):\frac{{3x + 9}}{{{x^2} - 1}}\)
\(B = \left[ {\frac{{\left( {7 - 2x} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} + \frac{{2x\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} - \frac{1}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}} \right].\frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{3x + 9}}\)
\(B = \frac{{ - 2{x^2} + 5x + 7 + 2{x^2} - 2x - 1}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}.\frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{3x + 9}}\)
\(B = \frac{{3x + 6}}{{3\left( {x + 3} \right)}}\)
\(B = \frac{{3\left( {x + 2} \right)}}{{3\left( {x + 3} \right)}} = \frac{{x + 2}}{{x + 3}}\).
Ta có: \(\left| {x - 2} \right| = 1\)
TH1: \(x - 2 = 1\) suy ra \(x = 3\) (thỏa mãn).
TH2: \(x - 2 = - 1\) suy ra \(x = 1\) (loại).
Với \(x = 1\), thay vào \(B\), ta được: \(B = \frac{{3 + 2}}{{3 + 3}} = \frac{5}{6}\).
Vậy \(B = \frac{5}{6}\).
Tính tổng tất cả các giá trị của \(m\) để phương trình \(\left( {{m^2} - 4} \right)x = m - 2\) vô nghiệm.
Hướng dẫn giải
Đáp án: \(0\)
Để phương trình vô nghiệm, suy ra \({m^2} - 4 = 0\) hay \({m^2} = 4\), do đó \(m = 2\) hoặc \(m = - 2\).
Vậy tổng các giá trị \(m\) thỏa mãn là \( - 2 + 2 = 0\).
Cho hình vẽ bên. Chu vi của tứ giác \(ABCD\) là
Đáp án: \(52{\rm{ cm}}\)
Từ \(C\) kẻ \(CH \bot AB\) tại \(H\).
Xét tứ giác \(ADCH\) có \(\widehat {ADC} = \widehat {DAH} = \widehat {AHC} = 90^\circ \) nên \(ADCH\) là hình chữ nhật.
Suy ra \(AD = CH = 8{\rm{ cm}}\); \(DC = AH = 14{\rm{ cm}}\).
Lại có, \(AH + HB = AB\), suy ra \(BH = AB - AH = 20 - 14 = 6{\rm{ }}\left( {{\rm{cm}}} \right)\).
Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác \(\Delta HCB\), có:
\(H{B^2} + H{C^2} = B{C^2}\)
\({8^2} + {6^2} = B{C^2}\)
\(100 = B{C^2}\) suy ra \(BC = 10{\rm{ cm}}\).
Vậy chu vi tứ giác \(ABCD\) là \(8 + 14 + 10 + 20 = 52{\rm{ cm}}\).
Hai đội trồng cây rừng trong tháng trước được \(700\) cây. Trong tháng này đội I vượt mức \(60\% \) và đội II vượt mức \(40\% \). Tính xem mỗi đội trong tháng trước trồng được bao nhiêu cây. Biết rằng tháng này cả hai đội trồng được \(1{\rm{ }}100\) cây.
Đáp án đúng là:
Gọi \(x\) là số cây đội I trồng được trong tháng trước \(\left( {0 < x < 700,{\rm{ }}x \in {\mathbb{N}^*}} \right)\).
Khi đó, số cây đội II trồng được trong tháng trước là \(700 - x\) (cây).
Số cây đội I trồng được trong tháng này là \(160\% .x = 1,6x\) (cây)
Số cây mà đội II trồng được trong tháng này là \(140\% \left( {700 - x} \right) = 980 - 1,4x\).
Theo đề, tháng này cả hai đội trồng được \(1{\rm{ }}100\) cây, do đó ta có phương trình:
\(1,6x + 980 - 1,4x = 1{\rm{ }}100\)
Giải phương trình, ta được:
\(1,6x + 960 - 1,4x = 1{\rm{ }}100\)
\(980 + 0,2x = 1{\rm{ }}100\)
\(0,2x = 1{\rm{ }}100 - 980\)
\(0,2x = 120\)
\(x = 600\) (thỏa mãn)
Vậy tháng trước đội I trồng được \(600\) cây, đội II trồng được \(100\) cây.
Cho \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) có \(AB = 6{\rm{ cm,}}\)\(AC = 8{\rm{ cm}}\). Kẻ đường cao \(AH\). Gọi \(M,N\) lần lượt là hình chiếu của \(H\) trên \(AB,AC\).
a) Tính độ dài cạnh \(BC\).
b) Chứng minh \(AH.BC = AB.AC\) và .
c) Tính diện tích tứ giác \(BMNC\).
Hướng dẫn giải
a) Áp dụng định lí Pythagore vào \(\Delta ABC\), ta có:
\(A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}\)
\({6^2} + {8^2} = B{C^2}\)
\(B{C^2} = 100\) nên \(BC = 10{\rm{ cm}}\).
b) Xét \(\Delta ABH\) và \(\Delta CAB\) có \(\widehat {BAC} = \widehat {AHB} = 90^\circ \) và \(\widehat {ABC} = \widehat {ABH}\) (góc chung)
Suy ra (g.g)
Suy ra \(\frac{{AH}}{{CB}} = \frac{{AB}}{{CA}}\) hay \(AH.BC = AB.AC\).
Từ giả thiết, ta có: \(\widehat {CAB} = \widehat {HMA} = \widehat {HNA} = 90^\circ \) nên \(AMHN\) là hình chữ nhật.
Do \(AMHN\) là hình chữ nhật nên ta có \(\widehat {ANM} = \widehat {AHM}\) (so le trong)
Mặt khác \(\widehat {AHM} = \widehat {ABC}\) (cùng phụ với \(\widehat {HAB}\))
Suy ra \(\widehat {ANM} = \widehat {ABC}\)
Xét \(\Delta AMN\) và \(\Delta ACB\) có: \(\widehat {MAN} = \widehat {BAC} = 90^\circ \) và \(\widehat {ANM} = \widehat {ABC}\) (cmt)
Suy ra (g.g)
c) Do nên ta có: \(\frac{{{S_{ANM}}}}{{{S_{ABC}}}} = \frac{{M{N^2}}}{{B{C^2}}} = \frac{{A{H^2}}}{{B{C^2}}}\)
(do \(AMHN\) là hình chữ nhật nên \(AH = MN\)).
Ta có: \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}AB.AC = 24{\rm{ }}\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right)\).
Lại có, \(AH.BC = AB.AC\) nên \(AH = \frac{{AB.AC}}{{BC}} = \frac{{6.8}}{{10}} = 4,8\) cm.
Do đó, \(\frac{{{S_{ANM}}}}{{{S_{ABC}}}} = \frac{{A{H^2}}}{{B{C^2}}} = \frac{{4,{8^2}}}{{{{10}^2}}} = 0,2304\) suy ra \({S_{ANM}} = 0,2304.{S_{ABC}} = 5,5296{\rm{ c}}{{\rm{m}}^2}\).
Ta có: \({S_{ANM}} + {S_{BMNC}} = {S_{ABC}}\) nên \({S_{BMNC}} = {S_{ABC}} - {S_{AMN}} = 24 - 5,5296 = 18,4704{\rm{ }}\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right)\).
Vậy \({S_{BMNC}} = 18,4704{\rm{ }}\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right)\).
