Bộ 5 đề thi giữa kì 2 Toán 8 Kết nối tri thức cấu trúc mới có đáp án - Đề 4
20 câu hỏi
Điều kiện xác định của phân thức \(\frac{{x - 1}}{{{x^2} - 25}}\) là
\(x \ne 5\).
\(x \ne 25\).
\(x \ne - 5\).
\(x \ne 5;x \ne - 5\).
Đáp án đúng là: D
Điều kiện xác định của phân thức \(\frac{{x - 1}}{{{x^2} - 25}}\) là \({x^2} - 25 \ne 0\) suy ra \({x^2} \ne 25\) nên \(x \ne 5;x \ne - 5\).
Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
Đổi dấu tử của một phân thức, ta được phân thức mới bằng phân thức đã cho.
Đổi dấu mẫu của một phân thức, ta được phân thức mới bằng phân thức đã cho.
Đổi dấu cả tử và mẫu của phân thức, ta được phân thức mới bằng phân thức đã cho.
Cả ba ý trên đều đúng.
Đáp án đúng là: C
Đổi dấu cả tử và mẫu của phân thức, ta được phân thức mới bằng phân thức đã cho.
Trong các phép tính sau, đâu là phép cộng hai phân thức cùng mẫu?
\(\frac{1}{{x + y}} + \frac{{ - 3}}{x}\).
\(\frac{1}{{x + y}} + \frac{{ - 3}}{y}\).
\(\frac{1}{{x + y}} + \frac{{ - 3}}{{x + y}}\).
\(\frac{1}{{x + y}} + \frac{{x + y}}{3}\).
Đáp án đúng là: C
Ta có hai phân thức \(\frac{1}{{x + y}};\frac{{ - 3}}{{x + y}}\) có cùng mẫu thức \(x + y\) nên \(\frac{1}{{x + y}} + \frac{{ - 3}}{{x + y}}\) là phép cộng hai phân thức cùng mẫu.
Kết quả của phép tính \(\frac{{11x}}{{2x - 3}} - \frac{{x - 18}}{{3 - 2x}}\) là
\(\frac{{18 - 10x}}{{2x - 3}}\).
\(\frac{{10x + 18}}{{2x - 3}}\).
\(\frac{{12x - 18}}{{2x - 3}}\).
\(\frac{{12x + 18}}{{2x - 3}}\).
Đáp án đúng là: C
Ta có: \(\frac{{11x}}{{2x - 3}} - \frac{{x - 18}}{{3 - 2x}} = \frac{{11x}}{{2x - 3}} + \frac{{x - 18}}{{2x - 3}} = \frac{{12x - 18}}{{2x - 3}}\).
Nghịch đảo của phân thức \(\frac{x}{{x + y}}\) là
\( - \frac{x}{{x + y}}\).
\( - \frac{{x + y}}{x}\).
\(\frac{{x + y}}{x}\).
\( - \frac{{y - x}}{x}\).
Đáp án đúng là: C
Nghịch đảo của phân thức \(\frac{x}{{x + y}}\) là \(\frac{{x + y}}{x}\).
Kết quả của phép chia \(\frac{{8{y^2}}}{{9{x^2}}}:\frac{{4y}}{{3{x^2}}}\) là
\(\frac{{32{y^3}}}{{27{x^2}}}\).
\(\frac{{8y}}{3}\).
\(\frac{{2{y^2}}}{3}\).
\(\frac{{2y}}{3}\).
Đáp án đúng là: D
Ta có: \(\frac{{8{y^2}}}{{9{x^2}}}:\frac{{4y}}{{3{x^2}}} = \frac{{8{y^2}}}{{9{x^2}}}.\frac{{3{x^2}}}{{4y}} = \frac{{2y}}{3}\).
Phương trình nào dưới đây không phải phương trình bậc nhất một ẩn?
\(\frac{x}{5} + \frac{5}{3} = 0\).
\(1 + 2y = 0\).
\( - 3x + \frac{1}{2} = 0\).
\(2x - {x^2} = 0\).
Đáp án đúng là: D
Phương trình bậc nhất một ẩn có dạng \(ax + b = 0\) với \(a \ne 0\).
Do đó, \(2x - {x^2} = 0\) không là phương trình bậc nhất một ẩn.
Đưa phương trình \(2\left( {x + 2} \right) = 1 - 2x\) về dạng \(ax + b = 0\) là
\(4x + 3 = 0\).
\( - 2x + 1 = 0\).
\(4x + 5 = 0\).
\(2x + 4 = 0\).
Đáp án đúng là: A
Ta có: \(2\left( {x + 2} \right) = 1 - 2x\)
\(2x + 4 = 1 - 2x\)
\(2x + 4 + 2x - 1 = 0\)
\(4x + 3 = 0\).
Vậy chọn đáp án A.
\(\Delta ABC\) và \(\Delta DEF\) có \(\frac{{AB}}{{DE}} = \frac{{BC}}{{EF}}\). Cần thêm yếu tố nào để hai tam giác này đồng dạng?
\(\widehat A = \widehat D\).
\(\widehat B = \widehat E\).
\(\widehat C = \widehat F\).
Cả A, B, C đều sai.
Đáp án đúng là: B
Để hai tam giác \(\Delta ABC\) và \(\Delta DEF\) đồng dạng khi có \(\frac{{AB}}{{DE}} = \frac{{BC}}{{EF}}\) thì cần thêm điều kiện \(\widehat B = \widehat E\).
Lúc này (c.g.c)
Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác vuông dưới đây ta được:
\({a^2} = {b^2} + {c^2}\).
\({b^2} = {a^2} + {c^2}\).
\({c^2} = {a^2} + {b^2}\).
\({a^2} = {\left( {b + c} \right)^2}\).
Đáp án đúng là: A
Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác trên, ta có: \({a^2} = {b^2} + {c^2}\).
Cho hình vẽ dưới đây.
Hỏi đồng dạng theo trường hợp nào?
Góc – góc.
Cạnh – góc – cạnh.
Cạnh – cạnh – cạnh.
Góc – cạnh.
Đáp án đúng là: A
Nhận thấy \(\Delta ABC\) và \(\Delta DEC\) có \(\widehat {BAC} = \widehat {EDC} = 90^\circ \) và \(\widehat {ACB} = \widehat {ECD}\) (góc chung).
Do đó, (g.g)
Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
Tam giác bằng nhau thì đồng dạng.
Tam giác đồng dạng thì bằng nhau.
Tam giác bằng nhau thì không đồng dạng.
Tam giác vuông luôn đồng dạng với nhau.
Đáp án đúng là: A
Đáp án A đúng do hai tam giác bằng nhau chính là hai tam giác đồng dạng theo tỉ số là \(1\).
Đáp án B sai do hai tam giác đồng dạng chưa chắc đã bằng nhau.
Đáp án D sai do hai tam giác vuông thì chưa chắc luôn đồng dạng với nhau.
Một xe khách đi từ \(A\) đến \(B\) với vận tốc \(20{\rm{ km/h}}\). Sau \(3\) giờ thì tại A có một xe con đuổi theo với vận tốc \(50{\rm{ km/h}}\). Gọi \(x\) (giờ) là thời gian từ lúc xe con đi tới đuổi kịp xe khách (\(x > 0\)).
a) Thời gian xe khách đi tới lúc gặp xe con là \(x + 3\) (giờ).
b) Quãng đường đi được của xe con là \(50\left( {x + 3} \right)\) (km).
c) Phương trình mô tả bài toán trên là \(20x = 50\left( {x + 3} \right)\).
d) Vậy sau \(3\) giờ thì xe con đuổi kịp xe khách.
Đáp án đúng là: a) Đ b) S c) S d) S
Gọi \(x\) (giờ) là thời gian từ lúc xe con đi tới đuổi kịp xe khách (\(x > 0\)).
Thời gian xe khách đi tới lúc gặp xe con là \(x + 3\) (giờ).
Quãng đường đi được của xe con là \(50x\) (km).
Quãng đường đi được của xe khách là \(20\left( {x + 3} \right)\) (km).
Theo đề, ta có phương trình \(20\left( {x + 3} \right) = 50x\).
Giải phương trình, ta được:
\(20\left( {x + 3} \right) = 50x\)
\(20x + 60 = 50x\)
\(50x - 20x = 60\)
\(30x = 60\)
\(x = 2\) (thỏa mãn).
Vậy sau \(2\) giờ thì xe con đuổi kịp xe khách.
Cho tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(A\). Lấy \(D\) thuộc cạnh \(AC\), kẻ \(DM \bot BC{\rm{ }}\left( {M \in BC} \right)\). Tia \(MD\) cắt \(BA\) tại \(N\).
a) .
b) \(\frac{{BA}}{{BM}} = \frac{{BC}}{{BN}}\).
c) .
d) \({S_{BAM}} = 2{S_{BCN}}\).
Đáp án đúng là: a) Đ b) Đ c) Đ d) S
• Xét \(\Delta BAC\) và \(\Delta BMN\) có \(\widehat B\) chung và \(\widehat {BAC} = \widehat {BMN} = 90^\circ \) (gt)
Suy ra (g.g)
Suy ra \(\frac{{BA}}{{BM}} = \frac{{BC}}{{BN}}\).
• Xét \(\Delta BAM\) và \(\Delta BCN\) có: \(\frac{{BA}}{{BM}} = \frac{{BC}}{{BN}}\) và \(\widehat {ABM} = \widehat {NBC}\) (góc chung)
Suy ra (c.g.c).
• Có \(\Delta ABC\) vuông cân tại \(A\) nên theo định lí Pythagore, ta có:
\(A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}\) hay \(2A{B^2} = B{C^2}\).
Ta có: \(\frac{{{S_{BAM}}}}{{{S_{BCN}}}} = \frac{{A{B^2}}}{{B{C^2}}} = \frac{1}{2}\) hay \({S_{BAM}} = \frac{1}{2}{S_{BCN}}\).
Cho biểu thức \(P = \frac{{{x^2} - 6x + 9}}{{9 - {x^2}}} + \frac{{4x + 8}}{{x + 3}}\) với \(x \ne 3;x \ne - 3\). Biết rằng khi rút gọn \(P\) ta được \(P = \frac{{3x + a}}{{x + 3}}\). Tìm giá trị \(a\) thỏa mãn.
Đáp án: \(a = 11\)
Với \(x \ne 3;x \ne - 3\), ta có:
\(P = \frac{{{x^2} - 6x + 9}}{{9 - {x^2}}} + \frac{{4x + 8}}{{x + 3}}\)
\(P = \frac{{ - {{\left( {x - 3} \right)}^2}}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 3} \right)}} + \frac{{4x + 8}}{{x + 3}}\)
\(P = \frac{{ - \left( {x - 3} \right)}}{{x + 3}} + \frac{{4x + 8}}{{x + 3}}\)
\(P = \frac{{ - x + 3 + 4x + 8}}{{x + 3}} = \frac{{3x + 11}}{{x + 3}}\).
Do đó, ta tìm được \(a = 11\)
Cho biểu thức \(A = \left( {\frac{{a + 2}}{{a + 1}} - \frac{{a - 2}}{{a - 1}}} \right).\frac{{a + 1}}{a}\) và \(B = \frac{3}{{{a^2} - 1}}\) với \(a \ne 0;a \ne 1;a \ne - 1\). Tìm giá trị của \(a\) để \(A = 2B\).
Đáp án: \(a = \frac{1}{2}\)
Với \(a \ne 0;a \ne 1;a \ne - 1\), ta có:
\(A = \left( {\frac{{a + 2}}{{a + 1}} - \frac{{a - 2}}{{a - 1}}} \right).\frac{{a + 1}}{a}\)
\(A = \left[ {\frac{{\left( {a + 2} \right)\left( {a - 1} \right)}}{{\left( {a - 1} \right)\left( {a + 1} \right)}} - \frac{{\left( {a - 2} \right)\left( {a + 1} \right)}}{{\left( {a - 1} \right)\left( {a + 1} \right)}}} \right].\frac{{a + 1}}{a}\)
\(A = \frac{{\left( {a + 2} \right)\left( {a - 1} \right) - \left( {a - 2} \right)\left( {a + 1} \right)}}{{\left( {a - 1} \right)\left( {a + 1} \right)}}.\frac{{a + 1}}{a}\)
\(A = \frac{{{a^2} + a - 2 - {a^2} + a + 2}}{{\left( {a - 1} \right)\left( {a + 1} \right)}}.\frac{{a + 1}}{a}\)
\(A = \frac{{2a}}{{\left( {a + 1} \right)\left( {a - 1} \right)}}.\frac{{a + 1}}{a} = \frac{2}{{a - 1}}\).
Để \(A = 2B\) thì \(\frac{2}{{a - 1}} = \frac{3}{{{a^2} - 1}}\) suy ra \(2\left( {{a^2} - 1} \right) = 3\left( {a - 1} \right)\)
Do đó, \(2\left( {a - 1} \right)\left( {a + 1} \right) - 3\left( {a - 1} \right) = 0\) hay \(\left( {a - 1} \right)\left( {2a + 2 - 3} \right) = 0\).
Suy ra \(\left( {a - 1} \right)\left( {2a - 1} \right) = 0\).
Suy ra \(a = 1\) (loại) hoặc \(a = \frac{1}{2}\) (thỏa mãn).
Vậy \(a = \frac{1}{2}\).
Phương trình \(\frac{2}{3}\left( {x + m} \right) - x + \frac{1}{2} = 0\) nhận \(x = \frac{1}{3}\) là nghiệm thì giá trị của \(m\) là bao nhiêu?
Đáp án: \(m = - \frac{7}{{12}}\)
Thay \(x = \frac{1}{3}\) vào phương trình \(\frac{2}{3}\left( {x + m} \right) - x + \frac{1}{2} = 0\), ta được:
\(\frac{2}{3}\left( {\frac{1}{3} + m} \right) - \frac{1}{3} + \frac{1}{2} = 0\)
Suy ra \(\frac{2}{9} + \frac{2}{3}m + \frac{1}{6} = 0\) hay \(\frac{2}{3}m + \frac{7}{{18}} = 0\) nên \(\frac{2}{3}m = - \frac{7}{{18}}\) suy ra \(m = - \frac{7}{{12}}\).
Vậy \(m = - \frac{7}{{12}}\).
Tính độ dài cạnh \(BC\) trong tam giác \(ABC\) cân tại \(A\) dưới đây.
Đáp án: \(\sqrt 8 \) cm.
Ta có: \(AC = AH + HC = 3 + 1 = 4{\rm{ }}\left( {{\rm{cm}}} \right)\).
Vì tam giác \(ABC\) cân tại \(A\) nên ta có \(AB = AC = 4{\rm{ cm}}\)
• Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác \(BHA\), ta có:
\(B{H^2} + H{A^2} = A{B^2}\)
\(B{H^2} = A{B^2} - H{A^2}\)
\(B{H^2} = {4^2} - {3^2}\)
\(B{H^2} = 7\) suy ra \(BH = \sqrt 7 \) cm.
• Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác \(BHC\), ta có:
\(H{C^2} + B{H^2} = B{C^2}\)
\({\left( {\sqrt 7 } \right)^2} + {1^2} = B{C^2}\)
\(B{C^2} = 8\) do đó \(BC = \sqrt 8 \) cm.
Vậy \(BC = \sqrt 8 \) cm.
Một tổ dự định may mỗi ngày \(50\) cái áo. Nhưng thực tế mỗi ngày tổ đã may được \(60\) cái áo. Do đó không những tổ đã hoàn thành trước một ngày mà còn làm thêm được \(20\) cái áo nữa. Tính số lượng áo mà tổ phải may theo dự định ban đầu.
Gọi \(x\) (áo) là số áo dự định phải may của tổ đó \(\left( {x \in {\mathbb{N}^*}} \right)\).
Thời gian may dự định của tổ là \(\frac{x}{{50}}\) (ngày).
Thực tế số áo tổ đã may được là \(x + 20\) (áo).
Thời gian thực tế tổ may đã làm là \(\frac{{x + 20}}{{60}}\) (ngày).
Theo đề bài, ta có phương trình: \(\frac{x}{{50}} - \frac{{x + 20}}{{60}} = 1\).
Giải phương trình, ta có:
\(\frac{x}{{50}} - \frac{{x + 20}}{{60}} = 1\)
\(\frac{{6x}}{{300}} - \frac{{5\left( {x + 2} \right)}}{{300}} = 1\)
\(\frac{{6x - 5x - 100}}{{300}} = 1\)
\(\frac{{x - 100}}{{300}} = 1\)
\(x - 100 = 300\)
\(x = 400\) (thỏa mãn)
Vậy số lượng áo ban đầu tổ phải may là \(400\) chiếc.
Cho \(\Delta ABC\) có \(AB = 4{\rm{ cm,}}\) \(BC = 5{\rm{ cm}}\). Cho \(AH\) là đường cao của \(\Delta ABC\).
a) Tính độ dài cạnh \(AC\).
b) Chứng minh và \(A{C^2} = CH.BC\).
c) Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(AH,BH\). Chứng minh rằng .
a) Áp dụng định lí Pythagore vào \(\Delta ABC\), ta có:
\(A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}\)
\(A{C^2} = B{C^2} - A{B^2}\)
\(A{C^2} = {5^2} - {4^2} = 9\)
Suy ra \(AC = 3{\rm{ cm}}\).
b) Xét \(\Delta HAB\) và \(\Delta ACB\) có: \(\widehat {AHB} = \widehat {CAB} = 90^\circ \) và \(\widehat {HBA} = \widehat {ABC}\) (góc chung)
Do đó, (g.g).
Xét \(\Delta HAC\) và \(\Delta ABC\) có: \(\widehat {AHC} = \widehat {CAB} = 90^\circ \) và \(\widehat {HCA} = \widehat {ACB}\) (góc chung)
Do đó, (g.g).
Suy ra \(\frac{{AC}}{{BC}} = \frac{{HC}}{{AC}}\) hay \(A{C^2} = CH.BC\) (đpcm).
c) Ta có: (g.g) nên \(\frac{{BH}}{{HA}} = \frac{{AB}}{{AC}}\).
Mà \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(AH,BH\) nên \(\frac{{2NB}}{{2MA}} = \frac{{AB}}{{AC}}\) hay \(\frac{{NB}}{{MA}} = \frac{{AB}}{{AC}}\).
Xét \(\Delta ANB\) và \(\Delta CMA\), có:
\(\widehat {CAM} = \widehat {NBA}\) () và \(\frac{{NB}}{{MA}} = \frac{{AB}}{{AC}}\).
Suy ra (c.g.c).
