Bộ 5 đề thi giữa kì 2 Toán 8 Kết nối tri thức cấu trúc mới có đáp án - Đề 4
20 câu hỏi
Trong các biểu thức sau, đâu không phải phân thức?
\(\frac{6}{{{x^2}}}\).
\(\frac{{ - 0}}{{x - y}}\).
\( - 7\).
\(\frac{{{x^2} + 1}}{0}\).
Đáp án đúng là: D
Một phân thức đại số (hay nói gọn là phân thức) là một biểu thức có dạng \(\frac{A}{B}\), trong đó \(A,B\) là hai đa thức và \(B \ne 0\).
Do đó, \(\frac{{{x^2} + 1}}{0}\) không là một phân thức.
Điều kiện xác định của phân thức \(\frac{{x - 5}}{{{x^2} - 4}}\) là
\(x \ne 4\).
\(x \ne 2\).
\(x \ne - 2\).
\(x \ne 2;x \ne - 2\).
Đáp án đúng là: D
Ta có phân thức \(\frac{{x - 5}}{{{x^2} - 4}}\) xác định khi \({x^2} - 4 \ne 0\) hay \({x^2} \ne 4\).
Suy ra \(x \ne 2;x \ne - 2\).
Công thức nào sau đây thể hiện phép cộng hai phân thức cùng mẫu?
\(\frac{A}{M} + \frac{B}{M} = \frac{{A + B}}{{2M}}\).
\(\frac{A}{M} + \frac{B}{M} = \frac{{A + B}}{M}\).
\(\frac{A}{M} + \frac{B}{M} = \frac{{A.M + B.M}}{M}\).
\(\frac{A}{M} + \frac{B}{M} = \frac{{A.M + B.M}}{{2M}}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Ta có: \(\frac{A}{M} + \frac{B}{M} = \frac{{A + B}}{M}\).
Kết quả của phép tính \(\frac{{3{x^2}}}{{2{x^2}y}} - \frac{{{x^2}}}{{2{x^2}y}}\) là
\(\frac{{{x^2}}}{{2{x^2}y}}.\)
\(\frac{1}{{2{x^2}y}}.\)
\(\frac{{2{x^2}}}{y}.\)
\(\frac{1}{y}.\)
Đáp án đúng là: D
Ta có: \(\frac{{3{x^2}}}{{2{x^2}y}} - \frac{{{x^2}}}{{2{x^2}y}} = \frac{{3{x^2} - {x^2}}}{{2{x^2}y}} = \frac{{2{x^2}}}{{2{x^2}y}} = \frac{1}{y}.\)
Phép chia phân thức \(1\) cho phân thức \(\frac{A}{B}\) được kết quả là:
\(\frac{A}{B}\).
\(\frac{B}{A}\).
\(\frac{1}{B}\).
\(\frac{1}{A}\).
Đáp án đúng là: B
Ta có: \(1:\frac{A}{B} = 1.\frac{B}{A} = \frac{B}{A}\).
Kết quả của phép chia \(\frac{1}{{x - 3}}:\frac{1}{{{x^2} - 9}}\) là
\(\frac{1}{{x + 3}}.\)
\(\frac{{x + 3}}{1}\).
\(\frac{1}{{x - 3}}\).
\(\frac{{x - 3}}{{x + 3}}\).
Đáp án đúng là: B
Ta có: \(\frac{1}{{x - 3}}:\frac{1}{{{x^2} - 9}} = \frac{1}{{x - 3}}.\left( {{x^2} - 9} \right) = \frac{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 3} \right)}}{{x - 3}} = x + 3\).
Điều kiện nào dưới đây để phương trình \(ax + b = 0\) là phương trình bậc nhất một ẩn?
\(a = 0\).
\(a \ne 0\).
\(b = 0\).
\(b \ne 0\).
Đáp án đúng là: B
Điều kiện để phương trình \(ax + b = 0\) là phương trình bậc nhất một ẩn là \(a \ne 0\).
Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình bậc nhất một ẩn?
\( - x + {x^2} = 0\).
\(\frac{1}{x} + 3 = 0\).
\(\frac{1}{2}x - 3 = 0\).
\(\left( {5x + 3} \right)\left( {2x + 1} \right) = 0\).
Đáp án đúng là: C
Phương trình bậc nhất một ẩn có dạng \(ax + b = 0\) với \(a \ne 0\).
Do đó, \(\frac{1}{2}x - 3 = 0\) là một phương trình bậc nhất một ẩn.
\(\Delta ABC\) và \(\Delta A'B'C'\) đồng dạng theo trường hợp góc - góc khi
\(\frac{{AB}}{{A'B'}} = \frac{{AC}}{{A'C'}} = \frac{{BC}}{{B'C'}}\).
\(\frac{{AB}}{{A'B'}} = \frac{{AC}}{{A'C'}}\) và \(\widehat A = \widehat {A'}\).
\(\widehat A = \widehat B;\widehat {A'} = \widehat {B'}\).
\(\widehat A = \widehat {A'};\widehat C = \widehat {C'}\).
Đáp án đúng là: D
Để (g.g) khi \(\widehat A = \widehat {A'};\widehat C = \widehat {C'}\).
Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) thì
\(BC = AC + AB\).
\(A{B^2} = B{C^2} + A{C^2}\).
\(AB = BC + AC\).
\(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2}\).
Đáp án đúng là: D
Với \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\), theo định lí Pythagore, ta có: \(A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}\).
Do đó, chọn đáp án D.
Cho hai tam giác \(ABC\) và \(DMN\) như hình vẽ dưới đây. Cần thêm yếu tố nào để ?
\(AB = DM\).
\(BC = MN.\)
\(\widehat B = \widehat M\).
\(\frac{{AC}}{{DN}} = 2\).
Đáp án đúng là: B
Xét \(\Delta ABC\) và \(\Delta DMN\), có: \(\widehat {BAC} = \widehat {MDN} = 90^\circ \).
Để thì cần thêm yếu tố \(\widehat B = \widehat M\).
Lúc này, (g.g)
Cho các cặp hình sau:
Trong các cặp hình dưới đây, đâu là hình đồng dạng phối cảnh?
Hình \(A\).
Hình \(B\).
Hình \(C\).
Hình \(D\).
Đáp án đúng là: A
Hai lớp \(9A,9B\) có \(80\) học sinh. Trong đợt góp sách ủng hộ vùng khó khăn mỗi em lớp \(9A\) góp \(2\) quyển sách, mỗi em lớp \(9B\) góp \(3\) quyển sách nên cả hai lớp góp được \(198\) quyển. Gọi số học sinh của lớp \(9A\) là \(x\) \(\left( {0 < x < 80,x \in {\mathbb{N}^*}} \right)\).
a) Số học sinh của lớp \(9B\) là \(180 - x\) (học sinh).
b) Số sách lớp \(9A\) và lớp \(9B\) góp được lần lượt là \(2x\) và \(3\left( {80 - x} \right)\) (quyển).
c) Phương trình mô tả bài toán là \(2x + 3\left( {80 - x} \right) = 198\).
d) Số học sinh lớp lớp \(9A\) nhiều hơn số học sinh lớp \(9B\) là \(5\) bạn.
Đáp án đúng là: a) Đ b) Đ c) Đ d) S
Gọi số học sinh của lớp \(9A\) là \(x\) \(\left( {0 < x < 80,x \in {\mathbb{N}^*}} \right)\).
Số học sinh của lớp \(9B\) là \(180 - x\) (học sinh).
Số sách lớp \(9A\) góp được là \(2x\) (quyển)
Số sách lớp \(9B\) góp được là \(3\left( {80 - x} \right)\) (quyển)
Theo đề, cả hai lớp góp được \(198\) quyển nên ta có phương trình \(2x + 3\left( {80 - x} \right) = 198\).
Giải phương trình, ta được:
\(2x + 3\left( {80 - x} \right) = 198\)
\(2x + 240 - 3x = 198\)
\(240 - x = 198\)
\(x = 240 - 198\)
\(x = 42\) (thỏa mãn)..
Do đó, số học sinh lớp \(9A\) là \(42\) học sinh.
Suy ra số học sinh lớp \(9B\) là \(80 - 42 = 38\) (học sinh).
Do đó, số học sinh lớp \(9A\) nhiều hơn số học sinh lớp \(9B\) là: \(42 - 38 = 4\) (học sinh)
Cho \(A = \frac{{x + 15}}{{{x^2} - 9}} + \frac{2}{{x + 3}}\) với \(x \ne 3,x \ne - 3\). Tính giá trị của biểu thức \(A\) tại \(x = \frac{1}{2}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án: \( - \frac{6}{5}\)
Với \(x \ne 3,x \ne - 3\), ta có:
\(A = \frac{{x + 15}}{{{x^2} - 9}} + \frac{2}{{x + 3}}\)
\( = \frac{{x + 15}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 3} \right)}} + \frac{{2\left( {x - 3} \right)}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 3} \right)}}\)
\( = \frac{{x + 15 + 2x - 6}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 3} \right)}}\)
\( = \frac{{3x + 9}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 3} \right)}}\)
\( = \frac{{3\left( {x + 3} \right)}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 3} \right)}} = \frac{3}{{x - 3}}\).
Thay \(x = \frac{1}{2}\) (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức, ta được:
\(A = \frac{3}{{\frac{1}{2} - 3}} = \frac{3}{{ - \frac{5}{2}}} = 3.\frac{2}{{\left( { - 5} \right)}} = - \frac{6}{5}\).
Vậy \(A = - \frac{6}{5}\) khi \(x = \frac{1}{2}\).
Cho biểu thức \(B = \left( {\frac{x}{{{x^2} - 4}} + \frac{1}{{x + 2}} - \frac{2}{{x - 2}}} \right):\left( {1 - \frac{x}{{x + 2}}} \right)\) với \(x \ne 2\) và \(x \ne - 2\). Tính tổng tất cả các giá trị nguyên của \(x\) để \(B\) nguyên.
Đáp án: \(8\)
Với \(x \ne 2\); \(x \ne - 2\), ta có:
\(B = \left( {\frac{x}{{{x^2} - 4}} + \frac{1}{{x + 2}} - \frac{2}{{x - 2}}} \right):\left( {1 - \frac{x}{{x + 2}}} \right)\)
\(B = \left[ {\frac{x}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x - 2} \right)}} + \frac{{x - 2}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x - 2} \right)}} - \frac{{2\left( {x + 2} \right)}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}} \right]:\left( {\frac{{x + 2 - x}}{{x + 2}}} \right)\)
\(B = \frac{{x + x - 2 - 2x - 4}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x - 2} \right)}}.\frac{{x + 2}}{2}\)
\(B = \frac{{ - 6}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x - 2} \right)}}.\frac{{x + 2}}{2}\)
\(B = \frac{{ - 3}}{{x - 2}}.\)
Để \(B\) nguyên thì \(\frac{{ - 3}}{{x - 2}}\) nhận giá trị nguyên.
Suy ra \(\left( {x - 2} \right)\) là ước của \( - 3\).
Mà ta có Ư(\( - 3\)) \( = \left\{ {1; - 1;3; - 3} \right\}\).
Ta có bảng sau:
\(x - 2\) | \(1\) | \( - 1\) | \( - 3\) | \(3\) |
\(x\) | \(3\) | \(1\) | \( - 1\) | \(5\) |
Nhận thấy các giá trị \(x\) tìm được đều thỏa mãn.
Vậy tổng tất cả các giá trị nguyên của \(x\) để \(B\) nguyên là: \(3 + 1 + \left( { - 1} \right) + 5 = 8\).
Tìm \(x\), biết: \(\frac{{2x}}{3} + \frac{{3x - 1}}{6} = \frac{x}{2}\).
Đáp án: \(x = \frac{3}{4}\)
Ta có: \(\frac{{2x}}{3} + \frac{{3x - 1}}{6} = \frac{x}{2}\)
\(\frac{{2x}}{3} + \frac{{3x}}{6} - \frac{1}{6} = \frac{x}{2}\)
\(\frac{{2x}}{3} + \frac{{3x}}{6} - \frac{x}{2} = \frac{1}{2}\)
\(\frac{{4x}}{6} + \frac{{3x}}{6} - \frac{{3x}}{6} = \frac{1}{2}\)
\(\frac{{4x}}{6} = \frac{1}{2}\)
\(4x = 3\)
\(x = \frac{3}{4}\).
Vậy \(x = \frac{3}{4}\).
Tính diện tích tam giác \(AHC\) trong hình dưới đây.
Đáp án: \(\frac{{11\sqrt {48} }}{2}\)
Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác \(ABH\), ta có:
\(A{H^2} + B{H^2} = A{B^2}\)
\(A{H^2} + {4^2} = {8^2}\)
\(A{H^2} = 48\) suy ra \(AH = \sqrt {48} \).
Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác \(AHC\), có:
\(A{H^2} + C{H^2} = A{C^2}\)
\(48 + C{H^2} = {13^2}\)
\(C{H^2} = 121\) hay \(CH = 11\).
Do đó, diện tích tam giác \(AHC\) là \(\frac{1}{2}.11.\sqrt {48} = \frac{{11\sqrt {48} }}{2}\).
Vậy diện tích tam giác \(AHC\) là \(\frac{{11\sqrt {48} }}{2}\).
Một hình chữ nhật có chu vi bằng \(100{\rm{ m}}\). Nếu tăng chiều rộng thêm \(10{\rm{ m}}\)và giảm chiều dài đi \(10{\rm{ m}}\)thì diện tích của hình chữ nhật không đổi. Tính diện tích ban đầu của hình chữ nhật đó.
Nửa chu vi của hình chữ nhật là \(100:2 = 50{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)\).
Gọi chiều rộng ban đầu của hình chữ nhật là \(x{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)\) \(\left( {0 < x < 50} \right)\).
Khi đó chiều dài của hình chữ nhật là: \(50 - x{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)\).
Diện tích lúc đầu của hình chữ nhật là: \(x\left( {50 - x} \right){\rm{ }}\left( {{{\rm{m}}^2}} \right)\).
Nếu tăng chiều rộng thêm \(10{\rm{ m}}\) thì chiều rộng mới là \(x + 10{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)\).
Nếu giảm chiều dài đi \(10{\rm{ m}}\) thì chiều dài mới là \(50 - x - 10 = 40 - x{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)\).
Khi đó, diện tích của hình chữ nhật là: \(\left( {x + 10} \right)\left( {40 - x} \right){\rm{ }}\left( {{{\rm{m}}^2}} \right)\).
Sau khi thay đổi kích thước thì diện tích hình chữ nhật không đổi nên ta có phương trình:
\(x\left( {50 - x} \right) = \left( {x + 10} \right)\left( {40 - x} \right)\)
\(50x - {x^2} = 40x - {x^2} + 400 - 10x\)
\(50x - 40x + 10x = 400\)
\(20x = 400\)
\(x = 20\) (thỏa mãn).
Do đó, chiều rộng ban đầu của hình chữ nhật là \(20{\rm{ m}}\), chiều dài ban đầu của hình chữ nhật là \(30{\rm{ m}}{\rm{.}}\)
Vậy diện tích ban đầu của hình chữ nhật là: \(20.30 = 600{\rm{ }}\left( {{{\rm{m}}^2}} \right)\).
Cho \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) có \(AB = 5{\rm{ cm}}\), \(AC = 12{\rm{ cm}}\) và đường cao \(AH\). Gọi \(M,N\) lần lượt là hình chiếu của \(H\) trên \(AB,AC\).
a) Tính độ dài cạnh \(BC.\)
b) Chứng minh và \(A{B^2} = BH.BC\).
c) Chứng minh \(\frac{{A{B^2}}}{{A{C^2}}} = \frac{{MB}}{{MA}}\).
Hướng dẫn giải
a) Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác \(\Delta ABC\), ta có:
\(A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}\)
\({5^2} + {12^2} = B{C^2}\)
\(B{C^2} = 169\)
Suy ra \(BC = 13{\rm{ cm}}\).
b) Xét \(\Delta ABC\) và \(\Delta HBA\) có: \(\widehat {BAC} = \widehat {AHB} = 90^\circ \) (gt) và \(\widehat {ABC} = \widehat {ABH}\) (góc chung)
Suy ra (g.g)
Do đó, \(\frac{{AB}}{{HB}} = \frac{{BC}}{{BA}}\) hay \(A{B^2} = BH.BC\) (đpcm)
c) Xét \(\Delta ABC\) và \(\Delta HAC\) có: \(\widehat {BAC} = \widehat {AHC} = 90^\circ \) (gt) và \(\widehat {ACB} = \widehat {ACH}\) (góc chung)
Suy ra (g.g)
Suy ra \(\frac{{AC}}{{BC}} = \frac{{HC}}{{AC}}\) hay \(A{C^2} = HC.BC\).
Khi đó, \(\frac{{A{B^2}}}{{A{C^2}}} = \frac{{BH.BC}}{{HC.BC}} = \frac{{HB}}{{HC}}\) (*)
Ta có \(M\) là hình chiếu của \(H\) trên \(AB\) nên \(HM \bot AB\) (1).
Ta có tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) nên \(AC \bot AB\) (2)
Từ (1) và (2) ta có \(HM\parallel AC\).
Suy ra \(\frac{{BH}}{{HC}} = \frac{{MB}}{{MA}}\) (**)
Thay (**) vào (*) ta được: \(\frac{{A{B^2}}}{{A{C^2}}} = \frac{{MB}}{{MA}}\) (đpcm)
Tính tổng \(S = \frac{1}{{1 - x}} + \frac{1}{{1 + x}} + \frac{2}{{1 + {x^2}}} + \frac{4}{{1 + {x^4}}} + \frac{8}{{1 + {x^8}}}\) với \(x = \sqrt 2 \).
Hướng dẫn giải
Ta có: \(S = \frac{1}{{1 - x}} + \frac{1}{{1 + x}} + \frac{2}{{1 + {x^2}}} + \frac{4}{{1 + {x^4}}} + \frac{8}{{1 + {x^8}}}\)
\(S = \frac{{1 + x}}{{\left( {1 - x} \right)\left( {1 + x} \right)}} + \frac{{1 - x}}{{\left( {1 - x} \right)\left( {1 + x} \right)}} + \frac{2}{{1 + {x^2}}} + \frac{4}{{1 + {x^4}}} + \frac{8}{{1 + {x^8}}}\)
\(S = \frac{2}{{1 - {x^2}}} + \frac{2}{{1 + {x^2}}} + \frac{4}{{1 + {x^4}}} + \frac{8}{{1 + {x^8}}}\)
\(S = \frac{{2\left( {1 + {x^2}} \right)}}{{\left( {1 - {x^2}} \right)\left( {1 + {x^2}} \right)}} + \frac{{2\left( {1 - {x^2}} \right)}}{{\left( {1 - {x^2}} \right)\left( {1 + {x^2}} \right)}} + \frac{4}{{1 + {x^4}}} + \frac{8}{{1 + {x^8}}}\)
\(S = \frac{{2 + 2{x^2} + 2 - 2{x^2}}}{{1 - {x^4}}} + \frac{4}{{1 + {x^4}}} + \frac{8}{{1 + {x^8}}}\)
\(S = \frac{4}{{1 - {x^4}}} + \frac{4}{{1 + {x^4}}} + \frac{8}{{1 + {x^8}}}\)
\(S = \frac{{4\left( {1 + {x^4}} \right)}}{{\left( {1 - {x^4}} \right)\left( {1 + {x^4}} \right)}} + \frac{{4\left( {1 - {x^4}} \right)}}{{\left( {1 + {x^4}} \right)\left( {1 + {x^4}} \right)}} + \frac{8}{{1 + {x^8}}}\)
\(S = \frac{{4 + 4{x^4} + 4 - 4{x^4}}}{{\left( {1 - {x^4}} \right)\left( {1 + {x^4}} \right)}} + \frac{8}{{1 + {x^8}}}\)
\(S = \frac{8}{{1 - {x^8}}} + \frac{8}{{1 + {x^8}}}\)
\(S = \frac{{8\left( {1 + {x^8}} \right)}}{{\left( {1 - {x^8}} \right)\left( {1 + {x^8}} \right)}} + \frac{{8\left( {1 - {x^8}} \right)}}{{\left( {1 - {x^8}} \right)\left( {1 + {x^8}} \right)}}\)
\(S = \frac{{16}}{{1 - {x^{16}}}}\).
Thay \(x = \sqrt 2 \) vào \(S = \frac{{16}}{{1 - {x^{16}}}}\), ta được: \(S = \frac{{16}}{{1 - {{\left( {\sqrt 2 } \right)}^{16}}}} = \frac{{16}}{{1 - {2^8}}} = \frac{{16}}{{1 - 256}} = \frac{{ - 16}}{{255}}\).
Vậy \(S = \frac{{ - 16}}{{255}}\).
