Bộ 5 đề thi giữa kì 2 Toán 8 Kết nối tri thức cấu trúc mới có đáp án - Đề 2
20 câu hỏi
Biểu thức nào dưới đây không phải là phân thức đại số?
\(\frac{2}{x}\).
\(\frac{x}{{x + 1}}\).
\({x^2} - 4\).
\(\frac{{x + 1}}{0}\).
Đáp án đúng là: D
Ta có phân thức đại số có dạng \(\frac{A}{B}\) với \(B \ne 0\).
Do đó, \(\frac{{x + 1}}{0}\) không là phân thức đại số.
Hai phân thức \(\frac{A}{B}\) và \(\frac{C}{D}\) bằng nhau khi
\(A.D = B.C\).
\(A.D \ne B.C\).
\(A.B = C.D\).
\(A.C = B.D\).
Đáp án đúng là: A
Ta có: \(\frac{A}{B} = \frac{C}{D}\) suy ra \(A.D = B.C\).
Vậy chọn đáp án A.
Phân thức đối của phân thức \(\frac{3}{{x + 1}}\) là
\(\frac{3}{{x - 1}}\).
\(\frac{{x + 1}}{3}\).
\( - \frac{3}{{x + 1}}\).
\(\frac{{ - 3}}{{x - 1}}\).
Đáp án đúng là: C
Phân thức đối của phân thức \(\frac{3}{{x + 1}}\) là \( - \frac{3}{{x + 1}}\).
Giả sử các biểu thức đều có nghĩa, tổng hai phân thức \(\frac{{ - 2x}}{{x + 1}}\) và \(\frac{x}{{x + 1}}\) là
\(\frac{x}{{x + 1}}\).
\(\frac{{ - x}}{{x + 1}}\).
\(\frac{{ - 3x}}{{x + 1}}\).
\(\frac{{ - x}}{{2\left( {x + 1} \right)}}\).
Đáp án đúng là: B
Ta có: \(\frac{{ - 2x}}{{x + 1}} + \frac{x}{{x + 1}} = \frac{{ - 2x + x}}{{x + 1}} = \frac{{ - x}}{{x + 1}}\).
Phân thức nghịch đảo của phân thức \(\frac{{2x}}{{x - y}}\) là
\( - \frac{{2x}}{{x - y}}\).
\( - \frac{{2\left( {x - y} \right)}}{x}\).
\( - \frac{{x - y}}{{2x}}\).
\(\frac{{x - y}}{{2x}}\).
Đáp án đúng là: D
Phân thức nghịch đảo của \(\frac{{2x}}{{x - y}}\) là \(\frac{{x - y}}{{2x}}\).
Giả sử các biểu thức đều có nghĩa, kết quả của phép tính \(\frac{{2{x^2}}}{{x + 2}}.\frac{{x + 2}}{{4x}}\) là
\(2.\)
\(\frac{1}{2}.\)
\(2x\).
\(\frac{1}{2}x\).
Đáp án đúng là: D
Ta có: \(\frac{{2{x^2}}}{{x + 2}}.\frac{{x + 2}}{{4x}} = \frac{{2{x^2}.\left( {x + 2} \right)}}{{\left( {x + 2} \right).4x}} = \frac{{2{x^2}}}{{4x}} = \frac{1}{2}x\).
Cho các phương trình dưới đây, phương trình bậc nhất một ẩn là
\(\frac{{2x}}{3} + 2 = 0\).
\(\frac{3}{x} + \frac{x}{2} = 0\).
\({x^2} + 2x + 1 = 0\).
\(2x - y = 0\).
Đáp án đúng là: A
Phương trình bậc nhất một ẩn có dạng \(ax + b = 0\) với \(\left( {a \ne 0} \right)\).
Do đó \(\frac{{2x}}{3} + 2 = 0\) là phương trình bậc nhất một ẩn.
Giá trị \(x = - 2\) là nghiệm của phương trình nào trong các phương trình sau?
\(x + 5 = 0\).
\(3x + 1 = 0\).
\(x - 2 = 0\).
\(2x + 4 = 0\).
Đáp án đúng là: D
• Thay \(x = - 2\) vào phương trình \(x + 5 = 0\) được \( - 2 + 5 = 3 \ne 0\).
Do đó, \(x = - 2\) không là nghiệm của phương trình \(x + 5 = 0\).
• Thay \(x = - 2\) vào phương trình \(3x + 1 = 0\) được \(3.\left( { - 2} \right) + 1 = - 5 \ne 0\).
Do đó, \(x = - 2\) không là nghiệm của phương trình \(3x + 1 = 0\).
• Thay \(x = - 2\) vào phương trình \(x - 2 = 0\) được \( - 2 - 2 = - 4 \ne 0\).
Do đó, \(x = - 2\) không là nghiệm của phương trình \(x - 2 = 0\).
• Thay \(x = - 2\) vào phương trình \(2x + 4 = 0\) được \(2.\left( { - 2} \right) + 4 = 0\).
Do đó, \(x = - 2\) là nghiệm của phương trình \(2x + 4 = 0\).
Chọn phát biểu đúng nhất về định lí Pythagore:
Trong một tam giác vuông, bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông.
Trong một tam giác vuông, cạnh huyền bằng cạnh góc vuông.
Trong một tam giác vuông, bình phương cạnh huyền bằng bình phương cạnh góc vuông.
Trong một tam giác vuông, bình phương cạnh huyền bằng bình phương của tổng hai cạnh góc vuông.
Đáp án đúng là: A
Trong một tam giác vuông, bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông.
Cho \(\Delta ABC\) và \(\Delta MNP\) đồng dạng. Biết \(\widehat A = 90^\circ ,\widehat N = 30^\circ \). Khẳng định nào sai trong các khẳng định dưới đây?
\(\widehat M = 90^\circ \).
\(\widehat P = 60^\circ \).
\(\widehat C = 30^\circ \).
\(\widehat B = 60^\circ \).
Đáp án đúng là: D
Ta có: nên \(\widehat A = \widehat M = 90^\circ \); \(\widehat B = \widehat N = 30^\circ \); \(\widehat C = \widehat P = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ \).
Do đó, chọn D.
Trong các hình dưới đây, hình nào đồng dạng với Hình a?
Hình b).
Hình c).
Hình d).
Hình b) và c).
Đáp án đúng là: B
Nhận thấy tỉ lệ \(\frac{9}{5} = \frac{{9:2}}{{5:2}} = \frac{{4,5}}{{2,5}}\) và \(\frac{9}{5} \ne \frac{{7,5}}{5} \ne \frac{{12}}{4}\).
Do đó, Hình a đồng dạng với Hình c.
Do đó, chọn đáp án B.
Một ca nô xuôi dòng từ \(A\) đến \(B\) hết \(\frac{4}{3}\) giờ và ngược dòng hết 2 giờ. Biết vận tốc dòng nước là \(3{\rm{ km/h}}\). Gọi vận tốc riêng của ca nô là \(x\) (\(x > 3\), km/h).
a) Vận tốc ca nô xuôi dòng là \(x - 3\) (km/h), vận tốc ca nô ngược dòng là \(x + 3\) (km/h).
b) Quãng đường ca nô xuôi dòng là \(2\left( {x - 3} \right)\) (km) và quãng đường ca nô ngược dòng là \(\frac{4}{3}\left( {x + 3} \right)\)
(km).
c) Phương trình mô tả bài toán trên là \(\frac{4}{3}\left( {x + 3} \right) = 2\left( {x - 3} \right)\).
d) Vận tốc riêng của ca nô là \(15{\rm{ km/h}}\).
Đáp án đúng là: a) S b) S c) Đ d) Đ
Gọi vận tốc riêng của ca nô là \(x\) (\(x > 3\), km/h).
Lúc này, vận tốc ca nô xuôi dòng là \(x + 3\) (km/h), vận tốc ca nô ngược dòng là \(x - 3\) (km/h).
Quãng đường ca nô xuôi dòng là \(\frac{4}{3}\left( {x + 3} \right)\) (km) và quãng đường ca nô ngược dòng là \(2\left( {x - 3} \right)\) km.
Theo đề, ta có phương trình: \(\frac{4}{3}\left( {x + 3} \right) = 2\left( {x - 3} \right)\).
Giải phương trình, ta được:
\(\frac{4}{3}\left( {x + 3} \right) = 2\left( {x - 3} \right)\)
\(\frac{4}{3}x + 4 = 2x - 6\)
\(2x - \frac{4}{3}x = 4 + 6\)
\(\frac{2}{3}x = 10\)
\(x = 10:\frac{2}{3}\)
\(x = 15\) (thỏa mãn).
Vậy vận tốc riêng của ca nô là \(15{\rm{ km/h}}\).
Cho \(\Delta ABC\) có \(AB = 4{\rm{ cm;}}\)\(BC = 8{\rm{ cm;}}\)\(AC = 6{\rm{ cm}}\). Một đường thẳng song song với \(BC\) cắt \(AB\) và \(AC\) theo thứ tự \(M,N\) sao cho \(BM = AN\).
a) \(\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{AN}}{{AC}} = \frac{{MN}}{{BC}}\).
b)
c) \(AN = 2,4{\rm{ cm}}\), \(MN = 3,2{\rm{ cm}}\).
d) \(\frac{{{S_{ANM}}}}{{{S_{ABC}}}} = \frac{4}{{25}}\).
Đáp án đúng là: a) Đ b) S c) Đ d) Đ
a) Ta có: \(MN\parallel BC\) nên theo định lí Thalès, ta có: \(\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{AN}}{{AC}} = \frac{{MN}}{{BC}}\).
b) Ta có: \(\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{AN}}{{AC}} = \frac{{MN}}{{BC}}\) (cmt) nên (c.c.c).
c) Từ a) ta có: \(\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{AN}}{{AC}} = \frac{{MN}}{{BC}}\) hay \(\frac{{AM}}{4} = \frac{{AN}}{6} = \frac{{MN}}{8} = \frac{{BM}}{6} = \frac{{AM + BM}}{{4 + 6}} = \frac{{AB}}{{10}} = \frac{4}{{10}}\).
Do đó, \(AN = \frac{4}{{10}}AC = \frac{4}{{10}}.6 = 2,4{\rm{ cm}}\).
\(MN = \frac{4}{{10}}.8 = 3,2{\rm{ cm}}\).
d) Ta có theo tỉ số đồng dạng \(k = \frac{4}{{10}} = \frac{2}{5}\) (từ câu b).
Do đó, \(\frac{{{S_{ANM}}}}{{{S_{ABC}}}} = \frac{{M{N^2}}}{{B{C^2}}} = \frac{{{2^2}}}{{{5^2}}} = \frac{4}{{25}}\).
Cho biểu thức \(A = \frac{2}{{x + 1}} - \frac{4}{{1 - x}} + \frac{{5x + 1}}{{1 - {x^2}}}\)\(\left( {x \ne 1;x \ne - 1} \right)\). Biết rằng, rút gọn biểu thức \(A = \frac{1}{{x + a}}.\)Giá trị của \(a\) là
Hướng dẫn giải
Đáp án: \( - 1\)
Ta có \(A = \frac{2}{{x + 1}} - \frac{4}{{1 - x}} + \frac{{5x + 1}}{{1 - {x^2}}}\) với \(x \ne 1;x \ne - 1\)
\(A = \frac{{2\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}} + \frac{{4\left( {x + 1} \right)}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}} - \frac{{5x + 1}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}\)
\(A = \frac{{2\left( {x - 1} \right) + 4\left( {x + 1} \right) - 5x - 1}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}\)
\(A = \frac{{2x - 2 + 4x + 4 - 5x - 1}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}\)
\(A = \frac{{x + 1}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}\)
\(A = \frac{1}{{x - 1}}\).
Do đó, \(a = - 1\).
Cho biểu thức \(B = \left( {\frac{{{x^2} - 3}}{{{x^2} - 9}} + \frac{1}{{x - 3}}} \right):\frac{x}{{x + 3}}\) với \(x \ne 3;x \ne - 3\). Tìm giá trị của \(x\) để \(B = 3.\)
Đáp án: \(x = 5\)
Ta có: \(B = \left( {\frac{{{x^2} - 3}}{{{x^2} - 9}} + \frac{1}{{x - 3}}} \right):\frac{x}{{x + 3}}\)
\(B = \left[ {\frac{{{x^2} - 3}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} + \frac{{x + 3}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}} \right].\frac{{x + 3}}{x}\)
\(B = \frac{{{x^2} - 3 + x + 3}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}.\frac{{x + 3}}{x}\)
\(B = \frac{{{x^2} + x}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}.\frac{{x + 3}}{x}\)
\(B = \frac{{x\left( {x + 1} \right)}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}.\frac{{x + 3}}{x}\)
\(B = \frac{{x + 1}}{{x - 3}}\).
Để \(B = 3\) thì \(\frac{{x + 1}}{{x - 3}} = 3\).
Do đó, \(x + 1 = 3\left( {x - 3} \right)\) hay \(x + 1 = 3x - 9\) suy ra \(2x = 10\) khi \(x = 5\) (thỏa mãn).
Vậy để \(B = 3\) thì \(x = 5\).
Tìm \(x\), biết: \(\frac{{x + 2}}{3} - \frac{3}{4} = \frac{5}{3} + \frac{1}{{15}}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án: \(x = \frac{{109}}{{20}}\)
Ta có: \(\frac{{x + 2}}{3} - \frac{3}{4} = \frac{5}{3} + \frac{1}{{15}}\)
\(\frac{x}{3} + \frac{2}{3} - \frac{3}{4} = \frac{{26}}{{15}}\)
\(\frac{x}{3} = \frac{{26}}{{15}} + \frac{3}{4} - \frac{2}{3}\)
\(\frac{x}{3} = \frac{{109}}{{60}}\)
\(x = \frac{{109}}{{60}}.3\)
\(x = \frac{{109}}{{20}}\).
Vậy \(x = \frac{{109}}{{20}}\).
Cho \(\Delta ABC\) cân tại \(A\) có \(AB = AC = 17{\rm{ cm}}\). Kẻ \(BD \bot AC\). Tính độ dài cạnh \(BC\) biết \(BD = 15{\rm{ cm}}.\)
Đáp án: \(\sqrt {306} {\rm{ cm}}\)
• Áp dụng định lí Pythagore vào \(\Delta ABD\), ta có: \(A{D^2} + B{D^2} = A{B^2}\) hay \({15^2} + A{D^2} = {17^2}\).
Suy ra \(A{D^2} = {17^2} - {15^2} = 64\) nên \(AD = 8{\rm{ cm}}\).
Ta có: \(AD + DC = AC\) nên \(DC = AC - AD = 17 - 8 = 9{\rm{ }}\left( {{\rm{cm}}} \right)\).
• Áp dụng định lí Pythagore vào \(\Delta CBD\), ta có: \(C{D^2} + B{D^2} = C{B^2}\) hay \({9^2} + {15^2} = C{B^2}\).
Suy ra \(C{B^2} = 306\) nên \(BC = \sqrt {306} {\rm{ cm}}\).
Một tổ sản xuất dự định làm một số sản phẩm trong một thời gian nhất định. Tổ dự định mỗi ngày làm \(120\) sản phẩm. Khi thực hiện, mỗi ngày tổ làm được \(150\) sản phẩm. vì vậy tổ đã làm xong trước thời gian dự định là \(4\) ngày và còn làm thêm được \(10\) sản phẩm. Tính số sản phẩm mà tổ đã dự định làm.
Hướng dẫn giải
Gọi \(x\) (sản phẩm) là số sản phẩm dự định mà tổ phải sản xuất \(\left( {x \in {\mathbb{N}^*}} \right)\).
Thời gian dự định của tổ là \(x + 10\) (sản phẩm).
Thực tế số sản phẩm tổ đã làm được là \(x + 10\) (sản phẩm)
Thời gian thực tế tổ đã làm là \(\frac{{x + 10}}{{150}}\) (giây)
Theo đề, ta có: \(\frac{x}{{120}} - \frac{{x + 10}}{{150}} = 4\).
Giải phương trình, ta được:
\(\frac{x}{{120}} - \frac{{x + 10}}{{150}} = 4\)
\(\frac{x}{{120}} - \frac{x}{{150}} - \frac{{10}}{{150}} = 4\)
\(\frac{{5x}}{{600}} - \frac{{4x}}{{600}} = 4 + \frac{{10}}{{150}}\)
\(\frac{x}{{600}} = \frac{{610}}{{150}}\)
\(x = 2{\rm{ }}440\) (thỏa mãn)
Vậy tổ dự định làm \(2{\rm{ }}440\) sản phẩm.
Cho \(\Delta ABC\) vuông ở \(A\), \(AB = 5,4{\rm{ cm}}\), \(AC = 7,2{\rm{ cm}}\).
a) Tính \(BC\).
b) Từ trung điểm \(M\) của \(BC\), vẽ đường thẳng vuông góc với \(BC\), cắt đường thẳng \(AC\) tại \(H\) và cắt đường thẳng \(AB\) tại \(E\). Chứng minh rằng .
c) Tính độ dài \(EB,EM\). Chứng minh \(HA.HC = HM.HE\).
a) Áp dụng định lí Pythagore vào \(\Delta ABC\), ta có:
\(A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}\) hay \(5,{4^2} + 7,{2^2} = B{C^2}\), suy ra \(B{C^2} = 81\) do đó \(BC = 9{\rm{ cm}}\).
b) Xét \(\Delta CAB\) và \(\Delta EMB\), ta có:
\(\widehat {EMB} = \widehat {CAB} = 90^\circ \) (gt)
\(\widehat {EBM} = \widehat {CBA}\) (góc chung)
Suy ra (g.g)
c) Ta có: \(M\) là trung điểm của \(BC\) nên \(MB = MC = \frac{{BC}}{2} = 4,5{\rm{ cm}}\).
Do (cmt) nên ta có: \(\frac{{EM}}{{AC}} = \frac{{BE}}{{BC}} = \frac{{MB}}{{AB}} = \frac{{4,5}}{{5,4}} = \frac{5}{6}\).
Suy ra \(ME = \frac{5}{6}AC = 6{\rm{ cm}}\) và \(BE = \frac{5}{6}BC = 7,5{\rm{ cm}}\).
Xét \(\Delta AHE\) và \(\Delta MHC\), có:
\(\widehat {HAE} = \widehat {CMH} = 90^\circ \) (gt)
\(\widehat {AHE} = \widehat {MHC}\) (đối đỉnh)
Suy ra (g.g)
Suy ra \(\frac{{AH}}{{MH}} = \frac{{HE}}{{HC}}\) hay \(HA.HC = HM.HE\).
Với \(n \in {\mathbb{N}^*}\), hãy tính tổng \(B = \frac{1}{{1.5}} + \frac{1}{{5.9}} + ... + \frac{1}{{\left( {4n - 3} \right)\left( {4n + 1} \right)}}\).
Ta có: \(B = \frac{1}{{1.5}} + \frac{1}{{5.9}} + ... + \frac{1}{{\left( {4n - 3} \right)\left( {4n + 1} \right)}}\)
\(B = \frac{1}{4}\left[ {\frac{4}{{1.5}} + \frac{4}{{5.9}} + ... + \frac{4}{{\left( {4n - 3} \right)\left( {4n + 1} \right)}}} \right]\)
\(B = \frac{1}{4}\left[ {1 - \frac{1}{5} + \frac{1}{5} - \frac{1}{9} + ... + \frac{1}{{\left( {4n - 3} \right)}} - \frac{1}{{\left( {4n + 1} \right)}}} \right]\)
\(B = \frac{1}{4}\left[ {1 - \frac{1}{{\left( {4n + 1} \right)}}} \right]\)
\(B = \frac{1}{4}.\frac{{4n}}{{\left( {4n + 1} \right)}}\)
\(B = \frac{n}{{\left( {4n + 1} \right)}}\).
