Bộ 5 đề thi giữa kì 2 Toán 8 Kết nối tri thức cấu trúc mới có đáp án - Đề 1
21 câu hỏi
Trong các biểu thức sau biểu thức nào là phân thức đại số?
\(\frac{{\sqrt x }}{{x - 3}}\).
\(\frac{{2x + 1}}{{x - 3}}\).
\(\frac{{\sqrt {2x} - 1}}{{x - 3}}\).
\(\frac{{2x + 1}}{{\sqrt {3x - 2} }}\).
Đáp án đúng là: B
Một phân thức đại số có dạng \(\frac{A}{B}\) với \(A,B\) là các đa thức và \(B \ne 0\).
Do đó, \(\frac{{2x + 1}}{{x - 3}}\) là một phân thức đại số.
Phân thức \(\frac{{2x + 1}}{{x - 3}}\) xác định khi:
\(x = 3.\)
\(x \ne 3.\)
\(x \ge 3.\)
\(x \le 3.\)
Đáp án đúng là: B
Phân thức \(\frac{{2x + 1}}{{x - 3}}\) xác định khi \(x - 3 \ne 0\) hay \(x \ne 3.\)
Phân thức \(\frac{{x + 1}}{{2x - y}}\) có phân thức đối là
\(\frac{{x - 1}}{{2x + y}}\).
\( - \frac{{x + 1}}{{2x - y}}\).
\(\frac{{x + 1}}{{2x + y}}\).
\(\frac{{2x - y}}{{x + 1}}\).
Đáp án đúng là: B
Phân thức đối của \(\frac{{x + 1}}{{2x - y}}\) là \( - \frac{{x + 1}}{{2x - y}}\).
Giả sử các biểu thức đều có nghĩa, kết quả của phép tính \(\frac{a}{{a - 3}} - \frac{3}{{a + 3}}\) là
\(\frac{{{a^2} + 9}}{{{a^2} - 9}}\).
\(\frac{{{a^2} - 9}}{{{a^2} + 9}}\).
\(\frac{{{a^2} + 6}}{{{a^2} - 6}}\).
\(\frac{{{a^2} - 6}}{{{a^2} + 6}}\).
Đáp án đúng là: A
Ta có: \(\frac{a}{{a - 3}} - \frac{3}{{a + 3}} = \frac{{a\left( {a + 3} \right)}}{{\left( {a + 3} \right)\left( {a - 3} \right)}} - \frac{{3\left( {a - 3} \right)}}{{\left( {a - 3} \right)\left( {a + 3} \right)}} = \frac{{{a^2} + 3a - 3a + 9}}{{{a^2} - 9}} = \frac{{{a^2} + 9}}{{{a^2} - 9}}\).
Phân thức \(\frac{{{x^2}y + 1}}{{3{x^2}y + 2x}}\) là phân thức nghịch đảo của
\( - \frac{{{x^2}y + 1}}{{3{x^2}y + 2x}}\).
\(\frac{{3{x^2}y + 2x}}{{{x^2}y + 1}}\).
\( - \frac{{3{x^2}y + 2x}}{{{x^2}y + 1}}\).
\(\frac{{{x^2}y - 1}}{{3{x^2}y - 2x}}\).
Đáp án đúng là: B
Phân thức nghịch đảo của \(\frac{{{x^2}y + 1}}{{3{x^2}y + 2x}}\) là \(\frac{{3{x^2}y + 2x}}{{{x^2}y + 1}}\).
Giả sử các biểu thức đều có nghĩa, kết quả của phép tính \(\frac{{{x^2} - 25}}{{{x^2} - 3x}}:\frac{{{x^2} + 5x}}{{{x^2} - 9}}\) là
\(\frac{{x - 5}}{{{x^2}}}\).
\(\frac{{\left( {x - 3} \right)\left( {x - 5} \right)}}{{{x^2}}}\).
\(\frac{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 5} \right)}}{{{x^2}}}\).
\(\frac{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 5} \right)}}{{{x^2}}}\).
Đáp án đúng là: C
Ta có: \(\frac{{{x^2} - 25}}{{{x^2} - 3x}}:\frac{{{x^2} + 5x}}{{{x^2} - 9}}\)
\( = \frac{{{x^2} - 25}}{{{x^2} - 3x}}.\frac{{{x^2} - 9}}{{{x^2} + 5x}}\)
\( = \frac{{\left( {x - 5} \right)\left( {x + 5} \right)}}{{x\left( {x - 3} \right)}}.\frac{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 3} \right)}}{{x\left( {x + 5} \right)}}\)
\( = \frac{{\left( {x - 5} \right)\left( {x + 5} \right)\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}{{x\left( {x - 3} \right)x\left( {x + 5} \right)}} = \frac{{\left( {x - 5} \right)\left( {x + 3} \right)}}{{{x^2}}}\).
Vậy chọn C.
Trong các phương trình sau, phương trình nào không phải là phương trình bậc nhất một ẩn?
\(0x + 2 = 0\).
\(2x + 1 = 0\).
\( - 2x = 0.\)
\(\frac{x}{2} + 3 = 0\).
Đáp án đúng là: A
Ta có phương trình bậc nhất một ẩn có dạng \(ax + b = 0\) với \(a \ne 0\) nên phương trình \(0x + 2 = 0\) không là phương trình bậc nhất một ẩn.
Phương trình \(\frac{{2x}}{3} + \frac{1}{2} = 0\) có hạng tử tự do là:
\(\frac{2}{3}\).
\(\frac{1}{3}.\)
\(2\).
\(\frac{1}{2}\).
Đáp án đúng là: C
Hạng tử tự do của phương trình bậc nhất một ẩn \(\frac{{2x}}{3} + \frac{1}{2} = 0\) là \(\frac{1}{2}\).
Cho tam giác \(ABC\) đồng dạng với tam giác \(A'B'C'\). Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định dưới đây:
\(\widehat B = \widehat {B'}\).
\(\widehat A = \widehat {B'}\).
\(\widehat A = \widehat {C'}\).
\(\widehat B = \widehat C\).
Đáp án đúng là: A
Có thì ta có \(\widehat A = \widehat {A'};\widehat B = \widehat {B'};\widehat C = \widehat {C'}\).
Cho tam giác \(MNP\) vuông tại \(P\) khi đó
\(M{N^2} = M{P^2} - N{P^2}\).
\(M{N^2} = N{P^2} + M{P^2}\).
\(N{P^2} = M{N^2} + M{P^2}\).
\(M{P^2} = M{N^2} + N{P^2}\).
Đáp án đúng là: B
Ta có tam giác \(MNP\) vuông tại \(P\) nên theo định lí Pythagore, ta có:
\(M{N^2} = N{P^2} + M{P^2}\).
Cho các mệnh đề sau:
(I). Nếu một góc nhọn của tam giác vuông này bằng một góc nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông ấy đồng dạng.
(II). Nếu một cạnh góc vuông của tam giác vuông này bằng một cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông ấy đồng dạng.
Khẳng định nào dưới đây là đúng?
Chỉ có (I) đúng.
Chỉ có (II) đúng.
Cả (I) và (II) đúng.
Cả (I) và (II) sai.
Đáp án đúng là: A
Nếu một góc nhọn của tam giác vuông này bằng một góc nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông ấy đồng dạng.
Do đo mệnh đề (I) là đúng.
Mệnh đề (II) là sai vì khi sử dụng điều kiện về cạnh thì ta cần ít nhất hai cặp tỉ số cạnh bằng nhau.
Vậy chỉ có (I) đúng.
Trong các hình dưới đây, hình nào đồng dạng với nhau?
Hình a) và hình b).
Hình a) và hình c).
Hình b) và hình c).
Cả ba hình.
Đáp án đúng là: A
Nhận thấy tỉ lệ \(\frac{3}{{2,6}} = \frac{{4,5}}{{3,9}} = \frac{{15}}{{13}} \ne \frac{3}{2}\).
Do đó ta có hình a) và hình b) đồng dạng.
Năm nay tuổi bố gấp \(10\) lần tuổi Minh. Bố Minh tính rằng sau 24 năm nữa thì tuổi bố chỉ gấp \(2\) lần tuổi Minh. Gọi tuổi của Minh hiện nay là \(x\) \(\left( {x \in \mathbb{N}} \right)\).
a) Sau 24 năm nữa tuổi của Minh là \(x + 24\) (tuổi).
b) Sau 24 năm nữa tuổi của bố Minh là \(10x + 24\) (tuổi).
c) Sau 24 năm nữa thì tuổi bố chỉ gấp \(2\) lần tuổi Minh nên phương trình mô tả bài toán là:
\(10x + 24 = 2x + 24\).
d) Tuổi của bố Minh hiện tại là \(30\) tuổi.
Đáp án đúng là: a) Đ b) Đ c) S d) Đ
Gọi tuổi của Minh hiện nay là \(x\) \(\left( {x \in \mathbb{N}} \right)\).
Theo đề, sau 24 năm nữa tuổi của Minh là \(x + 24\) (tuổi).
Sau 24 năm nữa tuổi của bố Minh là \(10x + 24\) (tuổi).
Sau 24 năm nữa thì tuổi bố chỉ gấp \(2\) lần tuổi Minh nên ta có phương trình:
\(10x + 24 = 2\left( {x + 24} \right)\)
Giải phương trình, ta được:
\(10x + 24 = 2\left( {x + 24} \right)\)
\(10x + 24 = 2x + 2.24\)
\(10x + 24 = 2x + 48\)
\(10x - 2x = 48 - 24\)
\(8x = 24\)
\(x = 3\) (thỏa mãn).
Do đó, tuổi của Minh hiện tại là 3 tuổi.
Suy ra tuổi của bố Minh hiện tại là \(3.10 = 30\) (tuổi).
Vậy hiện tại bố Minh \(30\) tuổi.
Cho tam giác \(ABC\). Trên cạnh \(AB,AC\) lần lượt lấy các điểm \(E,D\) sao cho \(AC = 3AE\) và \(AD = \frac{1}{3}AB\). Gọi \(I\) là giao điểm của \(BD\) và \(EC\). Biết rằng .
a) \(\widehat {ADB} = \widehat {AEC}\).
b) \(\frac{{AE}}{{AC}} = \frac{{AD}}{{AB}} = \frac{1}{3}\).
c) .
d) \(ID.IB = IE.IC\).
Đáp án đúng là: a) Đ b) Đ c) S d) Đ
a) Theo đề, ta có nên \(\widehat {ADB} = \widehat {AEC}\) (hai góc tương ứng).
Do đó ý a) đúng.
b) Ta có: \(AC = 3AE\) hay \(\frac{{AE}}{{AC}} = \frac{1}{3}\); \(AD = \frac{1}{3}AB\) hay \(\frac{{AD}}{{AB}} = \frac{1}{3}\).
Suy ra \(\frac{{AE}}{{AC}} = \frac{{AD}}{{AB}} = \frac{1}{3}\). Do đó, ý b) đúng.
c) Xét \(\Delta ADE\) và \(\Delta ABC\), có:
\(\frac{{AE}}{{AC}} = \frac{{AD}}{{AB}} = \frac{1}{3}\) (cmt)
\(\widehat A\) chung (gt)
Do đó, (c.g.c)
Do đó, ý c) sai.
d) Vì nên \(\widehat {ABD} = \widehat {ACE}\) (2 góc tương ứng) (1)
Lại có, \(\widehat {EIB} = \widehat {DIC}\) (hai góc đối đỉnh) (2)
Từ (1) và (2) suy ra (g.g)
Suy ra \(\frac{{IE}}{{ID}} = \frac{{IB}}{{IC}}\) suy ra \(IE.IC = IB.ID\).
Do đó, ý d) đúng.
Cho biểu thức \(A = \frac{{x + 1}}{{x - 1}} - \frac{{x - 1}}{{x + 1}} + \frac{4}{{1 - {x^2}}}\) (\(x \ne 1\); \(x \ne - 1\)). Rút gọn biểu thức \(A\), ta được \(A = \frac{a}{{x + 1}}\) với \(a \in \mathbb{N}\). Vậy giá trị của \(a\) là:
Đáp án: \(4\)
Với \(x \ne 1\); \(x \ne - 1\), ta có:
\(A = \frac{{x + 1}}{{x - 1}} - \frac{{x - 1}}{{x + 1}} + \frac{4}{{1 - {x^2}}}\)
\( = \frac{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} - \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} - \frac{4}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}\)
\( = \frac{{{{\left( {x + 1} \right)}^2} - {{\left( {x - 1} \right)}^2} - 4}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}\)
\( = \frac{{{x^2} + 2x + 1 - {x^2} + 2x - 1 - 4}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}\)
\( = \frac{{4x - 4}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} = \frac{{4\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} = \frac{4}{{x + 1}}\).
Do đó, \(A = \frac{4}{{x + 1}}\).
Vậy \(a = 4\).
Cho biểu thức \(M = \frac{1}{{{x^3} - 2x}}.\left( {\frac{{{x^2} + 4}}{x} - 4} \right) + 1\) với \(x \ne 2\) và \(x \ne 0\). Tính giá trị của \(M\) biết \(\left| {4 - x} \right| = 2\).
Hướng dẫn giải
Đáp án:\(\frac{{10}}{9}\)
Ta có: \(\left| {4 - x} \right| = 2\)
TH1: \(4 - x = 2\) suy ra \(x = 4 - 2\) nên \(x = 2\) (không thỏa mãn)
TH2: \(4 - x = - 2\) suy ra \(x = 4 - \left( { - 2} \right)\) nên \(x = 6\) (thỏa mãn).
Do đó, thay \(x = 6\) vào biểu thức \(M = \frac{1}{{{x^2} - 2x}}.\left( {\frac{{{x^2} + 4}}{x} - 4} \right) + 1\), ta được:
\(M = \frac{1}{{{6^2} - 2.6}}.\left( {\frac{{{6^2} + 4}}{6} - 4} \right) + 1\)
\(M = \frac{1}{{36 - 12}}.\left( {\frac{{36 + 4}}{6} - 4} \right) + 1\)
\(M = \frac{1}{{24}}.\left( {\frac{{40}}{6} - \frac{{24}}{6}} \right) + 1\)
\(M = \frac{1}{{24}}.\frac{{16}}{6} + 1\)
\(M = \frac{1}{9} + 1 = \frac{{10}}{9}\).
Vậy \(M = \frac{{10}}{9}\).
Giải phương trình sau: \(\frac{3}{2} + \frac{4}{3}\left( {3x - \frac{1}{2}} \right) = \frac{1}{3}x + 2\).
Đáp án: \(\frac{7}{{22}}\)
Ta có: \(\frac{3}{2} + \frac{4}{3}\left( {3x - \frac{1}{2}} \right) = \frac{1}{3}x + 2\)
\(\frac{3}{2} + \frac{4}{3}.3x - \frac{4}{3}.\frac{1}{2} = \frac{1}{3}x + 2\)
\(\frac{3}{2} + 4x - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}x + 2\)
\(4x - \frac{1}{3}x = 2 - \frac{3}{2} + \frac{2}{3}\)
\(\frac{{11}}{3}x = \frac{7}{6}\)
\(x = \frac{7}{{22}}\).
Vậy \(x = \frac{7}{{22}}\).
Cho tam giác nhọn \(ABC\) có \(AB = 13{\rm{ cm}}\), \(AC = 15{\rm{ cm}}\). Kẻ \(AD \bot BC\) \(\left( {D \in BC} \right)\). Biết \(BD = 5{\rm{ cm}}\), độ dài đoạn thẳng \(BC\) là
Đáp án: \({\rm{14 cm}}\)
• Xét \(\Delta ABD\) vuông tại \(D\), theo định lí Pythagore, ta có:
\(A{B^2} = A{D^2} + B{D^2}\)
Suy ra \(A{D^2} = A{B^2} - B{D^2} = {13^2} - {5^2} = 144\)
Do đó, \(AD = 12{\rm{ cm}}\).
• Xét \(\Delta ACD\) vuông tại \(D\), theo định lí Pythagore, ta có:
\(A{C^2} = A{D^2} + C{D^2}\)
Suy ra \(D{C^2} = A{C^2} - A{D^2} = {15^2} - {12^2} = 81\).
Do đó, \(DC = 9{\rm{ cm}}\).
Vậy độ dài đoạn thẳng \(BC\) là: \(9 + 5 = 14{\rm{ }}\left( {{\rm{cm}}} \right)\).
Một xe tải và một xe con cùng khởi hành từ tỉnh A đến tỉnh B. Xe tải đi với vận tốc \(30{\rm{ km/h}}\), xe con đi với vận tốc \({\rm{45 km/h}}\). Sau khi đi được \(\frac{3}{4}\) quãng đường AB, xe con tăng vận tốc \({\rm{5 km/h}}\) trên quãng đường còn lại thì đến B sớm hơn xe tải là \(2\) giờ \(27\) phút. Tính quãng đường AB.
Gọi quãng đường \(AB\)là \(x\) (\(x > 0\), km).
Thời gian xe tải đi hết quãng đường \(AB\) là \(\frac{x}{{30}}\) (giờ)
Ta có \(\frac{3}{4}\) quãng đường \(AB\) là \(\frac{3}{4}x\) (km), khi đó thời gian ô tô đi hết \(\frac{3}{4}\) quãng đường \(AB\) là:
\(\frac{3}{4}x:45 = \frac{x}{{60}}\) (giờ).
Vận tốc xe con sau khi tăng thêm \({\rm{5 km/h}}\) là: \(45 + 5 = 50\) (km/h).
Quãng đường còn lại là: \(1 - \frac{{3x}}{4} = \frac{x}{4}\) (km).
Thời gian xe con đi hết \(\frac{1}{4}\) quãng đường \(AB\) là \(\frac{x}{4}:50 = \frac{x}{{200}}\) (giờ)
Vì xe con đến \(B\) sớm hơn xe tải là 2 giờ 27 phút \(\left( { = \frac{{49}}{{20}}{\rm{ h}}} \right)\) nên ta có phương trình:
\(\frac{x}{{30}} - \left( {\frac{x}{{60}} + \frac{x}{{200}}} \right) = \frac{{49}}{{20}}\).
Giải phương trình, ta được:
\(\frac{x}{{30}} - \left( {\frac{x}{{60}} + \frac{x}{{200}}} \right) = \frac{{49}}{{20}}\)
\(\frac{{20x}}{{600}} - \left( {\frac{{10x}}{{600}} + \frac{{3x}}{{600}}} \right) = \frac{{1{\rm{ }}470}}{{600}}\)
\(\frac{{7x}}{{600}} = \frac{{1{\rm{ }}470}}{{600}}\)
\(7x = 1{\rm{ 470}}\)
\(x = 1{\rm{ 470:7}}\)
\(x = 210\) (thỏa mãn)
Vậy quãng đường \(AB\) dài \(210\)km.
Cho \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\)có \(AB = 6{\rm{ cm}}\), \(AC = 8{\rm{ cm}}\).
a) Tính độ dài cạnh \(BC\).
b) Vẽ đường cao \(AH\). Chứng minh rằng .
c) Trên cạnh \(AH\) lấy điểm \(M\) sao cho \(AM = 3,2{\rm{ cm}}\), từ điểm \(M\) kẻ đường thẳng \(d\) song song với \(BC\) lần lượt cắt \(AB,AC\) tại \(E,F\). Tính \(\frac{{{S_{AEF}}}}{{{S_{ABC}}}}\).
Hướng dẫn giải
a) Xét \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\), theo định lí Pythagore, ta có:
\(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} = {6^2} + {8^2} = 100\).
Suy ra \(BC = 10{\rm{ cm}}\).
b) Xét \(\Delta ABC\) và \(\Delta HAC\) có:
\(\widehat {BAC} = \widehat {AHC} = 90^\circ \) và \(\widehat {ACB}\) là góc chung.
Do đó, (g.g)
c) Vì (cmt), ta có:
\(\frac{{AB}}{{AH}} = \frac{{BC}}{{AC}}\) (tỉ số cạnh tương ứng) hay \(\frac{6}{{AH}} = \frac{{10}}{8}\) suy ra \(AH = \frac{{6.8}}{{10}} = 4,8\) cm.
\(\frac{{AB}}{{AH}} = \frac{{AC}}{{HC}}\) (tỉ số cạnh tương ứng) hay \(\frac{6}{{4,8}} = \frac{{10}}{{HC}}\), suy ra \(CH = \frac{{4,8.8}}{6} = 6,4\) cm.
Ta có: \(BC = HB + HC\), suy ra \(HB = BC - HC = 10 - 6,4 = 3,6\) cm.
Vì \(EF\parallel BC\) nên (định lí), do đó \(\frac{{EM}}{{BH}} = \frac{{AM}}{{AH}} = \frac{{3,2}}{{4,8}} = \frac{2}{3}\).
Tương tự, ta có (định lí), do đó \(\frac{{MF}}{{HC}} = \frac{{AM}}{{AH}} = \frac{2}{3}\).
Do đó, \(EF = EM + MF = \frac{2}{3}BH + \frac{2}{3}HC = \frac{2}{3}\left( {BH + HC} \right) = \frac{2}{3}BC\).
Suy ra \(\frac{{EF}}{{BC}} = \frac{2}{3}\).
Vì \(EF\parallel BC\) và \(AH \bot BC\) nên \(AH \bot EF\).
Ta có: \(\frac{{{S_{AEF}}}}{{{S_{ABC}}}} = \frac{{\frac{1}{2}AM.EF}}{{\frac{1}{2}AH.BC}} = \frac{2}{3}.\frac{2}{3} = \frac{4}{9}\).
Với \(n \in {\mathbb{N}^*}\), tính tổng sau: \(A = \frac{1}{{1.3}} + \frac{1}{{3.5}} + \frac{1}{{5.7}} + ... + \frac{1}{{\left( {2n - 1} \right)\left( {2x + 1} \right)}}\).
Ta có: \(A = \frac{1}{{1.3}} + \frac{1}{{3.5}} + \frac{1}{{5.7}} + ... + \frac{1}{{\left( {2n - 1} \right)\left( {2x + 1} \right)}}\)
\(A = \frac{1}{2}\left[ {\frac{2}{{1.3}} + \frac{2}{{3.5}} + \frac{2}{{5.7}} + ... + \frac{2}{{\left( {2n - 1} \right)\left( {2x + 1} \right)}}} \right]\)
\(A = \frac{1}{2}\left[ {1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{5} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + ... + \frac{1}{{2n - 1}} - \frac{1}{{2n + 1}}} \right]\)
\(A = \frac{1}{2}\left( {1 - \frac{1}{{2n + 1}}} \right)\)
\(A = \frac{1}{2}.\frac{{2n}}{{2n + 1}} = \frac{n}{{2n + 1}}\).
Vậy \(A = \frac{n}{{2n + 1}}\).
