Bộ 5 đề thi cuối kì 2 Toán 12 Kết nối tri thức cấu trúc mới (có tự luận) có đáp án - Đề 04

Đáp án đúng là: B

Ta có \(\int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx} = - \int\limits_2^1 {f\left( x \right)dx} = - \left( { - 2} \right) = 2\).

Đáp án đúng là: A

Ta có \(\int\limits_1^4 {f\left( x \right)dx} = \left. {F\left( x \right)} \right|_1^4 = F\left( 4 \right) - F\left( 1 \right) = 2 - 3 = - 1\).

Đáp án đúng là: D

\(V = \pi \int\limits_a^b {{f^2}\left( x \right)dx} \).

Đáp án đúng là: D

\(S = \int\limits_1^e {\left| {\ln x} \right|dx} = \int\limits_1^e {\ln xdx} \).

Đáp án đúng là: A

\(\overrightarrow {{n_3}} = \left( {2;3;1} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( P \right)\).

Đáp án đúng là: A

\(\overrightarrow i = \left( {1;0;0} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( {Oyz} \right)\).

Đáp án đúng là: D

Đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(M\left( {0; - 1;4} \right)\) và nhận vectơ \(\overrightarrow u = \left( {3; - 1;5} \right)\) làm vectơ chỉ phương có phương trình là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3t\\y = - 1 - t\\z = 4 + 5t\end{array} \right.\).

Đáp án đúng là: B

\(P\left( {B|A} \right)\) gọi là xác suất của \(B\) với điều kiện \(A\) .

Đáp án đúng là: B

Ta có \(\overrightarrow {MN} = \left( {4;6;2} \right) = 2\left( {2;3;1} \right)\).

Đường thẳng \(MN\) đi qua \(M\left( {1; - 1; - 1} \right)\) và nhận \(\overrightarrow u = \left( {2;3;1} \right)\) làm vectơ chỉ phương có phương trình là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = - 1 + 3t\\z = - 1 + t\end{array} \right.\).

Đáp án đúng là: D

Ta có \(\overrightarrow {{u_d}} = \left( { - 1;2;1} \right)\) là vectơ chỉ phương của đường thẳng \(\left( d \right)\) và \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1; - 1;0} \right)\) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( P \right)\).

Ta có \(\sin \left( {d,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {\left( { - 1} \right).1 + 2.\left( { - 1} \right) + 1.0} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2} + {1^2}} .\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{3}{{2\sqrt 3 }} = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow \left( {d,\left( P \right)} \right) = 60^\circ \).

Đáp án đúng là: A

Gọi \(I\) là trung điểm của \(AB\). Suy ra \(I\left( {3;1;0} \right)\).

Có \(IA = \sqrt {{{\left( {5 - 3} \right)}^2} + {{\left( {2 - 1} \right)}^2} + {1^2}} = \sqrt 6 \).

Mặt cầu đường kính \(AB\) có tâm \(I\left( {3;1;0} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt 6 \) có phương trình là:

\({\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {z^2} = 6\).

Đáp án đúng là: D

Ta có \(P\left( A \right) = P\left( B \right).P\left( {A|B} \right) + P\left( {\overline B } \right).P\left( {A|\overline B } \right) = 0,6.0,75 + 0,4.0,5 = 0,65\).

a) Đ, b) S, c) Đ, d) S

a) Có \(F'\left( x \right) = f\left( x \right) = {\tan ^2}x\).

b) Có \({\left( {\tan x} \right)^\prime } = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}\).

c) \(F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx} = \int {{{\tan }^2}x} dx = \int {\left( {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} - 1} \right)dx} \).

d) \(F\left( x \right) = \int {\left( {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} - 1} \right)dx} = \tan x - x + C\).

Có \(F\left( 0 \right) = 0 \Rightarrow C = 0\). Do đó \(F\left( x \right) = \tan x - x\).

Suy ra \(F\left( \pi \right) = \tan \pi - \pi = - \pi \).

a) S, b) S, c) S, d) Đ

a) Ta có \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 6x + 4y - 2z + 5 = 0\)\( \Leftrightarrow {\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 9\).

Suy ra mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {3; - 2;1} \right)\) và bán kính \(R = 3\).

b) Ta có \(OI = \sqrt {{3^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {1^2}} = \sqrt {14} > 3\).

Do đó điểm \(O\) nằm ngoài mặt cầu.

Ta có \(d\left( {I,\left( P \right)} \right) = \sqrt {{R^2} - {r^2}} = \sqrt {{3^2} - {2^2}} = \sqrt 5 \).

d) Vì \(\left( P \right)\) là mặt phẳng chứa trục \(Ox\) nên \(\left( P \right)\) có dạng \(ay + bz = 0\left( {{a^2} + {b^2} \ne 0} \right)\).

Vì \(d\left( {I,\left( P \right)} \right) = \sqrt 5 \) nên \(\frac{{\left| { - 2a + b} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = \sqrt 5 \)\( \Leftrightarrow \left| { - 2a + b} \right| = \sqrt 5 \sqrt {{a^2} + {b^2}} \)\( \Leftrightarrow 4{a^2} - 4ab + {b^2} = 5\left( {{a^2} + {b^2}} \right)\)

\( \Leftrightarrow {a^2} + 4ab + 4{b^2} = 0\)\( \Leftrightarrow {\left( {a + 2b} \right)^2} = 0\)\( \Leftrightarrow a = - 2b\).

Chọn \(b = 1 \Rightarrow a = - 2\). Do đó \(\left( P \right): - 2y + z = 0 \Leftrightarrow 2y - z = 0\).

Trả lời: 5

Ta có \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 2y - 4z + m = 0\)\( \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = 6 - m\).

Để phương trình trên là phương trình mặt cầu thì \(6 - m > 0 \Leftrightarrow m < 6\).

Vì \(m\)nguyên dương nên \(m \in \left\{ {1;2;3;4;5} \right\}\).

Vậy có 5 giá trị thỏa mãn.

Trả lời: 4

Tập hợp các kết quả làm cho biến cố \(B\) xảy ra là \(B = \left\{ {\left( {4;1} \right);\left( {4;2} \right);\left( {4;3} \right);\left( {4;4} \right);\left( {4;5} \right);\left( {4;6} \right)} \right\}\).

Trong 6 kết quả đồng khả năng xảy ra này thì có 4 kết quả \(\left( {4;3} \right);\left( {4;4} \right);\left( {4;5} \right);\left( {4;6} \right)\) là thuận lợi cho biến cố \(A\).

Trả lời: 0,5

Ta có \(P\left( {B|A} \right) = \frac{5}{{10}} = \frac{1}{2}\).

Trả lời: 0,03

Gọi biến cố \(A\): “Người được chọn mắc bệnh X”;

Biến cố B: “Người được chọn có phản ứng dương tính với xét nghiệm Y”.

Theo đề ta có \(P\left( A \right) = 0,002 \Rightarrow P\left( {\overline A } \right) = 0,998;P\left( {B|A} \right) = 1;P\left( {B|\overline A } \right) = 0,06\).

Xác suất để người đó có phản ứng dương tính với xét nghiệm Y là:

\(P\left( B \right) = P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right).P\left( {B|\overline A } \right) = 0,002.1 + 0,998.0,06 = 0,06188\).

Xác suất để người đó bị mắc bệnh X với điều kiện có phản ứng dương tính với xét nghiệm X là

\(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( A \right).P\left( {B|A} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{0,002.1}}{{0,06188}} \approx 0,03\).

Giả sử \(M\left( {a;{a^2}} \right)\). Suy ra đường thẳng \(OM\) có phương trình là \(y = ax\).

Diện tích mảnh vườn nhỏ là \(S = \int\limits_0^a {\left| {ax - {x^2}} \right|dx} = \int\limits_0^a {\left( {ax - {x^2}} \right)dx} = \frac{9}{2}\)

\( \Leftrightarrow \left. {\left( {\frac{{a{x^2}}}{2} - \frac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|_0^a = \frac{9}{2}\)\( \Leftrightarrow \frac{{{a^3}}}{6} = \frac{9}{2} \Leftrightarrow a = 3\).

Khi đó \(M\left( {3;9} \right)\). Do đó \(OM = \sqrt {{3^2} + {9^2}} = 3\sqrt {10} \).

Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {3;2;5} \right)\) và bán kính \(R = 6\).

Ta có \(IE = \sqrt {{1^2} + {1^2} + {2^2}} = \sqrt 6 < R\), suy ra điểm \(E\) nằm trong mặt cầu \(\left( S \right)\).

Gọi \(H\) là hình chiếu của \(I\) trên mặt phẳng \(\left( P \right)\), \(A\) và \(B\) là hai giao điểm của \(\Delta \) với \(\left( S \right)\).

Khi đó, \(AB\) nhỏ nhất \( \Leftrightarrow d\left( {J,\Delta } \right)\) lớn nhất (\(J\) là tâm đường tròn giao tuyến của \(\left( P \right)\) và \(\left( S \right)\)), mà \(d\left( {J,\Delta } \right) \le EJ\).

Do đó \(AB\) nhỏ nhất \( \Leftrightarrow AB \bot HE\) mà \(AB \bot IH\) nên \(AB \bot \left( {HIE} \right) \Rightarrow AB \bot IE\).

Suy ra \(\overrightarrow {{u_\Delta }} = \left[ {\overrightarrow {{n_P}} ,EI} \right] = \left( {5; - 5;0} \right) = 5\left( {1; - 1;0} \right)\).

Vậy phương trình của đường thẳng \(\Delta \) là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = 1 - t\\z = 3\end{array} \right.\).

a) Ta có \(P\left( {\overline B } \right) = 1 - P\left( B \right) = 1 - 0,8 = 0,2\).

Ta có \(P\left( A \right) = P\left( B \right).P\left( {A|B} \right) + P\left( {\overline B } \right).P\left( {A|\overline B } \right) = 0,8.0,7 + 0,2.0,45 = 0,65\).

b) Theo công thức Bayes, ta có \(P\left( {B|A} \right) = \frac{{P\left( B \right).P\left( {A|B} \right)}}{{P\left( A \right)}} = \frac{{0,8.0,7}}{{0,65}} = \frac{{56}}{{65}}\).