Đề thi cuối kì 2 Toán 12 Kết nối tri thức (có đáp án) - Đề 9
22 câu hỏi
PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Biết \(\int\limits_1^3 {f\left( x \right)dx} = 3\) và \(\int\limits_1^3 {g\left( x \right)dx} = 2\). Khi đó \(\int\limits_1^3 {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]dx} \) bằng
\(5\).
\( - 1\).
\(1\).
\(6\).
Đáp án đúng là: C
\(\int\limits_1^3 {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]dx} \)\( = \int\limits_1^3 {f\left( x \right)dx} - \int\limits_1^3 {g\left( x \right)dx} = 3 - 2 = 1\).
\(V = \int\limits_a^b {{f^2}\left( x \right)dx} \).
\(V = \pi \int\limits_a^b {{f^2}\left( x \right)dx} \).
\(V = \pi \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} \).
\(V = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} \).
Đáp án đúng là: B
\(V = \pi \int\limits_a^b {{f^2}\left( x \right)dx} \).
\(2\).
\( - 4\).
\(2\pi \).
\(2\pi - 6\).
Đáp án đúng là: D
\(\int\limits_0^\pi {\left[ {3f\left( x \right) + 2} \right]dx} = 3\int\limits_0^\pi {f\left( x \right)dx} + \int\limits_0^\pi {2dx} \)\( = \left. {\left( {3\cos x + 2x} \right)} \right|_0^\pi = - 3 + 2\pi - 3 = 2\pi - 6\).
\(S = 2\).
\(S = - 2\).
\(S = 5\).
\(S = 10\).
Đáp án đúng là: A
\[\int\limits_3^5 {\frac{{{x^2} + x + 1}}{{x + 1}} = } \int\limits_3^5 {\left( {x + \frac{1}{{x + 1}}} \right)dx = } \left. {\left( {\frac{{{x^2}}}{2} + \ln \left| {x + 1} \right|} \right)} \right|_3^5 = \frac{{25}}{2} + \ln 6 - \frac{9}{2} - \ln 4 = 8 + \ln \frac{3}{2}\].
Suy ra \(S = 8 - 2.3 = 2\).
\(\frac{{81}}{{35}}\).
\(\frac{{81\pi }}{{35}}\).
\(\frac{{71\pi }}{{35}}\).
\(\frac{{71}}{{35}}\).
Đáp án đúng là: B
Ta có \(V = \pi \int\limits_0^3 {{{\left( {\frac{1}{3}{x^3} - {x^2}} \right)}^2}dx} = \frac{{81\pi }}{{35}}\).
\(S = \frac{{29}}{6}\).
\(S = \frac{{171}}{{10}}\).
\(S = \frac{9}{2}\).
\(S = 4,83346\).
Đáp án đúng là: A
Ta có \(S = \int\limits_{ - 2}^1 {\left| {{x^2} - x} \right|dx} \)\( = \int\limits_{ - 2}^0 {\left| {{x^2} - x} \right|dx} + \int\limits_0^1 {\left| {{x^2} - x} \right|dx} \)\( = \int\limits_{ - 2}^0 {\left( {{x^2} - x} \right)dx} + \int\limits_0^1 {\left( {x - {x^2}} \right)dx} = \frac{{14}}{3} + \frac{1}{6} = \frac{{29}}{6}\).
\(R = 3\).
\(R = 9\).
\(R = 18\).
\(R = 6\).
Đáp án đúng là: A
Bán kính mặt cầu: \(R = \sqrt 9 = 3\).
\(5x - 3y + 2z + 2 = 0\).
\(5x - 3y + 2z + 1 = 0\).
\(5x - 3y + 2z = 0\).
\(5x - 3y - 2z = 0\).
Đáp án đúng là: C
Phương trình của mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua gốc tọa độ \(O\) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {5; - 3;2} \right)\) là
\(5x - 3y + 2z = 0\).
\(\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 2}}{3} = \frac{{z - 5}}{{ - 4}}\).
\(\frac{{x - 1}}{3} = \frac{{y + 2}}{1} = \frac{{z - 5}}{1}\).
\(\frac{{x + 1}}{2} = \frac{{y - 2}}{3} = \frac{{z + 5}}{{ - 4}}\).
\(\frac{{x - 3}}{2} = \frac{{y - 1}}{{ - 2}} = \frac{{z - 5}}{5}\).
Đáp án đúng là: A
Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( {2;3; - 4} \right)\).
Phương trình \(\Delta \) đi qua \(A\left( {1; - 2;5} \right)\) và nhận vectơ \(\overrightarrow {AB} = \left( {2;3; - 4} \right)\) làm vectơ chỉ phương có phương trình là \(\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 2}}{3} = \frac{{z - 5}}{{ - 4}}\).
\(d = \frac{5}{{29}}\).
\(d = \frac{{\sqrt 5 }}{3}\).
\(d = \frac{5}{9}\).
\(d = \frac{5}{{\sqrt {29} }}\).
Đáp án đúng là: D
Ta có \(d = d\left( {A,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {3.1 + 4.\left( { - 2} \right) + 2.3 + 4} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2} + {2^2}} }} = \frac{5}{{\sqrt {29} }}\).
\(0,45\).
\(0,6\).
\(0,75\).
\(0,15\).
Đáp án đúng là: A
Vì \(A,B\) độc lập nên \(P\left( {A \cap B} \right) = P\left( A \right).P\left( B \right)\).
Khi đó \(P\left( {B|A} \right) = \frac{{P\left( {A \cap B} \right)}}{{P\left( A \right)}} = P\left( B \right) = 0,45\).
\(0,1\).
\(0,2\).
\(0,3\).
\(0,4\).
Đáp án đúng là: D
Theo công thức Bayes, ta có \(P\left( {B|A} \right) = \frac{{P\left( B \right).P\left( {A|B} \right)}}{{P\left( A \right)}} = \frac{{0,8.0,2}}{{0,4}} = 0,4\).
PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Một vật chuyển động với gia tốc \(a\left( t \right) = \frac{1}{{{t^2} + 3t + 2}}\left( {{\rm{m/}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}} \right)\), trong đó \(t\) là khoảng thời gian tính từ thời điểm ban đầu. Vận tốc chuyển động của vật là \(v\left( t \right)\), vận tốc ban đầu của vật là \({v_0} = 3\ln 2\left( {{\rm{m/s}}} \right).\)
Vận tốc của vật tại thời điểm \(t\) giây là \(v\left( t \right) = \int {a\left( t \right)dt} \).
Vận tốc của vật tại thời điểm \(t\) giây là \(v\left( t \right) = \ln \left| {\frac{{t + 1}}{{t + 2}}} \right| + 4\ln 2\).
Vào thời điểm \(t = 10\;{\rm{s}}\) thì vận tốc của vật là \(2,86\;{\rm{m/s}}\).
Không có thời điểm nào vận tốc của vật đạt \(v = 4\ln 2\;\left( {{\rm{m/s}}} \right)\).
a) Đ, b) Đ, c) S, d) Đ
a) Vận tốc của vật tại thời điểm \(t\) giây là \(v\left( t \right) = \int {a\left( t \right)dt} \).
b) \(v\left( t \right) = \int {\frac{1}{{{t^2} + 3t + 2}}dt} \)\( = \int {\frac{1}{{\left( {t + 1} \right)\left( {t + 2} \right)}}dt} \)\( = \int {\left( {\frac{1}{{t + 1}} - \frac{1}{{t + 2}}} \right)dt} \)\( = \ln \left| {\frac{{t + 1}}{{t + 2}}} \right| + C\).
Mà \({v_0} = 3\ln 2\left( {{\rm{m/s}}} \right)\) nên \(\ln \frac{1}{2} + C = 3\ln 2 \Rightarrow C = 4\ln 2\).
Do đó \(v\left( t \right) = \ln \left| {\frac{{t + 1}}{{t + 2}}} \right| + 4\ln 2\).
c) Có \(v\left( {10} \right) = \ln \frac{{11}}{{12}} + 4\ln 2 \approx 2,69\;{\rm{m/s}}\).
d) \(v\left( t \right) = \ln \left| {\frac{{t + 1}}{{t + 2}}} \right| + 4\ln 2 = 4\ln 2\)\( \Rightarrow \ln \left| {\frac{{t + 1}}{{t + 2}}} \right| = 0\)\( \Rightarrow \left| {\frac{{t + 1}}{{t + 2}}} \right| = 1\)\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{{t + 1}}{{t + 2}} = 1\\\frac{{t + 1}}{{t + 2}} = - 1\end{array} \right.\) vô nghiệm.
Do đó không có thời điểm nào vận tốc của vật đạt \(v = 4\ln 2\;\left( {{\rm{m/s}}} \right)\).
Tọa độ của một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( P \right)\) là \(\left( {1;2; - 1} \right)\).
Điểm \(A\) thuộc mặt phẳng \(\left( P \right)\).
Phương trình mặt cầu tâm \(A\) và có bán kính bằng khoảng cách từ điểm \(A\) đến mặt phẳng \(\left( P \right)\) là \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = 8\).
Gọi \(\left( Q \right)\) là mặt phẳng đi qua điểm \(A\) và song song với mặt phẳng \(\left( P \right)\). Mặt phẳng \(\left( Q \right)\) có phương trình là \(x + 2y - z - 1 = 0\).
a)Đ, b) S, c) S, d) Đ
a) Tọa độ của một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( P \right)\) là \(\left( {1;2; - 1} \right)\).
b) Thay tọa độ điểm \(A\left( {1;1;2} \right)\) vào phương trình mặt phẳng \(\left( P \right):x + 2y - z + 3 = 0\) ta được
\(1 + 2.1 - 2 + 3 = 4 \ne 0\). Do đó \(A \notin \left( P \right)\).
c) Ta có \(R = d\left( {A,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {1 + 2.1 - 2 + 3} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{4}{{\sqrt 6 }}\).
Mặt cầu cần tìm là \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = \frac{{16}}{6} = \frac{8}{3}\).
d) Mặt phẳng \(\left( Q \right)//\left( P \right)\) nên ta có \(\left( Q \right):x + 2y - z + D = 0\left( {D \ne 3} \right)\).
Vì \(\left( Q \right)\) đi qua điểm \(A\) nên \(1 + 2.1 - 2 + D = 0 \Leftrightarrow D = - 1\).
Vậy \(\left( Q \right):x + 2y - z - 1 = 0\).
Đường thẳng \({d_1}\) có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {1; - 1;1} \right)\).
Mặt phẳng đi qua điểm \(A\) và vuông góc với đường thẳng \({d_2}\) có phương trình là \(3x + 3y + z - 3 = 0\).
Đường thẳng \(d\) có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_d}} = \left( {6;5;3} \right)\).
Đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(K\left( {13; - 11;9} \right)\).
a)Đ, b) S, c) S, d) Đ
a) Đường thẳng \({d_1}\) có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {1; - 1;1} \right)\).
b) Ta có \(\overrightarrow {{u_2}} = \left( {3;3; - 1} \right)\) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \({d_2}\).
Mặt phẳng đi qua điểm \(A\left( {1; - 1;3} \right)\) và vuông góc với đường thẳng \({d_2}\) nhận vectơ \(\overrightarrow {{u_2}} = \left( {3;3; - 1} \right)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là \(3\left( {x - 1} \right) + 3\left( {y + 1} \right) - \left( {z - 3} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow 3x + 3y - z + 3 = 0\).
c) Giả sử \(d \cap {d_1} = M\). Khi đó \(M\left( {2 + t; - 1 - t;1 + t} \right)\).
Đường thẳng \(d\) nhận \(\overrightarrow {AM} = \left( {1 + t; - t;t - 2} \right)\) làm vectơ chỉ phương.
Lại có \(d \bot {d_2}\) nên \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {{u_2}} = 0 \Leftrightarrow \left( {1 + t} \right).3 + \left( { - t} \right).3 + \left( {t - 2} \right).\left( { - 1} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow t = 5\).
Suy ra \(\overrightarrow {AM} = \left( {6; - 5;3} \right)\).
d) Đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(A\left( {1; - 1;3} \right)\) và có một vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {AM} = \left( {6; - 5;3} \right)\) có phương trình là \(\frac{{x - 1}}{6} = \frac{{y + 1}}{{ - 5}} = \frac{{z - 3}}{3}\).
Thay tọa độ điểm \(K\left( {13; - 11;9} \right)\) vào phương trình đường thẳng d ta được
\(\frac{{13 - 1}}{6} = \frac{{ - 11 + 1}}{{ - 5}} = \frac{{9 - 3}}{3}\) (đúng). Do đó đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(K\left( {13; - 11;9} \right)\).
\(P\left( {{A_1}} \right) = 0,39.\)
\(P\left( {B|{A_2}} \right) = 0,82.\)
\(P\left( B \right) = 0,8871.\)
\(P\left( {{A_1}|B} \right) = 0,55.\)
a) S, b) Đ, c) Đ, d) S
a) Do \({\rm{P}}\left( {{A_1}} \right) = 0,61\).
b) \({\rm{P}}\left( {B\mid {A_2}} \right) = \frac{{{\rm{P}}\left( {B \cap {A_2}} \right)}}{{{\rm{P}}\left( {{A_2}} \right)}} = 0,82\).
c) Ta có: \({\rm{P}}\left( {{A_1}} \right) = 0,61;{\rm{P}}\left( {{A_2}} \right) = 0,39;{\rm{P}}\left( {B\mid {A_1}} \right) = 0,93;{\rm{P}}\left( {B\mid {A_2}} \right) = 0,82\).
Theo công thức xác suất toàn phần, ta có:
\({\rm{P}}\left( B \right) = {\rm{P}}\left( {{A_1}} \right){\rm{.P}}\left( {B\mid {A_1}} \right) + {\rm{P}}\left( {{A_2}} \right){\rm{.P}}\left( {B\mid {A_2}} \right) = 0,61.0,93 + 0,39.0,82 = 0,8871\).
d) Theo công thức Bayes, ta có: \({\rm{P}}\left( {{A_1}\mid B} \right) = \frac{{{\rm{P}}\left( {{A_1}} \right){\rm{.P}}\left( {B\mid {A_1}} \right)}}{{{\rm{P}}\left( B \right)}} = \frac{{0,61 \cdot 0,93}}{{0,8871}} \approx 0,64\).
PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời câu 1 đến câu 6.
Cho hàm số \(f\left( x \right) = 3{\cos ^2}\frac{x}{2} + \sin x\). Biết \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của \(f\left( x \right)\) thỏa mãn \(F\left( 0 \right) = 5\). Tính giá trị \(F\left( {\frac{\pi }{4}} \right)\) (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
Trả lời: 7,53
Ta có \(F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx} = \int {\left( {3{{\cos }^2}\frac{x}{2} + \sin x} \right)} dx\)\( = \int {\left( {3\frac{{1 + \cos x}}{2} + \sin x} \right)} dx\)
\[ = \int {\left( {\frac{3}{2} + \frac{{3\cos x}}{2} + \sin x} \right)} dx\]\[ = \frac{3}{2}x + \frac{3}{2}\sin x - \cos x + C\].
Vì \(F\left( 0 \right) = 5\) nên \[F\left( 0 \right) = - 1 + C = 5 \Rightarrow C = 6\].
Do đó \[F\left( x \right) = \frac{3}{2}x + \frac{3}{2}\sin x - \cos x + 6\].
Vậy \[F\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = \frac{3}{2}.\frac{\pi }{4} + \frac{3}{2}\sin \frac{\pi }{4} - \cos \frac{\pi }{4} + 6 \approx 7,53\].
Gọi \(S\) là tập hợp các giá trị của \(a\) thỏa mãn \(I = \int\limits_1^2 {\left[ {{a^2} + \left( {4 - a} \right)x + 4{x^3}} \right]dx} = \frac{{184}}{9}\) (với \(a \in \mathbb{R}\)). Khi đó tổng các phần tử của \(S\) là bao nhiêu?
Trả lời: 1,5
\(I = \int\limits_1^2 {\left[ {{a^2} + \left( {4 - a} \right)x + 4{x^3}} \right]dx} = \frac{{184}}{9}\)
\( \Leftrightarrow \left. {\left( {{a^2}x + \left( {4 - a} \right)\frac{{{x^2}}}{2} + {x^4}} \right)} \right|_1^2 = \frac{{184}}{9}\)
\( \Leftrightarrow \left( {2{a^2} + 2\left( {4 - a} \right) + 16 - {a^2} - \frac{1}{2}\left( {4 - a} \right) - 1} \right) = \frac{{184}}{9}\)
\( \Leftrightarrow {a^2} + \frac{3}{2}\left( {4 - a} \right) + 15 = \frac{{184}}{9}\)
\( \Leftrightarrow {a^2} - \frac{3}{2}a + \frac{5}{9} = 0\)
\( \Leftrightarrow a = \frac{5}{6}\) hoặc \(a = \frac{2}{3}\). Suy ra \(S = \left\{ {\frac{5}{6};\frac{2}{3}} \right\}\)
Do đó tổng các phần tử của \(S\) là \(1,5\).
Hình sau minh họa mặt cắt đứng của một bức tường cũ có dạng hình chữ nhật với một cổng ra vào có dạng hình parabol với các kích thước được cho như trong hình đó. Người ta dự định sơn lại mặt ngoài của bức tường đó. Chi phí để sơn bức tường là 15 000 đồng/1 m2. Tổng chi phí để sơn lại toàn bộ mặt ngoài của bức tường đó sẽ là bao nhiêu nghìn đồng?
Trả lời: 1008
Ta có diện tích bức tường hình chữ nhật là \(10.8 = 80\left( {{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\).
Chọn hệ trục tọa độ \(Oxy\) sao cho gốc \(O\) trùng với chân bên trái cổng parabol như hình sau:
Giả sử \(P:y = a{x^2} + bx + c\).
Vì \(\left( P \right)\) đi qua \(\left( {0;0} \right),\left( {2;4,8} \right),\left( {4;0} \right)\) nên ta có \(\left\{ \begin{array}{l}4a + 2b + c = 4,8\\16a + 4b + c = 0\\c = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - \frac{6}{5}\\b = \frac{{24}}{5}\\c = 0\end{array} \right.\).
Do đó \(\left( P \right):y = - \frac{6}{5}{x^2} + \frac{{24}}{5}x\).
Diện tích của chiếc cổng là: \(S = \int\limits_0^4 {\left| { - \frac{6}{5}{x^2} + \frac{{24}}{5}x} \right|dx} = \frac{{64}}{5}\left( {{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\).
Suy ra diện tích cần sơn là: \(80 - \frac{{64}}{5} = 67,2\left( {{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\).
Chi phí cần để sơn là: \(67,2.15000 = 100800\) đồng = 1008 nghìn đồng.
Khi gắn hệ tọa độ \(Oxyz\) (đơn vị trên mỗi trục tính theo mét) vào một căn nhà sao cho nền nhà thuộc mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\), người ta coi mỗi mái nhà là một phần của mặt phẳng và thấy ba vị trí \(A,B,C\) ở mái nhà bên phải lần lượt có tọa độ \(\left( {2;\,0;\,4} \right)\), \(\left( {4;\,0;\,3} \right)\) và \(\left( {4;\,9;\,3} \right)\). Góc giữa mái nhà bên phải và nền nhà bằng bao nhiêu độ (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?
Trả lời: 27
Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( {2;0; - 1} \right)\), \(\overrightarrow {AC} = \left( {2;9; - 1} \right)\), \(\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {9;0;18} \right) = 9\left( {1;0;2} \right)\).
Mặt phẳng \((ABC)\) và \((Oxy)\) có vectơ pháp tuyến lần lượt là:\({\vec n_1} = (1;0;2)\),\({\vec n_2} = (0;0;1)\).
Gọi \(\alpha \) là góc giữa mặt phẳng mái nhà bên phải và nền nhà.
Ta có \(\cos \alpha = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right)} \right| = \frac{2}{{\sqrt 5 }}\). Suy ra \(\alpha \approx 27^\circ \).
Trong không gian \[Oxyz\], đài kiểm soát không lưu sân bay có tọa độ \(O\left( {0;0;0} \right)\), đơn vị trên mỗi trục tính theo kilômét. Một máy bay chuyển động hướng về đài kiểm soát không lưu, bay qua hai vị trí \(A\left( { - 500; - 250;150} \right),\,B\left( { - 200; - 200;100} \right).\)Khi máy bay ở gần đài kiểm soát nhất, tọa độ của vị trí máy bay là \(\left( {a;b;c} \right)\). Giá trị của biểu thức \(\frac{{\left( { - 3a - b - c} \right)}}{{10}}\)là bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?
Trả lời: −180
Vectơ \(\overrightarrow {AB} = \left( {300;50; - 50} \right)\) nên \(\overrightarrow u = \left( {6;1; - 1} \right)\) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(AB\). Phương trình đường thẳng \(AB\) là: \(\frac{{x + 500}}{6} = \frac{{y + 250}}{1} = \frac{{z - 150}}{{ - 1}}\).
Gọi \(H\) là hình chiếu của điểm \(O\) trên đường thẳng \(AB\)thì \(OH\) là khoảng cách ngắn nhất giữa máy bay và đài kiểm soát. Khi đó \(H\left( {6t - 500;t - 250; - t + 150} \right)\).
Ta có \(\overrightarrow {OH} .\overrightarrow u = \left( {6t - 500} \right).6 + t - 250 + \left( { - t + 150} \right).\left( { - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow t = \frac{{1700}}{9}\).
Suy ra toạ độ của vị trí máy bay khi đó là \(\left( {\frac{{1900}}{3}; - \frac{{550}}{9}; - \frac{{350}}{9}} \right)\).
Vậy \(\frac{{ - 3a - b - c}}{{10}} = - 180.\)
Có 40 tấm thẻ kích thước như nhau và đánh số thứ tự lần lượt từ 1 đến 40 (mỗi tấm thẻ chỉ ghi một số nguyên dương, hai thẻ khác nhau ghi hai số khác nhau). Một người lần lượt rút hai thẻ (rút không hoàn lại). Tính xác suất lần thứ hai rút được thẻ ghi số nguyên tố.
Trả lời: 0,3
Xét các biến cố: \(A\): “Lần thứ nhất rút ra được thẻ ghi số nguyên tố”;
\(B\): “Lần thứ hai rút được thẻ ghi số nguyên tố”.
Từ \(1\) đến \(40\) có \(12\) số nguyên tố nên \(P\left( A \right) = \frac{{12}}{{40}} = 0,3\) và \(P\left( {\overline A } \right) = 1 - 0,3 = 0,7\).
Vì rút không hoàn lại nên \(P\left( {B|A} \right) = \frac{{11}}{{39}}\), \[P\left( {B|\overline A } \right) = \frac{{12}}{{39}} = \frac{4}{{13}}\].
Theo công thức xác suất toàn phần, ta có:
\[P\left( B \right) = P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right).P\left( {B|\overline A } \right) = 0,3.\frac{{11}}{{39}} + 0,7.\frac{4}{{13}} = 0,3\].
