Đề thi cuối kì 2 Toán 12 Kết nối tri thức (có đáp án) - Đề 6
22 câu hỏi
PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12.
Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Mệnh đề nào dưới đây sai?
\(\int {\sin x{\rm{d}}x = \cos x + C} \).
\(\int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}} {\rm{d}}x = - \cot x + C\).
\(\int {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}} {\rm{d}}x = \tan x + C\).
\(\int {\cos x{\rm{d}}x = \sin x + C} \).
Đáp án đúng là: A
Áp dụng công thức nguyên hàm: \(\int {\sin x{\rm{d}}x = - \cos x + C} \).
Cho \(\int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx = - 1} \), \(\int\limits_1^2 {\left( {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right)dx = 2} \). Khi đó \(\int\limits_1^2 {g\left( x \right)dx} \) bằng
\( - 1\).
\(1\).
\( - 3\).
\(3\).
Đáp án đúng là: D
Ta có \(\int\limits_1^2 {\left( {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right)dx = 2} \)\( \Leftrightarrow \int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx + \int\limits_1^2 {g\left( x \right)dx} } = 2\)
\( \Leftrightarrow - 1 + \int\limits_1^2 {g\left( x \right)dx} = 2 \Leftrightarrow \int\limits_1^2 {g\left( x \right)dx} = 3\).
Họ các nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = 4{x^3} + 3{x^2} + 5\) là:
\(12{x^2} + 6x + C.\)
\({x^4} + {x^3} + C.\)
\({x^4} + {x^3} + 5x + C.\)
\(4{x^3} + 3{x^2} + 5x + C.\)
Đáp án đúng là: C
Ta thấy: \({\left( {{x^4} + {x^3} + 5x} \right)^\prime } = 4x{}^3 + 3{x^2} + 5 = f\left( x \right)\)
Do đó hàm số \(F\left( x \right) = x{}^4 + {x^3} + 5x\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = 4{x^3} + 3{x^2} + 5\)
Vậy họ nguyên hàm của hàm số đã cho là: \(F\left( x \right) = x{}^4 + {x^3} + 5x + C.\)
Cho hàm số \[f(x)\]có \[f\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 4\]và\(f'\left( x \right) = \frac{2}{{{{\sin }^2}x}} + 1,\forall x \in \left( {0;\pi } \right)\). Khi đó \(\int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{{3\pi }}{4}} {f\left( x \right){\rm{d}}x} \)bằng
\(\frac{{{\pi ^2}}}{2}\).
\(2\pi \).
\(\frac{{8\pi - {\pi ^2}}}{2}\).
\(\frac{{{\pi ^2} + 2\pi }}{2}\).
Đáp án đúng là: B
Ta có: \[\int {f'\left( x \right){\rm{d}}x} = \int {\left( {\frac{2}{{{{\sin }^2}x}} + 1} \right)} dx = - 2\cot x + x + C = f(x)\].
\[f\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 4 \Leftrightarrow C = 4 - \frac{\pi }{2} \Rightarrow f\left( x \right) = - 2\cot x + x + 4 - \frac{\pi }{2}\].
\(\int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{{3\pi }}{4}} {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{{3\pi }}{4}} {\left( { - 2\cot x + x + 4 - \frac{\pi }{2}} \right){\rm{d}}x} = = \left. {\left[ { - 2\ln \left( {\sin x} \right) + \frac{{{x^2}}}{2} + 4x - \frac{\pi }{2}x} \right]} \right|_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{{3\pi }}{4}} = 2\pi \).
Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = {\cos ^2}x;y = 0;x = 0;x = \frac{\pi }{4}\) bằng
\(\frac{\pi }{4} + \frac{1}{2}\).
\(\frac{\pi }{4} + 1\).
\(\frac{\pi }{8} + \frac{1}{4}\).
\(\frac{\pi }{8}\).
Đáp án đúng là: C
Diện tích hình phẳng cần tìm là:
\(S = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\left| {{{\cos }^2}x} \right|dx} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {{{\cos }^2}xdx} = \frac{1}{2}\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\left( {1 + \cos 2x} \right)dx} \)\( = \left. {\frac{1}{2}\left( {x + \frac{1}{2}\sin 2x} \right)} \right|_0^{\frac{\pi }{4}} = \frac{\pi }{8} + \frac{1}{4}\).
Cho hình phẳng \(\left( H \right)\) giới hạn bởi các đường \(y = \frac{1}{{\sqrt {x + 1} }},y = 0,x = 0,x = 2\). Quay hình phẳng \(\left( H \right)\) quanh trục hoành tạo nên một khối tròn xoay có thể tích bằng
\(\frac{\pi }{2}\left( {\sqrt 3 - 1} \right)\).
\(\pi \ln \sqrt 3 \).
\(\frac{{8\pi }}{9}\).
\(\pi \ln 3\).
Đáp án đúng là: D
Thể tích khối tròn xoay bằng \(V = \pi \int\limits_0^2 {{{\left( {\frac{1}{{\sqrt {x + 1} }}} \right)}^2}dx} = \pi \int\limits_0^2 {\frac{1}{{x + 1}}dx = } \left. {\pi \ln \left( {x + 1} \right)} \right|_0^2 = \pi \ln 3\).
Trong không gian \(Oxyz\), mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 8x + 10y - 6z + 25 = 0\) có bán kính bằng
\(\sqrt {75} \).
\(25\).
\(5\).
\(75\).
Đáp án đúng là: C
Viết lại \(\left( S \right):{\left( {x - 4} \right)^2} + {\left( {y + 5} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 25\). Vậy bán kính của mặt cầu bằng \(5\).
Trong không gian \[Oxyz\], cho 3 điểm\(A\left( {1;\, - 2;\,0} \right)\)\(B\left( {2;\, - 1;\,3} \right)\)\(C\left( {0; - \,1;\,1} \right)\) đường trung tuyến\(AM\) của tam giác \(ABC\) có phương trình là
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1}\\{y = - 2 + t}\\{z = 2t}\end{array}} \right.\).
\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 - 2t}\\{y = - 2}\\{z = - 2t}\end{array}} \right.\].
x=1+ty=−2z=−2t
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + 2t}\\{y = - 2 + t}\\{z = 2t}\end{array}} \right.\).
Đáp án đúng là: A
Trung điểm \[M\] của \[\;BC\] có tọa độ là: \(M\left( {1; - 1;2} \right)\).
Trung tuyến \(AM\) của tam giác \(ABC\)đi qua điểm\(A\left( {1;\, - 2;\,0} \right)\) và nhận \(\overrightarrow {AM} = \left( {0;\,1;\,2} \right)\) làm vectơ chỉ phương có phương trình là \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1}\\{y = - 2 + t}\\{z = 2t}\end{array}} \right.\).
Cho hai mặt phẳng \(\left( {{P_1}} \right): - \sqrt 3 x + z + 5 = 0\) và \(\left( {{P_2}} \right):\sqrt 3 x + z - 2 = 0\). Tính góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {{P_1}} \right)\) và \(\left( {{P_2}} \right)\).
\(70^\circ \).
\[45^\circ \].
\[30^\circ \].
\(60^\circ \).
Đáp án đúng là: D
Ta có \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( { - \sqrt 3 ;0;1} \right),\overrightarrow {{n_2}} = \left( {\sqrt 3 ;0;1} \right)\) lần lượt là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( {{P_1}} \right),\left( {{P_2}} \right)\).
Suy ra \(\cos \left( {\left( {{P_1}} \right),\left( {{P_2}} \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right)} \right| = \frac{{\left| { - \sqrt 3 .\sqrt 3 + 0.0 + 1.1} \right|}}{{\sqrt 4 .\sqrt 4 }} = \frac{1}{2}\).
Do đó \(\left( {\left( {{P_1}} \right),\left( {{P_2}} \right)} \right) = 60^\circ \).
Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\), phương trình mặt cầu có tâm \(I\left( { - 3;1;2} \right)\), bán kính \(R = 3\) là
\({\left( {x + 3} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = 3\).
\({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = 9\).
\({\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = 9\).
\({\left( {x + 3} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = 9\).
Đáp án đúng là: D
Phương trình mặt cầu có tâm \(I\left( { - 3;1;2} \right)\), bán kính \(R = 3\) là \({\left( {x + 3} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = 9\).
Cho hai biến cố \(A,B\) có xác suất \(P\left( A \right) = 0,4;P\left( B \right) = 0,6;P\left( {AB} \right) = 0,2\). Tính xác suất \(P\left( {A|B} \right)\).
\(\frac{1}{3}\).
\[\frac{1}{2}\].
\[0,3\].
\(0,25\).
Đáp án đúng là: A
Ta có \(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( {AB} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{0,2}}{{0,6}} = \frac{1}{3}\).
Cho \(P\left( A \right) = \frac{2}{5};P\left( {B|A} \right) = \frac{1}{3};P\left( {B|\overline A } \right) = \frac{1}{4}\). Giá trị của \(P\left( B \right)\) là
\(\frac{{19}}{{60}}\).
\(\frac{{17}}{{60}}\).
\(\frac{9}{{20}}\).
\(\frac{7}{{30}}\).
Đáp án đúng là: B
Có \(P\left( {\overline A } \right) = 1 - P\left( A \right) = 1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}\).
Có \(P\left( B \right) = P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right).P\left( {B|\overline A } \right)\)\( = \frac{2}{5}.\frac{1}{3} + \frac{3}{5}.\frac{1}{4} = \frac{{17}}{{60}}\).
PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Một ô tô đang chạy với vận tốc 20 m/s thì người ta nhìn thấy chướng ngại vật nên đạp phanh. Từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc \(v\left( t \right) = - 2t + 20\), trong đó \(t\) là thời gian (tính bằng giây) kể từ lúc đạp phanh.
Ô tô dừng lại sau 10 giây.
Quãng đường \(s\left( t \right)\) mà xe ô tô đi được trong thời gian \(t\) giây là một nguyên hàm của hàm số \(v\left( t \right)\).
Từ thời điểm đạp phanh đến khi dừng lại, ô tô đi được quãng đường là 90 m.
Quãng đường mà ô tô đi được trong 15 giây cuối bằng 125 m.
a)Đ, b) Đ, c) S, d) S
a) Ô tô dừng lại khi \(v\left( t \right) = - 2t + 20 = 0 \Leftrightarrow t = 10\) giây.
b) Có \(s\left( t \right) = \int {v\left( t \right)dt} \).
c) Quãng đường ô tô đi được từ lúc đạp phanh đến khi dừng là
\(S = \int\limits_0^{10} {\left( { - 2t + 20} \right)dt} = 100\)m.
d) Quãng đường mà ô tô đi được trong 15 giây cuối (bao gồm 5 giây đi với vận tốc 20 m/s và 10 giây đi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn) là \(20.5 + 100 = 200\)m.
Trong không gian \(Oxyz\), cho đường thẳng \(d:\frac{{x + 1}}{1} = \frac{{y + 3}}{2} = \frac{{z + 2}}{2}\) và điểm \(A\left( {3;2;0} \right)\).
Đường thẳng \(\left( d \right)\) đi qua điểm \(A\left( {3;2;0} \right)\).
Đường thẳng \(\left( d \right)\) có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \left( { - 1; - 3; - 2} \right)\).
\(H\left( {1;1;2} \right)\) là hình chiếu của \(A\) lên đường thẳng \(d\).
\(A'\left( { - 1;0;4} \right)\) là điểm đối xứng với \(A\) qua đường thẳng \(d\).
a)S, b) S, c) Đ, d) Đ
a) Thay tọa độ điểm \(A\left( {3;2;0} \right)\) vào phương trình đường thẳng \(d:\frac{{x + 1}}{1} = \frac{{y + 3}}{2} = \frac{{z + 2}}{2}\) ta được
\(d:\frac{{3 + 1}}{1} = \frac{{2 + 3}}{2} = \frac{{0 + 2}}{2}\) (vô lí).
Vậy đường thẳng \(\left( d \right)\) không đi qua điểm \(A\left( {3;2;0} \right)\).
b) Đường thẳng \(\left( d \right)\) có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {1;2;2} \right)\).
c) Gọi \(\left( P \right)\) là mặt phẳng đi qua \(A\left( {3;2;0} \right)\) và vuông góc với đường thẳng \(\left( d \right)\) nên mặt phẳng \(\left( P \right)\) nhận \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {1;2;2} \right)\)làm vectơ pháp tuyến.
Mặt phẳng \(\left( P \right)\) có dạng: \(x + 2y + 2z - 7 = 0\).
H là hình chiếu của \(A\) lên đường thẳng \(d\) nên tọa độ điểm \(H\) là nghiệm của hệ
\(\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + t\\y = - 3 + 2t\\z = - 2 + 2t\\x + 2y + 2z - 7 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + t\\y = - 3 + 2t\\z = - 2 + 2t\\ - 1 + t + 2\left( { - 3 + 2t} \right) + 2\left( { - 2 + 2t} \right) - 7 = 0\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + t\\y = - 3 + 2t\\z = - 2 + 2t\\9t = 18\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 1\\z = 2\\t = 2\end{array} \right.\). Suy ra \(H\left( {1;1;2} \right)\).
d) Vì \(A'\) là điểm đối xứng với \(A\) qua đường thẳng \(d\) nên H là trung điểm của \(AA'\).
Do đó \(\left\{ \begin{array}{l}{x_{A'}} = 2{x_H} - {x_A}\\{y_{A'}} = 2{y_H} - {y_A}\\{z_{A'}} = 2{z_H} - {z_A}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{A'}} = 2.1 - 3\\{y_{A'}} = 2.1 - 2\\{z_{A'}} = 2.2 - 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{A'}} = - 1\\{y_{A'}} = 0\\{z_{A'}} = 4\end{array} \right.\). Suy ra \(A'\left( { - 1;0;4} \right)\).
Trong không gian \(Oxyz\), cho điểm \(A\left( {2;1;0} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):2x + y - 2z + 1 = 0\).
Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( P \right)\) là \(\overrightarrow n = \left( {2;1; - 2} \right)\).
Điểm \(A\) thuộc mặt phẳng \(\left( P \right)\).
Khoảng cách từ điểm \(A\) đến mặt phẳng \(\left( P \right)\) bằng \(3\).
Phương trình mặt cầu tâm \(A\) và tiếp xúc với mặt phẳng \(\left( P \right)\) là \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {z^2} = 9\).
a)Đ, b) S, c) S, d) S
a) Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( P \right)\) là \(\overrightarrow n = \left( {2;1; - 2} \right)\).
b) Thay tọa độ điểm \(A\left( {2;1;0} \right)\) vào mặt phẳng \(\left( P \right):2x + y - 2z + 1 = 0\) ta được \(2.2 + 1 - 2.0 + 1 = 4 \ne 0\).
Do đó điểm \(A\) không thuộc mặt phẳng \(\left( P \right)\).
c) \(d\left( {A,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {2.2 + 1 - 2.0 + 1} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = \frac{4}{3}\).
d) Phương trình mặt cầu tâm \(A\) và tiếp xúc với mặt phẳng \(\left( P \right)\) là \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {z^2} = \frac{{16}}{9}.\)
Trong một hộp có 20 viên bi xanh và 4 viên bi đỏ, các viên bi đều có hình dạng và kích thước giống nhau. Một học sinh lấy ngẫu nhiên lần lượt 2 viên bi (lấy không hoàn lại) trong hộp.
Xác suất để lần thứ nhất lấy được viên bi đỏ là \(\frac{1}{5}\).
Xác suất để lần thứ hai lấy được viên bi đỏ, biết lần thứ nhất lấy được viên bi đỏ là \(\frac{3}{{23}}\).
Xác suất để cả hai lần đều lấy được viên bi đỏ là \(\frac{1}{{46}}\).
Xác suất để ít nhất một lần lấy được viên bi xanh là \(\frac{{45}}{{46}}\).
a)S, b) Đ, c) Đ, d) Đ
Gọi A là biến cố “Lấy được viên bi đỏ ở lần thứ nhất”
B là biến cố “Lấy được viên bi đỏ ở lần thứ hai”
a) Xác suất để lần thứ nhất lấy được viên bi đỏ là \(P\left( A \right) = \frac{4}{{24}} = \frac{1}{6}\).
b) Xác suất để lần thứ hai lấy được viên bi đỏ, biết lần thứ nhất lấy được viên bi đỏ là
\(P\left( {B|A} \right) = \frac{3}{{23}}\).
c) Xác suất để cả hai lần đều lấy được viên bi đỏ là \(P\left( {A \cap B} \right) = P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) = \frac{1}{6}.\frac{3}{{23}} = \frac{1}{{46}}\).
d) Xác suất để ít nhất một lần lấy được viên bi xanh là \(1 - \frac{1}{{46}} = \frac{{45}}{{46}}\).
PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời câu 1 đến câu 6.
Cho \(\int\limits_a^b {\left| x \right|dx} = m{a^2} + n{b^2}\) với \(m,\,n,\,a,\,b,\) là các hằng số thực và \(a < 0 < b\). Giá trị của biểu thức \(m + n\) bằng bao nhiêu?
Trả lời: 1
Ta có: \[\int\limits_a^b {\left| x \right|{\rm{d}}x} = \int\limits_a^0 {\left( { - x} \right){\rm{d}}x} + \int\limits_0^b {x{\rm{d}}x} = \left. {\frac{{ - {x^2}}}{2}} \right|_a^0 + \left. {\frac{{{x^2}}}{2}} \right|_0^b = \frac{1}{2}{a^2} + \frac{1}{2}{b^2}\].
Suy ra \(m + n = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1\).
Gọi \[{H_1};{H_2};{H_3};{H_4}\]là các hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số liên tục \[y = f(x)\]và trục hoành với \[x\]lần lượt thuộc các đoạn \[\left[ {1;2} \right],\left[ {2;3} \right],\left[ {3;4} \right],\left[ {4;5} \right]\](tham khảo hình vẽ). Biết rằng các hình \[{H_1};{H_2};{H_3};{H_4}\] lần lượt có diện tích bằng\[\frac{9}{4},\frac{{11}}{{12}},\frac{{11}}{{12}},\frac{9}{4}.\] Giá trị \[\int\limits_1^5 {f(x)dx} \] bằng bao nhiêu?
Trả lời: 0
Ta có: \(\int\limits_1^5 {f\left( x \right)} {\rm{d}}x = \int\limits_1^2 {f\left( x \right)} {\rm{d}}x + \int\limits_2^3 {f\left( x \right)} {\rm{d}}x + \int\limits_3^4 {f\left( x \right)} {\rm{d}}x + \int\limits_4^5 {f\left( x \right)} {\rm{d}}x\)
\( = \int\limits_1^2 {\left| {f\left( x \right)} \right|} {\rm{d}}x - \int\limits_2^3 {\left| {f\left( x \right)} \right|} {\rm{d}}x + \int\limits_3^4 {\left| {f\left( x \right)} \right|} {\rm{d}}x - \int\limits_4^5 {\left| {f\left( x \right)} \right|} {\rm{d}}x\)
\( = {S_{{H_1}}} - {S_{{H_2}}} + {S_{{H_3}}} - {S_{{H_4}}} = \frac{9}{4} - \frac{{11}}{{12}} + \frac{{11}}{{12}} - \frac{9}{4} = 0\).
Một thùng rượu vang có dạng khối tròn xoay với bán kính mặt đáy và mặt ở trên là 33 cm, bán kính mặt cắt ở chính giữa thùng là 43 cm. Chiều cao của thùng rượu là 112 cm, bao gồm phần thân thùng rượu, hai đế đỡ thùng rượu (mỗi đế cao 3 cm) và thùng rượu được ghép từ các thanh gỗ sồi với độ dày mỗi thanh gỗ là 3 cm (Hình a). Hình b mô phỏng phần bên trong thùng rượu có dạng một khối tròn xoay tạo thành khi quay một phần của parabol \(\left( P \right):y = a{x^2} + bx + c\) quanh trục hoành (mỗi đơn vị ứng với với 10 cm).
Thùng đó chứa được tối đa bao nhiêu lít rượu? (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).
Trả lời: 425
Dựa vào hình vẽ, ta thấy đồ thị hàm số \(\left( P \right):y = a{x^2} + bx + c\) đi qua các điểm \(\left( {0;40} \right),\left( {50;30} \right),\left( { - 50;30} \right)\) nên ta có hệ
\(\left\{ \begin{array}{l}2500a + 50b + c = 30\\2500a - 50b + c = 30\\c = 40\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - \frac{1}{{250}}\\b = 0\\c = 40\end{array} \right.\). Suy ra \(\left( P \right):y = - \frac{1}{{250}}{x^2} + 40\).
Ta có \(V = \pi \int\limits_{ - 50}^{50} {{{\left( { - \frac{1}{{250}}{x^2} + 40} \right)}^2}dx} \approx 425162\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}} \approx 425\) lít.
Trong một khung lưới ô vuông gồm các hình lập phương, xét các đường thẳng đi qua hai nút lưới (mỗi nút lưới là đỉnh của hình lập phương), người ta đưa ra một cách kiểm tra độ lệch về phương của hai dường thẳng bằng cách gắn hệ tọa độ \(Oxyz\) vào khung lưới ô vuông và tìm vectơ chỉ phương của hai đường thẳng đó. Giả sử, đường thẳng \(a\) đi qua hai nút lưới \(M\left( {1;1;2} \right)\) và \(N\left( {0;3;0} \right)\), đường thẳng \(b\) đi qua hai nút lưới \(P\left( {1;0;3} \right)\) và \[Q\left( {3;3;9} \right)\]. Sau khi làm tròn đến hàng đơn vị của độ thì góc giữa hai đường thẳng \(a\) và \(b\) bằng \(n^\circ \) (\(n\) là số tự nhiên). Giá trị của \(n\) bằng bao nhiêu?
Trả lời: 68
Ta có: \(\overrightarrow {MN} = \left( { - 1\,;\,2\,;\, - 2} \right),\,\,\overrightarrow {PQ} = \left( {2\,;\,3\,;\,6} \right)\). Khi đó:
\(cos\left( {a\,,\,b} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow {MN} .\overrightarrow {PQ} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {MN} } \right|.\left| {\overrightarrow {PQ} } \right|}} = \frac{8}{{21}}\), suy ra \(\left( {a\,,\,b} \right) \approx 68^\circ \).
Khi đặt hệ tọa độ \[Oxyz\]vào không gian với đơn vị trên trục tính theo kilômét, người ta thấy rằng một không gian phủ sóng điện thoại có dạng một hình cầu (S) (tập hợp những điểm nằm trong và nằm trên mặt cầu tương ứng). Biết mặt cầu (S) có phương trình: \[{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 4y - 6z + 5 = 0\]. Khoảng cách xa nhất giữa hai vùng phủ sóng là bao nhiêu kilômét?
Trả lời: 6
Ta có: \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 4y - 6z + 5 = 0 \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = {3^2}\).
Khoảng cách xa nhất giữa hai điểm thuộc vùng phủ sóng là đường kính của mặt cầu, tức là \(6\)km.
Tỉ lệ người dân đã tiêm vắc xin phòng bệnh A ở một địa phương là 65%. Trong số những người đã tiêm phòng, tỉ lệ mắc bệnh A là 5% còn trong số những người chưa tiêm, tỉ lệ mắc bệnh A là 17%. Gặp ngẫu nhiên một người ở địa phương đó. Biết rằng người đó mắc bệnh A. Khi đó xác suất người đó không tiêm vắc xin phòng bệnh A có dạng \(\frac{a}{b}\). Giá trị \(b - a\) là?
Trả lời: 65
Gọi A là biến cố “Người đó đã tiêm vắc xin phòng bệnh A”.
B là biến cố “Người đó mắc bệnh A”.
Theo đề ta có \(P\left( A \right) = 0,65 \Rightarrow P\left( {\overline A } \right) = 0,35\); \(P\left( {B|A} \right) = 0,05\); \(P\left( {B|\overline A } \right) = 0,17\).
Ta có \(P\left( B \right) = P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right).P\left( {B|\overline A } \right) = 0,65.0,05 + 0,35.0,17 = 0,092\).
Suy ra \(P\left( {\overline A |B} \right) = \frac{{P\left( {\overline A } \right).P\left( {B|\overline A } \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{0,35.0,17}}{{0,092}} = \frac{{119}}{{184}}\).
Suy ra \(b - a = 65\).
