Đề thi cuối kì 2 Toán 12 Kết nối tri thức (có đáp án) - Đề 3
22 câu hỏi
PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12.
Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Nếu \(F\left( x \right) = {x^3} - 7x + 2{e^x} + C\) (\(C\) là hằng số) thì \(F\left( x \right)\) là họ nguyên hàm của hàm số nào sau đây?
\(f\left( x \right) = \frac{{{x^4}}}{4} - \frac{{7{x^2}}}{2} + {e^{2x}}\).
\(f\left( x \right) = 3{x^2} - 7 + 2x{e^x}\).
\(f\left( x \right) = 3{x^2} - 7 + 2{e^x}\).
\(f\left( x \right) = \frac{{{x^4}}}{4} - \frac{{7{x^2}}}{2} + 2{e^x}\).
Đáp án đúng là: C
\(F\left( x \right)\) là họ nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\) nên \(f\left( x \right) = F'\left( x \right) = 3{x^2} - 7 + 2{e^x}\).
Cho hàm số \(f\left( x \right) = 1 - \frac{1}{{{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}2x}}\). Khẳng định nào dưới đây đúng?
\(\smallint f\left( x \right){\rm{d}}x = x + {\rm{tan}}2x + C\).
\(\smallint f\left( x \right){\rm{d}}x = x + \frac{1}{2}{\rm{cot}}2x + C\).
\(\smallint f\left( x \right){\rm{d}}x = x - \frac{1}{2}{\rm{tan}}2x + C\).
\(\smallint f\left( x \right){\rm{d}}x = x + \frac{1}{2}{\rm{tan}}2x + C\).
Đáp án đúng là: C
\(\smallint \;f\left( x \right){\rm{d}}x = \smallint \;\left( {1 - \frac{1}{{{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}2x}}} \right){\rm{d}}x = \smallint \;{\rm{d}}x - \frac{1}{2}\smallint \;\frac{{{\rm{d}}\left( {2x} \right)}}{{{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}2x}} = x - \frac{1}{2}{\rm{tan}}2x + C{\rm{.\;}}\)
Trong không gian \(Oxyz\), phương trình của mặt phẳng \(\left( {Oyz} \right)\) là:
\(z = 0\).
\(x = 0\).
\(x + y + z = 0\).
\(y = 0\).
Đáp án đúng là: B
Phương trình của mặt phẳng \(\left( {Oyz} \right)\) là: \(x = 0\).
Trong không gian \[Oxyz\] cho mặt phẳng \((P):x - 2y + 3z - 1 = 0\). Một vectơ pháp tuyến của \((P)\) là
\(\overrightarrow n = (1;2;3)\).
\(\overrightarrow n = (1;3; - 2)\).
\(\overrightarrow n = (1; - 2;3)\).
\(\overrightarrow n = (1; - 2; - 1)\).
Đáp án đúng là: C
Từ phương trình mặt phẳng \((P):x - 2y + 3z - 1 = 0\) suy ra một vectơ pháp tuyến của \((P)\) là \(\overrightarrow n = (1; - 2;3)\).
Trong không gian với hệ tọa độ \[Oxyz\], cho đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 3 - t\\z = 3t\end{array} \right.\). Điểm nào trong các điểm sau đây không nằm trên \[d\]?
\[Q\left( {5\,;\,1\,;6} \right)\].
\[M\left( {3\,;\,2\,; - 3} \right)\].
\[N\left( {3\,;\,2\,;\,3} \right)\].
\[P\left( {1\,;\,3\,;\,0} \right)\].
Đáp án đúng là: B
Thay tọa độ điểm \[M\left( {3\,;\,2\,; - 3} \right)\] vào phương trình của \[d\] ta được hệ:
\[\left\{ \begin{array}{l}3 = 1 + 2t\\2 = 3 - t\\ - 3 = 3t\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = 1\\t = - 1\end{array} \right.\].
Vậy điểm \[M\left( {3\,;\,2\,; - 3} \right)\] không nằm trên \[d\].
Trong không gian \(Oxyz\), cho đường thẳng \(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2 + t}\\{y = 1 - 2t}\\{x = - 1 + 3t}\end{array}} \right.\). Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của \(d\)?
\(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {2;1; - 1} \right)\).
\(\overrightarrow {{u_2}} = \left( {1;2;3} \right)\).
\(\overrightarrow {{u_3}} = \left( {1; - 2;3} \right)\).
\(\overrightarrow {{u_4}} = \left( {2;1;1} \right)\).
Đáp án đúng là: C
Ta có \(\overrightarrow {{u_3}} = \left( {1; - 2;3} \right)\) là một vectơ chỉ phương của \(d\).
Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {(y - 2)^2} + {(z + 1)^2} = 6\). Đường kính của \(\left( S \right)\) bằng:
\(R = \sqrt 6 \).
12.
\(R = 2\sqrt 6 \).
3.
Đáp án đúng là: C
Ta có bán kính mặt cầu \(R = \sqrt 6 \). Suy ra đường kính mặt cầu bằng \(2R = 2\sqrt 6 \).
Trong không gian \(Oxyz\), cho ba điểm \(A\left( {3\,; - 1\,\,;2} \right)\), \(B\left( {0\,;\,1\,;\,3} \right)\) và \(C\left( { - 1;\,1\,;1} \right)\). Đường thẳng đi qua \(C\) và song song với đường thẳng \(AB\) có phương trình là:
\(\frac{{x + 3}}{{ - 1}} = \frac{{y - 2}}{1} = \frac{{z - 1}}{1}\).
\(\frac{{x - 3}}{{ - 1}} = \frac{{y + 2}}{1} = \frac{{z + 1}}{1}\).
\(\frac{{x - 1}}{{ - 3}} = \frac{{y + 1}}{2} = \frac{{z + 1}}{1}\).
\(\frac{{x + 1}}{{ - 3}} = \frac{{y - 1}}{2} = \frac{{z - 1}}{1}\).
Đáp án đúng là: D
Đường thẳng đi qua \(C\left( { - 1;\,1\,;1} \right)\) và song song với đường thẳng \(AB\) thì nhận vectơ \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 3\,;2\,;1} \right)\) làm vectơ chỉ phương.
Phương trình đường thẳng cần tìm là: \(\frac{{x + 1}}{{ - 3}} = \frac{{y - 1}}{2} = \frac{{z - 1}}{1}\).
Trong không gian với hệ tọa độ \[Oxyz\], cho hai đường thẳng \[{d_1}:\left\{ \begin{array}{l}x = \,t\\y = 1 - 2t\\z = - 3t\end{array} \right.\,\,\] và đường thẳng \[{d_2}:\frac{x}{{ - 4}} = \frac{{y - 1}}{1} = \frac{{z + 1}}{5}\]. Góc giữa hai đường thẳng \[{d_1},\,\,{d_2}\] là
\[30^\circ \].
\[45^\circ \].
\[90^\circ \].
\[60^\circ \].
Đáp án đúng là: A
Ta có \[\left\{ \begin{array}{l}{\overrightarrow u _{_{{d_1}}}} = \left( {1;\, - 2;\, - 3} \right)\\{{\vec u}_{{d_2}}} = \left( { - 4;\,1;\,5} \right)\end{array} \right.\].
\[\cos \left( {{d_1},{d_2}} \right) = \frac{{\left| {{{\vec u}_{{d_1}}}.{{\vec u}_{{d_2}}}} \right|}}{{\left| {{{\vec u}_{{d_1}}}} \right|.\left| {{{\vec u}_{{d_2}}}} \right|}} = \frac{{\left| { - 4 - 2 - 15} \right|}}{{\sqrt {1 + 4 + 9} .\sqrt {16 + 1 + 25} }} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\].
Suy ra \[\left( {{d_1},{d_2}} \right) = 30^\circ \].
Trong không gian \[Oxyz\], phương trình mặt cầu có tâm \(I\left( {1; - 4;3} \right)\), bán kính \(R = 3\sqrt 2 \) là
\({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 4} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 3\sqrt 2 \).
\({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 4} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 18\).
\({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 18\).
\({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = 18\).
Đáp án đúng là: B
Phương trình mặt cầu là:
\({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 4} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = {\left( {3\sqrt 2 } \right)^2}\)\( \Leftrightarrow \)\({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 4} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 18\).
Cho hai biến cố \(A\) và \(B\) thỏa mãn \(P\left( A \right) = 0,4;P\left( B \right) = 0,6;P\left( {A \cap B} \right) = 0,2\). Tính \(P\left( {A|B} \right)\).
\[\frac{1}{3}\].
\[\frac{1}{2}\].
\[\frac{1}{6}\].
\[\frac{1}{4}\].
Đáp án đúng là: A
Ta có \(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( {A \cap B} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{0,2}}{{0,6}} = \frac{1}{3}\).
Cho \(A,B\) là các biến cố của một phép thử \(T.\) Biết rằng \(P\left( B \right) > 0,\) xác suất của biến cố \(A\) với điều kiện biến cố \(B\) đã xảy ra được tính theo công thức nào sau đây?
\(P\left( {\left. A \right|B} \right) = \frac{{P\left( A \right)}}{{P\left( B \right)}}.\)
\(P\left( {\left. A \right|B} \right) = \frac{{P\left( A \right).P\left( {\left. B \right|A} \right)}}{{P\left( B \right)}}.\)
\(P\left( {\left. A \right|B} \right) = \frac{{P\left( B \right).P\left( {\left. B \right|A} \right)}}{{P\left( A \right)}}.\)
\(P\left( {\left. A \right|B} \right) = \frac{{P\left( B \right)}}{{P\left( A \right)}}.\)
Đáp án đúng là: B
Theo công thức Bayes, ta có \(P\left( {\left. A \right|B} \right) = \frac{{P\left( A \right).P\left( {\left. B \right|A} \right)}}{{P\left( B \right)}}.\)
PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ { - 3;3} \right]\).
\(\int\limits_{ - 3}^3 {f\left( x \right)} dx = f\left( 3 \right) - f\left( { - 3} \right)\).
\(\int\limits_{ - 3}^3 {\left| {f\left( x \right)} \right|} dx = \int\limits_{ - 3}^0 { - f\left( x \right)dx} + \int\limits_0^3 {f\left( x \right)dx} \).
Nếu \(\int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx} = 4\) và \(\int\limits_1^3 { - f\left( x \right)dx} = 10\) thì \(\int\limits_2^3 {f\left( x \right)dx} = 14\).
Nếu \(\int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx} = 4\) và \(\int\limits_1^2 {\left[ {kx - f\left( x \right)} \right]dx} = - 1\) thì \(k = 5\).
a)S, b) S, c) S, d) S
a) \(\int\limits_{ - 3}^3 {f\left( x \right)} dx = F\left( 3 \right) - F\left( { - 3} \right)\).
b) \(\int\limits_{ - 3}^3 {\left| {f\left( x \right)} \right|} dx = \int\limits_{ - 3}^0 {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} + \int\limits_0^3 {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} \).
c) Có \(\int\limits_1^3 {f\left( x \right)dx} = \int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_2^3 {f\left( x \right)dx} \)\( \Rightarrow \int\limits_2^3 {f\left( x \right)dx} = \int\limits_1^3 {f\left( x \right)dx} - \int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx} \)
\( \Rightarrow \int\limits_2^3 {f\left( x \right)dx} = - 10 - 4 = - 14\).
d) \(\int\limits_1^2 {\left[ {kx - f\left( x \right)} \right]dx} = \int\limits_1^2 {kxdx} - \int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx} \)\( = \left. {\frac{{k{x^2}}}{2}} \right|_1^2 - 4 = \frac{3}{2}k - 4 = - 1 \Rightarrow k = 2\).
Cho đồ thị hàm số \(y = {e^x}\) và hình được tô màu như hình bên dưới
Hình phẳng được tô màu giới hạn bởi 3 đường.
Diện tích hình phẳng được tính bởi công thức \(S = \int\limits_{ - 1}^1 {{{\left( {{e^x}} \right)}^2}dx} \).
Diện tích hình phẳng \(S = e - \frac{1}{e}\).
Thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng đó quanh trục \(Ox\) là \(V = \frac{1}{2}\pi \left( {{e^2} - \frac{1}{{{e^2}}}} \right)\).
a) S, b) S, c) Đ, d) Đ
a) Hình phẳng được tô màu giới hạn bởi 4 đường: \(y = {e^x};y = 0;x = - 1;x = 1\).
b) \(S = \int\limits_{ - 1}^1 {\left| {{e^x}} \right|dx} = \int\limits_{ - 1}^1 {{e^x}dx} \).
c) \(S = \int\limits_{ - 1}^1 {{e^x}dx} = \left. {{e^x}} \right|_{ - 1}^1 = e - \frac{1}{e}\).
d) \(V = \pi \int\limits_{ - 1}^1 {{{\left( {{e^x}} \right)}^2}dx} \)\( = \left. {\frac{\pi }{2}{e^{2x}}} \right|_{ - 1}^1 = \frac{\pi }{2}\left( {{e^2} - \frac{1}{{{e^2}}}} \right)\).
Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\), cho điểm \(A\left( {0; - 1;1} \right)\) và hai vectơ \(\overrightarrow u = \left( { - 1;0;2} \right)\) và \(\overrightarrow v = \left( {2;1;0} \right)\).
Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua \(A\) nhận \(\overrightarrow u \) làm vectơ pháp tuyến có phương trình \( - x + 2z - 2 = 0\).
Mặt phẳng \(\left( Q \right)\) đi qua \(A\) và nhận \(\overrightarrow u ,\overrightarrow v \) làm cặp vectơ chỉ phương có phương trình là \(2x - 4y - z - 3 = 0\).
Mặt phẳng đi qua ba điểm \(A,B\left( { - 3;1;2} \right),C\left( {1;0;1} \right)\) có phương trình là \(x - y + 5z - 6 = 0\).
Gọi \(M\)là giao điểm của \(\left( P \right)\) và trục \(Ox\), \(N\) là giao điểm của \(\left( Q \right)\) và trục \(Oz\). Mặt phẳng đi qua ba điểm \(A,M,N\) có phương trình là \(3x + 8y + 2z + 6 = 0\).
a)Đ, b) S, c) Đ, d) S
a) Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua \(A\) nhận \(\overrightarrow u \) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là:
\( - x + 2\left( {z - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow - x + 2z - 2 = 0\).
b) Ta có \(\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right] = \left( { - 2;4; - 1} \right)\).
Mặt phẳng \(\left( Q \right)\) đi qua \(A\) và nhận \(\overrightarrow n = \left( { - 2;4; - 1} \right)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là
\( - 2x + 4\left( {y + 1} \right) - \left( {z - 1} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow - 2x + 4y - z + 5 = 0\).
c) Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 3;2;1} \right),\overrightarrow {AC} = \left( {1;1;0} \right),\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( { - 1;1; - 5} \right)\).
Mặt phẳng đi qua ba điểm \(C\left( {1;0;1} \right)\) nhận \(\overrightarrow n = \left( { - 1;1; - 5} \right)\) có phương trình là
\( - \left( {x - 1} \right) + y - 5\left( {z - 1} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow - x + y - 5z + 6 = 0\)\( \Leftrightarrow x - y + 5z - 6 = 0\).
d) Ta có \(P\left( { - 2;0;0} \right)\), \(N\left( {0;0;5} \right)\), \(A\left( {0; - 1;1} \right)\).
Ta có \(\overrightarrow {AP} = \left( { - 2;1; - 1} \right),\overrightarrow {AN} = \left( {0;1;4} \right),\left[ {\overrightarrow {AP} ,\overrightarrow {AQ} } \right] = \left( {5;8; - 2} \right)\).
Mặt phẳng đi qua \(P\left( { - 2;0;0} \right)\) và nhận \(\overrightarrow n = \left( {5;8; - 2} \right)\) có phương trình là:
\(5\left( {x + 2} \right) + 8y - 2z = 0\)\( \Leftrightarrow 5x + 8y - 2z + 10 = 0\).
Người ta khảo sát khả năng chơi nhạc cụ của một nhóm học sinh tại trường X. Nhóm này có 60% học sinh là nam. Kết quả khảo sát cho thấy có 20% học sinh nam và 15% học sinh nữ biết chơi ít nhất một nhạc cụ. Chọn ngẫu nhiên một học sinh trong nhóm này. Gọi \(A\) là biến cố “Chọn được một học sinh biết chơi ít nhất một nhạc cụ” và \(B,\overline B \) lần lượt là các biến cố “Chọn được một học sinh nam” và “Chọn được một học sinh nữ”.
Xác suất \(P\left( B \right) = 60\% = 0,6\).
\(P\left( {A|B} \right) = 0,8\).
\(P\left( {A|\overline B } \right) = 0,15\).
Xác suất để chọn được học sinh biết chơi ít nhất một nhạc cụ là \(18\% \).
a) Đ, b) S, c) Đ, d) Đ
a) Theo đề ta có \(P\left( B \right) = 60\% = 0,6\).
b) \(P\left( {A|B} \right) = 0,2\).
c) \(P\left( {A|\overline B } \right) = 0,15\).
d) \(P\left( A \right) = P\left( B \right).P\left( {A|B} \right) + P\left( {\overline B } \right).P\left( {A|\overline B } \right) = 0,6.0,2 + 0,4.0,15 = 0,18 = 18\% \).
PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời câu 1 đến câu 6.
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\). Gọi \(F\left( x \right),G\left( x \right)\) là hai nguyên hàm của \(f\left( x \right)\) trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn \(2F\left( 0 \right) - G\left( 0 \right) = 1\), \(F\left( 2 \right) - 2G\left( 2 \right) = 4\) và \(F\left( 1 \right) - G\left( 1 \right) = - 1\). Tính \(\int\limits_1^{{e^2}} {\,\frac{{f\left( {\ln x} \right)}}{{2x}}} \,{\rm{d}}x\).
Trả lời: −4
Ta có: \(G\left( x \right) = F\left( x \right) + C\)
\[\left\{ \begin{array}{l}2F\left( 0 \right) - G\left( 0 \right) = 1\\F\left( 2 \right) - 2G\left( 2 \right) = 4\\F\left( 1 \right) - G\left( 1 \right) = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}F(0) - C = 1\\ - F(2) - 2C = 4\\C = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}F(0) = 2\\F(2) = - 6\\C = 1\end{array} \right.\].
Do đó \(\int\limits_0^2 f \left( x \right){\rm{d}}x = F\left( 2 \right) - F\left( 0 \right) = - 8\).
Vậy \(\int\limits_1^{{e^2}} {\,\frac{{f\left( {\ln x} \right)}}{{2x}}} \,{\rm{d}}x = \int\limits_1^{{e^2}} {\,\frac{{f\left( {\ln x} \right)}}{2}} \,{\rm{d}}\left( {\ln x} \right) = \frac{1}{2}\int\limits_0^2 {f\left( u \right)} \,{\rm{d}}u = - 4\).
Biết hàm số \(f\left( x \right) = 3{x^2} - 2\) có một nguyên hàm là \(F\left( x \right)\) thỏa \(F\left( 1 \right) = 10\). Gọi \(G\left( x \right)\) là một nguyên hàm của \(g\left( x \right) = \frac{{x - 2}}{{{x^2}}}\) thỏa mãn \(G\left( 1 \right) = F\left( 2 \right)\). Tính \(G\left( 3 \right)\). (kết quả làm tròn đến hàng phần mười)
Trả lời: 14,8
Ta có \(F\left( x \right) = \int {\left( {3{x^2} - 2} \right)dx} = {x^3} - 2x + C\).
Mà \(F\left( 1 \right) = 10\) nên \(1 - 2 + C = 10 \Leftrightarrow C = 11\). Do đó \(F\left( x \right) = {x^3} - 2x + 11\).
Có \(F\left( 2 \right) = {2^3} - 2.2 + 11 = 15\).
\(G\left( x \right) = \int {\frac{{x - 2}}{{{x^2}}}} dx = \int {\left( {\frac{1}{x} - \frac{2}{{{x^2}}}} \right)dx} = \ln \left| x \right| + \frac{2}{x} + C'\).
Mà \(G\left( 1 \right) = 15\) nên \(\ln \left| 1 \right| + \frac{2}{1} + C' = 15 \Rightarrow C' = 13\).
Do đó \(G\left( x \right) = \ln \left| x \right| + \frac{2}{x} + 13\). Suy ra \(G\left( 3 \right) = \ln 3 + \frac{2}{3} + 13 \approx 14,8\).
Gọi \(h\left( t \right)\) (cm) là mực nước ở bồn chứa sau khi bơm nước được \(t\) giây. Biết rằng \(h'\left( t \right) = \frac{1}{5}\sqrt[3]{{t + 8}}\) và lúc đầu bồn không có nước. Tìm mức nước ở bồn sau khi bơm nước được 6 giây (làm tròn kết quả đến hàm phần trăm).
Trả lời: 2,66
Mức nước ở bồn sau khi bơm nước được 6 giây là
\(\int\limits_0^6 {h'\left( t \right)dt} = \int\limits_0^6 {\frac{1}{5}\sqrt[3]{{t + 8}}dt} \)\[ = \frac{1}{5}\left. {.\frac{3}{4}{{\left( {t + 8} \right)}^{\frac{4}{3}}}} \right|_0^6 \approx 2,66\].
Trong một khu du lịch, người ta cho du khách trải nghiệm thiên nhiên bằng cách đu theo đường trượt zipline từ vị trí \(A\) cao \(15\;{\rm{m}}\) của tháp 1 này sang vị trí \(B\) cao \[10\;{\rm{m}}\] của tháp 2 trong khung cảnh đẹp xung quanh. Với hệ trục tọa độ \(Oxyz\) cho trước (đơn vị: mét), tọa độ của \(A\) và \(B\) lần lượt là \(\left( {3;2,5;15} \right)\) và \(B\left( {21;27,5;10} \right)\). Khi du khách ở độ cao 12 mét thì tọa độ của du khách lúc đó là \(M\left( {a;b;c} \right)\). Tính giá trị biểu thức \(T = a + b + c\).
Trả lời: 43,3
Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( {18;25; - 5} \right)\).
Đường trượt của du khách là một đường thẳng đi qua điểm \(A\left( {3;2,5;15} \right)\) và nhận \(\overrightarrow {AB} = \left( {18;25; - 5} \right)\) làm vectơ chỉ phương có phương trình là:
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + 18t\\y = 2,5 + 25t\\z = 15 - 5t\end{array} \right.\).
Khi du khách ở độ cao 12 m tức là \(z = 12 \Leftrightarrow 15 - 5t = 12 \Leftrightarrow t = \frac{3}{5}\).
Với \(t = \frac{3}{5}\) thì \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + 18.\frac{3}{5}\\y = 2,5 + 25.\frac{3}{5}\\z = 12\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{69}}{5}\\y = \frac{{35}}{2}\\z = 12\end{array} \right.\).
Suy ra \(M\left( {\frac{{69}}{5};\frac{{35}}{2};12} \right)\). Do đó \(T = \frac{{69}}{5} + \frac{{35}}{2} + 12 = 43,3\).
Hệ thống định vị toàn cầu GPS là một hệ thống cho phép xác định chính xác vị trí của một vật trong không gian. Cách thức hoạt động của GPS như sau: Trong cùng một thời điểm, vị trí M của một vật sẽ được xác định bằng 4 vệ tinh cho trước, các vệ tinh này có gắn máy thu tín hiệu, bằng cách so sánh thời gian từ lúc tín hiệu được phát đi với thời gian nhận tín hiệu phản hồi thì sẽ xác định được khoảng cách từ các vệ tinh đến vị trí M. Như vậy, ví trí M là giao điểm của 4 mặt cầu có tâm là 4 vệ tinh đã cho. Giả sử trong không gian \(Oxyz\), 4 vệ tinh có tọa độ là \(A\left( { - 1;6;3} \right),B\left( {4;8;1} \right),C\left( {9;6;7} \right),D\left( { - 15;18;7} \right)\). Biết khoảng cách từ M đến các vệ tinh lần lượt là \(MA = 6,MB = 7,MC = 12,MD = 24\). Khi đó tọa độ điểm \(M\left( {{x_M};{y_M};{z_M}} \right)\). Tính giá trị biểu thức \(T = {x_M} + {y_M} + {z_M}\).
Trả lời: 2
Theo đề ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {{x_M} + 1} \right)^2} + {\left( {{y_M} - 6} \right)^2} + {\left( {{z_M} - 3} \right)^2} = 36\\{\left( {{x_M} - 4} \right)^2} + {\left( {{y_M} - 8} \right)^2} + {\left( {{z_M} - 1} \right)^2} = 49\\{\left( {{x_M} - 9} \right)^2} + {\left( {{y_M} - 6} \right)^2} + {\left( {{z_M} - 7} \right)^2} = 144\\{\left( {{x_M} + 15} \right)^2} + {\left( {{y_M} - 18} \right)^2} + {\left( {{z_M} - 7} \right)^2} = 576\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x_M^2 + y_M^2 + z_M^2 + 2{x_M} - 12{y_M} - 6{z_M} = - 10\\x_M^2 + y_M^2 + z_M^2 - 8{x_M} - 16{y_M} - 2{z_M} = - 32\\x_M^2 + y_M^2 + z_M^2 - 18{x_M} - 12{y_M} - 14{z_M} = - 22\\x_M^2 + y_M^2 + z_M^2 + 30{x_M} - 36{y_M} - 14{z_M} = - 22\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x_M^2 + y_M^2 + z_M^2 + 2{x_M} - 12{y_M} - 6{z_M} = - 10\\ - 2{x_M} + 12{y_M} + 6{z_M} - 8{x_M} - 16{y_M} - 2{z_M} = - 22\\ - 2{x_M} + 12{y_M} + 6{z_M} - 18{x_M} - 12{y_M} - 14{z_M} = - 12\\ - 2{x_M} + 12{y_M} + 6{z_M} + 30{x_M} - 36{y_M} - 14{z_M} = - 12\end{array} \right.\)
⇔xM2+yM2+zM2+2xM−12yM−6zM=−10−10xM−4yM+4zM=−22−20xM−8zM=−1228xM−24yM−8zM=−12
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_M} = 1\\{y_M} = 2\\{z_M} = - 1\end{array} \right.\). Suy ra \(T = {x_M} + {y_M} + {z_M} = 2\).
Tỉ lệ người dân đã tiêm vắc xin phòng bệnh A ở một địa phương là \(65\% \). Trong số những người đã tiêm phòng, tỉ lệ mắc bệnh A là 5% còn trong số những người chưa tiêm, tỉ lệ mắc bệnh A là 17%. Gặp ngẫu nhiên một người ở địa phương đó. Biết rằng người đó mắc bệnh A. Khi đó xác suất người đó không tiêm vắc xin phòng bệnh A có dạng \(\frac{a}{b}\)(\(\frac{a}{b}\) là phân số tối giản). Giá trị \(b - a\) là bao nhiêu?
Trả lời: 65
Gọi \(A\) là biến cố “Người đó tiêm vắc xin phòng bệnh A”.
\(B\) là biến cố “Người đó mắc bệnh A”.
Theo đề ta có \(P\left( A \right) = 0,65;P\left( {B|A} \right) = 0,05;P\left( {B|\overline A } \right) = 0,17\).
Xác suất để người đó mắc bệnh A là
\(P\left( B \right) = P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right).P\left( {B|\overline A } \right) = 0,65.0,05 + 0,35.0,17 = \frac{{23}}{{250}} = 0,092\).
Do đó \(P\left( {\overline A |B} \right) = \frac{{P\left( {\overline A } \right).P\left( {B|\overline A } \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{0,35.0,17}}{{0,092}} = \frac{{119}}{{184}}\).
Suy ra \(a = 119;b = 184\). Do đó \(b - a = 65\).
